中考数学真题专项训练分式与分式方程解析版

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分式与分式方程 一、选择题 ‎1. （2019•江西•3分）计算 的结果为 ‎ A.b B. C. D. a ‎【解析】 本题考察代数式的乘法运算，容易，注意 ,约分后为b ‎【答案】 A★‎ ‎4. （2019•四川成都•3分）分式方程 的解是（  ） ‎ A. x=1     B.    C.       D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎【考点】解分式方程 ‎ ‎【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-2）得：（x+1）（x-2）+x=x（x-2）‎ x2-x-2+x=x2-2x 解之：x=1‎ 经检验：x=1是原方程的根。‎ 故答案为：A ‎【分析】方程两边同时乘以x（x-2），将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可求解。‎ ‎8.（2019·山东临沂·3分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（　　）‎ A． = B． =‎ C． = D． =‎ ‎【分析】设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．‎ ‎【解答】解：设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+1）万元/辆，‎ 根据题意，得： =，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．‎ ‎9.（2019·山东威海·3分）化简（a﹣1）÷（﹣1）•a的结果是（　　）‎ A．﹣a2 B．1 C．a2 D．﹣1‎ ‎【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=（a﹣1）÷•a ‎=（a﹣1）••a ‎=﹣a2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．‎ ‎10．（2019•北京•2分） 如果，那么代数式的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】原式，∵，∴原式．‎ ‎【考点】分式化简求值，整体代入．‎ ‎11.（2019•甘肃白银，定西，武威•3分） 若分式的值为0，则的值是（ ）‎ A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】【分析】分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.‎ ‎【解答】根据分式有意义的条件得：‎ 解得： ‎ 故选A.‎ ‎【点评】考查分式值为零的条件，分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零.‎ ‎13. （2019•株洲市•3分）关于x的分式方程解为，则常数a的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 详解：把x=4代入方程，得 解得a=10．‎ 故选：D．‎ 点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．‎ ‎14. （2019·天津·3分）计算的结果为（ ）‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．‎ 详解：原式=.‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎15. （2019年江苏省宿迁）函数 中，自变量x的取值范围是（   ）。 ‎ A. x≠0    B. x＜1      C. x＞1      D. x≠1‎ ‎【答案】D ‎ ‎【考点】分式有意义的条件 ‎ ‎【解析】【解答】解：依题可得：x-1≠0， ∴x≠1. 故答案为：D. 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，计算即可得出答案.‎ ‎16. （2019•河北•2分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图8所示：‎ 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） ‎ A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 ‎17．（2019年四川省内江市）已知：﹣=，则的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．3 D．﹣3‎ ‎【考点】6B：分式的加减法；64：分式的值．‎ ‎【分析】由﹣=知=，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：∵﹣=，‎ 则=3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．‎ ‎18．（2019年四川省南充市）已知=3，则代数式的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】6B：分式的加减法；64：分式的值．‎ ‎【分析】由=3得出=3，即x﹣y=﹣3xy，整体代入原式=，计算可得．‎ ‎【解答】解：∵=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴x﹣y=﹣3xy，‎ 则原式=‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．‎ 二.填空题 ‎(要求同上一.)‎ ‎1. (2019四川省绵阳市)已知a>b>0,且 ，则 ________。 ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】解分式方程，换元法解一元二次方程 ‎ ‎【解析】【解答】解： ∵ + + =0， 两边同时乘以ab（b-a）得： a2-2ab-2b2=0， 两边同时除以a2得： 2（ ） 2+2 -1=0， 令t= （t〉0）, ∴2t2+2t-1=0， ∴t= ， ∴t= = . 故答案为： . 【分析】等式两边同时乘以ab（b-a）得：a2-2ab-2b2=0，两边同时除以a 得： 2（ ）2+2 -1=0，解此一元二次方程即可得答案.‎ ‎2. (2019四川省眉山市1分 ) 已知关于x的分式方程 －2= 有一个正数解，则k的取值范围为________. ‎ ‎【答案】k<6且k≠3 ‎ ‎【考点】分式方程的解及检验，解分式方程 ‎ ‎【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x-3得：‎ x-2（x-3）=k，‎ 解得：x=6-k.‎ 又∵分式方程的解为正数，‎ ‎∴6-k>0且6-k≠3，‎ ‎∴k<6且k≠3.‎ 故答案为:k<6且k≠3.‎ ‎【分析】分式方程两边同时乘以最简公分母x-3，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出方程的根，又分式方程的解为正数，由此得6-k>0且6-k≠3，解之即可得出答案.‎ ‎3 （2019·广东广州·3分）方程 的解是________ ‎ ‎【答案】x=2 ‎ ‎【考点】解分式方程 ‎ ‎【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x+6)得： x+6=4x ∴x=2. 经检验得x=2是原分式方程的解. 故答案为：2. 【分析】方程两边同时乘以最先公分母x（x+6)，将分式方程转化为整式方程，解之即可得出答案.‎ ‎5. （2019·浙江舟山·4分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10％，若设甲每小时检x个，则根据题意，可列出方程：________。‎ ‎【考点】列分式方程 ‎ ‎【分析】若设甲每小时检x个，则乙每小时检测（x-20）个，甲检测300个的时间为, 乙检测200个所用的时间为，根据题意可得出方程.‎ ‎【解答】解：设甲每小时检x个，则乙每小时检测（x-20）个， 甲检测300个的时间为, 乙检测200个所用的时间为 由等量关系可得 故答案为 【分析】根据实际问题列方程，找出列方程的等量关系式：甲检测300个的时间=乙检测200个所用的时间×（1-10%），分别用未知数x表示出各自的时间即可 ‎10 （2019年江苏省宿迁）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960‎ 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________. ‎ ‎【答案】120 ‎ ‎【考点】分式方程的实际应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，依题可得：， 解得：x=120. 经检验x=120是原分式方程的根. 故答案为：120. 【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，根据题意列出分式方程，解之即可.‎ ‎16. （2019•江西•3分）若分式 有意义，则x的取值范围是 . ‎ ‎【解析】 本题考察分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义，所以.‎ ‎【答案】 ★‎ ‎17. （2019•江苏盐城•3分）要使分式 有意义，则 x的取值范围是________． ‎ ‎10.【答案】2 ‎ ‎【考点】分式有意义的条件 ‎ ‎【解析】【解答】解：要使分式 有意义，即分母x-2≠0，则x≠2。故答案为： 2 【分析】分式有意义的条件是分母不为0：令分母的式子不为0，求出取值范围即可。‎ 三.解答题 ‎1. （2019•山西•5分）（ 2）‎ ‎【考点】 分式化简 ‎【解析】 解：原式 ===‎ ‎3. （2019•山西•7分）(本 题 7 分 )2019 年 1 月 20 日 ，山 西 迎 来 了“ 复 兴 号 ”列 车 ，与“和谐 号 ” 相 比 ，“ 复 兴 号 ” 列 车 时 速 更 快 ， 安 全 性 更 好 .已 知 “ 太 原 南 -北 京 西 ” 全程大约 500 千 米 ，“ 复 兴 号 ”G92 次 列 车 平 均 每 小 时 比 某 列“ 和 谐 号 ”列 车多行驶 40 千 米 ， 其 行 驶 时 间 是 该 列 “ 和 谐 号 ” 列 车 行 驶 时 间的（两 列车中途停留时间 均 除外） .经 查 询 ，“ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 ， 中 途 只 有 石 家 庄 一站，停留 10 分钟 .求乘坐“复兴号” G92 次列车从太原南到 北 京西需要多长时间 .‎ ‎【考点】 分 式 方 程 应 用 ‎【解析】 ‎ 解： 设 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要 x 小时，‎ 由题意，得 解得 x = 经检验， x =是原方程的根 .‎ 答 ： 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要小时 .‎ ‎4（2019•四川成都•5分）（2）化简 . ‎ ‎（2）解：原式 ‎ ‎【考点】实数的运算，分式的混合运算，特殊角的三角函数值 ‎ ‎【解析】【分析】(1)先算乘方、开方、绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法，然后在合并同类二次根式即可。‎ ‎(2) 先将括号里的分式通分计算，再将除法转化为乘法，然后约分化简即可。‎ 题号依次顺延.‎ ‎5.（2019•江苏盐城•6分）先化简，再求值： ，其中 . ‎ ‎【答案】原式= = ，当 时， 原式= 。 ‎ ‎【考点】利用分式运算化简求值 ‎ ‎【解析】【分析】根据分式的加减乘除法则计算即可；在做分式乘除法时，分子或分母的因式能分解因式的要分解因式可帮助简便计算。‎ ‎12（2019·山东临沂·7分）计算：（﹣）．‎ ‎【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．‎ ‎【解答】解：原式=[﹣]•‎ ‎【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．‎ ‎16（2019·山东威海·8分）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？‎ ‎【分析】设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，‎ 根据题意得：﹣=+，‎ 解得：x=60，‎ 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，‎ ‎∴（1+）x=80．‎ 答：软件升级后每小时生产80个零件．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．‎ ‎17.（2019•甘肃白银，定西，武威） 计算：.‎ ‎【答案】原式 ‎【解析】【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简即可.‎ ‎【解答】原式=‎ ‎19. （2019年江苏省南京市）计算（m+2﹣）÷．‎ ‎【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=（﹣）÷‎ ‎=2（m+3）‎ ‎=2m+6．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．‎ ‎20. （2019年江苏省南京市）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？‎ ‎【分析】设这种大米的原价是每千克x元，根据两次一共购买了40kg列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：设这种大米的原价是每千克x元，‎ 根据题意，得+=40，‎ 解得：x=7．‎ 经检验，x=7是原方程的解．‎ 答：这种大米的原价是每千克7元．‎ ‎【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎21. （2）化简：（2﹣）÷．‎ ‎【分析】（1）先计算零指数幂、代入三角函数值，去绝对值符号、计算负整数指数幂，再计算乘法和加减可得；‎ ‎（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．‎ ‎【解答】解：（1）原式=1+2×﹣（2﹣）﹣4‎ ‎=1+﹣2+﹣4‎ ‎=2﹣5；‎ ‎（2）原式=（﹣）÷‎ ‎【点评】本题主要考查分式和实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、三角函数值、绝对值性质、负整数指数幂及分式的混合运算顺序和运算法则．‎ ‎22. （2019年江苏省泰州市•10分）为了改善生态环境，某乡村计划植树4000棵．由于志题者的支援，实际工作效率提高了20%，结果比原计划提前3天完成，并且多植树80棵，原计划植树多少天？‎ ‎【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，根据题意可得等量关系：原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数=3，列方程即可．‎ ‎【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，‎ 依题意得：﹣=3‎ 解得x=200，‎ 经检验得出：x=200是原方程的解．‎ 所以=20．‎ 答：原计划植树20天．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题关键．‎ ‎27.（2019•河南•8分）先化简，再求值：)÷，其中x=.‎ ‎33 （2019·浙江舟山·6分）（1）计算：2（ －1）＋|-3|-（ -1）0； ‎ ‎（2）化简并求值 ，其中a=1，b=2。‎ ‎【考点】实数的运算，利用分式运算化简求值 ‎ ‎【分析】（1）按照实数的运算法则计算即可； （2）分式的化简当中，可先运算括号里的，或都运用乘法分配律计算都可 ‎【解答】（1）原式=4 -2+3-1=4 （2）原式= =a-b 当a=1，b=2时，原式=1-2=-1 ‎ ‎【点评】本题考查实数的运算和分式的化简求值.‎ ‎34. （2019·重庆(A)·5分）计算：‎ ‎【考点】分式的混合运算 ‎【解析】 解： 原式=‎ ‎【点评】本题考查了分式的化简运算。运算时注意运算顺序.‎ ‎35. （2019·广东广州·10分）已知 ‎ ‎（1）化简T。 ‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值。 ‎ ‎【答案】（1） （2）解：∵正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9， ∴a= =3 ∴T= = ‎ ‎【考点】利用分式运算化简求值 ‎ ‎【解析】【分析】（1）先找最简公分母，通分化成分母相同的分式，再由其法则：分母不变，分子相加；合并同类项之后再因式分解，约分即可. （2）根据正方形的面积公式即可得出边长a的值，代入上式即可得出答案.‎ ‎36（2019·广东深圳·6分）先化简，再求值： ，其中 . ‎ ‎【答案】解：原式 ∵x=2，‎ ‎【考点】利用分式运算化简求值 ‎ ‎【解析】【分析】根据分式的减法法则，除法法则计算化简，再将x=2的值代入化简后的分式即可得出答案.‎ ‎37.（2019·广东深圳·8分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元. ‎ ‎（1）第一批饮料进货单价多少元？ ‎ ‎（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ ‎ ‎【答案】（1）解：设第一批饮料进货单价为 x元，则第二批进货价为x+2，依题可得：解得： .‎ 经检验： 是原分式方程的解.‎ 答：第一批饮料进货单价为8元.‎ ‎（2）解：设销售单价为 元，依题可得：（m-8）·200+（m-10）·600≥1200，‎ 化简得：（m-8）+3（m-10）≥6，‎ 解得：m≥11.‎ 答：销售单价至少为11元. ‎ ‎【考点】分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用 ‎ ‎【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为 x 元，则第二批进货价为x+2，根据第二批饮料的数量是第一批的3倍，由此列出分式方程，解之即可得出答案.（2）设销售单价为 m 元，根据获利不少于1200元，列出一元一次不等式组，解之即可得出答案.‎ ‎40（2019•广西桂林•8分）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.‎ ‎(1)若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？‎ ‎(2)若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？‎ ‎【答案】（1）60天；（2）24天.‎ ‎【解析】分析：（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意可知一号施工队5天工作总量与一号施工队和二号施工队合作工作总量之和=1列出方程求解即可；‎ ‎（2）根据工作总量÷工作效率=工作时间求解即可. ‎ 详解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，依题可得 ‎ 解得x=60‎ ‎ 经检验，x=60是原分式方程的解 ‎ ∴由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天 ‎（2）由题可得（天）‎ ‎∴若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天.‎ 点睛：本题考查了列分式方程解应用题，灵活运用和掌握工作总量÷工作效率=工作时间是解题关键.‎ ‎42. (2019四川省眉山市5分 ) 先化简，再求值：（ － ）÷ ，其中x满足x2－2x－2=0. ‎ ‎【答案】解：原式= ，‎ ‎∵x2-2x-2=0，‎ ‎∴x2=2x+2，‎ ‎【考点】利用分式运算化简求值 ‎ ‎【解析】【分析】先将分式按照减法法则、除法法则化简计算，再将方程x2-2x-2=0转化为x2=2x+2‎ ‎，将此代入化简之后的分式即可得出答案.‎