中考复习专题新定义阅读理解问题

中考复习专题新定义阅读理解问题

‎2016年中考复习专题（新定义阅读理解问题）‎ 新定义学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自学能力，便于学生养成良好的学习习惯。‎ 解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”； 归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。‎ 一、基础练习部分 ‎★例1:【2014——2015海淀期末】对于正整数n，定义，其中f(n)表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F(6)=62=36，F(123)=f(123)=12+32=10．‎ 规定F1(n)=F(n)，Fk+1(n)=F(FK(n))（K为正整数）．例如：F1(123)=F(123)=10，F2(123)=F(F1(123))=F(10)=1．‎ （1） 求：F2(4)=，F2015(4)=；‎ ‎（2）若F3m(4)=89，则正整数m的最小值是．答案：（1）37，26；（2）6.‎ 练习①：【2013通州一模】定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使得为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取，则： ……，若，则第2次“F运算”的结果是　　　　；若，则第2013次“F运算”的结果是　　　　.　　　　答案：1，4‎ 练习②：【2014门头沟二模】我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1 (即方程x2=-1有一个根为i)，并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3= i2·i=(-1)（-1）·i=-i, i4=( i2)2=(-1) 2=1，从而对任意正整数n，则i6=______________;‎ 由于i4n+1=i4n﹒i=(i4)n﹒i=i,同理可得i4n+2=﹣1, i4n+3=﹣i , i4n=1那么i + i2+ i3+ i4+…+ i2012+ i2013的值为_____ 答案:-1，i ‎★例2：【2009宣武一模】任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数，且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成1×18、2×9或3×6，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：（1）；（2）；（3）；（4）若n是一个完全平方数，则F(n)=1．其中正确说法的个数是（　　）‎ a1，1‎ a1，2‎ a1，3‎ a1，4‎ a1，5‎ a2，1‎ a2，2‎ a2，3‎ a2，4‎ a2，5‎ a3，1‎ a3，2‎ a3，3‎ a3，4‎ a3，5‎ a4，1‎ a4，2‎ a4，3‎ a4，4‎ a4，5‎ a5，1‎ a5，2‎ a5，3‎ a5，4‎ a5，5‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｂ 练习①：【2011北京中考】在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j=1；当i＜j时，ai，j=0．例如：当i=2，j=1时，ai，j=a2，1=1．按此规定，a1，3=　　；表中的25个数中，共有　　个1；计算a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5的值为　　．‎ 答案：0；15；1.‎ 练习②：【2011海淀二模】某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数学0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输．现采用一种简单的加密方法：将原有的每个1都变成10，原有的每个0变成01．我们用A0表示没有经过加密的数字串．这样对A0进行一次加密就得到一个新的数字串A1，对A1再进行一次加密又得到一个新的数学串A2，依此类推，…，例如：A0：10，则A1：1001．若已知A2：100101101001，则A0：，若数字串A0共有4个数字，则数字串A2中相邻两个数字相等的数对至少有  对． 答案：101 ，4‎ 练习③：【2010燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．如在代数式a＋b＋c中，把a和b互相替换，得b＋a＋c；把a和c互相替换，得c＋b＋a；把b和c……；a＋b＋c就是完全对称式．下列三个代数式：① (a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a．其中为完全对称式的是 A．①②B．②③C．①③　　　D．①②③ 答案：A 练习④：【2010西城一模】在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P(a,b)若规定以下两种变换：‎ ‎①f(a,b)= (-a,-b)．如f(1,2)= (-1,-2);②g(a,b)= (b,a)．如g(1,3)= (3,1)‎ 按照以上变换，那么f（g (a,b)）等于 A．(-b,-a) B．(a,b) C．(b,a) D．(-a,-b) 答案：A ‎★例3：【2009昌平二模】请阅读下列材料：‎ 我们规定一种运算：，例如：．‎ 按照这种运算的规定,请解答下列问题：（1）直接写出 的计算结果； ‎ ‎（2）若，直接写出和的值．‎ ‎（3）当取何值时, ； 答案：(1)3.5; (2)x=8,y=2. (3) ;‎ 变式练习：【2008宣武一模】对于实数规定一种运算：，如 ‎，那么时，（ ）.‎ ‎（A）（B）（C）（D） 答案：(D)‎ 练习：①【2006北京中考（课标卷）】用“☆”定义新运算： 对于任意实数a、b， 都有a☆b=b2＋1。 例如7☆4=42＋1=17，那么5☆3=；当m为实数时，m☆(m☆2)=。 答案：10，26‎ ‎②【2008东城二模】对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则满足条件的实数a的值是． 答案：0‎ ‎③【2008怀柔一模】现在我们定义一个数学运算符号“※”,使下列算式成立:4※8=16，10※6=26，6※10=22，18※14=50.求（100※800）※8=； 答案：2008‎ ‎④【2008海淀二模】关于实数a,b，有则的值是________。 答案：0.25 ‎ ‎⑤【2008西城二模】用“＆”定义新运算: 对于任意实数a，b都有a＆b=2a-b，如果x＆（1＆3）=2，那么x等于（ ）.‎ A.1 B. C. D.2 答案：C ‎⑥【2008丰台二模】在数学中，为了简便计算记1!＝1 ，2!＝2×1 ，3!＝3×2×1 ，……，‎ n！＝n×(n﹣1) ×(n﹣2) ×……×3×2×1．则 =． 答案：1‎ ‎⑦【2008丰台一模】对于实数x，规定，若，则x=‎ ‎⑧【2015大兴一模】如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是 A．19 B．20 C．21 D．22 ‎ 答案: ⑦-1; ⑧C ‎★例4：【2011延庆二模】定义新运算：，则函数y=3⊕x的图象大致是 ‎ 答案：B 变式练习：【2014-2015房山期末】阅读下面的材料：‎ 小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：‎ 小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b＜0，所以1※（-2）= .‎ 请你参考小明的解题思路，回答下列问题：‎ ‎(1) 计算：2※3=；‎ ‎(2) 若5※m=，则m=.‎ ‎(3) 函数y=2※x（x≠0）的图象大致是（　　） ‎ ‎（答案：（1） ; (2) ±6; （3）D ）‎ ‎★例5：【2013丰台一模】我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数y=2x+1的图象与x轴交点的坐标为（，0），所以该函数的零点是. ‎ ‎（1）函数y=x2+4x-5的零点是；‎ ‎（2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A在x轴上.若正方形ABCD沿x轴正方向滚动，即先 以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.‎ 答案：-5或1；π+1．‎ 练习：①【2015海淀一模】若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为____。 答案：30°或150°‎ ‎②【2008石景山二模】定义：平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是___________. 答案：4‎ ‎③【2010宣武二模】在平面直角坐标系中, 设点P到原点O的距离为ρ, OP与x轴正方向的夹角为α（0°＜α＜90°）, 用[ρ, α]表示点P的极坐标, 显然, 点P的极坐标与它的直角坐标存在某种对应关系. 例如: 当点P的直角坐标为( 1, 1)时, 它的极坐标为[,45°]. 如果点Q的极坐标为[4,60°], 那么点Q的直角坐标可以为 A.（2，2） B. （-2，2） C.( 2,2) D.( 2, 2) 答案：A ‎★例6：【2009宣武一模】对于三个数a,b,c，M{a,b,c}表示a,b,c这三个数的平均数，min{a,b,c}表示a,b,c这三个数中最小的数，如：，；，．‎ 解决下列问题：‎ ‎（1）填空：min{sin30°，cos45°,tan30°}=；若min{2,2x+2,4-2x}=2，则x的取值范围是；‎ ‎（2）①若M{2,x+1,2x}=min{2, x+1,2x }，那么x＝；‎ ‎②根据①，你发现结论“若M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么”（填a,b,c大小关系）；‎ ‎③运用②，填空：若M={2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y},则x+y= ；‎ ‎（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=(x-1)2，y=2-x的图象（不需列表，描点），通过图象，得出min{ x+1，(x-1)2，2-x }最大值为．‎ 答案：⑴0.5，；⑵①1，②，③；⑶1‎ 变式练习1：【2015东城一模】定义符号min{a,b}的含义为：当a≧b时, min{a,b}=b；当a＜b时, min{a,b}=a．如：min{1,-2}=-2，min{-1, 2}=-1．‎ ‎(1)求min{x2-1,-2}; ‎ ‎(2)已知min{x2-2x+k,-3}=-3, 求实数k的取值范围;‎ ‎(3) 已知当-2≤x≤3时，min{x2-2x-15,m(x+1)}=x2-2x-15.直接写出实数m的取值范围.‎ 答案：（1）-2；(2)k≥-2；（3）-3≤m≤7‎ 变式练习2:【2011东城二模】用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数y=min{x2+1,1-x2}，则y的图象为 答案：C 变式练习3：①【2012西城一模】对于实数c、d，我们可用min{ c，d}表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1.若关于x的函数y= min{2x2，a(x-t)2}的图象关于直线x=3对称，则a、t的值可能是 A．3，6 B．2，-6 C．2，6 D．-2，6 答案：C 变式练习4：【2010东城二模】用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，若y= min{x2，x+2,10-x}(x≥0)则y的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 练习：【2010石景山二模】规定：用{m}表示大于m的最小整数，例如{}=3，{5}=6，{-1.3}=－1等；用[m]表示不大于m的最大整数，例如[]=3，[4]=4，[－1.5]= －2，如果整数x满足关系式:2{x}+3[x]=12，则x=__________. 答案：2‎ 变式练习.【2014通州二模】对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3.若，则x的取值可以是（ ）‎ A．40 B．45 C．51 D．56 答案：C 二、提高练习部分 ‎★例1：【2014—2015海淀期中】阅读下面材料：‎ 小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1,x2,x3，称为数列x1,x2,x3．计算| x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1,x2,x3的价值．例如，对于数列2,-1,3因为，，，所以数列，，的价值为．‎ 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列，，的价值为；数列，，的价值为；…．经过研究，小丁发现，对于“，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．‎ 根据以上材料，回答下列问题：‎ ‎（1）数列-4，-3,2的价值为______；‎ ‎（2）将“-4，-3,2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为___，取得价值最小值的数列为_____（写出一个即可）；‎ ‎（3）将2，-9，a(a＞1)这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为____． 答案：（1）（2）， 或．（3）或4．‎ ‎★例2：【2015西城一模】给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．‎ 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．‎ ‎（1）点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________，点C(-2,3)和射线OA之间的距离为________；‎ ‎（2）如果直线y=x和双曲线之间的距离为，那么k=； ‎ ‎（3）点E的坐标为(1,)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．‎ ‎①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）‎ ‎②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线y=x2-2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离． ‎ ‎（答案：（1）3，；（2）-1；（3）②4：3）‎ 变式练习1：【2013年燕山一模】定义：对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P，任取线段AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．‎ 已知O为坐标原点，A(4，0)，B(3，3)，C(m，n)，D(m＋4，n)是平面直角坐标系中四点．根据上述定义，解答下列问题：‎ ‎(1)A到线段OB的距离d(A→OB) ＝；‎ ‎⑵已知点G到线段OB的距离d（G→OB）＝，且点G的横坐标为1，则点G的纵坐标为．‎ ‎⑶当m的值变化时，点A到动线段CD的距离d (A→CD)始终为2，线段CD的中点为M．‎ ‎①在图⑵中画出点M随线段CD运动所围成的图形并求出该图形的面积．‎ ‎②点E的坐标为(0，2)，m＞0，n＞0，作MH⊥x轴，垂足为H．是否存在m的值，使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 答案：（1）；（2）－2或;(3) ①16+4π；②m＝1或m＝3或m＝‎ 变式练习2：【2013密云二模】【2015——2016通州期末】概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离． 已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为 ； （2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式． （3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M， ①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长； ②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MN⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在 请说明理由．‎ ‎(答案：（1）2、；（2）；（3）①16+4π；②存在，1、3或)‎ 变式练习3：【2014门头沟一模】概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．‎ ‎(1)根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）‎ ‎①当m=，n=1时，如图13-1，线段BC与线段OA的理想距离是 2‎ ‎； ‎ ‎②当m=，n=2时，如图13-2，线段BC与线段OA的理想距离为； ‎ ‎③当m=，若线段BC与线段OA的理想距离为,则n的取值范围是.‎ ‎（2）如图13-3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为(说明理由)‎ ‎（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？‎ 答案：(1) ①；②2；③﹣1≤n≤1； （2）d=0.5 (4) 8+2π ‎ 图1 图2‎ 变式练习4：【2014延庆一模】已知：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：线段AB及点P，任取AB上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．‎ ‎（1）如图1，已知C点的坐标为（1，0），D点的坐标为（3，0），求点P（2，1）到线段CD的距离d（P→CD）为；‎ ‎（2）已知：线段EF：y=x（0≤x≤3），点G到线段EF的距离d（P→EF）为，且点G的横坐标为1，在图2中画出图，试求点G的纵坐标． ‎ ‎（答案：（1）1；（2）3或-1。）‎ 变式练习5：【2015丰台一模】设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如:正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1. （1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为； ‎ ‎（2）①求点M(3,0)到直线y=2x+1的距离；‎ ②如果点N(0,a)到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；‎ ‎（3）如果点G(0,b)到抛物线y=x2的距离为3，请直接写出b的值.‎ ‎(答案：（1）4；（2）①②（3）或．) ‎ 变式练习6：【2015通州一模】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．‎ ‎（1）判断点D，是否线段AB的“邻近点”（填“是”或“否”）；‎ ‎（2）若点H (m，n)在一次函数y=x-1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．‎ ‎（3）若一次函数y=x+b的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围. ‎ ‎（答案：(1)是;(2) 3≤m≤5;(3).）‎ ‎★例3：【2012年北京中考】在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”，给出如下定义：‎ ‎ 若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|；‎ ‎ 若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.‎ ‎ 例如：点P1(1,2)，点P2(3,5)，因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。‎ ‎（1）已知点，为轴上的一个动点，‎ ‎①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；‎ ‎②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；‎ ‎（2）已知C是直线上的一个动点，‎ ‎①如图2，点D的坐标是（0，1），求点与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；‎ ‎②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。‎ ‎（答案：（1）①（0，2）或（0，-2）；②；（2），时， 1.）‎ y ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ x ‎(-1,0) O (1,0)‎ ‎(0,1)‎ ‎(0,-1)‎ 变式练习：【2014密云一模】对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 我们把| x1- x2|+| y1- y2| 叫做P1, P2 两点间的直角距离，记作d(P1, P2) .[来源:学科网]‎ ‎（1）已知O为坐标原点，动点p(x,y) 满足d(O,P) =1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；‎ ‎（2）设P0(x0,y0) 是一定点，Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M(2,1) 到直线y=x+2的直角距离． 答案：(2)3.‎ ‎★例4：【2013年北京中考】对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。‎ 已知点D（，），E（0，-2），F（，0）‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；‎ ‎②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m,n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；‎ ‎（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。‎ 答案：⑴①D,E;②0≤x≤;(2)r≥1‎ 变式练习1：【2014西城二模】在平面直角坐标系xoy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM.‎ ‎2‎ ‎1‎ y ‎-1‎ O ‎-1‎ ‎-2‎ ‎1 2 x ‎（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），‎ ‎①直线l1:y=2，直线l2：y=x+2，直线l3：，直线l4：y=-2x+2都经过点P，在直线l1，l2，l3，l4中，是⊙O的“x关联直线”的是；‎ ‎②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是；‎ ‎（2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，‎ ‎①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线” lPBM：y=kx+k+2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值； ‎ ‎②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp＞2，⊙A的两条“x关联直线” lPCM, lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由.‎ y OP C x ‎1‎ ‎1‎ 答案：（1）①；②（2）①；②AE的长度不发生改变。‎ ‎★例5：【2015年北京中考】在平面直角坐标系xoy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，下图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图。‎ ‎(1)当⊙O的半径为1时。‎ ‎①分别判断点，，关于⊙O的反称点是否存在，若存在？求其坐标；‎ ‎②点P在直线y=-x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；‎ ‎(2)当⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围。‎ ‎(答案：⑴① 不存在； 存在反对称点N′为（）；存在反对称点T′为(0,0);②0＜x＜2;(2)2≤x≤8)‎ 变式练习：【2015—2016燕山期末】在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP·CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点CP′的示意图．‎ 图1‎ 图2‎ ‎(1) 如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M(1，0)，N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；‎ ‎(2) 如图2，已知点A(1，4)，B(3，0)，以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D(点C位于点D下方)，E为CD的中点．‎ ‎① 若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；‎ ‎② 若点P在⊙G上，且∠BAP＝∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段G Q′的长度．‎ 答案：(1)(1，0)，(0，)，(1，1)；(2) ∠＝90°; (3)或 变式练习2：【2015—2016石景山期末】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离Sp的定义如下：若点P与圆心O重合，则Sp为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则Sp为线段AP的长度．‎ 图1为点P在⊙O外的情形示意图．‎ ‎（1）若点，，，则___；___；___；‎ ‎（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；‎ ‎（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点．若线段PQ上存在一点T，满足T在⊙O内且ST≥SR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值．‎ 答案：(1)；； ;(2) ;(3) 4.‎ y A ‎1‎ x ‎1‎ B O ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ O ‎1‎ ‎1‎ y 图1 图2‎ ‎★例6：【2015西城二模】对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．‎ x E ‎（1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）‎ ‎（2）如图2，已知点E(0,2)，点F(m,0)（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值；‎ ‎（3）若H(0,-2)是抛物线y=x2+n的τ型点，直接写出n的取值范围．‎ ‎(答案：（1）点A；（2）；（3）n≤) ‎ 练习1：【2015—2016丰台期末】在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y)．‎ (1) 如图1，如果⊙O的半径为，‎ ① 请你判断M(2,0)，N(-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；‎ ② 若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.‎ (2) 如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．‎ 答案：（1）①M′(2,2),N′(-3,-1),M′在圆上；N′在圆外；②-2＜x小于0；（2）‎ 练习2：【2015延庆一模】对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点．‎ ‎（1）已知点A（2，0），O（0，0）‎ ‎①若，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是___；‎ ‎②如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取值范围；‎ ‎（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．‎ ‎(答案：（1）①C，D；;②;(2))‎ 练习3：【2015海淀二模】如图1，在平面直角坐标系xoy内，已知点A(-1,0)，B(-1,1)，C(1,0)，D(1,1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1-T2联络点．例如，点是T1-T2联络点．‎ ‎（1）以下各点中，________是T1-T2联络点（填出所有正确的序号）；‎ ‎①（0,2）；②（-4,2）； ③（3,2）. ‎ ‎（2）直接在图1中画出所有T1-T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示；‎ ‎（3）已知点M在y轴上，以M 为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1-T2联络点，‎ ‎①若r=1，求点M的纵坐标；‎ ‎②求r的取值范围．‎ ‎（答案：（1）②，③；（3）①点M的纵坐标为或2．②）‎ 练习4：【2015朝阳一模】定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．‎ ‎（1）若P(1，2)，Q(4，2) ．‎ ‎①在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；‎ ‎②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时 t的值.‎ ‎（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．‎ ‎（答案：（1）①（1）A、B；② 时，最小值为5；（2）Q（，）或Q（，））‎ 练习5：【2015石景山一模】在平面直角坐标系xoy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A,B,C,D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．例如,下图中的矩形ABCD为直线l的“理想矩形”．‎ ‎（1）若点A(-1,2)，四边形ABCD为直线x=-1的“理想矩形”，则点D的坐标为 ；‎ ‎（2）若点A(3,4)，求直线y=kx+1(k≠0)的“理想矩形”的面积；‎ ‎（3）若点A(1,-3)，直线l的“理想矩形”面积的最大值为，此时点D的坐标为．‎ ‎(答案：（1）；（2）（3）最大值是5．．)‎ 例7：【2015—2016西城期末】在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l,当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点。规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射。特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。‎ 图1 图2 图3 图4‎ O ‎1‎ x y O y ‎· ‎ M l ‎·‎ c ‎1‎ ‎2‎ x y O P O ‎·‎ l x y c 光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2. ‎ P1‎ x ‎（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点，请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；‎ ‎（2）当⊙O的半径为1时，如图3，‎ ‎①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为°；‎ ‎②自点A(－1,0)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射，若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第一个反射点P1的坐标为；‎ ‎（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1，第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围。‎ ‎★例8：【2014海淀二模】对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.‎ ‎（1）当r=时，‎ ‎①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；‎ ‎②若点P在直线y= －x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.‎ ‎①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；‎ ‎②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是．‎ ‎（答案：（1）①P2，P3； P（-4，6）或P（4，-2）. （2）①,②）‎ 练习1：【2015人大附中初三月考】对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”。‎ 请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（−3, 4 ），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O。‎ ‎（1）线段AD和BC的“密距”是；“疏距”是 ；‎ ‎（2）设直线 与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，‎ ‎①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是 ；‎ ‎②求四边形KLMN的面积的最大值。‎ ‎（答案：（1）6，10；（2）或；（3）①1≤“密距”≤；②8）‎ 练习2：【2014-2015海淀第一学期期末】在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)是图形W上的任意两点．‎ 定义图形W的测度面积：若| x1-x2|的最大值为m，| y1-y2|的最大值为n，则S=mn 为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，| x1-x2| 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，| y1-y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4．‎ ‎（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.‎ ‎①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；‎ ‎②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；‎ ‎（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为；‎ ‎（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．‎ 答案: （1）① 1；② 1．‎ ‎（2） 2．）‎ 练习3：【2014石景山一模】在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：‎ ‎“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.‎ 例如：三点坐标分别为A(1,2)，B(-3,1)，C(2,-2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah =20．‎ ‎（1）已知点A(1,2)，B(-3,1)，P(0,t)．‎ ‎①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；‎ ‎②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．‎ ‎（2）已知点E(4,0)，F(0,2)，M(m,4m)，，其中m＞0，n＞0.‎ ‎①若E,F,M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；‎ ‎②直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．‎ ‎（答案：（1）①；②4；（2）①0＜m≤0.5；②16，）‎ ‎★例9：【2014怀柔一模】在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.‎ ‎（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积. ‎ ‎（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明. ‎ ‎（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.‎ ‎（答案：（1）12；（2）（2）判断△OCD是直角三角形.（3）8+4） ‎ ‎★例10：【2015平谷一模】【2015—2016延庆期末】设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数y=-x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y=-x+4是闭区间[1,3]上的“闭函数”．‎ ‎（1）反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；‎ ‎（2）若二次函数y=x2-2x-k=是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k的值；‎ ‎（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．（答案：（1）是；（2）k=；（3）y=x或y=-x+m+n）‎ 变式练习1：【2014顺义一模】设p,q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所;有取值的全体叫做闭区间，表示为[p,q]．对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p,q]上的“闭函数”．‎ ‎（1）反比例函数是闭区间[1,2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；‎ ‎（2）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； ‎ ‎（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数是闭区间[c,d]上的“闭函数”时，求c，d的值． ‎ ‎(4)【2014通州二模 】若二次函数是闭区间[a,b]上的“闭函数”，直接写出实数a，b 的值.‎ 答案：（1）是；（2）或；（3）c=-2,d=6;（4），‎ ‎★例11：【2014北京中考】对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0‎ ‎，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．‎ ‎（1）分别判断函数和是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；‎ ‎（2）若函数y=-x+1(a≤x≤b,b＞a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求的取值范围；‎ ‎（3）将函数y=x2(-1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足？‎ ‎（答案：（1）不是；是；（2）-1＜x≤3；（3）0≤m≤或≤m≤1）‎ 变式练习1：【2015清华附中初三月考】若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1-y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高。‎ 例如：下面所表示的函数的界高为4. ‎ ‎（1）若函数y=kx+1（-2≤x≤1）的界高为4，求k的值；‎ ‎（2）已知m＞-2，若函数y=x2（-2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知a＞0，函数y=x2-2ax+3a（-2≤x≤1）的界高为，求a的值。‎ 变式练习2：【2015丰台二模】对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2． ‎ ‎（1）分别判断函数 （）和y=2x-3（x＜2） 是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；‎ ‎（2）如果函数y=2x-3 （a≤x≤b, b＜a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；‎ ‎（3）如果函数y=x2-2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值.‎ ‎(答案: （1） （）不是；y=2x-3（x＜2） 是，1；（2）-1≤x＜1；（3）)‎ ‎★例12：【2014房山一模】我们规定：形如 的函数叫做“奇特函数”.当a=b=0时，“奇特函数”就是反比例函数.‎ ‎(1) 若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x和y后，得到的新矩形的面积为8 ，求y与x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；‎ ‎(2) 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（9，0）、（0，3）. 点D是OA的中点，连结OB，CD交于点E，“奇特函数”的图象经过B，E两点.‎ ‎ ① 求这个“奇特函数”的解析式；‎ ‎ ② 把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE中点M的一条直线l与这个“奇特函数”的图象交于P，Q两点，若以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P的坐标.‎ ‎(答案: （1）；是；(2) ① ；②2；P1(7,5); P2(15, ); P3(-3, ); P4(5,-1) ）‎ ‎★例13：变式练习3：【2015石景山二模】对于平面直角坐标系xoy中的点P(m,n)，定义一种变换：作点P(m,n)关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k(k＞0)个单位得到点Pk′，Pk′叫做对点P(m,n)的k阶“”变换．‎ ‎（1）求P(3,2)的3阶“”变换后P3′的坐标；‎ ‎（2）若直线y=3x-3与x轴，y轴分别交于A,B两点，点A的2阶“”变换后得到点C，求过A,B,C三点的抛物线M的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线M的对称轴与x轴交于D，若在抛物线M对称轴上存在一点E，使得以E,D,B为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标． ‎ 答案：（1）P′(-6,2);(2)y=x2+2x-3;(3)(-1,)，(-1,-)，(-1,-6)，(-1.-)‎ 练习1：【2014海淀一模】对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点的坐标为（，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．‎ 例如：P（1，4）的“2属派生点”为（1+，），即（3，6）．‎ ‎（1）①点P（—1，—2）的“2属派生点”的坐标为____________；‎ ‎②若点的“k属派生点” P′的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；‎ ‎（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为_______；‎ ‎（3）如图, 点Q的坐标为（0，），点A在函数（）的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．‎ ‎(答案: （1）①（—2，—4）; ②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2）；（2）±1；（3）B())‎ 练习2：【2015海淀一模】在平面直角坐标系xoy中，对于点P（a,b）和点Q(a,b′)给出如下定义：若b′=则称点Q为点P的限变点，例如，点(2，3)的限变点的坐标是(2，3)，点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．‎ ‎(1)①点（，1）的限变点的坐标是____;‎ ‎ ②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y=图象上某一点的限变点， 这个点是____；‎ ‎(2)若点P在函数y=-x +3(-2≤x≤k，k> -2)的图象上，其限变点Q的纵坐标b′，的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围；‎ ‎(3)若点P在关于x的二次函数y=x2 -2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m -n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．‎ ‎（答案：（1）① ；② 点B．(2)；(3)≥2．）‎ 练习3：【2015—2016门头沟期末】在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“关联点”．‎ 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点”为点（－5，－6）．‎ ‎（1）① 点（2，1）的“关联点”为 ；‎ ‎② 如果点A（3，－1），B（－1，3）的“关联点”中有一个在函数的图象上，那么这个点是 （填“点A”或“点B”）．‎ ‎（2）① 如果点M※（－1，－2）是一次函数y = x + 3图象上点M的“关联点”，那么点M的坐标为 ；‎ ‎② 如果点N※（m+1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N的“关联点”，求点N的坐标．‎ ‎（3）如果点P在函数y=-x2+4（－2＜x≤a）的图象上，其“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是－4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是 ．‎ 答案：（1）①（2，1）；② 点B．（2）① M（－1，2）；N（－5，－2）；（3）2≤a＜2‎ 练习4：【2015燕山一模】在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），(，)，(，)，…，都是和谐点．‎ ‎ （1）分别判断函数y=-2x+1和y=x2+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；‎ ‎ （2）若二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)，且当0≤x≤m时， 函数的最小值为－3，最大值为1，求m的取值范围．‎ ‎（3）直线l:y=kx+2经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且，请直接写出n的取值范围．‎ 答案：（1） (，)；不存在；（2）；（3），或． ‎ ‎★例14：【2014西城一模】.定义1：在△ABC中，若顶点A、B、C按逆时针方向排列，则规定它的面积为△ABC的“有向面积”；若顶点A、B、C按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”。“有向面积”用表示，例如图1中，= S△ABC,图2中，= -S△ABC。‎ 定义2：在平面内任取一个△ABC和点P（点P不在△ABC的三边所在直线上），称有序数组（,,）为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作(,,),例如图3中，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=600则=点D关于△ABC的 “面积坐标”(,,)为(,-,)。‎ 在图3中，我们知道S△ABC=S△DBC+S△DAB-S△DCA,利用“有向面积”我们也可以把上式表示为=++ 应用新知：‎ ‎（1）如图4,正方形ABCD的边长为1，则，点D关于△ABC的“面积坐标”是。‎ 探究发现：‎ ‎（2）在平面直角坐标系xoy中，点A（0,2）,B(-1,0).‎ ‎①若点P是第二象限内任意一点（不在直线AB上），设点P关于△ABO的“面积坐标”为 (m,n,k)，试探究m+n+k与之间有怎样的数量关系，并说明理由；‎ ‎②若点P(x,y)是第四象限内任意一点，请直接写出点P关于△ABO的“面积坐标”（用x,y表示）；‎ 解决问题：‎ ‎（3）在（2）的条件下，点C(1,0),D(0,1),点Q在抛物线y=x2+2x+4上，求当S△QAB+S△QCD的值的最小时，点Q的横坐标。‎ ‎ 答案：（1）,(,—,)；（2）①m+n+k=；②()；（3）-.‎ ‎★例17：【2014—2015西城期末】如图1，对于平面上不大于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边界上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则称PE+PF为点P相对于∠MON的“点角距离”，记为d(P, ∠MON)．‎ ‎ 如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于∠xoy，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足d(P, ∠xoy)=5，点P运动形成的图形记为图形G．‎ ‎（1）满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积等于；‎ ‎（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知B(3,4)，M(4,1)，求d(M, ∠AOB)的值；‎ ‎（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当d(Q, ∠AOB)取最大值时，点Q 的坐标．‎ ‎ 答案：（1）（5，0），；（2）；（3）Q （4，）．‎ O B x y A 图③‎ ‎★例18：【2015—2016大兴期末】一般地，在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作“sinA”，即. 类似的，我们定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对. 如图1，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，即sadA = . 根据上述角的正对定义，完成下列问题：‎ ‎（1）sad60°=;‎ ‎（2）已知：如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，sinA =，试求sadA的值;‎ ‎（3）已知：如图3，在平面直角坐标系xOy中,A（0，2），B（，0），点C为线段AB上一点（不与点B重合），且，以AC为底边作等腰△ACP，点P落在直线AB上方，① 当sad∠APC =时，请你判断PC与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎② 当 sad∠APC =时，请直接写出点P的横坐标x的取值范围.‎ 答案：（1）1；（2）；（3）①垂直；②‎ ‎★例18：【2015怀柔一模】对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.　 则直线DE的表达式是 .‎ ‎（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.　　 ‎ ‎①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是.‎ ‎②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.‎ ‎③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是.‎ 答案：（1）x=2.（2）①②③‎ 例23：【2015——2016海淀期末】如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线的交点Am,n（m、n为正整数）为 “双曲格点”，双曲线在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”. ‎ ‎ （1）①“双曲格点”A2,1的坐标为； ②若线段A4,3A4,n的长为1个单位长度，则n=；‎ ‎ （2）图中的曲线f是双曲线的一条“派生曲线”，且经过点A2,3，则f的解析式为y=； ‎ ‎ （3）画出双曲线的“派生曲线”g（g与双曲线不重合），使其经过“双曲格点” A2,a、A3,3、A4,b. ‎ ‎★例19：【2015门头沟一模】如图1，抛物线的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。‎ ‎（1）抛物线对应的碟宽为____；抛物线对应的碟宽为_____；抛物线（a>0）对应的碟宽为____；抛物线对应的碟宽____；‎ ‎（2）若抛物线对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；‎ ‎（3）将抛物线的对应准蝶形记为Fn（n=1,2,3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2‎ ‎）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.‎ ‎①求抛物线y2的表达式 ‎② 若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn。则hn=_______,Fn的碟宽右端点横坐标为_______；F1，F2，….Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。‎ 变式练习：【2015顺义一模】已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”． ‎ ‎（1）①如图2，求出抛物线y=x2的“完美三角形”斜边AB的长；‎ ‎②抛物线y=x2+1与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　　；‎ ‎（2）若抛物线y=ax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；‎ ‎（3）若抛物线y=mx2+2x+n-5的“完美三角形”斜边长为n，且y=mx2+2x+n-5的最大值为-1，求m，n的值．‎ ‎★例21：【2015房山一模】【探究】如图1，点是抛物线上的任意一点，l是过点且与轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H. ‎ ‎①计算: m=0时，NH=; m=4时，NO=.‎ ‎②猜想: m取任意值时，NONH(填“＞”、“＝”或“＜”).‎ ‎【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O即为抛物线y1的“焦点”，直线l:y=-2即为抛物线y1的“准线”.可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.‎ ‎【应用】（1）如图2，“焦点”为F(-4，-1)、“准线”为l的抛物线与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点.MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H.‎ ‎①直接写出抛物线y2的“准线”l：；‎ ‎②计算求值：‎ ‎（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线y3=ax2+bx+c的表达式. ‎ ‎★例22：【2015房山二模】如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线.‎ ‎（1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条. ‎ A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数 ‎（2）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式; ‎ ‎（3）若抛物线y=a1(x-m)2+n的“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请直接写出a1与a2的关系式为.‎ 变式练习1：【2015门头沟二模】我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．‎ 如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点． ‎ ‎（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么① a= ，b= ．‎ ‎ ② 如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）‎ A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 ‎（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．‎ ‎（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．‎ 变式练习2：【2015昌平二模】在平面直角坐标系xoy中，给出如下定义：形如y=a(x-m)2+a(x-m)与y=a(x-m)2-a(x-m)的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．‎ ‎（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式与；‎ ‎（2）判断二次函数y=x2-x与y=x2-3x+2的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出a与m的值，如果不是，请说明理由；‎ ‎（3）若一对兄弟抛物线各自与轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线x=2且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．‎ 变式练习3：【2015——2016平谷期末】小明在学习时遇到这样一个问题：‎ 如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0,a1,b1,c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0,a2,b2,c2是常数）满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=-x2+3x-2函数的“旋转函数”．‎ 小明是这样思考的：由y=-x2+3x-2函数可知a1=-1,b1=3,c1=-2，根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0，求出a2,b2,c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．‎ 请参考小明的方法解决下面的问题：‎ ‎（1）写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”；‎ ‎（2）若函数与互为“旋转函数”，求的值；‎ ‎（3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1，试证明经过点A1,B1,C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．‎ 变式练习4：【2015——2016东城期末】已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，都有点（x，y1）、（x，y2）关于点（x，x）对称，则称这两个函数为关于y=x的对称函数.例如，和为关于y=x的对称函数.‎ ‎（1）判断：①y1=3x和y2=-x；②y1=x+1和y2=x-1；③y1=x2+1和y2=x2-1，其中为关于y=x的对称函数的是__________（填序号）.‎ ‎（2）若y1=3x+2和y2=kx+b（k≠0）为关于y=x的对称函数.‎ ‎①求k、b的值.‎ ‎②对于任意的实数x，满足x>m时，y1＞y2恒成立，则m满足的条件为______.‎ ‎（3）若y1=ax2+bx+c (a≠0)和y2=x2+n为关于y=x的对称函数，且对于任意的实数x，都有y1＜y2，请结合函数的图象，求n的取值范围.‎