初中数学论文谈中考数学复习的有效性

初中数学论文谈中考数学复习的有效性

以经典题型为纲 求异求变求发展 ‎——谈中考数学复习的有效性 ‎[摘要]以经典的习题为根本,通过拓展延伸,我们可以找到许多变式。这个学习过程,既是知识的深化,更是创新思维的培养。本文从三个习题入手，联用延伸、应用拓展、演变深化着眼，分别研究它们的不同变式，求异求变，以点带面，使各个知识点串联贯通，发展学生思维，从而提高中考复习有效性。‎ ‎[关键词]习题 变式 思维发展 有效性 教材丰富的内涵，其中的习题均是专家多次筛选后的精品，是编拟中考试题的基础。所以，在中考复习教学中, 教师要加强对典型习题的研究，不断挖掘习题的内在“潜能”；在题目选编中，要优先考虑课本中习题，适当拓深、演变，使其源于教材，又不拘泥于教材。立足基础，力求变化，形成问题链，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，从而达到提高中考复习的有效性。。‎ 一、联用延伸 ‎[原题]在数学浙教版七年级下册“1.2三角形的角平分线和中线”，作业题4:如图,CE、CF分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，求∠ECF的度数 B C D F E A 复习过程中，教师首先指出：“此题属于三角形同一顶点处的内角平分线和外角平分线的夹角问题。”然后提问：“三角形内角或外角平分线相交，还有其他的情形吗？你们能画出相应的图形吗？”让学生带着这个问题去思考，画出图形，并引导学生归纳、总结。‎ 变式一：P为两内角平分线的交点 如图，点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的关系是 B C P A 变式二：P为两外角平分线的交点 如图，点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是 A P B C 变式三：P为内、外角平分线的交点 如图，点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是；‎ B C D P A 变式四：P为内角平分线和外角平分线的反向延长线的交点 ‎ 如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，则∠P的度数为。‎ C B P A 变式五：P为内角线和外角平分线的反向延长线的交点 如图，点E是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，P是∠EBC平分线和∠ECB外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是；‎ p B C D E A 通过这一组问题的训练，激发了学生的思维，有效的培养了学生的发散思维能力，提高了学生的创新意识。‎ 二、应用拓展 ‎[原题]（七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？‎ 本题来源于浙教版七年级下册，考查一定的直线同旁有两定点，在直线上确定一个点，使这点到两点的距离和最短，其实质是利用轴对称的知识，找出一个定点关于直线的对称点，对称点与另一直线的连线和定直线的交点即为所求作的点。此题潜在价值很大，复习时值得研究：可以在不同背景下探索结论；可以在同一背景下改变结论；可以通过图形位置变换，让图形动起来，变成动态问题。‎ 变式一：背景为等腰三角形 ‎(08黄岩)如图,已知在等腰△ABC 中, ∠ABC=1200,P是底边AC上的一个动点, M、N分别是AB、BC的中点,若PM+PN的最小值为2， 求△ ABC的周长 ‎.‎B C D N M A 变式二：背景为正方形 ‎（2009年漳州）如图，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________；‎ A B E C P D 变式三：背景为圆 如图，的半径为2，点在上，，，是上一动点，求的最小值；‎ A C B O 变式四：背景为抛物线 ‎（衢州卷2009）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上，　(1)　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；‎ (2) 平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，‎ 点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．‎ ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的 函数解析式；‎ ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎4‎ x ‎2‎ ‎2‎ A ‎8‎ ‎-2‎ O ‎-2‎ ‎-4‎ y ‎6‎ B C D ‎-4‎ ‎4‎ 变式五：逆向应用 O A B P R Q 如图，，是内一点，，分别是上的动点，求周长的最小值．‎ 此题从学生比较熟悉的几何模型入手，设计了五个逐层递进的问题让学生尝试解决、通过对结论的直接应用、对模型的重新构建和拓展创新，引导学生深入探究轴对称的应用和轴对称图形的本质，这种对同一知识逐步深化的问题设计方式，既尊重学生的认知规律，又体现了对学生过程的关注。‎ 三、演变深化 ‎[原题]浙教版八年级上册P47第2题：如图，在和中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且。求证：△CAB≌△ECD。 ‎ 变式一：背景为梯形 如图，梯形中，，，AB=2cm，CD=4cm，以上一点为圆心的圆经过两点，且∠AOD=90°，则圆心到弦的距离是（ ）‎ A．cm B．cm C．cm D．c O 变式二：基本图形的构造应用 几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形分解能力，同时，还应具备必需的添加辅助线构造基本图形的技能。‎ 例1、如图1，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ ）‎ A．B．C．D．7‎ 例2、如图2，在平面直角坐标系中，，且，点的坐标是．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）求过点的抛物线的表达式；‎ ‎（3）连接，在（2）中的抛物线上求出点，使得 y O B A x ‎1‎ ‎1‎ 图2‎ 图1‎ l1‎ l2‎ l3‎ A C B 变式三：弱化条件“直角”，则“全等”结论仍然成立 如图3，在和中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，且。则：△ABC≌△CDE。‎ ‎ 例：如图4，为等边三角形，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上，且也为等边三角形。 ‎ ‎（1）除已知等边三角形的边相等以外，请你猜想还有哪些线段相等，并证明你的结论；‎ ‎（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。‎ 图4‎ 图3‎ 变式四：三角形全等弱化为三角形相似 图5，在和中，点D在边BC的延长线上，且。求证：△CAB∽△ECD。‎ 例：已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且∠AED=90°。‎ ‎（1）如图6–①，如果AB=6,BC=16,且BE:CE=1:3，求AD的长。‎ ‎（2）如图6–②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请 直接写出结论，不必证明。‎ 图6–②‎ 图6–①‎ 图5‎ 变式五：同时弱化“线段相等”和“直角”，结论由全等弱化为相似 如图7，在和中，点D在边BC的延长线上，。则△CAB∽△ECD。（这里的条件为三个角相等，至于等于多少度，并无要求，可以是一个一般的度数，可以是下面例题中的、或等特殊的度数。因而，演变命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。）‎ 例1、如图8，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．‎ ‎（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；‎ A B M F G D E C 图8‎ ‎（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的长．‎ 图7‎ 图10‎ A D C P B 图9‎ ‎60°‎ 例2如图9，等边的边长为3，为上一点，且，为 上一点，若，则的长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例3、如图10，在中，，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作，DE交AC于点E。‎ 求证：（1）△ABC∽△CDE。‎ ‎（2）设，求关于的函数关系式。‎ 变式六：改变图形形状，变“三角形”为“等腰梯形”‎ 如图11，梯形ABCD中，AB∥CD，E为AD上一点，且满足∠ A＝∠BEF＝∠D, 则△ABE∽△DEF。‎ 例1、如图11,在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．‎ ‎（1）求与的函数表达式；‎ ‎（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？‎ 例2、如图12，在等腰梯形中，，=4=，=45°．直角三角板含45°角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点．若为等腰三角形，则的长等于．‎ Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ Ｂ D B C A E F ‎．‎ 图11‎ 图12‎ 变式七：图形的变式延伸 结合基本图形所具有的特殊性，可作一系列的变化，如将习题中的和相向移动交叉重叠。‎ 问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下三个命题：‎ ‎①如图（1），在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°．则BM=CN：‎ ‎②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点．BM与CN相交于点O，若∠BON=90°．则BM=CN.‎ 然后运用类似的思想提出了如下命题：‎ ‎③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.‎ ‎ 任务要求：‎ ‎ (1)请你从①．②，③三个命题中选择一个进行证明；‎ ‎(2) 请你继续完成下面的探索：‎ ‎①试在图(3)中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是，这样的线段有几条？‎ ‎②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，DA上的点，BM与CN相交于点O，若，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，试给予证明；若不成立，试说明理由。‎ 经典的习题最符合《数学课程标准》的理念，因此，教师应该把握其中的精髓，立足教材，创新复习方法，拓展延伸习题内涵，激发学生的求异思维，稳中求变，提高学生的解题能力和探究推理能力，使复习达到事半功倍的效果。‎ 参考文献：‎ ‎1．《初中数学新课程标准》 2007年 ‎2．《义务教育数学课本》 浙江教育出版社 ‎3．《中学数学教育》初中版 2009年第9期 ‎4．《绍兴市初中学业评价指导用书·数学》 2010年版 ‎0‎