专题一中考数学压轴题函数直角三角形问题专题一

专题一中考数学压轴题函数直角三角形问题专题一

中考数学压轴题函数直角三角形问题 ‎1、如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求直线BC的函数表达式；‎ ‎（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．‎ ‎①当线段时，求tan∠CED的值；‎ ‎②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．‎ 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．‎ 思路解析：‎ ‎1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．‎ ‎2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．‎ ‎3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．‎ 具体解法：‎ ‎（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C(0，－3)，得．所以抛物线的函数表达式为．‎ ‎（2）由，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得 解得，．所以直线BC的函数表达式为．‎ ‎（3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，．‎ 进而得到，点E的坐标为．‎ 直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．‎ 过点D作DH⊥y轴，垂足为H．‎ 在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．‎ ‎②，．‎ ‎2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．‎ ‎①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；‎ ‎②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．‎ ‎2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．‎ ‎3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．‎ ‎4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．‎ 具体解答 ‎(1) 因为抛物线经过原点，所以． 解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．‎ ‎(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．‎ ‎②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．‎ 如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．‎ 如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．‎ ‎ ‎ ‎3如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．‎ ‎（1）求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；‎ ‎（3）探究：△ABC的最大面积？‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．‎ ‎2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．‎ ‎3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．‎ 具体解答 ‎（1）在△ABC中，，，，所以 解得．‎ ‎（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．‎ ‎②若AB为斜边，则，解得，满足．‎ ‎③若BC为斜边，则，解得，满足．‎ 因此当或时，△ABC是直角三角形．‎ ‎（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．‎ ‎①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，‎ 得．两边平方，得．整理，得 所以（）．‎ 当时（满足），取最大值，从而S取最大值．‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎②如图3，若点D在线段MA上，则．‎ 同理可得，（）．‎ 易知此时．‎ 综合①②得，△ABC的最大面积为．‎ ‎4、如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．‎ ‎（1）试说明△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．‎ ‎① 求S与t的函数关系式；‎ ‎② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；‎ ‎③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．‎ 图1‎ 思路点拨 ‎1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．‎ ‎2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．‎ ‎3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．‎ ‎4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．‎ 具体解答 ‎（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．‎ ‎（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．‎ 如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时 ‎．‎ 定义域为0＜t≤2．‎ 如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时 ‎．‎ 定义域为2＜t≤5．‎ ‎ ‎ 图2 图3‎ ‎②把S＝4代入，得．解得，（舍去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．‎ ‎③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，所以．解得．‎ 如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．不存在∠ONM＝90°的可能．‎ 所以，当或者时，△MON为直角三角形．‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ ‎5、已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．‎ ‎（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；‎ 思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．请你完成证明过程．‎ ‎（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 思路点拨 ‎1．本题的证明思路是构造△ACM≌△DCM，证明△BCN≌△DCN．‎ ‎2．证明△BCN≌△DCN的关键是证明．‎ ‎3．证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形．‎ 具体解答 ‎（1）如图3，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．因此，，，．‎ 又由，得 ．由，，得．‎ 又，所以△≌△．因此，．‎ 所以．‎ 在Rt△中，由勾股定理，得．即．‎ ‎ ‎ 图3 图4‎ ‎（2）关系式仍然成立．‎ 如图4，将△沿直线对折，得△，连，则△≌△．‎ 所以，，，．‎ 又由，得 ．由，，得．‎ 又，所以△≌△．因此，．‎ 又由于 ‎，‎ 所以．‎ 在Rt△中，由勾股定理，得．即．‎