专题6方案设计——陟乃赋老师中考二轮精品资料

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专题六：方案设计型 一、考点综述 方案设计问题的基本类型： (1)类型一：提供讨论材料，进行合理猜想.此类问题一般设置一段讨论的材料,让考生 进行科学合理的判断、推理、证明. (2)类型二：画图设计，动手操作。此类问题一般给出图形和若干条信息，让考生按要 求对图形进行分割或设计美观的图案 (3)类型三：设计方案，比较择优。此类问题一般给出问题情景，提出要求，让考生寻 找最佳的解题方案，设计出合理的方案。 二、例题精析 ㈠应用方程（组）不等式（组）解决方案设计型 例 1．（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买 方案？请你一一写出． 解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用．，以两人的用的 总钱数为等量关系，可以列出方程组．第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和钢笔与 笔记本的数量关系列出不等式组． 解：（1)设每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元，依题意得： 解得： 所以，每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元 (2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48－a)本 依题意得： ，解得： ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，（或不 等关系）列出相应的方程（或不等式组）． 同步检测: 1 (2009·安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买 门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：    =+ =+ 3152 183 yx yx    = = 5 3 y x    ≥− ≤−+ aa aa 48 200)48(53 2420 ≤≤ a （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省 钱？ 说明理由． 2.（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商 店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔 和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支 和笔记本 5 本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买 方案？请你一一写出． 练习参考答案： 1. 解：（1）设成人人数为 x 人，则学生人数为(12-x)人． 则 35x + （12 –x）= 350 解得：x = 8 故：学生人数为 12 – 8 = 4 人, 成人人数为 8 人． （2）如果买团体票，按 16 人计算，共需费用：35×0．6×16 = 336 元 336﹤350 所以，购团体票更省钱．所以，有成人 8 人，学生 4 人；购团体票更省钱． 2. 解：（1)设每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元，依题意得： 解得： 所以，每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元 (2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48－a)本 依题意得： ，解得： ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 二、应用函数设计方案问题： 例 2．（2009·安徽）（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义． 2 35    =+ =+ 3152 183 yx yx    = = 5 3 y x    ≥− ≤−+ aa aa 48 200)48(53 2420 ≤≤ a （2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下图的 坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该 种水果． （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示， 该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货 和销售的方案，使得当日获得的利润最大． 解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析 题意，根据：销售利润 =日最高销售量 ×每千克的利润（每千克的利润＝零售价－批发 价），由此整理可得到 关于 的二次函数， 解：（１）图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果，可按 5 元/kg 批发；图② 表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发． （2）由题意得： ，函数图象略． 由图可知资金金额满足 240＜w≤300 时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果． （3）设日最高销售量为 xkg（x＞60） 则由图②日零售价 p 满足： ，于是 销售利润 ,当 x＝80 时， ，此时 p＝6 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元 点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应 用． 同步检测: 3：（2009·四川省南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式： 方式 A 以每分钟 0.1 元的价格按上网时间计费；方式 B 除收月基费 20 元外，再以每分钟 0.06 元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有 分钟，上网费用 为 元． （1）分别写出顾客甲按 A、B 两种方式计费的上网费 元与上网时间 分钟之间的函数关系 式，并在图 7 的坐标系中作出这两个函数的图象； （2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？ y x y x 20 60 60 5 4 m m w m m =   ≤ ≤（ ） ）＞（ 320 40x p= − 320 40 xp −= 2320 1( 4) ( 80) 16040 40 xy x x −= − = − − + 160y =最大值 x y y x 10 10 0 y/元 O x/分 20 50 50 0 P 方 式 A 方 式 B 练习参考答案： 练习 3。（1）方式A： ， 方式 B： ，两个函数的图象如图所示． （2）解方程组 得 所以两图象交于点 P（500，50）． 由图象可知：当一个月内上网时间少于 500 分时，选择方式 A 省钱；当一个月内上网时间等 于 500 分时，选择方式 A、方式 B 一样；当一个月内上网时间多于 500 分时，选择方式 B 省 钱． 三、 设计图形剪拼方案 例 3．（2009·浙江省温州市）在所给的 9×9 方格中，每个小正方形的边长都是 1．按要求 画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上． (1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形， 使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 解析：本题为图案设计题，在设计前一定要注意到要求,除了要满足所画平行四边形，使它 的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外，还要满足平行四边形的周长是否为整数的 要求． 点评：本题考查的是设计图形题，在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一 般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决. 1 0 1 0 0 y/ 元 O 图 7 x/ 分 0.1 ( 0)y x x= ≥ 0.06 20( 0)y x x= + ≥ 0.1 0.06 20 y x y x =  = + 500 50 x y =  = 同步检测: 4。 (2009·河南）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学 生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的 图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、 图⑤中画出三种不同的的设计图案． 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能 算一种． 练习参考答案： 解：下面给出参考方案： 四、 设计测量方案（解直角三角形应用） 例 4．（2009·济宁）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元 1112 年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一 个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮 尺．小镜子． （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高． 图 1 为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平 地上选择一点 ，用测角仪测出看塔顶 的仰角 ，在 点和塔之间选择一点 ， 测出看塔顶 的仰角 ，然后用皮尺量出 ． 两点的距离为 m,自身的高度 为 m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（ ，结果保留整数）． A ( )M 35α =  A B ( )M 45β =  A B 18.6 1.6 tan35 0.7≈ ① ② ③ ④ ⑤ A BC D （2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影 的长为 m（如图 2）, 你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： ①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ． 解析：本题以解直角三角形为依托，通过设计实际的测量活动，使学生能够灵活的应用所学 知识，解决实际生活的问题，第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测量方 案，但是要注意提供的工具和数据的选择使用． 解：（1）设 的延长线交 于 点， 长为 ，则 ． ∵ ,∴ ．∴ ． ∵ ,∴ ,解得 ． ∴太子灵踪塔 的高度为 ． (2) ①测角仪．皮尺； ② 站在 P 点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一) 点评：本类试题关键在于画出直角三角形，再分析角边关系，选择合适的三角函数求解，另 外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性，还经常与相似三角形结合． 同步检测: 5。（2009·四川省成都市）某中学九年级学生在学习 “直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度 的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图， 他们先在点 C 测得教学楼 AB 的顶点 A 的仰角为 30°， 然后向教学楼前进 60 米到达点 D，又测得点 A 的仰 角为 45°.请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值) 练习参考答案： NP a CD MN E MN xm ( 1.6)ME x m= − 045β = 1.6DE ME x= = − 1.6 18.6 17CE x x= − + = + 0tan tan35ME CE α= = 1.6 0.717 x x − =+ 45x m= ( )MN 45m 解：（1）设 的延长线交 于 点， 长为 ，则 ． ∵ ,∴ ．∴ ． ∵ ,∴ ,解得 ． ∴太子灵踪塔 的高度为 ． (2) ①测角仪．皮尺； ② 站在 P 点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一) 练习 6.如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45° ∴在 Rt△ABD 中，BD=AB. 又在 Rt△ABC 中，tan30°= ，∴ = ，即 BC= AB. ∵BC=CD＋BD，∴ AB=CD＋AB，即（ －1）AB=60. ∴AB= =30（ ＋1）（米） 答：教学楼的高度为 30（ ＋1）米. 五、设计游戏方案（概率应用） 例 5.(2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了 4 个相同的扇形，分别标有数 1、 2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数 0、1、3 的三个小球（除数不 同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的 幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积． （1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为 0 的概率； （2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认 为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平． 解析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不 相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来． 解：列树形图如下： CD MN E MN xm ( 1.6)ME x m= − 045β = 1.6DE ME x= = − 1.6 18.6 17CE x x= − + = + 0tan tan35ME CE α= = 1.6 0.717 x x − =+ 45x m= ( )MN 45m BC AB BC AB 3 3 3 3 3 13 60 − 3 3 由树形图可见共有 12 种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分 别为 ， ，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可 以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢． 点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，游戏公平性方案设计，其关键是保证游戏 双方获胜的概率相同． 同步检测: (2009·广东省梅州市）“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A、B、C 三地旅游，公司 购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题： （1）前往 A 地的车票有_____张，前往 C 地的车票占全部车票的________%； （2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下， 每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______； （3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数 字 1，2，3，4 的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷 得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表 法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 练习参考答案： （1）30；20．（2） ． （3）可能出现的所有结果列表如下： 1 2 3 4 A B C 地点 车票(张) 50 40 30 20 10 0 1 2 小李抛到 的数字 小张抛到 的数字 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 或画树状图如下： 共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有 6 种： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）， ∴P（小张获得车票）＝ ＝ ；则 P（小李获得车票）1－ ＝ ． ∴这个规则对小张、小李双方不公平． 综 合 训 练 1．（2009·齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ） A．4 种 B．3 种 C．2 种 D．1 种 2．（2009·襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 、 两类薄弱学校全部进 行改造．根据预算，共需资金 1575 万元．改造一所 类学校和两所 类学校共需资金 230 万元；改造两所 类学校和一所 类学校共需资金 205 万元． （1）改造一所 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的 类学校不超过 5 所，则 类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县 、 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财 政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不 少于 70 万元，其中地方财政投入到 、 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万 元．请你通过计算求出有几种改造方案？ 3．（2009·天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以 依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填 A B A B A B A B A B A B A B 6 16 3 8 3 8 5 8 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 开始 小张 小李 空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 如图①，要设计一幅宽 20cm，长 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的 宽度比为 2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每 个彩条的宽度？ 分析：由横、竖彩条的宽度比为 2∶3，可设每个横彩条的宽为 ，则每个竖彩条的宽为 ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情 况，得到矩形 ． 结合以上分析完成填空：如图②，用含 的代数式表示： =____________________________cm； =____________________________cm； 矩形 的面积为_____________cm ； 列出方程并完成本题解答． 4．（2009·烟台）某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台，为 了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱 的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台． （1）假设每台冰箱降价 x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的 函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应 降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 5．(2009·达州)（6 分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度， 他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等． 首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含 30 角）来测量”．于是大家一起动手，测得小 2x 3x ABCD x AB AD ABCD 2 ° 20cm 20cm 30cm D C A B 图②图① 30cm 明与旗杆的距离 AC 为 15㎝，小明的眼睛与地面的距离为 1．6㎝，如图 9（甲）所示． 然后，小红和小强提出了自己的想法． 小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度．” 小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！” 根据以上情景，解答下列问题： （1）利用图 9（甲），请你帮助小明求出旗杆 AB 的高度（结果保留整数．参考数据： ， ， ， ）； （2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中方案在图（乙）中画出 测量示意图，并简述测量步骤． 6．(2009·漳州)小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏，他们两人同时各掷一枚壹元硬币． （1）若游戏规则为：当两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢，否则小刚赢．请用画树状 图或列表的方法，求小刚赢的概率； （2）小红认为上面的游戏规则不公平，于是把规则改为：当两枚硬币正面都朝上时，小红 得 8 分，否则小刚得 4 分．那么，修改后的游戏规则公平吗？请说明理由；若不公平，请你 帮他们再修改游戏规则，使游戏规则公平（不必说明理由）． 综合训练 参考答案： 1．C 2．解：（1）设改造一所 类学校和一所 类学校所需的改造资金分别为 万元和 万 元．依题意得： 解之得 5.030sin =° 87.030cos ≈° 58.030tan ≈° 73.130cot ≈° A B a b 2 230 2 205 a b a b + =  + = 60 85 a b =  = 答：改造一所 类学校和一所 类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元． （2）设该县有 、 两类学校分别为 所和 所．则 ∵ 类学校不超过 5 所 ∴ ∴ 即： 类学校至少有 15 所． （3）设今年改造 类学校 所，则改造 类学校为 所，依题意得： 解之得 ∵ 取整数 ∴ 即：共有 4 种方案． 3．解（Ⅰ） ； （Ⅱ）根据题意，得 ． 整理，得 ． 解方程，得 （不合题意，舍去）． 则 ． 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm， cm． 4． 解：（1）根据题意，得 ， 即 ． （2）由题意，得 ． 整理，得 ．解这个方程，得 ． 要使百姓得到实惠，取 ．所以，每台冰箱应降价 200 元． A B A B m n 60 85 1575m n+ = 17 315 12 12m n= − + A 17 315 512 15n− + ≤ 15n≥ B A x B ( )6 x− ( ) ( ) 50 70 6 400 10 15 6 70 x x x x + − + − ≤ ≥ 1 4x≤ ≤ x 1 2 3 4x = ，，， 220 6 30 4 24 260 600x x x x− − − +， ， 2 124 260 600 1 20 303x x  − + = − × ×   26 65 50 0x x− + = 1 2 5 106x x= =， 5 52 33 2x x= =， 5 3 5 2 (2400 2000 ) 8 4 50 xy x  = − − + ×   22 24 320025y x x= − + + 22 24 3200 480025 x x− + + = 2 300 20000 0x x− + = 1 2100 200x x= =， 200x = （3）对于 ， 当 时， ． 所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元． 5．（1）过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， 在 Rt△BDE 中，DE=AC=15m，∠BDE=30° ∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m) ∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m （2）小红和小强提出的方案都是可行的 小红的方案： 利用皮尺和标杆： （1）测量旗杆的影长 AG （2）测量标杆 EF 的长度 （3）测量同一时刻标杆影长 FH 小强的方案： 把小平面镜放在适当的位置（如图点 P 处），使得小强可以在镜中看到旗杆 AB 的顶端 步骤： （1）测出 AP 的长度 （2）测出 NP 的长度 （3）测出小强眼睛离地面的高度 MN 6． 解：由树形图可见共有 4 种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小红与小刚的获胜 概率分别为 ，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等 或者得分相同，我们可以修改为：两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢；若两枚硬币落地 后都反面朝上时，小刚赢，（或者当两枚硬币正面都朝 上时，小红得 3 分，否则小刚得 1 分） 22 24 320025y x x= − + + 24 15022 25 x = − = × −   150(2400 2000 150) 8 4 250 20 500050y  = − − + × = × =  最大值