重庆中考数学24题专题练习答案详解

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重庆中考数学24题专题练习答案详解

‎2013年重庆中考数学24题专题练习 ‎1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE ‎(1)求证:BE=CE;‎ ‎(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.‎ ‎2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.‎ ‎(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;‎ ‎(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.‎ ‎3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.‎ ‎(1)当CE=1时,求△BCE的面积;‎ ‎(2)求证:BD=EF+CE.‎ ‎4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E EF∥CA,交CD于点F,连接OF.‎ ‎(1)求证:OF∥BC;‎ ‎(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.‎ ‎5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.‎ ‎(1)求线段CD的长;‎ ‎(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.‎ ‎6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.‎ ‎(1)若AB=6cm,,求梯形ABCD的面积;‎ ‎(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.‎ ‎7、已知:如图,ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.‎ ‎(1)求证:AE=ED;‎ ‎(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.‎ ‎8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.‎ ‎(1)求证:∠DAE=∠DCE;‎ ‎(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.‎ ‎9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.‎ ‎(1)求证:DP平分∠ADC;‎ ‎(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.‎ ‎10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;‎ ‎(1)证明:EF=EA;‎ ‎(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.‎ ‎11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.‎ ‎(1)求证:EB=EF;‎ ‎(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.‎ ‎12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.‎ ‎(1)求证:AE=GF;‎ ‎(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.‎ ‎13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG. ‎ ‎(1)求证:FC=BE;‎ ‎(2)若AD=DC=2,求AG的长.‎ ‎14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.‎ ‎(1)求证:AD=BE;‎ ‎(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.‎ ‎15、(2011•潼南县)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎(1)求证:AD=AE;‎ ‎(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.‎ ‎16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.‎ ‎(1)求证:AE⊥BD; (2)若AD=4,BC=14,求EF的长.‎ ‎17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC. ‎ ‎(1)求证:CD=BE;‎ ‎(2)若AD=3,DC=4,求AE.‎ ‎18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.‎ ‎19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.‎ ‎(1)求证:BF=EF﹣ED;‎ ‎(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.‎ ‎20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.‎ ‎(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求 AE的长.‎ ‎(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.‎ ‎21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.‎ ‎(1)求证:DH=(AD+BC);‎ ‎(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.‎ ‎22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.‎ ‎(1)求证:△AGE≌△DAB;‎ ‎(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.‎ ‎23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.‎ ‎(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;‎ ‎(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;‎ ‎(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.‎ ‎(1)证明:△ABE≌△DAF;‎ ‎(2)求∠BPF的度数.‎ ‎25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.‎ ‎(1)求∠ABC的度数;‎ ‎(2)如果BC=8,求△DBF的面积?‎ ‎26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.‎ ‎(1)求证:△AGD为正三角形;‎ ‎(2)求EF的长度.‎ ‎27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.‎ ‎(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.‎ ‎(2)求证:ED=BE+FC.‎ ‎28、(2005•镇江)已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:△BCE≌△AFE;‎ ‎(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.‎ ‎29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E. ‎ 求证:‎ ‎(1)△BFC≌△DFC;‎ ‎(2)AD=DE;‎ ‎(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.‎ ‎30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.‎ ‎(1)求证:四边形ABED是菱形;‎ ‎(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.‎ 参考答案 ‎1、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,连接BE,CE ‎(1)求证:BE=CE;‎ ‎(2)若∠BEC=90°,过点B作BF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证:BG=DG+CD.‎ ‎ ‎ 证明:(1)已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E为AD中点,‎ ‎∴AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE,‎ ‎∴△BAE≌△CDE,‎ ‎∴BE=CE;‎ ‎(2)延长CD和BE的延长线交于H, ‎ ‎∵BF⊥CD,∠HEC=90°,‎ ‎∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°‎ ‎∴∠EBF=∠ECH,‎ 又∠BEC=∠CEH=90°,‎ BE=CE(已证),‎ ‎∴△BEG≌△CEH,‎ ‎∴EG=EH,BG=CH=DH+CD,‎ ‎∵△BAE≌△CDE(已证),‎ ‎∴∠AEB=∠GED,‎ ‎∠HED=∠AEB,‎ ‎∴∠GED=∠HED,‎ 又EG=EH(已证),ED=ED,‎ ‎∴△GED≌△HED,‎ ‎∴DG=DH,‎ ‎∴BG=DG+CD.‎ ‎2、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点.‎ ‎(1)若HE=HG,求证:△EBH≌△GFC;‎ ‎(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.‎ ‎(1)证明:∵HE=HG,‎ ‎∴∠HEG=∠HGE,‎ ‎∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,‎ ‎∴∠BEH=∠FGC,‎ ‎∵G是HC的中点,‎ ‎∴HG=GC,‎ ‎∴HE=GC,‎ ‎∵∠HBE=∠CFG=90°.‎ ‎∴△EBH≌△GFC;‎ ‎(2)解:∵ED平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°,‎ ‎∴AD=DF,‎ ‎∵DF=DC﹣FC,‎ ‎∵△EBH≌△GFC,‎ ‎∴FC=BH=1,‎ ‎∴AD=4﹣1=3.‎ ‎3、如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是对角线AC延长线上一点,F是AD延长线上的一点,且EB⊥AB,EF⊥AF.‎ ‎(1)当CE=1时,求△BCE的面积;‎ ‎(2)求证:BD=EF+CE.‎ ‎(2)过E点作EM⊥DB于点M,四边形FDME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,△BME≌△ECB,BM=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.‎ ‎(1)解:∵AD=CD,‎ ‎∴∠DAC=∠DCA,‎ ‎∵DC∥AB,‎ ‎∴∠DCA=∠CAB,‎ ‎∴,‎ ‎∵DC∥AB,AD=BC,‎ ‎∴∠DAB=∠CBA=60°,‎ ‎∴∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=90°,‎ ‎∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°,‎ ‎∵BE⊥AB,‎ ‎∴∠ABE=90°,‎ ‎∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°,‎ 在Rt△BCE中,BE=2CE=2,,‎ ‎∴…(5分)‎ ‎(2)证明:过E点作EM⊥DB于点M,‎ ‎∴四边形FDME是矩形,‎ ‎∴FE=DM,‎ ‎∵∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,‎ ‎∴△BME≌△ECB,‎ ‎∴BM=CE,‎ ‎∴BD=DM+BM=EF+CE…(10分)‎ ‎4、如图.在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E作EF∥CA,交CD于点F,连接OF.‎ ‎(1)求证:OF∥BC;‎ ‎(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.‎ 解答:(1)证明:延长EF交AD于G(如图),‎ 在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,‎ ‎∵EF∥CA,EG∥CA,‎ ‎∴四边形ACEG是平行四边形,‎ ‎∴AG=CE,‎ 又∵,AD=BC,‎ ‎∴,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADC=∠ECF,‎ 在△CEF和△DGF中,‎ ‎∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG,‎ ‎∴△CEF≌△DGF(AAS),‎ ‎∴CF=DF,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OB=OD,‎ ‎∴OF∥BE.‎ ‎(2)解:如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形.‎ 证明:∵OF∥CE,EF∥CO,‎ ‎∴四边形OCEF是平行四边形,‎ ‎∴EF=OC,‎ 又∵梯形OBEF是等腰梯形,‎ ‎∴BO=EF,‎ ‎∴OB=OC,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2BO.‎ ‎∴AC=BD,‎ ‎∴平行四边形ABCD是矩形.‎ ‎5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且DG=DE,AB=,CF=6.‎ ‎(1)求线段CD的长;‎ ‎(2)H在边BF上,且∠HDF=∠E,连接CH,求证:∠BCH=45°﹣∠EBC.‎ ‎(1)解:连接BD,‎ 由∠ABC=90°,AD∥BC得∠GAD=90°,‎ 又∵BF⊥CD,‎ ‎∴∠DFE=90°‎ 又∵DG=DE,∠GDA=∠EDF,‎ ‎∴△GAD≌△EFD,‎ ‎∴DA=DF,‎ 又∵BD=BD,‎ ‎∴Rt△BAD≌Rt△BFD(HL),‎ ‎∴BF=BA=,∠ADB=∠BDF 又∵CF=6,‎ ‎∴BC=,‎ 又∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠CBD,‎ ‎∴∠BDF=∠CBD,‎ ‎∴CD=CB=8.‎ ‎(2)证明:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠E=∠CBF,‎ ‎∵∠HDF=∠E,‎ ‎∴∠HDF=∠CBF,‎ 由(1)得,∠ADB=∠CBD,‎ ‎∴∠HDB=∠HBD,‎ ‎∴HD=HB,‎ 由(1)得CD=CB,‎ ‎∴△CDH≌△CBH,‎ ‎∴∠DCH=∠BCH,‎ ‎∴∠BCH=∠BCD==.‎ ‎6、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.‎ ‎(1)若AB=6cm,,求梯形ABCD的面积;‎ ‎(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且满足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求证:HD=BE+BF.‎ 解:(1)连AC,过C作CM⊥AD于M,如图,‎ 在Rt△ABC中,AB=6,sin∠ACB==,‎ ‎∴AC=10,‎ ‎∴BC=8,‎ 在Rt△CDM中,∠D=45°,‎ ‎∴DM=CM=AB=6,‎ ‎∴AD=6+8=14,‎ ‎∴梯形ABCD的面积=•(8+14)•6=66(cm2);‎ ‎(2)证明:过G作GN⊥AD,如图,‎ ‎∵∠D=45°,‎ ‎∴△DNG为等腰直角三角形,‎ ‎∴DN=GN,‎ 又∵AD∥BC,‎ ‎∴∠BFH=∠FHN,‎ 而∠EFH=∠FHG,‎ ‎∴∠BFE=∠GHN,‎ ‎∵EF=GH,‎ ‎∴Rt△BEF≌Rt△NGH,‎ ‎∴BE=GN,BF=HN,‎ ‎∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE.‎ ‎7、已知:如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长CD至F,使DF=CD,连接BF交AD于点E.‎ ‎(1)求证:AE=ED;‎ ‎(2)若AB=BC,求∠CAF的度数.‎ ‎(1)证明:如图.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥CD,AB=CD.‎ ‎∵DF=CD,‎ ‎∴AB∥DF.‎ ‎∵DF=CD,‎ ‎∴AB=DF.‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形,‎ ‎∴AE=DE.‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=BC,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎∴AC⊥BD.‎ ‎∴∠COD=90°.‎ ‎∵四边形ABDF是平行四边形,‎ ‎∴AF∥BD.‎ ‎∴∠CAF=∠COD=90°.‎ ‎8、已知:如图,在正方形ABCD中,点G是BC延长线上一点,连接AG,分别交BD、CD于点E、F.‎ ‎(1)求证:∠DAE=∠DCE;‎ ‎(2)当CG=CE时,试判断CF与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论.‎ ‎(1)证明:在△DAE和△DCE中,‎ ‎∠ADE=∠CDE(正方形的对角线平分对角),‎ ED=DE(公共边),‎ AE=CE(正方形的四条边长相等),‎ ‎∴△DAE≌△DCE (SAS),‎ ‎∴∠DAE=∠DCE(全等三角形的对应角相等);‎ ‎(2)解:如图,由(1)知,△DAE≌△DCE,‎ ‎∴AE=EC,‎ ‎∴∠EAC=∠ECA(等边对等角);‎ 又∵CG=CE(已知),‎ ‎∴∠G=∠CEG(等边对等角);‎ 而∠CEG=2∠EAC(外角定理),‎ ‎∠ECB=2∠CEG(外角定理),‎ ‎∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°,‎ ‎∴∠G=∠CEG=30°;‎ 过点C作CH⊥AG于点H,‎ ‎∴∠FCH=30°,‎ ‎∴在直角△ECH中,EH=CH,EG=2CH,‎ 在直角△FCH中,CH=CF,‎ ‎∴EG=2×CF=3CF.‎ ‎9、如图,已知正方形ABCD,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接EF,若BE=DF,点P是EF的中点.‎ ‎(1)求证:DP平分∠ADC;‎ ‎(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面积.‎ ‎(1)证明:连接PC.‎ ‎∵ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.‎ ‎∵BE=DF,‎ ‎∴△ABE≌△ADF.(SAS)‎ ‎∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.‎ ‎∴∠EAF=∠BAD=90°.‎ ‎∵P是EF的中点,‎ ‎∴PA=EF,PC=EF,‎ ‎∴PA=PC.‎ 又 AD=CD,PD公共,‎ ‎∴△PAD≌△PCD,(SSS)‎ ‎∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;‎ ‎(2)作PH⊥CF于H点.‎ ‎∵P是EF的中点,‎ ‎∴PH=EC.‎ 设EC=x.‎ 由(1)知△EAF是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠AEF=45°,‎ ‎∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°,‎ ‎∴EF=2x,FC=x,BE=2﹣x.‎ 在Rt△ABE中,22+(2﹣x)2=(x)2解得 x1=﹣2﹣2(舍去),x2=﹣2+2.‎ ‎∴PH=﹣1+,FD=(﹣2+2)﹣2=﹣2+4.‎ ‎∴S△DPF=(﹣2+4)×=3﹣5.‎ ‎10、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E为CD的中点,交BC的延长线于F;‎ ‎(1)证明:EF=EA;‎ ‎(2)过D作DG⊥BC于G,连接EG,试证明:EG⊥AF.‎ ‎(1)证明:‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.‎ ‎∵E为CD的中点,‎ ‎∴ED=EC.‎ ‎∴△ADE≌△FCE.‎ ‎∴EF=EA.(5分)‎ ‎(2)解:连接GA,‎ ‎∵AD∥BC,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠DAB=90°.‎ ‎∵DG⊥BC,‎ ‎∴四边形ABGD是矩形.‎ ‎∴BG=AD,GA=BD.‎ ‎∵BD=BC,‎ ‎∴GA=BC.‎ 由(1)得△ADE≌△FCE,‎ ‎∴AD=FC.‎ ‎∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA.‎ ‎∵由(1)得EF=EA,‎ ‎∴EG⊥AF.(5分)‎ ‎11、如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD为边在直角梯形 ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.‎ ‎(1)求证:EB=EF;‎ ‎(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.‎ ‎(1)证明:∵△ADF为等边三角形,‎ ‎∴AF=AD,∠FAD=60°(1分)‎ ‎∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB(2分)‎ ‎∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,(3分)‎ ‎∵AE为公共边 ‎∴△FAE≌△BAE(4分)‎ ‎∴EF=EB(5分)‎ ‎(2)解:如图,连接EC.(6分)‎ ‎∵在等边三角形△ADF中,‎ ‎∴FD=FA,‎ ‎∵∠EAD=∠EDA=15°,‎ ‎∴ED=EA,‎ ‎∴EF是AD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.(7分)‎ 由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°.‎ ‎∵∠FAE=∠BAE=75°,‎ ‎∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,‎ ‎∴BE=BA=6.‎ ‎∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,‎ ‎∴∠GEB=30°,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴∠GBE=30°‎ ‎∴GE=GB.(8分)‎ ‎∵点G是BC的中点,‎ ‎∴EG=CG ‎∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°,‎ ‎∴△CEG为等边三角形,‎ ‎∴∠CEG=60°,‎ ‎∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°(9分)‎ ‎∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2‎ ‎∴CE=,‎ ‎∴BC=(10分);‎ 解法二:过C作CQ⊥AB于Q,‎ ‎∵CQ=AB=AD=6,‎ ‎∵∠ABC=60°,‎ ‎∴BC=6÷=4.‎ ‎12、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于点E,F是CD的中点,DG是梯形ABCD的高.‎ ‎(1)求证:AE=GF;‎ ‎(2)设AE=1,求四边形DEGF的面积.‎ ‎(1)证明:∵AB=DC,‎ ‎∴梯形ABCD为等腰梯形.‎ ‎∵∠C=60°,‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=120°,‎ 又∵AB=AD,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=30°.‎ ‎∴∠DBC=∠ADB=30°.‎ ‎∴∠BDC=90°.(1分)‎ 由已知AE⊥BD,‎ ‎∴AE∥DC.(2分)‎ 又∵AE为等腰三角形ABD的高,‎ ‎∴E是BD的中点,‎ ‎∵F是DC的中点,‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∴EF∥AD.‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形.(3分)‎ ‎∴AE=DF(4分)‎ ‎∵F是DC的中点,DG是梯形ABCD的高,‎ ‎∴GF=DF,(5分)‎ ‎∴AE=GF.(6分)‎ ‎(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,‎ ‎∵AE=1,‎ ‎∴AD=2.‎ 在Rt△DGC中∠C=60°,‎ 并且DC=AD=2,‎ ‎∴DG=.(8分)‎ 由(1)知:在平行四边形AEFD中EF=AD=2,‎ 又∵DG⊥BC,‎ ‎∴DG⊥EF,‎ ‎∴四边形DEGF的面积=EF•DG=.(10分)‎ ‎13、已知,如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC,连AG.‎ ‎(1)求证:FC=BE;‎ ‎(2)若AD=DC=2,求AG的长.‎ 解答:(1)证明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,‎ ‎∴∠ABC=∠AFE.‎ ‎∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,‎ ‎∴△ABC≌△AFE,‎ ‎∴AB=AF.‎ ‎∴AE﹣AB=AC﹣AF,‎ 即FC=BE;‎ ‎(2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC,‎ ‎∴AF=AC=AE.‎ ‎∴AG=CG,‎ ‎∴∠E=30°.‎ ‎∵∠EAD=90°,‎ ‎∴∠ADE=60°,‎ ‎∴∠FAD=∠E=30°,‎ ‎∴FC=,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ACG=∠FAD=30°,‎ ‎∴CG=2,‎ ‎∴AG=2.‎ ‎14、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,点E是AB边上一点,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中点F,连接AF、BF.‎ ‎(1)求证:AD=BE;‎ ‎(2)试判断△ABF的形状,并说明理由.‎ ‎(1)证明:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠BAD+∠ABC=180°,‎ ‎∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠BAD=∠ABC=90°,‎ ‎∵DE⊥EC,‎ ‎∴∠AED+∠BEC=90°‎ ‎∵∠AED+∠ADE=90°,‎ ‎∴∠BEC=∠ADE,‎ ‎∵∠DAE=∠EBC,AE=BC,‎ ‎∴△EAD≌△EBC,‎ ‎∴AD=BE.‎ ‎(2)答:△ABF是等腰直角三角形.‎ 理由是:延长AF交BC的延长线于M,‎ ‎∵AD∥BM,‎ ‎∴∠DAF=∠M,‎ ‎∵∠AFD=∠CFM,DF=FC,‎ ‎∴△ADF≌△MFC,‎ ‎∴AD=CM,‎ ‎∵AD=BE,‎ ‎∴BE=CM,‎ ‎∵AE=BC,‎ ‎∴AB=BM,‎ ‎∴△ABM是等腰直角三角形,‎ ‎∵△ADF≌△MFC,‎ ‎∴AF=FM,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∴BF⊥AM,BF=AM=AF,‎ ‎∴△AFB是等腰直角三角形.‎ ‎15、(2011•潼南县)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.‎ ‎(1)求证:AD=AE;‎ ‎(2)若AD=8,DC=4,求AB的长.‎ 解答:(1)证明:连接AC,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠ACD=∠BAC,‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴∠ACB=∠BAC,‎ ‎∴∠ACD=∠ACB,‎ ‎∵AD⊥DC,AE⊥BC,‎ ‎∴∠D=∠AEC=90°,‎ ‎∵AC=AC,‎ ‎∴,‎ ‎∴△ADC≌△AEC,(AAS)‎ ‎∴AD=AE;‎ ‎(2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC,‎ 设AB=x,则BE=x﹣4,AE=8,‎ 在Rt△ABE中∠AEB=90°,‎ 由勾股定理得:82+(x﹣4)2=x2,‎ 解得:x=10,‎ ‎∴AB=10.‎ 说明:依据此评分标准,其它方法如:过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分.‎ ‎16、如图,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分别是BD,AC的中点,BD平分∠ABC.‎ ‎(1)求证:AE⊥BD; (2)若AD=4,BC=14,求EF的长.‎ ‎(1)证明:∵AD∥CB,‎ ‎∴∠ADB=∠CBD,‎ 又BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD,‎ ‎∴∠ADB=∠ABD,‎ ‎∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形,‎ 已知E是BD的中点,‎ ‎∴AE⊥BD.‎ ‎(2)解:延长AE交BC于G,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABE=∠GBE,‎ 又∵AE⊥BD(已证),‎ ‎∴∠AEB=∠GEB,‎ BE=BE,‎ ‎∴△ABE≌△GBE,‎ ‎∴AE=GE,BG=AB=AD,‎ 又F是AC的中点(已知),‎ 所以由三角形中位线定理得:‎ EF=CG=(BC﹣BG)=(BC﹣AD)‎ ‎=×(14﹣4)=5.‎ 答:EF的长为5.‎ ‎17、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E为垂足,AC=BC.‎ ‎(1)求证:CD=BE;‎ ‎(2)若AD=3,DC=4,求AE.‎ ‎(1)证明:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAC=∠BCE,而BE⊥AC,‎ ‎∴∠D=∠BEC=90°,AC=BC,‎ ‎∴△BCE≌△CAD.‎ ‎∴CD=BE.‎ ‎(2)解:在Rt△ADC中,根据勾股定理得AC==5,‎ ‎∵△BCE≌△CAD,‎ ‎∴CE=AD=3.‎ ‎∴AE=AC﹣CE=2.‎ ‎18、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的长.‎ 解:如图,过点D作DF∥AB,分别交AC,BC于点E,F.(1分)‎ ‎∵AB⊥AC,‎ ‎∴∠AED=∠BAC=90度.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度.‎ 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=4,∴AC=BC•sin45°=4×=2(2分)‎ 在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=45°,AD=1,∴DE=AE=.∴CE=AC﹣AE=.(4分)‎ 在Rt△DEC中,∠CED=90°,∴DC==.(5分)‎ ‎19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且.‎ ‎(1)求证:BF=EF﹣ED;‎ ‎(2)连接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.‎ 证明:∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,‎ ‎∴△FCE≌△F′CE,‎ ‎∴EF′=EF=DF′+ED,‎ ‎∴BF=EF﹣ED;‎ ‎(2)解:∵AB=BC,∠B=80°,‎ ‎∴∠ACB=50°,‎ 由(1)得∠FEC=∠DEC=70°,‎ ‎∴∠ECB=70°,‎ 而∠B=∠BCD=80°,‎ ‎∴∠DCE=10°,‎ ‎∴∠BCF=30°,‎ ‎∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°.‎ ‎20、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,连接EF.‎ ‎(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求 AE的长.‎ ‎(2)若点F是CD的中点,求证:CE=BE﹣AD.‎ 解:(1)作EM⊥AB,交AB于点M.∵AE=BE,EM⊥AB,‎ ‎∴AM=BM=×6=3;‎ ‎∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°,‎ ‎∴四边形AMEF是矩形,‎ ‎∴EF=AM=3;‎ 在Rt△AFE中,AE==5;‎ ‎(2)延长AF、BC交于点N.‎ ‎∵AD∥EN,‎ ‎∴∠DAF=∠N;‎ ‎∵∠AFD=∠NFC,DF=FC,‎ ‎∴△ADF≌△NCF(AAS),‎ ‎∴AD=CN;‎ ‎∵∠B+∠N=90°,∠BAE+∠EAN=90°,‎ 又AE=BE,∠B=∠BAE,‎ ‎∴∠N=∠EAN,AE=EN,‎ ‎∴BE=EN=EC+CN=EC+AD,‎ ‎∴CE=BE﹣AD.‎ ‎.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且AC⊥BD,DH⊥BC.‎ ‎(1)求证:DH=(AD+BC);‎ ‎(2)若AC=6,求梯形ABCD的面积.‎ 解:(1)证明:过D作DE∥AC交BC延长线于E,(1分)‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形ACED为平行四边形.(2分)‎ ‎∴CE=AD,DE=AC.‎ ‎∵四边形ABCD为等腰梯形,‎ ‎∴BD=AC=DE.‎ ‎∵AC⊥BD,‎ ‎∴DE⊥BD.‎ ‎∴△DBE为等腰直角三角形.(4分)‎ ‎∵DH⊥BC,‎ ‎∴DH=BE=(CE+BC)=(AD+BC).(5分)‎ ‎(2)∵AD=CE,‎ ‎∴.(7分)‎ ‎∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6,‎ ‎∴.‎ ‎∴梯形ABCD的面积为18.(8分)‎ 注:此题解题方法并不唯一.‎ ‎22、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG∥BC,交AB于点G,在GD的延长线上取点E,使DE=DC,连接AE,BD.‎ ‎(1)求证:△AGE≌△DAB;‎ ‎(2)过点E作EF∥DB,交BC于点F,连AF,求∠AFE的度数.‎ ‎(1)证明:∵△ABC是等边三角形,DG∥BC,‎ ‎∴∠AGD=∠ABC=60°,∠ADG=∠ACB=60°,且∠BAC=60°,‎ ‎∴△AGD是等边三角形,‎ AG=GD=AD,∠AGD=60°.‎ ‎∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,‎ ‎∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,‎ ‎∴△AGE≌△DAB;‎ ‎(2)解:由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG.‎ ‎∵EF∥DB,DG∥BC,‎ ‎∴四边形BFED是平行四边形.‎ ‎∴EF=BD,‎ ‎∴EF=AE.‎ ‎∵∠DBC=∠DEF,‎ ‎∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60°.‎ ‎∴△AFE是等边三角形,∠AFE=60°.‎ ‎23、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.‎ ‎(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;‎ ‎(2)若AD=1,BC=3,DC=,试判断△DCF的形状;‎ ‎(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)证明:∵EF=EC,‎ ‎∴∠EFC=∠ECF,‎ ‎∵EF∥AB,‎ ‎∴∠B=∠EFC,‎ ‎∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;‎ ‎(2)△DCF是等腰直角三角形,‎ 证明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF=CD,‎ ‎∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),‎ ‎∵梯形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴CF=(BC﹣AD)=1,‎ ‎∵DC=,‎ ‎∴由勾股定理得:DF=1,‎ ‎∴△DCF是等腰直角三角形;‎ ‎(3)共四种情况:‎ ‎∵DF⊥BC,‎ ‎∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,‎ 即PF=1,‎ ‎∴PB=1;‎ 当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,‎ ‎∴PB=2;‎ 当PC=CD=(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,‎ ‎∴PB=3﹣;‎ 当PC=CD=(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,‎ ‎∴PB=3+.‎ 故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3﹣,PB=3+.(每个1分)‎ ‎24、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AD、DC的延长线上,且DE=CF.AF交BE于P.‎ ‎(1)证明:△ABE≌△DAF;‎ ‎(2)求∠BPF的度数.‎ 解答:(1)证明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,‎ ‎∴AB=CD,‎ ‎∵AD=DC,‎ ‎∴BA=AD,∠BAE=∠ADF=120°,‎ ‎∵DE=CF,‎ ‎∴AE=DF,‎ 在△BAE和△ADF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△DAF(SAS).‎ ‎(2)解:∵由(1)△BAE≌△ADF,‎ ‎∴∠ABE=∠DAF.‎ ‎∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE.‎ 而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠BPF=120°.‎ ‎25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,将BC延长至点F,使CF=CD.‎ ‎(1)求∠ABC的度数;‎ ‎(2)如果BC=8,求△DBF的面积?‎ 解答:解:(1)∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠DBC,‎ ‎∵AB=AD,‎ ‎∴∠ADB=∠ABD,‎ ‎∴∠DBC=∠ABD,‎ ‎∵在梯形ABCD中AB=DC,‎ ‎∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC,‎ ‎∵BD⊥DC,‎ ‎∴∠DBC+2∠DBC=90°‎ ‎∴∠DBC=30°‎ ‎∴∠ABC=60°‎ ‎(2)过点D作DH⊥BC,垂足为H,‎ ‎∵∠DBC=30°,BC=8,‎ ‎∴DC=4,‎ ‎∵CF=CD∴CF=4,‎ ‎∴BF=12,‎ ‎∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°,∠F=∠FDC ‎∴∠F=30°,‎ ‎∵∠DBC=30°,‎ ‎∴∠F=∠DBC,‎ ‎∴DB=DF,‎ ‎∴,‎ 在直角三角形DBH中,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 即△DBF的面积为.‎ ‎26、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=‎10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.‎ ‎(1)求证:△AGD为正三角形;‎ ‎(2)求EF的长度.‎ ‎(1)证明:连接BE,‎ ‎∵梯形ABCD中,AB=DC,‎ ‎∴AC=BD,可证△ABC≌△DCB,‎ ‎∴∠GCB=∠GBC,‎ 又∵∠BGC=∠AGD=60°‎ ‎∴△AGD为等边三角形,‎ ‎(2)解:∵BE为△BCG的中线,‎ ‎∴BE⊥AC,‎ 在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,‎ ‎∴EF=AB=5cm.‎ ‎27、已知,如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,点E是AB上的点,∠ECD=45°,连接ED,过D作DF⊥BC于F.‎ ‎(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周长.‎ ‎(2)求证:ED=BE+FC.‎ 解:(1)∵∠BEC=75°,∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ECB=15°,‎ ‎∵∠ECD=45°,‎ ‎∴∠DCF=60°,‎ 在Rt△DFC中:∠DCF=60°,FC=3,‎ ‎∴DF=3,DC=6,‎ 由题得,四边形ABFD是矩形,‎ ‎∴AB=DF=3,‎ ‎∵AB=BC,‎ ‎∴BC=3,‎ ‎∴BF=BC﹣FC=3﹣3,‎ ‎∴AD=DF=3﹣3,‎ ‎∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3,‎ 答:梯形ABCD的周长是9+3.‎ ‎(2)过点C作CM垂直AD的延长线于M,再延长DM到N,使MN=BE,‎ ‎∴CN=CE,‎ 可证∠NCD=∠DCE,∵CD=CD,‎ ‎∴△DEC≌△DNC,‎ ‎∴ED=EN,‎ ‎∴ED=BE+FC.‎ ‎28、(2005•镇江)已知:如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:△BCE≌△AFE;‎ ‎(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的长.‎ ‎(1)证明:∵AD∥BC,E是AB的中点,‎ ‎∴AE=BE,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F.‎ ‎∴△BCE≌△AFE(AAS).‎ ‎(2)解:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAB=∠ABC=90°.‎ ‎∵AE=BE,∠AEF=∠BEC,‎ ‎∴△BCE≌△AFE.‎ ‎∴AF=BC=4.‎ ‎∵EF2=AF2+AE2=9+16=25,‎ ‎∴EF=5.‎ ‎29、已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.‎ 求证:‎ ‎(1)△BFC≌△DFC;‎ ‎(2)AD=DE;‎ ‎(3)若△DEF的周长为6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面积.‎ ‎(1)∵DC=BC,∠1=∠2,CF=CF,‎ ‎∴△DCF≌△BCF.‎ ‎(2)延长DF交BC于G,‎ ‎∵AD∥BG,AB∥DG,‎ ‎∴四边形ABGD为平行四边形.‎ ‎∴AD=BG.‎ ‎∵△DFC≌△BFC,‎ ‎∴∠EDF=∠GBF,DF=BF.‎ 又∵∠3=∠4,‎ ‎∴△DFE≌△BFG.‎ ‎∴DE=BG,EF=GF.‎ ‎∴AD=DE.‎ ‎(3)∵EF=GF,DF=BF,‎ ‎∴EF+BF=GF+DF,即:BE=DG.‎ ‎∵DG=AB,‎ ‎∴BE=AB.‎ ‎∵C△DFE=DF+FE+DE=6,‎ ‎∴BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6.‎ ‎∴AB+AD=6.‎ 又∵AD=2,‎ ‎∴AB=4.‎ ‎∴DG=AB=4.‎ ‎∵BG=AD=2,‎ ‎∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3.‎ 又∵DC=BC=5,‎ 在△DGC中∵42+32=52‎ ‎∴DG2+GC2=DC2‎ ‎∴∠DGC=90°.‎ ‎∴S梯形ABCD=(AD+BC)•DG ‎=(2+5)×4‎ ‎=14.‎ ‎30、如图,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.连接BD,过A点作BD的垂线,交BC于E.‎ ‎(1)求证:四边形ABED是菱形;‎ ‎(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面积.‎ 解答:解:(1)证明:∵AD∥BC, DE2=CD2+CE2=42+32=25, ‎ ‎∴∠OAD=∠OEB, ∴DE=5‎ 又∵AB=AD,AO⊥BD, ∴AD=BE=5,‎ ‎∴OB=OD, ∴S梯形ABCD=.‎ 又∵∠AOD=∠EOB,‎ ‎∴△ADO≌△EBO(AAS),‎ ‎∴AD=EB,‎ 又∵AD∥BE,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形,‎ 又∵AB=AD ‎∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=DE=BE,‎
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