江苏省徐州市中考数学试卷解析版

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江苏省徐州市中考数学试卷解析版

‎2016年徐州中考数学试卷 一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎1.的相反数是 ( ) ‎ A.4 B.-4 C. D. ‎ ‎【考点】相反数.‎ ‎【分析】根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫互为相反数.即a的相反数是-a.‎ ‎【解答】解:的相反数是-()=.‎ 故选C.‎ ‎【点评】主要考查相反数的概念:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0.‎ ‎2.(2016•徐州)下列运算中,正确的是( ) ‎ A.x3+x3=x6=+ B.x3·x6=x27= C.(x2)3=x5= D.x÷x2=x-1 ‎ ‎【考点】整式的混合运算.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】原式各项计算得到结果,即可做出判断.‎ ‎【解答】解:(1)x3+x3=2x3,错误;(2)x3·x6=x9,错误;(3)(x2)3=x6,错误;(4)x÷x2=x-1,正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎3.(2016•徐州)下列事件中的不可能事件是(  )‎ A.通常加热到100℃时,水沸腾 ‎ B.抛掷2枚正方体骰子,都是6点朝上 ‎ C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 ‎ D.任意画一个三角形,其内角和是360°‎ ‎【考点】随机事件.‎ ‎【分析】不可能事件就是一定不会发生的事件,据此即可判断.‎ ‎【解答】解:A、是必然事件,选项错误;‎ B、是随机事件,选项错误;‎ C、是随机事件,选项错误;‎ D、是不可能事件,选项正确.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.‎ ‎4.(2016•徐州)下列图形中,不可以作为一个正方体的展开图的是( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何体的展开图.‎ ‎【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可.‎ ‎【解答】A.可以作为一个正方体的展开图,‎ B.可以作为一个正方体的展开图,‎ C.不可以作为一个正方体的展开图,‎ D.可以作为一个正方体的展开图,‎ 故选;C.‎ ‎【点评】本题考查了正方体的展开图,熟记展开图的11种形式是解题的关键,利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”(即不能出现同一行有多于4个正方形的情况,不能出现田字形、凹字形的情况)判断也可.‎ ‎5.(2016•徐州)下列图案中,是轴对称的图形但不是中心对称的图形的是( ) ‎ ‎ ‎ ‎【考点】中心对称图形;轴对称图形.‎ ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,不合题意;‎ B、是轴对称但不是中心对称图形,符合题意;‎ C、既是轴对称又是中心对称图形,不合题意;‎ D、只是中心对称图形,不合题意.‎ 故选B.‎ ‎【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念:‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后重合.‎ ‎6.(2016•徐州)某人一周内爬楼的层数统计如表 周一 周二 周三 周五 周六 周日 ‎26‎ ‎36‎ ‎22 ‎ ‎24‎ ‎31‎ ‎21‎ 关于这组数据,下列说法错误的是(  )‎ A.中位数是22 B.平均数是26 C.众数是22 D.极差是15‎ ‎【考点】极差;算术平均数;中位数;众数.‎ ‎【分析】根据表格中的数据,求出中位数,平均数,众数,极差,即可做出判断.‎ ‎【解答】解:这个人一周内爬楼的层数按从小到大的顺序排列为21,22,22,24,26,31,36,‎ 中位数为24;‎ 平均数为(21+22+22+24+26+31+36)÷7=26;‎ 众数为22;‎ 极差为36-21=15;‎ 所以B、C、D正确,A错误.‎ 故选A.‎ ‎【点评】此题考查了极差,平均数,中位数,众数,熟练掌握各自的求法是解本题的关键.‎ ‎7.(2016•徐州)函数中自变量x的取值范围是( ) ‎ A.2≤x B.2≥x C.2<x D.2≠x ‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件.‎ ‎【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0可知:2-x≥0,解得x的范围.‎ ‎【解答】解:根据题意得:2-x≥0,‎ 解得x≤2.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:‎ ‎(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;‎ ‎(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;‎ ‎(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.‎ ‎8.(2016•徐州)如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是(  )‎ A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或6 ‎ ‎【考点】正方形的性质.‎ ‎【分析】根据题意列方程,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎ ‎ ‎∵若直线AB将它分成面积相等的两部分,‎ ‎∴×(6+9+x)×9-x•(9-x)=×(62+92+x2),‎ 解得x=3,或x=6,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,图形的面积的计算,准确分识别图形是解题的关键.‎ ‎9.(2016•徐州)9的平方根是 _______.‎ ‎【考点】算术平方根;平方根.‎ ‎【分析】根据平方根的定义解答.‎ ‎【解答】解:9的平方根是±3.‎ 故答案为:±3. ‎ ‎【点评】本题考查了平方根的定义,熟记概念是解题的关键. ‎ ‎10.(2016•徐州)某市2016年中考考生约为61500人,该人数用科学记数法表示为 _______.‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】根据科学记数法的表示方法进行解答即可.‎ ‎【解答】解:61500=6.15×104.‎ 故答案为:6.15×104.‎ ‎【点评】本题考查的是科学记数法,熟知把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法是解答此题的关键.‎ ‎11.(2016•徐州)若反比例函数的图像过(3,-2),则奇函数表达式为 ____________.‎ ‎【考点】待定系数法求反比例函数解析式.‎ ‎【分析】先设,再把已知点的坐标代入可求出k值,即得到反比例函数的解析式.‎ ‎【解答】解:设函数解析式为,把点(-2,3)代入函数,得k=-6.‎ 即函数关系式是.‎ 故答案为:.‎ ‎12.(2016•徐州)若二次函数y=x2+2x+m的图像与x轴没有公共点,则m的取值范围是 __________.‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点.‎ ‎【分析】由题意可得二次方程无实根,得出判别式小于0,解不等式即可得到所求范围.‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,‎ ‎∴方程x2+2x+m=0没有实数根,‎ ‎∴判别式△=22-4×1×m<0,‎ 解得:m>1;‎ 故答案为:m>1.‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象与x轴的交点、根的判别式;根据题意得出不等式是解决问题的关键.‎ ‎13.(2016•徐州)如图,△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积比为 _______.‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理.‎ ‎【分析】根据三角形的中位线得出DE=BC,DE∥BC,推出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质得出即可.‎ ‎【解答】解:∵D、E分别为AB、AC的中点,‎ ‎∴DE=BC,DE∥BC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴,‎ 故答案为:1:4.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的性质和判定,三角形的中位线的应用,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.‎ ‎14.(2016•徐州)若等腰三角形的顶角为120°,腰长为2cm,则它的底边长为 _______cm.‎ ‎【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.‎ ‎【分析】作AD⊥BC于点D,可得BC=2BD,RT△ABD中,根据BD=ABcos∠B求得BD,即可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,作AD⊥BC于点D,‎ ‎ ‎ ‎∵∠BAC=120°,AB=AC,‎ ‎∴∠B=30°,‎ 又∵AD⊥BC,‎ ‎∴BC=2BD,‎ ‎∵AB=2cm,‎ ‎∴在RT△ABD中,BD=ABcos∠B=2×(cm),‎ ‎∴BC=cm,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形,熟练掌握等腰三角形的性质:①等腰三角形的两腰相等,②等腰三角形的两个底角相等. ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题关键.‎ ‎15.(2016•徐州)如图,⊙O是△ABC的内切圆,若∠ABC=70°,∠ACB=40°,则∠BOC=° _______.‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心;圆周角定理.‎ ‎【分析】根据三角形内心的性质得到OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,根据角平分线定义得∠OBC=∠ABC=35°,∠OCB=∠ACB=20°,然后根据三角形内角和定理计算∠BOC.‎ ‎【解答】解:∵⊙O是△ABC的内切圆,‎ ‎∴OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,‎ ‎∴∠OBC=∠ABC=35°,∠OCB=∠ACB=20°,‎ ‎∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-35°-20°=125°.‎ 故答案为125.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.‎ ‎16.(2016•徐州)用一个半径为10的半圆,围成一个圆锥的侧面,该圆锥的底面圆的半径为 __________. ‎ ‎【考点】圆锥的计算.‎ ‎【分析】设圆锥的底面圆的半径为r,根据半圆的弧长等于圆锥底面周长,列出方程求解即可.‎ ‎【解答】解:∵半径为10的半圆的弧长为:×2π×10=10π ‎∴围成的圆锥的底面圆的周长为10π 设圆锥的底面圆的半径为r,则 ‎2πr=10π 解得r=5‎ 故答案为:5‎ ‎【点评】本题主要考查了圆锥的计算,需要掌握弧长计算公式以及圆周长计算公式.解答此类试题时注意:锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.‎ ‎17.(2016•徐州)如图,每个图案都由大小相同的正方形组成,按照此规律,第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为 _______.‎ ‎ ‎ ‎【考点】规律型:图形的变化类.‎ ‎【分析】设第n个图案中正方形的总个数为an,根据给定图案写出部分an的值,根据数据的变化找出变换规律“an=n(n+1)”,由此即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设第n个图案中正方形的总个数为an,‎ 观察,发现规律:a1=2,a2=2+4=6,a3=2+4+6=12,…,‎ ‎∴an=2+4+…+2n==n(n+1).‎ 故答案为:n(n+1).‎ ‎【点评】本题考查了规律型中的图形的变化类,解题的关键是找出变换规律“an=n(n+1)”.本题属于基础题,难度不大,根据给定图案写出部分图案中正方形的个数,根据数据的变化找出变化规律是关键.‎ ‎18.(2016•徐州)如图,正方形ABCD的边长为2,点E,F分别在边AD,CD上,若∠EBF=45°,则△EDF的周长等于 _______.‎ ‎【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.‎ ‎【分析】根据正方形的性质得AB=BC,∠BAE=∠C=90°,根据旋转的定义,把把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG,根据旋转的性质得BG=AB,CG=AE,∠GBE=90°,∠BAE=∠C=90°,∠ABG=∠B=90°,于是可判断点G在CB的延长线上,接着利用“SAS”证明△FBG≌△EBF,得到EF=CF+AE,然后利用三角形周长的定义得到答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴AB=BC,∠BAE=∠C=90°,‎ ‎∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG,如图,‎ ‎∴BG=AB,CG=AE,∠GBE=90°,∠BAE=∠C=90°,‎ ‎∴点G在DC的延长线上,‎ ‎∵∠EBF=45°,‎ ‎∴∠FBG=∠EBG-∠EBF=45°,‎ ‎∴∠FBG=∠FBE,‎ 在△FBG和△EBF中,‎ ‎ BF=BF ‎ ‎ ∠FBG=∠FBE ,‎ ‎ BG=BE ‎ ‎∴△FBG≌△EBF(SAS),‎ ‎∴FG=EF,‎ 而FG=FC+CG=CF+AE,‎ ‎∴EF=CF+AE,‎ ‎∴△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=2+2=4‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质.‎ 三、解答题(本大题共有10个小题,共86分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(2016•徐州)(本题10分)计算 ‎ (1)(-1)2016+π0-()-1 +.‎ ‎ (2) .‎ ‎【解答】解:(1)原式=1+1-3+2=1.‎ ‎ (2)原式=.‎ ‎20.(2016•徐州)(本题10分) ‎ ‎ (1)解方程:.‎ ‎ (2)解方程组: 2x>1-x .‎ ‎ 4x+2<x+4‎ ‎【解答】解:‎ ‎ (1)去分母,得x-3+x-2=-3‎ ‎ 整理,得:2x=2.‎ ‎ ∴x=1.‎ ‎ (2) 2x>1-x ①‎ ‎ 4x+2<x+4 ②‎ ‎ 解不等式①,得x>,‎ ‎ 解不等式②,得x<,‎ ‎ ∴不等式组的解集是<x<.‎ ‎21.(2016•徐州)某校随机抽取部分学生,就“学习习惯”进行调查,将“对自己做错题的题目进行整理、分析、改正”(选项为:很少、有时、常常、总是)的调查数据进行了整理、绘制成部分统计图如下:‎ 各选项选择人数的扇形统计图各选项选择人数的条形统计图 ‎ ‎ ‎ 请根据图中信息,解答下列问题: ‎ ‎(1)该调查的样本容量为________,a=________%,b=________%,“常常”对应扇形的圆心角为__________; ‎ ‎(2)请你补全条形统计图; ‎ ‎(3)若该校有3200名学生,请你估计其中“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有多少名? ‎ ‎【考点】条形统计图;总体、个体、样本、样本容量;用样本估计总体;扇形统计图.‎ ‎【专题】推理填空题.‎ ‎【分析】(1)首先用“有时”对错题进行整理、分析、改正的学生的人数除以22%,求出该调查的样本容量为多少;然后分别用很少、总是“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数除以样本容量,求出a、b的值各是多少;最后根据“常常”对应的人数的百分比是30%,求出“常常”对应扇形的圆心角为多少即可.‎ ‎(2)求出常常“对自己做错的题目进行整理、分析、改正”的人数,补全条形统计图即可.‎ ‎(3)用该校学生的人数乘“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生占的百分率即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵44÷22%=200(名)‎ ‎∴该调查的样本容量为200;‎ ‎ a=24÷200=12%,‎ ‎ b=72÷200=36%,‎ ‎“常常”对应扇形的圆心角为:360°×30%=108°.‎ ‎(2)200×30%=60(名)‎ ‎ ‎ ‎(3)∵3200×36%=1152(名)‎ ‎∴“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生有1152名.‎ 故答案为:200、12、36、108.‎ ‎【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.‎ ‎22.(2016•徐州)某乳品公司最近推出一款果味酸奶,共有红枣、木瓜两种口味,若送奶员连续三天,每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝,则该住户收到的三瓶酸奶中,至少有两瓶为红枣口味的概率是多少?‎ ‎(请用“画树状图”的方法给出分析过程,并求出结果)‎ ‎【考点】列表法与树状图法.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】画树状图展示所有8种等可能的结果数,再找出至少有两瓶为红枣口味的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:画树状图为:‎ ‎ ‎ 共有8种等可能的结果数,其中至少有两瓶为红枣口味的结果数为4,‎ 所以该住户收到的三瓶酸奶中,至少有两瓶为红枣口味的概率=.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.‎ ‎23.(2016•徐州)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,△ACD是等边三角形,E是AC的中点,连接BE并延长,交DC于点F,求证:‎ ‎(1)△ABE≌△CFE;‎ ‎(2)四边形ABFD是平行四边形.‎ ‎【考点】平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.‎ ‎【专题】证明题.‎ ‎【分析】(1)根据等边三角形的性质得到∠DCA=60°等量代换得到∠DCA=∠BAC,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;‎ ‎ (2)根据已知条件得到△ABE是等边三角形,推出△CEF是等边三角形,证得∠CFE=∠CDA,求得BF∥AD,即可得到结论;‎ ‎【解答】证明:(1)∵△ACD是等边三角形,‎ ‎∴∠DCA=60°,‎ ‎∵∠BAC=60°,‎ ‎∴∠DCA=∠BAC,‎ 在△ABE与△CFE中,‎ ‎ ∠DCA=∠BAC ‎ ‎ AE=CE ,‎ ‎ ∠BEA=∠FEC ‎ ‎∴△ABE≌△CFE;‎ ‎(2)∵E是AC的中点,‎ ‎∴BE=EA,‎ ‎∵∠BAE=60°,‎ ‎∴△ABE是等边三角形,‎ ‎∴△CEF是等边三角形,‎ ‎∴∠CFE=60°,‎ ‎∵△ACD是等边三角形,‎ ‎∴∠CDA=∠DCA=60°,‎ ‎∴∠CFE=∠CDA,‎ ‎∴BF∥AD,‎ ‎∵∠DCA=∠BAC=60°,‎ ‎∴AB∥DC,‎ ‎∴四边形ABFD是平行四边形.‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,熟练熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.‎ ‎24.(2016•徐州)小丽购买学习用品的收据如表,因污损导致部分数据无法识别,根据下表,解决下列问题:‎ ‎(1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支?‎ ‎(2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具,共花费15元,则有哪几种不同的购买方案?‎ 商品名 单价(元)‎ 数量(个)‎ 金额(元)‎ 签字笔 ‎3‎ ‎2‎ ‎6‎ 自动铅笔 ‎1.5‎ ‎●‎ ‎●‎ 记号笔 ‎4‎ ‎●‎ ‎●‎ 软皮笔记本 ‎●‎ ‎2‎ ‎9‎ 圆规 ‎3.5‎ ‎1‎ ‎●‎ 合计 ‎8‎ ‎28‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用;二元一次方程的应用.‎ ‎【分析】(1)利用总的购买数量为8,进而得出等式,再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案;‎ ‎ (2)根据题意设小丽购买软皮笔记本m本,自动铅笔n支,根据共花费15元得出等式m+1.5n=15,进而得出二元一次方程的解.‎ ‎【解答】解:(1)设小丽购买自动铅笔x支,记号笔y支,根据题意可得:‎ ‎ x+y=8−(2+2+1) ,‎ ‎ 1.5x+4y=28−(6+9+3.5) ‎ 解得: x=1 ,‎ ‎ y=2 ‎ 答:小丽购买自动铅笔1支,记号笔2支;‎ ‎(2)设小丽购买软皮笔记本m本,自动铅笔n支,根据题意可得:m+1.5n=15,‎ ‎∵m,n为正整数,‎ ‎∴ m=1 或 m=2 或 m=3 ,‎ ‎ n=7 n=4 n=1 ‎ 答:共3种方案:1本软皮笔记本与7支记号笔;‎ ‎2本软皮笔记本与4支记号笔;3本软皮笔记本与1支记号笔.‎ ‎【点评】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用,根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键.‎ ‎25.(2016•徐州)如图,为了测出旗杆AB的高度,在旗杆前的平地上选择一点C,测得旗杆顶部A的仰角为45°,在C、B之间选择一点D(C、D、B三点共线),测得旗杆顶部A的仰角为75°,且CD=8m ‎(1)求点D到CA的距离;‎ ‎(2)求旗杆AB的高.‎ ‎(注:结果保留根号)‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎【分析】(1)作DE⊥AC于点E,根据sinC=即可得DE;‎ ‎ (2)由∠C=45°可得CE,由tan∠EAD=可得AE,即可得AC的长,再在Rt△ABC中,根据sinC=即可得AB的长.‎ ‎【解答】解:(1)如图,作DE⊥AC于点E,‎ ‎ ‎ 再Rt△CDE中,sinC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DE=4,‎ 答:点D到CA的距离为4;‎ ‎(2)在Rt△CDE中,∠C=45°,‎ ‎∴△CDE为等腰直角三角形,‎ ‎∴CE=DE=4,‎ ‎∵∠ADB=75°,∠C=45°,‎ ‎∴∠EAD=∠ADB-∠C=30°,‎ ‎∴在Rt△ADE中,tan∠EAD=,‎ ‎∴,‎ ‎∴AE=4,‎ ‎∴AC=AE+CE=,‎ 在Rt△ABC中,sinC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴AB=4+4,‎ 答:旗杆AB的高为(4+4)m.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形,用到的知识点是仰角的定义、特殊角的三角函数值,要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.‎ ‎26.(2016•徐州)某宾馆拥有客房100间,经营中发现:每天入住的客房数y(间)与其价格x(元)(180≤x≤300)满足一次函数关系,部分对应值如表:‎ x(元)‎ ‎180‎ ‎260‎ ‎280‎ ‎300‎ y(间)‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎(1)求y与x之间的函数表达式;‎ ‎(2)已知每间入住的客房,宾馆每日需支出各种费用100元;每日空置的客房需支出各种费用60元,当房价为多少元时,宾馆当日利润最大?求出最大值.(宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出)‎ ‎【考点】二次函数的应用.‎ ‎【分析】(1)设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),由点的坐标(180,100)、(260,60)利用待定系数法即可求出该一次函数表达式;‎ ‎(2)设房价为x元(180≤x≤300)时,宾馆当日利润为w元,依据“宾馆当日利润=当日房费收入-当日支出”即可得出w关于x的二次函数关式,根据二次函数的性质即可解决最值问题.‎ ‎【解答】解:(1)设一次函数表达式为y=kx+b(k≠0),依题意得:‎ ‎ 180k+b=100 ,‎ ‎ 260k+b=60 ‎ 解得: k=.‎ ‎ b=190 ‎ ‎∴y与x之间的函数表达式为y=x+190(180≤x≤300).‎ ‎(2)设房价为x元(180≤x≤300)时,宾馆当日利润为w元,依题意得:‎ w=(x+190)(x-100)-60×[100-(x+190)]=x2+210x-13600=(x-210)2+8450,‎ ‎∴当x=210时,w取最大值,最大值为8450.‎ 答:当房价为210元时,宾馆当日利润最大,最大利润为8450元.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质,解题的关键是:(1)利用待定系数法求出函数解析式;(2)根据数量关系找出w关于x的函数关系式.本题属于中档题,难度不大,但运算数据较大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.‎ ‎27.(2016•徐州)如图,将边长为6的正方形纸片ABCD对折,使AB与DC重合,折痕为EF,展平后,再将点B折到边CD上,使边AB经过点E,折痕为GH,点B的对应点为M,点A的对应点为N.‎ ‎(1)若CM=x,则CH= _______(用含x的代数式表示);‎ ‎(2)求折痕GH的长.‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题);正方形的性质.‎ ‎【分析】(1)利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长即可;‎ ‎(2)首先得出△EDM∽△MCH,进而求出MC的长,再利用△NEG∽△DEM,求出NG的长,再利用勾股定理得出GH的长.‎ ‎【解答】解:(1)∵CM=x,BC=6,‎ ‎∴设HC=y,则BH=HM=6-y,‎ 故y2+x2=(6-y)2,‎ 整理得:,‎ 故答案为:;‎ ‎(2)∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠B=∠C=∠D=90°,‎ 设CM=x,由题意可得:ED=3,DM=6-x,∠EMH=∠B=90°,‎ 故∠HMC+∠EMD=90°,‎ ‎∵∠HMC+∠MHC=90°,∴∠EMD=∠MHC,‎ ‎∴△EDM∽△MCH,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得:x1=2,x2=6(不合题意舍去),‎ ‎∴CM=2,‎ ‎∴DM=4,‎ ‎∴在Rt△DEM中,由勾股定理得:EM=5,‎ ‎∴NE=MN-EM=6-5=1,‎ ‎∵∠NEG=∠DEM,∠N=∠D,‎ ‎∴△NEG∽△DEM,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 解得:NG=,‎ 由翻折变换的性质,得AG=NG=,‎ 过点G作GP⊥BC,垂足为P,‎ 则BP=AG=,GP=AB=6,‎ 当x=2时,CH=,‎ ‎∴PH=BC-HC-BP=6-,‎ 在Rt△GPH中,.‎ ‎ ‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理,正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键.‎ ‎28.(2016•徐州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D ‎(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;‎ ‎(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为;‎ ‎(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点 ‎①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有个;‎ ‎②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.‎ ‎【考点】二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法转化为解方程组解决问题.‎ ‎(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此时PB+PD最小.最小值就是线段DH,求出DH即可.‎ ‎(3)①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M,由此即可解决问题.‎ ‎②作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意,求出F、G的坐标即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)由题意 ‎ a−b+c=0 ‎ ‎ c=- ‎ ‎ 4a+2b+c=0 ‎ ‎ a= ‎ ‎ 解得 b=‎ ‎ c=-,‎ ‎∴抛物线解析式为,‎ ‎∵,‎ ‎∴顶点坐标(,).‎ ‎(2)如图1中,连接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,‎ 此时PB+PD最小.‎ 理由:∵OA=1,OB=,‎ ‎∴tan∠ABO=,‎ ‎∴∠ABO=30°,‎ ‎∴PH=PB,‎ ‎∴PB+OD=PH+PD=DH,‎ ‎∴此时PB+PD最短(垂线段最短).‎ 在RT△ADH中,∵∠AHD=90°,AD=,∠HAD=60°,‎ ‎∴sin60°=,‎ ‎∴DH=,‎ ‎∴PB+PD的最小值为.‎ 故答案为.‎ ‎ ‎ ‎(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,‎ 以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,‎ 线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,‎ 所以满足条件的点M有5个,即满足条件的点N也有5个,‎ 故答案为5.‎ ‎②如图,RT△AOB中,∵tan∠ABO=,‎ ‎∴∠ABO=30°,‎ 作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则∠AEB=120°,‎ 以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、G.‎ 则∠AFB=∠AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意,‎ ‎∵EB=,‎ ‎∴OE=OB-EB=,‎ ‎∵F(,t),EF2=EB2,‎ ‎∴,‎ 解得t=或,‎ 故F(,),G(,),‎ ‎∴t的取值范围≤t≤.‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识,解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式,学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题,学会添加辅助线,构造圆解决角度问题,属于中考压轴题.‎
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