中考数学专题复习——动态型问题

中考数学专题复习——动态型问题

动态型问题 知识点一: 动点问题 例1 （2009·遂宁市）如图，已知矩形ABCD中，AB=‎4cm，AD=‎10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.‎ ‎⑴求证：EF+GH=‎5cm；‎ ‎⑵求当∠APD=90o时，的值．‎ 解析：⑴∵矩形ABCD，AD=‎10cm，‎ ‎∴BC=AD=‎‎10cm ‎∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DO的中点，‎ ‎∴EF+GH=BP+PC=BC，‎ ‎∴EF+GH=‎5cm．‎ ‎⑵∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90o，又∵∠APD=90o，‎ ‎∴由勾股定理得AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+(BC-BP)2+2AB2=BP2+(10-BP)2+32,‎ 即100=2BP2-20BP+100+32‎ 解得BP=2或8(cm)‎ 当BP=2时,PC=8,EF=1,GH=4,这时 当BP=8时,PC=2,EF=4,GH=1,这时 ‎∴的值为或4．‎ 知识点二 动线问题 例2 （2009·东营市） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=‎2米，BC=‎1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．‎ ‎（1）当MN和AB之间的距离为‎0.5米时，求此时△EMN的面积；‎ ‎（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；‎ ‎（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．‎ E A B G N D M C 解析：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为‎0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为‎0.5米.‎ 所以，S△EMN==0.5（平方米）.‎ 即△EMN的面积为‎0.5平方米. …………2分 ‎（2）‎ E E A B G N D M C 图2‎ H F ‎ N EBB G D M A B C ‎ 图1‎ 图2‎ ‎①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，‎ 即0＜x≤1时，‎ ‎△EMN的面积S==；‎ ‎②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，‎ 即1＜x＜时，‎ 如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，‎ ‎∵ E为AB中点，‎ ‎∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝.‎ 又∵ MN∥CD，‎ ‎∴ △MNG∽△DCG．‎ ‎∴ ，即．‎ 故△EMN的面积S＝‎ ‎＝；‎ 综合可得：‎ ‎（3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有；‎ ‎②当MN在三角形区域滑动时，S=.‎ 因而，当（米）时,S得到最大值，‎ 最大值S===（平方米）.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ S有最大值，最大值为平方米.‎ ‎ ‎ 知识点三 动形问题 例3 （2009·台州市）如图，已知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形，过点的抛物线与直线另一个交点为．‎ ‎（1）请直接写出点的坐标；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停止．设正方形落在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；‎ ‎（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积．‎ 备用图 解析：（1）由题意，得：；‎ ‎（2）设抛物线为，抛物线过，‎ 解得 ‎ ‎∴．‎ ‎（3）①当点A运动到点F时，当时，如图1，‎ 图1‎ ‎∵， ‎ ‎∴∴‎ ‎∴； ‎ ‎②当点运动到轴上时，，当时，如图2，‎ 图2‎ ‎∴∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴ ；‎ ‎③当点运动到轴上时，，当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∽‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ =． ‎ ‎（解法不同的按踩分点给分）‎ ‎（4）∵,,‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=． ‎ 图4‎ ‎ ‎ 随堂检测：‎ ‎1. （2009·甘肃省兰州市）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎2. （2009·内蒙古省包头市）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以‎3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？‎ A Q C D B P ‎3. （2009·湖南省娄底市）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3‎ ‎（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积. ‎（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）. 探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由. 探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系. ‎4. （2009·广东中山）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求的值．‎ ‎5. （2009·河北省）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ ‎（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．‎ A C P Q E D 随堂检测答案 ‎1. 【解析】第（1）小题考查一次函数图象，直接读图即可；第（2）小题考查勾股定理和全等三角形的知识，利用图形的性质求点C的坐标；第（3）小题考查二次函数的最值问题，要先建立变量△OPQ的面积与变量t的函数关系式；第（4）小题考分类思想。‎ ‎【答案】解：（1）（1，0）， 点P运动速度每秒钟1个单位长度．‎ ‎（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 在Rt△AFB中，‎ ‎ 过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH． ‎ ‎ ∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴所求C点的坐标为（14，12）．‎ ‎（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，‎ 则△APM∽△ABF．‎ ‎ ∴． ． ‎ ‎ ∴． ∴．‎ 设△OPQ的面积为（平方单位）‎ ‎∴（0≤≤10） ‎ ‎∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大．‎ ‎ 此时P的坐标为（，） ．‎ ‎（4） 当 或时， OP与PQ相等．‎ ‎2. 【解析】第（1）小问考查△BPD和△CQP全等的判定，根据“SAS”可以判定；第（2）小问可以根据△BPD和△CQP全等，确定BP的长,易求出点Q的运动速度；第（3）小问可以根据题意列出方程求解。‎ ‎【答案】 解：（1）①∵秒，‎ ‎∴厘米，‎ ‎∵厘米，点为的中点，‎ ‎∴厘米．‎ 又∵厘米，‎ ‎∴厘米，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ‎ ‎②∵， ∴，‎ 又∵，，则，‎ ‎∴点，点运动的时间秒，‎ ‎∴厘米/秒．‎ ‎（2）设经过秒后点与点第一次相遇，‎ 由题意，得，‎ 解得秒．‎ ‎∴点共运动了厘米．‎ ‎∵，‎ ‎∴点、点在边上相遇，‎ ‎∴经过秒点与点第一次在边上相遇． ‎ ‎3.【解析】根据相似三角形的性质易求△AHG的面积；解（2）探究1，要利用“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形”，得出CD=CH=2。解探究2，要动中找静，分别画出各种类型情况下的图形，再综合利用相似性、梯形和三角形面积公式、方程等知识。‎ ‎【答案】（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6 ‎∴AH=AC=×6=4 又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB ‎∴=，即=，∴HG= ‎∴S△AHG=AH·HG=×4×= ‎（2）①能为正方形 ‎∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形 又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形 又CH=AC-AH=6-4=2 ‎∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形 此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形 ‎②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB ‎∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合. 当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积. 过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=== ‎∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-= ‎∴直角梯形DEFH′的面积为（4+）×2= ‎∴y= ‎（Ⅱ）∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积. 而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=‎ S矩形CDH′H=2t ‎∴y=-2t ‎（Ⅲ）当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P. BD=8-t 又=tan∠ABC= ‎∴PD=DB=（8-t） ‎ ‎∴重叠部分的面积y=S△PDB=PD·DB ‎=·（8-t）（8-t） ‎=（8-t）2=t2-6t+24 ‎∴重叠部分面积y与t的函数关系式： y=（0≤t≤4） ‎-2t（4＜t≤5） t2-6t+24（5＜t≤8）‎ ‎【点评】本题属于运动变化型问题。关键在于抓住图形变化过程中的不变量，以不变应万变。‎ ‎4. 【解析】第(1)小题关键是证明；第（2）小题是利用相似三角形对应边成比例和梯形面积公式建立二次函数模型；第（3）小题探究成立的条件，须用到（1）的结论。‎ ‎【答案】（1）在正方形中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10．‎ ‎（3），‎ 要使，必须有，‎ 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形、二次函数的最值，三个问题环环相扣，综合性强。‎ ‎5. 【解析】第（1）小题利用相似三角形的性质求点Q到AC的距离；第（2）小题利用三角形面积公式和相似三角形的性质列出关于变量S与t的函数关系式；第（3）小题可先假设能成为直角梯形，然后分情况，从直角梯形的特征出发列方程求解；第（3）小题先画出DE经过点C 的示意图，再利用线段垂直平分线的性质。‎ A C ‎)‎ B P Q D B 图3‎ E ‎)‎ F 解：（1）1，； ‎ ‎（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．‎ 由△AQF∽△ABC，， ‎ 得．∴． ‎ A C B P Q E D 图4‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（3）能．‎ ‎ ①当DE∥QB时，如图4．‎ ‎ ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．‎ ‎ 此时∠AQP=90°．‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G 由△APQ ∽△ABC，得，‎ 即． 解得． ‎ ‎②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．‎ 此时∠APQ =90°．‎ 由△AQP ∽△ABC，得 ，‎ 即． 解得． ‎ ‎（4）或．‎ ‎【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．‎ 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．‎ ‎，．‎ 由，得，解得．‎ 方法二、由，得，进而可得 ‎，得，∴．∴． ‎ ‎②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．‎ ‎，】‎