江西中考数学压轴题大集合

江西中考数学压轴题大集合

一、函数与几何综合的压轴题 ‎1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)‎ (1) 求证：E点在y轴上；‎ (2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.‎ (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.‎ 图②‎ C（1+k，-3）‎ A ‎（2，-6）‎ B D O x E′‎ y C（1，-3）‎ A ‎（2，-6）‎ B D O x E y 图①‎ ‎ ‎ ‎[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）‎ 方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ‎∴‎ 又∵DO′+BO′=DB ‎∴‎ ‎∵AB=6，DC=3，∴EO′=2‎ 又∵，∴‎ ‎∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①‎ 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ②‎ 联立①②得 ‎∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上 ‎（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）‎ E（0，-2）三点，得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2‎ ‎∴抛物线方程y=-x2-2‎ ‎（3）（本小题给出三种方法，供参考）‎ 由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。‎ 同（1）可得： 得：E′F=2‎ 方法一：又∵E′F∥AB，∴‎ S△AE′C= S△ADC- S△E′DC=‎ ‎==DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ‎∴S△AE′C= S△BDE′‎ ‎∴S=3+k为所求函数解析式.‎ 证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2‎ 同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4‎ ‎∴‎ ‎∴S=3+k为所求函数解析式.‎ ‎2. （2015广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0‎ ‎）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.‎ ‎（1）求点A的坐标； ‎ ‎（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明； ‎ ‎（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式. ‎ ‎[解]（1）解：由已知AM＝，OM＝1， ‎ 在Rt△AOM中，AO＝， ‎ ‎∴点A的坐标为A（0，1）‎ ‎（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1　　∴y＝x＋1‎ 令y＝0则x＝－1　　　　∴B（—1，0），‎ AB＝‎ 在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2‎ ‎ ‎ ‎∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°‎ ‎∴直线AB是⊙M的切线 ‎（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2， ‎ ‎ ∴BC＝ ‎ ‎∵∠BAC＝90°　∴△ABC的外接圆的直径为BC，‎ A B C D x M ‎·‎ y ‎∴ ‎ 而　‎ ‎　，‎ 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：‎ y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 ‎ 解法二：（接上） 求得∴h＝5 ‎ ‎ 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5‎ ‎ 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5‎ ‎∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 ‎ 解法三：（接上）求得∴h＝5‎ 因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）‎ 由已知得 ‎∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5. ‎ ‎3.(2015湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.‎ ‎(1)求⊙P上劣弧的长；‎ ‎(2)求抛物线的解析式；‎ A B C O x y ‎·‎ P（1，－1）‎ ‎(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.‎ ‎　在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,‎ ‎ ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°‎ A B C O x y P（1，－1）‎ ‎·‎ M ‎ 的长＝ ‎ ‎（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.‎ 又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），‎ 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，‎ 则C(1，－3). ‎ 点A、B、C在抛物线上，则 ‎　　解之得 抛物线解析式为 ‎ ‎（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.‎ 又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）. ‎ 又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2），‎ 使线段OC与PD互相平分. ‎ ‎4.（2015湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.‎ ‎（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.‎ A y x B E F O1‎ Q O O2‎ C ‎（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎[解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，‎ ‎∴△AOC≌△COB.‎ ‎∴OC2＝OA·OB.‎ ‎∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),‎ B A E F O1‎ Q O O2‎ y x ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ N M P C ‎∴‎ ‎∴OB＝1.∴OA＝3.‎ ‎∴A(-3,0),B(1,0).‎ 设抛物线的解析式为 则解之，得 ‎∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ‎(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.‎ 证明：连结O1E、OE、OF.‎ ‎∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,‎ ‎∴四边形EOFC为矩形.‎ ‎∴QE＝QO.‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，‎ ‎∴EF与⊙O1相切.‎ 同理：EF理⊙O2相切.‎ ‎(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ‎ ‎∵MN∥OA,‎ ‎∴△CMN∽△CAO.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解之，得 此时，四边形OPMN是正方形.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 考虑到四边形PMNO此时为正方形，‎ ‎∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.‎ 故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或 ‎5.（2015湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．‎ ‎(1)说明点A、C、E在一条条直线上；‎ ‎(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；‎ ‎(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．‎ X O P D C A B Y ‎(本题图形仅供分析参考用)‎ ‎[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1.‎ 将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，‎ ‎∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E 在一条直线上.‎ ‎（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下. ‎ X G F O P D E C A B Y ‎（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，‎ ‎∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6，‎ 即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴—=6，‎ ‎∴b= —6a, ‎ ‎∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ‎ 由方程组 y=ax2—6ax+1‎ y=x+1‎ 得：ax2—（6a+）x=0‎ ‎∴1＜1—9a＜3, ∴—＜a＜0. ‎ ‎∴x=0或x==6+.‎ 当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交 点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—‎ 综合得：—＜a＜— ∵b= —6a，∴＜b＜‎ ‎0‎ x y ‎6.（2017湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径； （2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式； （3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标； （4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.‎ ‎[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º ‎ 再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝ ‎(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx 任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0) 由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分 ‎(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2， 又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2) ‎ ‎(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝ 同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m； ∴S＝ 又若C(－2，0)， 此时l为y＝x，同理可得；S＝‎ A A B ‎(－2,0)C C(2,0)‎ l O P E P′‎ x y ‎（2,0）‎ P C l O y x C F F F P P ‎7.（2015江苏连云港）如图，直线与函数的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．‎ ‎（1）若的面积是的面积的倍，求与之间的函数关系式；‎ y x ‎（2）在（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]（1）设，(其中)，‎ 由，得 ‎∴··(····)，， ‎ 又，∴，即， ‎ 由可得，代入可得 ①‎ y x ‎ ∴，， 　　　　　　‎ ‎∴，即． ‎ 又方程①的判别式，‎ ‎∴所求的函数关系式为． ‎ ‎（2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点． ‎ 则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．‎ ‎∵与都与互余，∴ ． ‎ ‎∴Rt∽Rt，∴． ‎ ‎∴，∴， ∴， ‎ 即 ②‎ 由（1）知，，代入②得，‎ ‎∴或，又，∴或，‎ ‎∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或． ‎ ‎8.（2015江苏镇江）已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.‎ ‎ （1）求抛物线和直线BC的解析式.‎ ‎ （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.‎ ‎ （3）若过A、B、C三点，求的半径.‎ ‎ （4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC分成面积比为的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎[解]（1）由题意得： ‎ x y O 解得 ‎ 经检验m=1，∴抛物线的解析式为：‎ 或：由得，或 ‎ ‎ 抛物线的解析式为 ‎ 由得 ‎∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）.‎ 设直线BC的解析式为 则 ‎∴直线BC的解析式为 ‎ ‎(2)图象略.‎ ‎（3）法一：在中，‎ ‎.‎ 又 ‎∴的半径 ‎ 法二：‎ 由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，设P（－2，－h）（h＞0）， ‎ 连结PB、PC，则，‎ 由，即，解得h=2. ‎ 的半径.‎ 法三：‎ 延长CP交于点F.‎ 为的直径，‎ 又 ‎ 又 的半径为 ‎ ‎（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为则点E的坐标为 若则 解得（不合题意舍去）， ‎ 若则 解得（不合题意舍去），‎ 存在点M，点M的坐标为或（15，280）. ‎ ‎9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.‎ (1) 若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.‎ (2) 求直线DF的解析式.‎ (3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.‎ ‎（第9题图）‎ A y x O N M G F E D C B ‎[解] (1) ∵抛物线过A、B两点，‎ ‎ ∴，m=3.‎ ‎ ∴抛物线为. ‎ ‎ 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.‎ ‎ ∴D点坐标为. ‎ ‎(2) 由题意知：AB=4.‎ ‎∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1.‎ 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，‎ ‎∴NC×4=2×2. ∴NC=1.‎ ‎∴C点坐标为. ‎ 设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.‎ ‎∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.‎ ‎∵GC、GF是切线，‎ F B A y x O N M G E D C P ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴GC=GF. ∴∠3=∠4.‎ ‎∴∠1=∠2. ‎ ‎∴GF=GP.‎ ‎∴GC=GP.‎ 可得CP=8.‎ ‎∴P点坐标为 ‎ 设直线DF的解析式为 则 解得 ‎∴直线DF的解析式为： ‎ ‎(3) 假设存在过点G的直线为，‎ 则，∴. ‎ 由方程组 得 ‎ 由题意得，∴. ‎ 当时，，‎ ‎∴方程无实数根，方程组无实数解.‎ ‎∴满足条件的直线不存在. ‎ ‎10.（2014山西）已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；‎ ‎（2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；‎ ‎（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎[解] （1）解：∵二次函数的图象过点A（－3，6），B（－1，0）‎ x O y 得　　　　　　　　　解得 ‎∴这个二次函数的解析式为：‎ 由解析式可求P（1，－2），C（3，0）‎ 画出二次函数的图像 ‎ （2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°‎ 又已知：∠DPC＝∠BAC　　　∴△DPC∽△BAC ‎∴　　易求 ‎∴ ∴　　　∴‎ ‎ 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.‎ 设抛物线的对称轴交x轴于F.‎ 亦可证△AEB∽△PFD、‎ ‎∴.　　　　　　易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2‎ ‎∴ ∴　　∴‎ ‎（3）存在.‎ ‎（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T ‎∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，‎ ‎∴MG＝MH＝OM 又∵且OM＋MC＝OC ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′‎ 同理OM′＋OC＝M′C，‎ 得 　　　　∴M′‎ 即在x轴上存在满足条件的两个点.‎ M′‎ T ‎1‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎4‎ ‎-3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎6‎ E ‎-1‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎3‎ A C x y B D M F S G H P ‎11.（2013浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.‎ ‎（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；‎ ‎（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；‎ A B C M O x y ‎（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.‎ ‎[解] （1），顶点坐标为（1，－4）.‎ ‎（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），‎ 即y＝ax2－2ax－3a，‎ ‎∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），‎ M（1，－4a），‎ ‎∴ S△ACB＝×4×＝6，‎ 而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、‎ 作MD⊥x轴于D，‎ 又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，‎ ‎∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.‎ ‎（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，‎ 有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，‎ ‎∴ k＝，‎ ‎∴ y＝ax2－2ax＋， ∴ .‎ 记l与x轴交点为D，‎ 若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，‎ ‎∴ k＝－，a＝，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为.‎ 若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，‎ ‎∴ k＝－，a＝，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为.‎ ‎②当抛物线开口向下时，同理可得 ‎，.‎ ‎12.（2016北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。‎ ‎（1）试用含a的代数式表示b；‎ ‎（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎[解] （1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A ‎ ∴点A的坐标为（4，0）‎ ‎ ∵抛物线经过O、A两点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A ‎ ∴点A的坐标为（4，0）‎ ‎ ∵抛物线经过O、A两点 ‎ ∴抛物线的对称轴为直线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ‎ ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO ‎ 又由（1）知抛物线的解析式为 ‎ ∴点D的坐标为（）‎ ‎ ①当时，‎ ‎ 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'‎ ‎ ∴点D'与点D也关于x轴对称 ‎ ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ‎ ∴点O为切点 ‎ ∴D'O⊥OD ‎ ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°‎ ‎ ∴△ADO为等腰直角三角形 ‎ ‎ ‎ ∴点D的纵坐标为 ‎ ‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎ ②当时，‎ ‎ 同理可得：‎ ‎ 抛物线的解析式为 ‎ 综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或 ‎ （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得 ‎ 设点P的坐标为（x，y），且y＞0‎ ‎ ①当点P在抛物线上时（如图2）‎ ‎ ∵点B是⊙D的优弧上的一点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 过点P作PE⊥x轴于点E ‎ ‎ ‎ 由解得：（舍去）‎ ‎ ∴点P的坐标为 ‎ ‎ ②当点P在抛物线上时（如图3）‎ ‎ 同理可得，‎ ‎ 由解得：（舍去）‎ ‎ ∴点P的坐标为 ‎ ‎ 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 ‎ 或 ‎13.（2015北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。‎ ‎ （1）如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；‎ ‎ （2）若⊙经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。‎ ‎[解] （1）如图1，过O作于G，则 ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （3，0）‎ ‎ AB是⊙的直径 ‎ 切⊙于A，‎ ‎ 在中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设直线AC的解析式为，则 ‎ ‎ ‎ 直线AC的解析式为 ‎ ‎ （2）结论：的值不会发生变化 ‎ ‎ 设的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示 图2‎ ‎ ‎ ‎ 则 ‎ 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN ‎ 平分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的值不会发生变化，其值为4。‎ ‎14.（2016福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋.‎ ‎ （1）当n＝1时，求点A的坐标；‎ ‎ （2）若OP＝AP，求k的值；‎ ‎ (3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值. ‎ ‎[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m (1) 当n＝1时， s＝ ‎ ‎∴ a＝＝ ‎ ‎(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ‎ ‎∴△OPA是等腰直角三角形 ‎ ‎∴ m＝n＝ ‎ ‎∴ 1＋＝·an ‎ 即n4－4n2＋4＝0 ‎ ‎∴ k2－4k＋4＝0‎ ‎∴ k＝2 ‎ 解2：∵ OP＝AP PA⊥OP ‎ ‎∴△OPA是等腰直角三角形 ‎∴ m＝n ‎ 设△OPQ的面积为s1‎ 则：s1＝ ‎∴ ·mn＝(1＋)‎ 即：n4－4n2＋4＝0 ‎ ‎∴ k2－4k＋4＝0‎ ‎∴ k＝2 ‎ ‎(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△OAP ‎ 设：△OPQ的面积为s1，则 ＝ ‎ ‎ 即： ＝ 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 ‎ ‎（k－2）（2k－n4）＝0‎ ‎∴k＝2或k＝(舍去) ‎ ‎∴当n是小于20的整数时，k＝2.‎ ‎∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋ 又m＞0，k＝2，‎ ‎∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5‎ 当n＝2时，OP2＝5‎ 当n＝3时，OP2＝32＋＝9＋＝ ‎ 当n是大于3且小于20的整数时，‎ 即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是：‎ ‎42＋、52＋、62＋、…、192＋ ‎∵192＋＞182＋＞…＞32＋＞5 ‎ ‎∴ OP2的最小值是5. ‎ 解2： ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋ ‎ ＝n2＋ ‎ ＝(n－)＋4 ‎ 当n＝ 时，即当n＝时，OP2最小；‎ 又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ‎ ‎∴ OP2的最小值是5. ‎ 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△P AQ ‎ ＝ ‎ ＝ ‎ 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 ‎ ‎（k－2）（2k－n4）＝0‎ ‎∴k＝2或k＝(舍去) ‎ 解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△P AQ ＝ ‎ 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 ‎ ‎（k－2）（2k－n4）＝0‎ ‎∴k＝2或k＝(舍去) ‎ 解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ‎∴ △OPQ∽△OAP ‎∴ ＝ ‎∴ OP2＝OQ·OA 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 ‎ ‎（k－2）（2k－n4）＝0‎ ‎∴k＝2或k＝(舍去) ‎ ‎15.（2015湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。‎ ‎（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。‎ QA P O C（8，6）‎ B（18，6）‎ A（18，0）‎ x y ‎（2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。‎ ‎（3）‎ 设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。‎ ‎（4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。‎ ‎[解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O，C ‎　　　设OC的解析式为，将两点坐标代入得：‎ ‎　　　，，∴ ‎ ‎　　　　∵A，O是轴上两点，故可设抛物线的解析式为 ‎　　　再将C代入得：‎ ‎∴ ‎ ‎（2）D ‎（3）当Q在OC上运动时，可设Q，依题意有：‎ ‎∴，∴Q，‎ 当Q在CB上时，Q点所走过的路程为，∵OC＝10，∴CQ＝‎ ‎∴Q点的横坐标为，∴Q， ‎ ‎（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为，则Q运动的路程为 ‎△OPQ中，OP边上的高为：‎ 梯形OABC的面积＝，依题意有：‎ 整理得：　　∵△＝，∴这样的不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为，∴CQ的长为：‎ ‎∴梯形OCQP的面积＝＝36≠84×‎ ‎∴这样的值不存在 综上所述，不存在这样的值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积 ‎16.（2015湖北荆门）已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，‎ ‎（1）求m的值及抛物线顶点坐标；‎ ‎（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；‎ ‎（3）在（2）条件下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎[解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.‎ ‎　　设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m　 ‎ 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴ ‎ A ‎·‎ B C D E F G M x y O ‎∴，即x1·x2＝－m2　‎ ‎∴－m2＝3m，解得　m＝0　或m＝－3　‎ 而m＜0，故只能取m＝－3 ‎ 这时，‎ ‎ 故抛物线的顶点坐标为（，－4）‎ ‎（2）解法一：由已知可得：M（，0），A（－，0），B（3，0），‎ C（0,－3），D（0， 3）‎ ‎∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE ‎∵DE是⊙M的直径，‎ ‎∴∠DCE＝90°，∴直线x＝，垂直平分CE，‎ ‎∴E点的坐标为（2，－3）‎ ‎∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，‎ ‎∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ‎∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE，　　∴FG∥CB ‎ 由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：‎ y＝－3　 ‎ 可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5‎ 故直线FG的解析式为y＝－5　 ‎ 解法二：令y＝0，解－3＝0得 x1＝－，x2＝3‎ 即A（－，0），B（3，0）‎ 根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2，　 M（，0）‎ 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，，OC＝3‎ ‎∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。‎ 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ‎∵DE⊥FG，　∴BC∥FG ‎∴∠EFM＝∠CBO＝30°‎ 在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2，∠FEM＝30°，‎ ‎∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，‎ ‎∴F点的坐标为（5，0）‎ 在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5×＝5‎ ‎∴G点的坐标为（0，－5）‎ ‎∴直线　FG的解析式为y＝－5　‎ ‎（3）解法一：‎ 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12　 ‎ 连结CP A ‎·‎ B C D E F G M x y P H O 由垂径定理可知，‎ ‎∴∠P＝∠ACH ‎（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）‎ 又∵∠CAH＝∠PAC，‎ ‎∴△ACH∽△APC ‎∴　即AC2＝AH·AP　‎ 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12‎ ‎（或利用AC2＝AO·AB＝×4＝12‎ ‎∴AH·AP＝12　 ‎ 解法二：‎ 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12‎ 设AH＝x，AP＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即 化简得：xy＝12‎ 即　AH·AP＝12　‎