中考数学压轴题精选精析例

中考数学压轴题精选精析例

‎2012中考数学压轴题精选精析（1-10例）‎ ‎1、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．‎ ‎（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；‎ ‎（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；‎ 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；‎ ‎（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．‎ 考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。‎ 专题：综合题；分类讨论。‎ 分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；‎ ‎（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；‎ ‎（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．‎ 解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，‎ 如图1，‎ ‎∵点D在以AB为直径的半圆上，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴BD⊥AD，‎ 在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，‎ ‎∵AE∥BF，‎ ‎∴两条射线AE、BF所在直线的距离为．‎ ‎（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或﹣1＜b＜1；‎ 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜‎ ‎（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：‎ ‎①当点M在射线AE上时，如图2．‎ ‎∵AMPQ四点按顺时针方向排列，‎ ‎∴直线PQ必在直线AM的上方，‎ ‎∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，‎ ‎∴0＜PQ＜．‎ ‎∵AM∥PQ且AM=PQ，‎ ‎∴0＜AM＜‎ ‎∴﹣2＜x＜﹣1，‎ ‎②当点M不在弧AD上时，如图3，‎ ‎∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，‎ ‎∴直线PQ必在直线AM的下方，‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形．‎ ‎③当点M在弧BD上时，‎ 设弧DB的中点为R，则OR∥BF，‎ 当点M在弧DR上时，如图4，‎ 过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．‎ ‎∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，‎ ‎∴0≤x＜．‎ 当点M在弧RB上时，如图5，‎ 直线PQ必在直线AM的下方，‎ 此时不存在满足题意的平行四边形．‎ ‎④当点M在射线BF上时，如图6，‎ 直线PQ必在直线AM的下方，‎ 此时，不存在满足题意的平行四边形．‎ 综上，点M的横坐标x的取值范围是 ‎﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜．‎ 点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．‎ ‎2、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点 为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．‎ ‎（1）求c，b （用含t的代数式表示）：‎ ‎（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．‎ ‎①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；‎ ‎②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；‎ ‎（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；‎ ‎（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，‎ ‎②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；‎ ‎（3）根据图形，即可直接求得答案．‎ 解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，‎ 再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，‎ ‎∵t＞0，‎ ‎∴b=﹣t；‎ ‎（2）①不变．‎ 如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），‎ ‎∵tan∠AMP=1，‎ ‎∴∠AMP=45°；‎ ‎②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=（t﹣4）（4t﹣16）+[（4t﹣16）+‎ ‎（t﹣1）]×3﹣（t﹣1）（t﹣1）=t2﹣t+6．‎ 解t2﹣t+6=，‎ 得：t1=，t2=，‎ ‎∵4＜t＜5，‎ ‎∴t1=舍去，‎ ‎∴t=．‎ ‎（3）＜t＜．‎ 点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．‎ ‎3．（2011•江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？‎ 数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．‎ 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．‎ ‎1‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎－1‎ ‎－1‎ ４． 填写下表，画出函数的图象：‎ x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎……‎ ‎②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；‎ ‎③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还 可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．‎ 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．‎ ‎【答案】 解:⑴①‎ x ‎……‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……‎ y ‎……‎ ‎2‎ ‎……‎ 函数的图象如图．‎ ‎②本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．‎ ‎③==‎ ‎=‎ 当=0，即时，函数的最小值为2． ‎ ‎⑵仿⑴③==‎ ‎=‎ 当=0，即时，函数的最小值为． ‎ ‎⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为． ‎ ‎【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．‎ ‎【分析】⑴将x值代入函类数关系式求出y值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.‎ ‎⑵仿⑴③=‎ ‎==‎ 所以, 当=0，即时，函数的最小值为 ‎4．（2011•江苏杨州）在中，是边的中点，交于点．动点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动．同时，动点从点出发沿射线运动，且始终保持设运动时间为秒（）．‎ ‎（1）与相似吗？以图１为例说明理由；‎ ‎（2）若厘米．‎ ‎①求动点的运动速度；‎ ‎②设的面积为（平方厘米），求与的函数关系式；‎ ‎（3）探求三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．‎ A B P N Q C M A B C N M 图1‎ 图2（备用图）‎ ‎【答案】解：（1） 理由如下： 如图1，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）cm．‎ 又垂直平分，cm．‎ ‎＝‎4cm．‎ ‎①设点的运动速度为 cm/s．‎ 如图１，当时，由（1）知 即 如图2，易知当时，．‎ 综上所述，点运动速度为‎1 cm/s．‎ ‎②‎ 如图1，当时，‎ ‎．‎ 如图2，当时，,,‎ ‎．‎ 综上所述，‎ A B P N Q C M A B C N M 图1‎ 图2（备用图）‎ D P Q ‎（3）. 理由如下：‎ 如图1，延长至，使，连结、. ‎、互相平分，四边形是平行四边形，.‎ ‎，，．‎ 垂直平分，．‎ ‎【考点】相似三角形的判定,。‎ ‎【分析】（1）由得到 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ （2）①由于厘米，点从点出发沿射线以每秒厘米的速度运动，故点从点出发沿射线到达点的时间为4秒,从而应分两种情况和分别讨论。②分两种情况和，把。‎ ‎ （3）要探求三者之间的数量关系就要把放到一个三角形中，故作辅助线延长至，使，连结、得到，，从而在，，‎ ‎5、（2011•江苏连云港）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．‎ ‎（1）当时t=1时，正方形EFGH的边长是　1　．当t=3时，正方形EFGH的边长是　4　．‎ ‎（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？‎ 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。‎ 专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。‎ 分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；‎ ‎（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；‎ ‎（3）当t=5时，面积最大；‎ 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，‎ ‎∴正方形EFGH的边长是2；‎ 当t=3时，PE=1，PF=3，‎ ‎∴正方形EFGH的边长是4；‎ ‎（2）：①当0＜t≤时，‎ S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；‎ ‎②当＜t≤时，‎ S与t的函数关系式是：‎ y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）]，‎ ‎=﹣t2+11t﹣3；‎ ‎③当＜t≤2时；‎ S与t的函数关系式是：‎ y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t），‎ ‎=3t；‎ ‎（3）当t=5时，最大面积是：‎ s=16﹣××=；‎ 点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．‎ ‎6．（2011•江苏淮安）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：‎ ‎（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；‎ ‎（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；‎ ‎…‎ 现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）‎ ‎ 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．‎ A B C 图2‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ D Q1‎ Q2‎ A B C 图1‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ 经探究知＝S△ABC，请证明．‎ ‎ ‎ ‎ 问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．‎ ‎ 问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若 S四边形ABCD＝1，求．‎ ‎ 问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3‎ A D P1‎ P2‎ P3‎ B Q1‎ Q2‎ Q3‎ C 图4‎ S1‎ S2‎ S3‎ S4‎ 将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．‎ A D C B P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ Q1‎ Q2‎ Q3‎ Q4‎ 图3‎ ‎【答案】解：问题1：∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，‎ ‎ ∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为1:4:9．‎ A B C 图2‎ P1‎ P2‎ R2‎ R1‎ D Q1‎ Q2‎ ‎ ∴＝S△ABC＝S△ABC 问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，可知 ‎ ∴＝S△ABC ，＝S△ACD ‎ ∴＋＝S四边形ABCD ‎ 由∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC，‎ ‎ 可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1．‎ ‎ ∴∠P1R‎1A＝∠P2R‎2A，∠Q1R‎1A＝∠Q2R‎2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2．‎ ‎ 由结论（2），可知＝．‎ ‎ ∴＝＋＝S四边形ABCD．‎ ‎ 问题3：设＝A，＝B，设＝C，‎ ‎ 由问题2的结论，可知A＝，B＝．‎ ‎ A＋B＝(S四边形ABCD＋C)＝(1＋C)．‎ ‎ 又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．‎ ‎ 整理得C＝，即＝ ‎ 问题4：S1＋S4＝S2＋S3．‎ ‎【考点】平行的判定，相似三角形的判定和性质，等量代换。‎ ‎【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。‎ ‎ 问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。‎ ‎ 问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。‎ ‎ 问题4：由问题2可知S1＋S4＝S2＋S3＝。‎ O A B l x y ‎7．（2011•江苏南通）如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y＝ ‎(x＞0)交于点B(2，1)．过点P(p，p－1)(p＞1)作x轴的平 行线分别交双曲线y＝(x＞0)和y＝－(x＜0)于点M、N．‎ ‎(1)求m的值和直线l的解析式；‎ ‎(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；‎ ‎(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若 不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：(1)由点B(2，1)在y＝上，有2＝，即m＝2。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设直线l的解析式为，由点A(1，0)，点B(2，1)在上，得 ‎ ， ，解之，得 ‎ ∴所求 直线l的解析式为 。‎ ‎ (2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，见图（1）。‎ ‎ ∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。‎ ‎ ∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP＝，‎ ‎ BP＝ ‎ ‎ ∴在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，。‎ ‎ ∴△PMB∽△PNA。‎ ‎ (3)S△AMN＝。下面分情况讨论：‎ ‎ 当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为则有 ‎ 解得 ‎ ‎ 则直线MP为 ‎ 当y＝0时，x＝，即点Q的坐标为（，0）。 ‎ ‎ 则，‎ ‎ 由2＝4有，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。‎ ‎ ‚当p＝3时，见图（1）S△AMP＝＝S△AMN。不合题意。‎ ‎ ƒ当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。‎ ‎ 此时，S△AMP大于情况‚当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。 ‎ ‎ 综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。‎ ‎【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。‎ ‎【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l的解析式。‎ ‎ (2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。‎ ‎ (3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。‎ ‎8．（2011•江苏苏州）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．‎ ‎ (1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；‎ ‎ (2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；‎ ‎ (3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】二次函数,图形的翻转,300角的直角三角形的性质, 平行四边形的判定,一元二次方程.‎ ‎【分析】(1)先利用点在二次函数上点的坐标满足方程和300角的直角三角形300角所对的 直角边是斜边的一半, 求出点A,B,C的坐标,再求出a.‎ ‎(2)比较四线段的长短来得出结论.‎ ‎(3)由点A,B是抛物线与X轴的交点, 点P在抛物线对称轴上,所以PA=PB,要PA,PB,PC,PD构成一个平行四边形的四条边，只要PC=PD, 从而推出a。‎ ‎9．（2011•江苏泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。‎ ‎（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；‎ ‎（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形 OA=OB=a·cos45°=a ∴P点坐标为（a，a）‎ ‎（2）作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,‎ 设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）‎ ‎∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO 在△AOB和△DEA中：‎ ‎ ∴△AOB≌和△DEA（AAS） ‎ ‎ ∴AE=0B=n,DE=OA=m,‎ 则D点坐标为（m+n,m）‎ ‎∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）‎ ‎∴P点坐标为（,）∴PF=OF= ∴∠POF=45°,‎ ‎∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；‎ ‎（3）当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，‎ 则0°≤α＜45° h=PF=PA·cosα=a·cosα ‎∵0°≤α＜45° ∴＜cosα≤1 ∴a＜h≤a ‎【考点】正方形性质, 特殊角三角函数, 全等三角形,, 直角梯形．‎ ‎【分析】⑴ 根据已知条件, 用特殊角三角函数可求.‎ ‎ （2）根据已知条件, 假设A点坐标为（m,0）, B点坐标为（0,n）并作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F, 用全等三角形等知识求出点D,P,E,F坐标(用m,n表示), 从而证出PF=OF, 进而∠POF=45°.因此得证.‎ ‎ （3）由（2）知∠OPF=45°,故0°≤∠OPA＜45°,＜cos∠OPA≤1, 在Rt△APF中PF=PA·cos∠OPA,从而得求.‎ ‎10．（2011•江苏无锡）(本题满分10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：‎ 税级[‎ 现行征税方法 草案征税方法 月应纳税额x 税率 速算扣除数 月应纳税额x 税率 速算扣除数 ‎1‎ x≤500‎ ‎5％‎ ‎0‎ x≤1 500‎ ‎5％‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎500

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