天津市河东区中考数学模拟试卷含答案解析word

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天津市河东区中考数学模拟试卷含答案解析word

天津市河东区2016年中考数学模拟试卷(解析版)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,共12题,共计36分)‎ ‎1.下列运算:sin30°=, =2,π0=π,2﹣2=﹣4,其中运算结果正确的个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【分析】根据特殊角三角函数值,可判断第一个;‎ 根据算术平方根,可判断第二个;‎ 根据非零的零次幂,可判断第三个;‎ 根据负整数指数幂,可判断第四个.‎ ‎【解答】解:sin30°=,‎ ‎=2,‎ π0=1,‎ ‎2﹣2=,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键,注意负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数.‎ ‎ ‎ ‎2.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠C等于(  )‎ A.45° B.60° C.75° D.90°‎ ‎【分析】首先根据∠A:∠B:∠C=3:4:5,求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几;然后根据分数乘法的意义,用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率,求出∠C等于多少度即可.‎ ‎【解答】解:180°×‎ ‎=‎ ‎=75°‎ 即∠C等于75°.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的内角和是180°.‎ ‎ ‎ ‎3.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是(  )‎ A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 ‎【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.‎ ‎【解答】解:原方程可化为:4x2﹣4x+1=0,‎ ‎∵△=42﹣4×4×1=0,‎ ‎∴方程有两个相等的实数根.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.顺次连接矩形ABCD各边中点,所得四边形必定是(  )‎ A.邻边不等的平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 ‎【分析】作出图形,根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC,FG=EH=BD,再根据矩形的对角线相等可得AC=BD,从而得到四边形EFGH的四条边都相等,然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答.‎ ‎【解答】解:如图,连接AC、BD,‎ ‎∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点,‎ ‎∴EF=GH=AC,FG=EH=BD(三角形的中位线等于第三边的一半),‎ ‎∵矩形ABCD的对角线AC=BD,‎ ‎∴EF=GH=FG=EH,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理,菱形的判定,矩形的性质,作辅助线构造出三角形,然后利用三角形的中位线定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时,下列变形正确的为(  )‎ A.2=1 C.2=19‎ ‎【分析】方程移项变形后,利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断.‎ ‎【解答】解:方程移项得:x2﹣6x=10,‎ 配方得:x2﹣6x+9=19,即(x﹣3)2=19,‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法,统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图.‎ 依据图中信息,得出下列结论:‎ ‎(1)接受这次调查的家长人数为200人 ‎(2)在扇形统计图中,“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162°‎ ‎(3)表示“无所谓”的家长人数为40人 ‎(4)随机抽查一名接受调查的家长,恰好抽到“很赞同”的家长的概率是.‎ 其中正确的结论个数为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【分析】(1)根据表示赞同的人数是50,所占的百分比是25%即可求得总人数;‎ ‎(2)利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数;‎ ‎(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解;‎ ‎(4)求得表示很赞同的人数,然后利用概率公式求解.‎ ‎【解答】解:(1)接受这次调查的家长人数为:50÷25%=200(人),故命题正确;‎ ‎(2)“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小是:360×=162°,故命题正确;‎ ‎(3)表示“无所谓”的家长人数为200×20%=40(人),故命题正确;‎ ‎(4)表示很赞同的人数是:200﹣50﹣40﹣90=20(人),‎ 则随机抽查一名接受调查的家长,恰好抽到“很赞同”的家长的概率是=,故命题正确.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.总体数目=部分数目÷相应百分比.‎ ‎ ‎ ‎7.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为(  )‎ A. B.2﹣2 C.2﹣D.﹣2‎ ‎【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半,由此可求得等腰直角三角形的斜边长,进而可求得两条直角边的长;然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长.‎ ‎【解答】解:∵等腰直角三角形外接圆半径为2,‎ ‎∴此直角三角形的斜边长为4,两条直角边分别为2,‎ ‎∴它的内切圆半径为:R=(2+2﹣4)=2﹣2.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆,等腰直角三角形的性质,要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别:直角三角形的内切圆半径:r=(a+b﹣c);(a、b为直角边,c为斜边)直角三角形的外接圆半径:R=c.‎ ‎ ‎ ‎8.函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据一次函数的图象性质得到y=﹣x+1经过第一、二、四象限;根据反比例函数的图象性质得到y=﹣分布在第二、四象限,然后对各选项进行判断.‎ ‎【解答】解:函数y=﹣x+1经过第一、二、四象限,函数y=﹣分布在第二、四象限.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的图象:反比例函数y=(k≠0)的图象为双曲线,当k>0,图象分布在第一、三象限;当k<0,图象分布在第二、四象限.也考查了一次函数的图象.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,直线l与半径为5cm的⊙O相交于A、B两点,且与半径OC垂直,垂足为H.若AB=8cm,l要与⊙O相切,则l应沿OC所在直线向下平移(  )‎ A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm ‎【分析】连接OB,根据已知条件可以推出HB=4cm,所以OH=3cm,HC=2cm,所以l应沿OC所在直线向下平移2cm.‎ ‎【解答】解:连接OB,‎ ‎∴OB=5cm,‎ ‎∵直线l⊙O相交于A、B两点,且与AB⊥OC,AB=8cm,‎ ‎∴HB=4cm,‎ ‎∴OH=3cm,‎ ‎∴HC=2cm.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、切线性质,解题的关键在于求HC和OH的长度.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是(  )‎ A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=AB=A′B′=OC′,从而得出滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.‎ ‎【解答】解:连接OC、OC′,如图,‎ ‎∵∠AOB=90°,C为AB中点,‎ ‎∴OC=AB=A′B′=OC′,‎ ‎∴当端点A沿直线AO向下滑动时,AB的中点C到O的距离始终为定长,‎ ‎∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了轨迹,圆的定义与性质,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点,则∠OAB的大小的变化趋势为(  )‎ A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变 ‎【分析】如图,作辅助线;首先证明△BOM∽△OAN,得到;设B(﹣m,),A(n,),得到BM=,AN=,OM=m,ON=n,进而得到mn=,mn=,此为解决问题的关键性结论;运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值,即可解决问题.‎ ‎【解答】解:如图,分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴;‎ ‎∵∠AOB=90°,‎ ‎∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°,‎ ‎∴∠BOM=∠OAN,‎ ‎∵∠BMO=∠ANO=90°,‎ ‎∴△BOM∽△OAN,‎ ‎∴;‎ 设B(﹣m,),A(n,),‎ 则BM=,AN=,OM=m,ON=n,‎ ‎∴mn=,mn=;‎ ‎∵∠AOB=90°,‎ ‎∴tan∠OAB=①;‎ ‎∵△BOM∽△OAN,‎ ‎∴===②,‎ 由①②知tan∠OAB=为定值,‎ ‎∴∠OAB的大小不变,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线,将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.‎ ‎ ‎ ‎12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:‎ ‎①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.‎ ‎【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,‎ ‎∴b=﹣4a,即4a+b=0,(故①正确);‎ ‎∵当x=﹣3时,y<0,‎ ‎∴9a﹣3b+c<0,‎ 即9a+c<3b,(故②错误);‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),‎ ‎∴a﹣b+c=0,‎ 而b=﹣4a,‎ ‎∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,‎ ‎∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,‎ ‎∵抛物线开口向下,‎ ‎∴a<0,‎ ‎∴8a+7b+2c>0,(故③正确);‎ ‎∵对称轴为直线x=2,‎ ‎∴当﹣1<x<2时,y的值随x值的增大而增大,‎ 当x>2时,y随x的增大而减小,(故④错误).‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2‎ ‎﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共6题,共计18分)‎ ‎13.计算(+)(﹣)的结果为 ﹣1 .‎ ‎【分析】根据平方差公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,求出算式(+)(﹣)的结果为多少即可.‎ ‎【解答】解:( +)(﹣)‎ ‎=‎ ‎=2﹣3‎ ‎=﹣1‎ ‎∴(+)(﹣)的结果为﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】(1)此题主要考查了二次根式的混合运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①与有理数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的.②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”,多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”.‎ ‎(2)此题还考查了平方差公式的应用:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,要熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎14.因式分解:4m2﹣16= 4(m+2)(m﹣2) .‎ ‎【分析】此题应先提公因式4,再利用平方差公式继续分解.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).‎ ‎【解答】解:4m2﹣16,‎ ‎=4(m2﹣4),‎ ‎=4(m+2)(m﹣2).‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.‎ ‎ ‎ ‎15.用2,3,4三个数字排成一个三位数,则排出的数是偶数的概率为  .‎ ‎【分析】首先利用列举法可得:用2,3,4三个数字排成一个三位数,等可能的结果有:234,243,324,342,423,432;且排出的数是偶数的有:234,324,342,432;然后直接利用概率公式求解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:∵用2,3,4三个数字排成一个三位数,等可能的结果有:234,243,324,342,423,432;且排出的数是偶数的有:234,324,342,432;‎ ‎∴排出的数是偶数的概率为: =.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题考查了列举法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 (10,3) .‎ ‎【分析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角△AOF中,利用勾股定理来求OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8﹣x,CF=10﹣6=4,根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标.‎ ‎【解答】解:∵四边形A0CD为矩形,D的坐标为(10,8),‎ ‎∴AD=BC=10,DC=AB=8,‎ ‎∵矩形沿AE折叠,使D落在BC上的点F处,‎ ‎∴AD=AF=10,DE=EF,‎ 在Rt△AOF中,OF==6,‎ ‎∴FC=10﹣6=4,‎ 设EC=x,则DE=EF=8﹣x,‎ 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2,即(8﹣x)2=x2+42,解得x=3,‎ 即EC的长为3.‎ ‎∴点E的坐标为(10,3),‎ 故答案为:(10,3).‎ ‎【点评】本题考查折叠的性质:折叠前后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等;对应点的连线段被折痕垂直平分.也考查了矩形的性质以及勾股定理.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= 60 °.‎ ‎【分析】利用四边形OABC为平行四边形,可得∠AOC=∠B,∠OAB=∠OCB,∠OAB+∠B=180°.利用四边形ABCD是圆的内接四边形,可得∠D+∠B=180°.利用同弧所对的圆周角和圆心角可得∠D=∠AOC,求出∠D=60°,进而即可得出.‎ ‎【解答】解:∵四边形OABC为平行四边形,‎ ‎∴∠AOC=∠B,∠OAB=∠OCB,∠OAB+∠B=180°.‎ ‎∵四边形ABCD是圆的内接四边形,‎ ‎∴∠D+∠B=180°.‎ 又∠D=∠AOC,‎ ‎∴3∠D=180°,‎ 解得∠D=60°.‎ ‎∴∠OAB=∠OCB=180°﹣∠B=60°.‎ ‎∴∠OAD+∠OCD=360°﹣(∠D+∠B+∠OAB+∠OCB)=360°﹣(60°+120°+60°+60°)=60°.‎ 故答案为:60.‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所对的圆周角和圆心角的关系,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上,每个方格单位为1.‎ ‎(1)平行四边形ABCD的面积为 6 ;‎ ‎(2)在网格上请画出一个正方形,使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积.(尺规作图,保留作图痕迹)并把主要画图步骤写出来.‎ ‎【分析】(1)平行四边形ABCD的面积=矩形的面积﹣2个直角三角形的面积,即可得出结果;‎ ‎(2)由正方形的面积和相交弦定理得出正方形的边长,画出图形即可.‎ ‎【解答】解(1)平行四边形ABCD的面积=4×2﹣2××1×2=6;‎ 故答案为:6‎ ‎(2)①作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F;‎ ‎②延长AD至G,使DG=DF;‎ ‎③以AG为直径作半圆;‎ ‎④延长FD交半圆于H,则DH即为所求的正方形边长;‎ ‎⑤以DH为边长作正方形DHMN;如图所示 ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、作图﹣复杂作图、相交弦定理;作出正方形的边长是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ 三、综合题(共7题,共计66分)‎ ‎19.解不等式组,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.‎ ‎【分析】先求出不等式的解集,再求出不等式组的解集,最后在数轴上表示出来即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵由①得:,‎ 由②得:x≤1,‎ ‎∴不等式组的解集为:,‎ 在数轴上表示不等式组的解集为:‎ ‎.‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组,解一元一次不等式,在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎20.商场为了促销某件商品,设置了如图的一个转盘,它被分成了3个相同的扇形.各扇形分别标有数字2,3,4,指针的位置固定,该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取,每次转动后让其自由停止,记下指针所指的数字(指针指向两个扇形的交线时,当作右边的扇形),先记的数字作为价格的十位数字,后记的数字作为价格的个位数字,则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少?‎ ‎【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出顾客购买商品的价格不超过30元的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:画树状图为:‎ 共有9种等可能的结果数,其中顾客购买商品的价格不超过30元的结果数为3,‎ 所以顾客购买商品的价格不超过30元的概率==.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.‎ ‎ ‎ ‎21.一种进价为每件40元的T恤,若销售单价为60元,则每周可卖出300件.为提高利润,欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现:每涨价1元,每周要少卖出5件.‎ ‎(1)请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并求销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大?‎ ‎(2)若要使每周的销售利润不低于7680元,请确定销售单价x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润,即y=(x﹣40)[300﹣5(x﹣60)],再把解析式整理为一般式,然后根据二次函数的性质确定销售单价定为多少元时,每周的销售利润最大.‎ ‎(2)由函数值求出自变量的两个值,再根据二次不等式的解集即可求得x的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意得y=(x﹣40)[300﹣5(x﹣60)]‎ ‎=﹣5(x2﹣160x+4800)‎ ‎=﹣5(x﹣80)2+8000,‎ ‎∵a<0,‎ ‎∴当x=80时,y的值最大=8000,即销售单价定为80元时,每周的销售利润最大;‎ ‎(2)当y=7680时,﹣5(x﹣80)2+8000=7680,‎ 整理得:(x﹣80)2=64,‎ ‎∴x﹣80=±8,‎ ‎∴x1=88,x2=72,‎ ‎∴72≤x≤88.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用:利用二次函数解决利润问题,在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎22.已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.‎ ‎(1)求证:EF是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长.‎ ‎【分析】(1)连接FO,由F为BC的中点,AO=CO,得到OF∥AB,由于AC是⊙O的直径,得出CE⊥AE,根据OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直线垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到结论.‎ ‎(2)证出△AOE是等边三角形,得到∠EOA=60°,再由直角三角形的性质即可得到结果.‎ ‎【解答】证明:(1)如图1,连接FO,‎ ‎∵F为BC的中点,AO=CO,‎ ‎∴OF∥AB,‎ ‎∵AC是⊙O的直径,‎ ‎∴CE⊥AE,‎ ‎∵OF∥AB,‎ ‎∴OF⊥CE,‎ ‎∴OF所在直线垂直平分CE,‎ ‎∴FC=FE,OE=OC,‎ ‎∴∠FEC=∠FCE,∠0EC=∠0CE,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ 即:∠0CE+∠FCE=90°,‎ ‎∴∠0EC+∠FEC=90°,‎ 即:∠FEO=90°,‎ ‎∴FE为⊙O的切线;‎ ‎(2)如图2,∵⊙O的半径为3,‎ ‎∴AO=CO=EO=3,‎ ‎∵∠EAC=60°,OA=OE,‎ ‎∴∠EOA=60°,‎ ‎∴∠COD=∠EOA=60°,‎ ‎∵在Rt△OCD中,∠COD=60°,OC=3,‎ ‎∴CD=,‎ ‎∵在Rt△ACD中,∠ACD=90°,‎ CD=,AC=6,‎ ‎∴AD=.‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质,三角形的中位线的性质,勾股定理,线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质,熟练掌握定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2m,台阶AC的坡度为1:,且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).‎ ‎【分析】由于AF⊥AB,则四边形ABEF为矩形,设DE=x,在Rt△CDE中,CE═==x,在Rt△ABC中,得到=,求出BC,在Rt△AFD中,求出AF,由AF=BC+CE即可求出x的长.‎ ‎【解答】解:∵AF⊥AB,AB⊥BE,DE⊥BE,‎ ‎∴四边形ABEF为矩形,‎ ‎∴AF=BE,EF=AB=2‎ 设DE=x,在Rt△CDE中,CE===x,‎ 在Rt△ABC中,‎ ‎∵=,AB=2,‎ ‎∴BC=2,‎ 在Rt△AFD中,DF=DE﹣EF=x﹣2,‎ ‎∴AF===(x﹣2),‎ ‎∵AF=BE=BC+CE.‎ ‎∴(x﹣2)=2+x,‎ 解得x=6.‎ 答:树DE的高度为6米.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数;借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(1)操作发现:‎ 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.‎ ‎(2)问题解决:‎ 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;‎ ‎(3)类比探求:‎ 保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值.‎ ‎【分析】(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即连接EF,证△EGF≌△EDF即可;‎ ‎(2)可设DF=x,BC=y;进而可用x表示出DC、AB的长,根据折叠的性质知AB=BG,即可得到BG的表达式,由(1)证得GF=DF,那么GF=x,由此可求出BF的表达式,进而可在Rt△BFC中,根据勾股定理求出x、y的比例关系,即可得到的值;‎ ‎(3)方法同(2).‎ ‎【解答】解:(1)同意,连接EF,‎ 则根据翻折不变性得,‎ ‎∠EGF=∠D=90°,EG=AE=ED,EF=EF,‎ 在Rt△EGF和Rt△EDF中,‎ ‎∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),‎ ‎∴GF=DF;‎ ‎(2)由(1)知,GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y ‎∵DC=2DF,‎ ‎∴CF=x,DC=AB=BG=2x,‎ ‎∴BF=BG+GF=3x;‎ 在Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+x2=(3x)2‎ ‎∴y=2x,‎ ‎∴;‎ ‎(3)由(1)知,GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y ‎∵DC=nDF,‎ ‎∴BF=BG+GF=(n+1)x 在Rt△BCF中,BC2+CF2=BF2,即y2+[(n﹣1)x]2=[(n+1)x]2‎ ‎∴y=2x,‎ ‎∴或.‎ ‎【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识,难度适中.‎ ‎ ‎ ‎25.如图甲,四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tan∠CBE=,A(3,0),D(﹣1,0),E(0,3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标;‎ ‎(2)求证:CB是△ABE外接圆的切线;‎ ‎(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0<t≤3)时,△AOE与△ABE重叠部分的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并指出t的取值范围.‎ ‎【分析】(1)已知A、D、E三点的坐标,利用待定系数法可确定抛物线的解析式,进而能得到顶点B的坐标.‎ ‎(2)过B作BM⊥y轴于M,由A、B、E三点坐标,可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形,易证得∠BEA=90°,即△ABE是直角三角形,而AB是△ABE外接圆的直径,因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得,能求出tan∠BAE的值,结合tan∠CBE的值,可得到∠CBE=∠BAE,由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°,此题得证.‎ ‎(3)△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,即AE=3BE,若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,那么该三角形必须满足两个条件:①有一个角是直角、②两直角边满足1:3的比例关系;然后分情况进行求解即可.‎ ‎(4)过E作EF∥x轴交AB于F,当E点运动在EF之间时,△AOE与△ABE重叠部分是个四边形;当E点运动到F点右侧时,△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解.‎ ‎【解答】(1)解:由题意,设抛物线解析式为y=a(x﹣3)(x+1).‎ 将E(0,3)代入上式,解得:a=﹣1.‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3.‎ 则点B(1,4).‎ ‎(2)证明:如图1,过点B作BM⊥y于点M,则M(0,4).‎ 在Rt△AOE中,OA=OE=3,‎ ‎∴∠1=∠2=45°,AE==3.‎ 在Rt△EMB中,EM=OM﹣OE=1=BM,‎ ‎∴∠MEB=∠MBE=45°,BE==.‎ ‎∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°.‎ ‎∴AB是△ABE外接圆的直径.‎ 在Rt△ABE中,tan∠BAE===tan∠CBE,‎ ‎∴∠BAE=∠CBE.‎ 在Rt△ABE中,∠BAE+∠3=90°,∴∠CBE+∠3=90°.‎ ‎∴∠CBA=90°,即CB⊥AB.‎ ‎∴CB是△ABE外接圆的切线.‎ ‎(3)解:Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠BAE=,sin∠BAE=,cos∠BAE=;‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则△DEP必为直角三角形;‎ ‎①DE为斜边时,P1在x轴上,此时P1与O重合;‎ 由D(﹣1,0)、E(0,3),得OD=1、OE=3,即tan∠DEO==tan∠BAE,即∠DEO=∠BAE 满足△DEO∽△BAE的条件,因此 O点是符合条件的P1点,坐标为(0,0).‎ ‎②DE为短直角边时,P2在x轴上;‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠DEP2=∠AEB=90°,sin∠DP2E=sin∠BAE=;‎ 而DE==,则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10,OP2=DP2﹣OD=9‎ 即:P2(9,0);‎ ‎③DE为长直角边时,点P3在y轴上;‎ 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,则∠EDP3=∠AEB=90°,cos∠DEP3=cos∠BAE=;‎ 则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=,OP3=EP3﹣OE=;‎ 综上,得:P1(0,0),P2(9,0),P3(0,﹣).‎ ‎(4)解:设直线AB的解析式为y=kx+b.‎ 将A(3,0),B(1,4)代入,得,解得.‎ ‎∴y=﹣2x+6.‎ 过点E作射线EF∥x轴交AB于点F,当y=3时,得x=,∴F(,3).‎ 情况一:如图2,当0<t≤时,设△AOE平移到△GNM的位置,MG交AB于点H,MN交AE于点S.‎ 则ON=AG=t,过点H作LK⊥x轴于点K,交EF于点L.‎ 由△AHG∽△FHM,得,即.‎ 解得HK=2t.‎ ‎∴S阴=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣(3﹣t)2﹣t2t=﹣t2+3t.‎ 情况二:如图3,当<t≤3时,设△AOE平移到△PQR的位置,PQ交AB于点I,交AE于点V.‎ 由△IQA∽△IPF,得.即,‎ 解得IQ=2(3﹣t).‎ ‎∵AQ=VQ=3﹣t,‎ ‎∴S阴=IVAQ=(3﹣t)2=t2﹣3t+.‎ 综上所述:s=.‎ ‎【点评】该题考查了二次函数的综合题,涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识,综合性强,难度系数较大.此题的难点在于后两个小题,它们都需要分情况进行讨论,容易出现漏解的情况.在解答动点类的函数问题时,一定不要遗漏对应的自变量取值范围.‎ ‎ ‎
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