2017中考射影定理及其运用

2017中考射影定理及其运用

相似三角形------射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。‎ 一、射影定理 ‎　　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 ‎ ‎ 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，‎ 则有ＣD２＝ＢＤ•AD、‎ ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或 ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。‎ 二、变式推广 ‎　　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。‎ ‎　　　　‎ ‎　　２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））‎ ‎　　　如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。‎ ‎　　　　　　　‎ 三、应用 例１　如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２‎ 分析：　易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。‎ ‎（证明略）‎ ‎　　‎ 例２　如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，‎ 求ＤＣ。‎ ‎　　分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８‎ ‎　　(解略)‎ 例3　已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，‎ ‎　　　　求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。‎ ‎　　　　证明：连ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　‎ ‎　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，‎ ‎　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，‎ ‎　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，‎ ‎　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，‎ ‎　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，‎ ‎　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴＝，‎ ‎∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。‎ 射影定理练习 ‎【选择题】‎ ‎1、已知直角三角形中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ）‎ A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm ‎2、如图1-1，在Rt中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长　　　　 ‎ A、1　　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　 D、4‎ ‎ ‎ ‎3、在Rt中，，于点D，若，则（　　　）‎ A、　　　 B、　　　　 C、　　 　D、‎ ‎【填空题】‎ ‎5、中，，于点D，AD=6，BD=12，则CD=　　　，AC= ‎ ‎ ，= 。‎ ‎6、如图2-1，在Rt中，，，AC=6，AD=3.6，则BC=　　　　．‎ ‎【解答题】‎ ‎7、已知CD是的高，，如图3-1，求证：‎ ‎8、已知，，，是正三角形，求证：‎ ‎10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证： （1）△AED∽△CBM； （2）AE•CM=AC•CD ．‎ ‎11、已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。‎ ‎ 求证： （1）BE2=EF•EG ‎ （2）若过点B的射线交ADAC 的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。‎ ‎ ‎