中考数学专题特训第四讲：因式分解(含详细参考答案)

中考数学专题特训第四讲：因式分解(含详细参考答案)

中考数学专题复习第四讲：因式分解 ‎【基础知识回顾】‎ 一、因式分解的定义：‎ ‎1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 ‎【提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】‎ 二、因式分解常用方法：‎ ‎1、提公因式法：‎ ‎ 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。‎ ‎ 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。‎ ‎【提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】‎ ‎2、运用公式法：‎ 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2= ,‎ ‎ ②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。‎ ‎【提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，‎ 找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合该公式。】‎ 一、 公式分解的一般步骤 1、 一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先 ‎ 2、 二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。‎ 3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。‎ ‎ 【提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：因式分解的概念 例1 （2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）‎ A．m2+n B．m2-m+1 C．m2-n D．m2-2m+1‎ 思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；‎ B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；‎ C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；‎ D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．‎ 对应训练 ‎1．（2012•凉山州）下列多项式能分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2 B．-x2-y2 C．-x2+2xy-y2 D．x2-xy+y2‎ ‎1．C ‎ 考点二：因式分解 例2 （2012•天门）分解因式：3a2b+6ab2= ．‎ 思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab，然后提取公因式即可求得答案．‎ 解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．‎ 故答案为：3ab（a+2b）．‎ 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．‎ 例3 （2012•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= ．‎ 思路分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．‎ 解：3m3-18m2n+27mn2‎ ‎=3m（m2-6mn+9n2）‎ ‎=3m（m-3n）2．‎ 故答案为：3m（m-3n）2．‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ 对应训练 ‎2．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）‎ A．a（a-4） B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2） D．（a-2）2-4‎ ‎2．A．‎ ‎3．（2012•恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　　）‎ A．a2b（a2-6a+9） B．a2b（a-3）（a+3） C．b（a2-3）2 D．a2b（a-3）2‎ ‎3．D 考点三：因式分解的应用 例4 8．（2012•随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则()5= ．‎ 考点：因式分解的应用；分式的化简求值．‎ 分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．‎ 解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0， ∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0， 化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0， 若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0， 因此a+b2=0，即b2=-a， ∴()5 =()5 ‎ ‎=-()5 =()5 =（-2）5 =-32． 故答案为-32．‎ 点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．‎ 对应训练 ‎4．（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= ．‎ ‎4．6‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•济宁）下列式子变形是因式分解的是（　　）‎ A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）‎ C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3） ‎ ‎1．B．‎ ‎2．（2012•临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= ．‎ ‎2．a（1-3b）2．‎ ‎3．（2012•潍坊）分解因式：x3-4x2-12x= ．‎ 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．‎ 分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．‎ 解答：解：x3-4x2-12x =x（x2-4x-12） =x（x+2）（x-6）． 故答案为：x（x+2）（x-6）．‎ 点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．‎ ‎4．（2012•威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．‎ 解答：解：3x2y+12xy2+12y3， =3y（x2+4xy+4y2）， =3y（x+2y）2． 故答案为：3y（x+2y）2．‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2012•无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（　　）‎ A．（x-1）（x-2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x-2）2‎ ‎1．D ‎2．（2012•呼和浩特）下列各因式分解正确的是（　　）‎ A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） B．x2+2x-1=（x-1）2‎ C．4x2-4x+1=（2x-1）2 D．x2-4x=x（x+2）（x-2） ‎ ‎2．C ‎3．（2012•台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（　　）‎ A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2‎ ‎3．A ‎4．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（　　）‎ A．3x2-6x=x（3x-6） B．-a2+b2=（b+a）（b-a）‎ C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2‎ 考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．‎ 专题：计算题．‎ 分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本选项错误； B、-a2+b2=（b+a）（b-a），故本选项正确； C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本选项错误； D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误． 故选B．‎ 点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．‎ ‎5．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）‎ A．a（a-4） B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2） D．（a-2）2-4‎ 考点：因式分解-提公因式法．‎ 分析：直接提取公因式a即可．‎ 解答：解：a2-4a=a（a-4）， 故选：A．‎ 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．‎ 二、填空题 ‎6．（2012•湘潭）因式分解：m2-mn= ．‎ ‎6．m（m-n）‎ ‎7．（2012•桂林）分解因式：4x2-2x= ．‎ ‎7．2x（2x-1）‎ ‎8．（2012•沈阳）分解因式：m2-6m+9= ．‎ ‎8．（x-3）2．‎ ‎9．（2012•黔西南州）分解因式：a4-16a2= ．‎ ‎9．a2（a+4）（a-4）．‎ ‎10．（2012•北海）因式分解：-m2+n2= ．‎ ‎10．（n+m）（n-m）‎ ‎11．（2012•北京）分解因式：mn2+6mn+9m= ．‎ ‎11．m（n+3）2． ‎ ‎12．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ．‎ ‎12．解：答案不唯一，如x2-3‎ ‎=x2-（）2‎ ‎=（x+）（x-）．‎ 故可填 x2-3．‎ ‎13．（2012•宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2= ．‎ ‎13．3（m-n）2‎ ‎14．（2012•绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．‎ ‎14．ab（a-b）2．‎ ‎15．（2012•宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为 ．‎ ‎15．解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，‎ ‎∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，‎ ‎∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，‎ ‎13xy-26x=0，‎ ‎13x（y-2）=0，‎ ‎∵x≠0，‎ ‎∴y-2=0，‎ ‎∴y=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎16．（2012•广东）分解因式：2x2-10x= ．‎ 考点：因式分解-提公因式法．‎ 分析：首先确定公因式是2x，然后提公因式即可．‎ 解答：解：原式=2x（x-5）． 故答案是：2x（x-5）．‎ 点评：本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键．‎ ‎17．（2012•黄石）分解因式：x2+x-2= ．‎ 考点：因式分解-十字相乘法等．‎ 专题：探究型．‎ 分析：因为（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．‎ 解答：解：∵（-1）×2=-2，2-1=1， ∴x2+x-2=（x-1）（x+2）． 故答案为：（x-1）（x+2）．‎ 点评：本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．‎ ‎18．（2012•黑河）因式分解：27x2-3y2= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解．‎ 解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）． 故答案是：3（3x+y）（3x-y）．‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 ‎19．（2012•六盘水）分解因式：2x2+4x+2= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．‎ 解答：解：2x2+4x+2 =2（x2+2x+1） =2（x+1）2． 故答案为：2（x+1）2．‎ 点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．‎ ‎20．（2012•南充）分解因式：x2-4x-12= ．‎ 考点：因式分解-十字相乘法等．‎ 专题：计算题．‎ 分析：因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．‎ 解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）． 故答案为（x-6）（x+2）．‎ 点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．‎ ‎21．（2012•哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是 ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式 解答：解：a3-2a2+a =a（a2-2a+1） =a（a-1）2． 故答案为：a（a-1）2．‎ 点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．‎ ‎22．（2012•广州）分解因式：a3-8a= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用．‎ 专题：常规题型．‎ 分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：解：a3-8a， =a（a2-8）， =a（a+2）（a-2）． 故答案为：a（a+2）（a-2）．‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎23．（2012•广西）分解因式：2xy-4x2= ．‎ 考点：因式分解-提公因式法．‎ 分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数．‎ 解答：解：原式=2x（y-2x）． 故答案是：2x（y-2x）．‎ 点评：本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．‎ ‎24．（2012•大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2= ．‎ 考点：因式分解-分组分解法．‎ 分析：首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可．‎ 解答：解：ab-ac+bc-b2 =（ab-ac）+（bc-b2） =a（b-c）-b（b-c） =（b-c）（a-b）． 故答案是：（b-c）（a-b）．‎ 点评：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．‎ 三、解答题 ‎25．（2012•扬州）（1）计算：-（-1）2+（-2012）0 （2）因式分解：m3n-9mn．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用；实数的运算；零指数幂．‎ 专题：常规题型．‎ 分析：（1）根据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非0数的0次幂等于1解答； （2）先提取公因式mn，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：解：（1）-（-1）2+（-2012）0 =3-1+1 =3； （2）m3n-9mn =mn（m2-9） =mn（m+3）（m-3）‎ 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎