山东省青岛市市南区中考数学一模试卷解析

山东省青岛市市南区中考数学一模试卷解析

‎2016年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出A、B、C、D四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、错选或选出的标号超过一个的不得分 ‎1．绝对值为的数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎3．2015年末青岛市常住人口数约为9050000人，将9050000用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.05×106 B．0.905×106 C．0.905×107 D．9.05×107‎ ‎4．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）‎ A．300条 B．380条 C．400条 D．420条 ‎5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（　　）‎ A． cm B． cm C．2cm D． cm ‎6．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，若将△ABC绕点O旋转，点C的对应点为点D，其中A（1，2），B（﹣1，0），C（3，﹣1），D（﹣1，﹣3），则旋转后点A的对应点E的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（0，﹣1） C．（1，﹣3） D．（2，﹣1）‎ ‎7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点C为圆心，4为半径的⊙C与AB相切于点D，交CA于E，交CB于F，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C．16﹣4π D．16﹣2π ‎8．如图，过原点O的直线与双曲线y=交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若S△ABC=5，则k的值是（　　）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．计算：﹣（）﹣2=　　　　　　．‎ ‎10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为　　　　　　．‎ ‎11．小明进行射击训练，5次成绩分别为3环、4环、6环、8环，9环，则这5次成绩的方差为　　　　　　．‎ ‎12．某公司销售甲、乙两种球鞋，去年卖出12200双，今年甲种鞋卖出的量比去年去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，两种球鞋的总销量增加了50双．求去年甲，乙两种球鞋各卖出多少双？若设去年甲种球鞋卖了x双，乙两种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组为　　　　　　．‎ ‎13．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为　　　　　　．‎ ‎14．如图，5个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则小丽总共能有　　　　　　种拼接方法．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：如图，∠BAC和边AB上一点D．‎ 求作：⊙O，使⊙O与∠BAC的两边分别相切，其中与AB相切于点D，且圆心O落在∠ABC的内部．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．化简：（a2﹣4）÷．‎ ‎17．解不等式组：．‎ ‎18．如图，一艘客轮以30km/h的速度由A码头出发沿北偏东53°方向航行至B码头，已知A、B两码头所在的河岸均为东西走向，河宽为16km，求该客轮至少用多长时间才能到达B码头？‎ ‎（结果精确到0.1h，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）‎ ‎19．有五张卡片，卡片上分别写有A、B、B、C、C，这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，请你利用树状图会列表的方法，求两次摸到卡片字母相同的概率；若从中随机摸出一张，记下字母后不放回，洗匀后再从中摸出一张，则两次摸到卡片字母相同的概率又是多少？‎ ‎20．某市为了解中学生参加体育训练的情况，组织部分学生参加测试进行抽样调查，其过程如下：‎ 从全市抽取2000名学生进行体育测试：‎ ‎①从某所初中学校抽取2000名学生；‎ ‎②从全市九年级学生中随机抽取2000名学生；‎ ‎③从全市初中生中随机抽取2000名学生．‎ 其中你认为合理的抽样方法为　　　　　　（填数学序号）‎ 整理数据：‎ 对测试结果进行整理，分为四个等级：优秀；良好；及格；不及格，并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请补全频数分布表和扇形统计图：‎ ‎ 测试结果 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 优秀 ‎ 200‎ ‎ 0.1 ‎ ‎ 良好 ‎ 480‎ ‎ 0.24‎ ‎ 及格 ‎　　　　　　‎ ‎ 0.51‎ ‎ 不及格 ‎ 300‎ ‎　　　　　　‎ 分析数据：‎ 若该市共有3万名初中学生，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？‎ 针对本次测试得到的相关信息，你有何看法和建议？（字数不超过30字）‎ ‎21．某商场销售A、B两种品牌的节能灯，每盏售价B种节能灯比A种节能灯多10元，且花费150元购买A种节能灯与花费200元购买B种节能灯的数量相同．‎ ‎（1）求每盏A、B两种品牌的节能灯的售价分别是多少元？‎ ‎（2）某公司准备在该商场从A、B两种品牌的节能灯中选购其中一种，购买数量不少于10盏，因为购买数量较多，商场可给予以下优惠：购买A种节能灯每盏均按原售价8折优惠；购买B种节能灯，5盏按原售价付款，超出5盏每盏按原售价5折优惠，请帮助该公司判断购买哪种节能灯更省钱．‎ ‎22．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．‎ ‎（1）求证：△BFH≌△DEG；‎ ‎（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．‎ ‎23．如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．‎ ‎（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；‎ ‎（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计）．若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？‎ ‎24．问题情境：‎ 我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？‎ 探究方法：‎ 用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2=2ab．‎ 于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．‎ 另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．‎ ‎∵（a﹣b）2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．‎ 仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2的大小关系．‎ 类比应用 利用上面所得到的结论，完成填空：‎ ‎（1）x2+≥　　　　　　，代数式x2+有最　　　　　　值为　　　　　　．‎ ‎（2）当x＞0时，x+≥　　　　　　，代数式x+有最　　　　　　值为　　　　　　．‎ ‎（3）当x＞2时，x+　　　　　　，代数式x+有最　　　　　　值为　　　　　　．‎ 问题解决：‎ 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？‎ ‎25．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；‎ ‎（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎2016年山东省青岛市市南区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出A、B、C、D四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、错选或选出的标号超过一个的不得分 ‎1．绝对值为的数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】实数的性质．‎ ‎【分析】根据绝对值的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：绝对值为的数是，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了实数的性质，互为相反数的绝对值相等是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【考点】中心对称图形；轴对称图形．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：①是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ ‎②是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ ‎③是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ ‎④是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选B．‎ ‎【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎3．2015年末青岛市常住人口数约为9050000人，将9050000用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.05×106 B．0.905×106 C．0.905×107 D．9.05×107‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将9050000用科学记数法表示为：9.05×106．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获20条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞100条鱼，如果在这100条鱼中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中的鱼数约为（　　）‎ A．300条 B．380条 C．400条 D．420条 ‎【考点】用样本估计总体．‎ ‎【分析】首先求出有记号的5条鱼在100条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．‎ ‎【解答】解：∵×100%=5%，‎ ‎∴20÷5%=400（条）．‎ 故选C ‎【点评】本题考查了统计中用样本估计总体的思想，关键是根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例解答．‎ ‎　‎ ‎5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（　　）‎ A． cm B． cm C．2cm D． cm ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，‎ ‎∴BC==3cm，‎ ‎∵将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，‎ ‎∴△BED≌△BCD，‎ ‎∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，‎ ‎∴AE=AB﹣BE=2cm，‎ 设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，‎ 由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，‎ 即22+x2=（4﹣x）2，‎ 解得：x=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，若将△ABC绕点O旋转，点C的对应点为点D，其中A（1，2），B（﹣1，0），C（3，﹣1），D（﹣1，﹣3），则旋转后点A的对应点E的坐标为（　　）‎ A．（﹣1，2） B．（0，﹣1） C．（1，﹣3） D．（2，﹣1）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点A对应点的坐标即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，点A的对应点E的坐标为（2，﹣1）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，利用数形结合求解更加简便，准确作出图形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点C为圆心，4为半径的⊙C与AB相切于点D，交CA于E，交CB于F，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ A． B． C．16﹣4π D．16﹣2π ‎【考点】扇形面积的计算；切线的性质．‎ ‎【分析】利用切线的性质以及直角三角形的性质得出DC、BC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：连接CD，‎ ‎∵⊙C与AB相切于点D，‎ ‎∴∠CDB=90°，‎ 由题意可得：DC=4，‎ 则BC=2×4=8，‎ 设AC=x，则AB=2x，‎ 故x2+82=（2x）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴S△ABC=××8=，‎ 故图中阴影部分的面积为：﹣S扇形CEF=﹣=﹣4π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及切线的性质和直角三角形的性质等知识，正确得出AC的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，过原点O的直线与双曲线y=交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若S△ABC=5，则k的值是（　　）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义．‎ ‎【分析】由题意得：S△ABC=2S△AOC，又S△AOC=|k|，则k的值即可求出．‎ ‎【解答】解：设A（x，y），‎ ‎∵直线与双曲线y=交于A、B两点，‎ ‎∴B（﹣x，﹣y），‎ ‎∴S△BOC=|xy|，S△AOC=|xy|，‎ ‎∴S△BOC=S△AOC，‎ ‎∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=2S△AOC=5，S△AOC=|k|=，则k=±5．‎ 又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k=5．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．计算：﹣（）﹣2=　﹣1　．‎ ‎【考点】实数的运算；负整数指数幂．‎ ‎【专题】计算题；实数．‎ ‎【分析】原式利用立方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣4‎ ‎=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为　20°　．‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，然后由圆周角定理，可求得∠D的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠ABC=70°，‎ ‎∴∠A=90°﹣∠ABC=20°，‎ ‎∴∠D=∠A=20°．‎ 故答案为：20°．‎ ‎【点评】此题考查了圆周角定理．注意直径所对的圆周角是直角．‎ ‎　‎ ‎11．小明进行射击训练，5次成绩分别为3环、4环、6环、8环，9环，则这5次成绩的方差为　5　．‎ ‎【考点】方差．‎ ‎【分析】根据平均数和方差公式计算即可．‎ ‎【解答】解：五次成绩的平均数为（3+4+6+8+9）=6，‎ 方差= [（3﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（9﹣6）2]=5．‎ 故答案为：5；‎ ‎【点评】本题考查平均数和方差的计算，关键是根据方差公式计算．‎ ‎　‎ ‎12．某公司销售甲、乙两种球鞋，去年卖出12200双，今年甲种鞋卖出的量比去年去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，两种球鞋的总销量增加了50双．求去年甲，乙两种球鞋各卖出多少双？若设去年甲种球鞋卖了x双，乙两种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组为　　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．‎ ‎【分析】设去年甲种球鞋卖了x双，乙种球鞋卖了y双，根据条件“去年卖出12200双，今年甲种鞋卖出的量比去年去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，两种球鞋的总销量增加了50双”建立方程组即可．‎ ‎【解答】解：设去年甲种球鞋卖了x双，乙两种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组为 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为　4+　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】首先利用已知条件可证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DE=2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的长；然后，证明△ADE∽△BFE，再分别求出△ADE的周长，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADE=∠CDE；，‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE=∠CDF=∠DFC，‎ ‎∴CD=CF=6，‎ ‎∵CE⊥DG，‎ ‎∴DF=2DE，‎ 在Rt△CDE中，∵∠DEC=90°，CD=6，CE=2，‎ ‎∴DE==4，‎ ‎∴DF=2DE=8；‎ ‎∴△CDF的周长=12+8，‎ ‎∵CF=6，BC=AD=8，‎ ‎∴BF=BC﹣CF=8﹣6=2，‎ ‎∴CF：BF=6：2=3：1．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴△CDF∽△BFG，‎ ‎∴△CDF的周长：△BFG的周长=CF：BF=3：1，‎ 则△BFG 周长=4+．‎ 故答案为：4+．‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．‎ ‎　‎ ‎14．如图，5个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则小丽总共能有　4　种拼接方法．‎ ‎【考点】几何体的展开图．‎ ‎【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 故小丽总共能有4种拼接方法．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】此题主要考查了几何体的展开图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：如图，∠BAC和边AB上一点D．‎ 求作：⊙O，使⊙O与∠BAC的两边分别相切，其中与AB相切于点D，且圆心O落在∠ABC的内部．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【专题】作图题．‎ ‎【分析】过点D作AB的垂线，作∠BAC的平分线，两线相交于点O，然后以O点为圆心，OD为半径作⊙O即可．‎ ‎【解答】解：如图，⊙O为所作．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．化简：（a2﹣4）÷．‎ ‎【考点】分式的乘除法．‎ ‎【专题】计算题；分式．‎ ‎【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=（a+2）（a﹣2）•‎ ‎=a（a﹣2）‎ ‎=a2﹣2a．‎ ‎【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．解不等式组：．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式，得：x≥1，‎ 解不等式7x﹣8＜5x，得：x＜4，‎ 故不等式组解集为：1≤x＜4．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图，一艘客轮以30km/h的速度由A码头出发沿北偏东53°方向航行至B码头，已知A、B两码头所在的河岸均为东西走向，河宽为16km，求该客轮至少用多长时间才能到达B码头？‎ ‎（结果精确到0.1h，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】首先过点A作AE⊥BD于点E，由题意可得：cos53°=，进而得出AB的长即可得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，‎ 由题意可得：AE=16km，∠EAB=53°，‎ 故cos53°===，‎ 解得：AB=，‎ ‎∵客轮的速度为30km/h，‎ ‎∴÷30=≈0.9（h），‎ 答：该客轮至少用0.9h才能到达B码头．‎ ‎【点评】此题考查了方向角问题，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎19．有五张卡片，卡片上分别写有A、B、B、C、C，这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，请你利用树状图会列表的方法，求两次摸到卡片字母相同的概率；若从中随机摸出一张，记下字母后不放回，洗匀后再从中摸出一张，则两次摸到卡片字母相同的概率又是多少？‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意此实验室是放回实验；‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意此实验室是不放回实验．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有25种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有9种等可能的结果，‎ ‎∴两次摸到卡片字母相同的概率为：；‎ 画树状图得：‎ ‎∵共有25种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有4种等可能的结果，‎ ‎∴两次摸到卡片字母相同的概率为：．‎ ‎【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎20．某市为了解中学生参加体育训练的情况，组织部分学生参加测试进行抽样调查，其过程如下：‎ 从全市抽取2000名学生进行体育测试：‎ ‎①从某所初中学校抽取2000名学生；‎ ‎②从全市九年级学生中随机抽取2000名学生；‎ ‎③从全市初中生中随机抽取2000名学生．‎ 其中你认为合理的抽样方法为　③　（填数学序号）‎ 整理数据：‎ 对测试结果进行整理，分为四个等级：优秀；良好；及格；不及格，并将测试结果绘成了如图两幅不完整的统计图．请补全频数分布表和扇形统计图：‎ ‎ 测试结果 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 优秀 ‎ 200‎ ‎ 0.1 ‎ ‎ 良好 ‎ 480‎ ‎ 0.24‎ ‎ 及格 ‎　1020　‎ ‎ 0.51‎ ‎ 不及格 ‎ 300‎ ‎　0.15　‎ 分析数据：‎ 若该市共有3万名初中学生，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？‎ 针对本次测试得到的相关信息，你有何看法和建议？（字数不超过30字）‎ ‎【考点】频数（率）分布表；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据抽取的学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，据此即可得出正确答案；‎ ‎（2）根据频率=，即可求得不及格类部分的频率，频数=总数×频率；算出对应数据填表；‎ ‎①利用频数=总数×频率计算得出估计不及格的人数；‎ ‎②根据数据提出合理的建议即可．‎ ‎【解答】解：（1）合理的抽样方法为③；‎ ‎（2）2000×0.51=1020，300÷2000=0.15；1﹣0.24﹣0.1=66%；‎ 填表如下：‎ ‎ 测试结果 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ 优秀 ‎ 200‎ ‎ 0.1 ‎ ‎ 良好 ‎ 480‎ ‎ 0.24‎ ‎ 及格 ‎1020 ‎ ‎ 0.51‎ ‎ 不及格 ‎ 300‎ ‎0.15 ‎ 补充图如下：‎ ‎①30000×0.15=4500（人）．‎ 答：估计不及格的人数有4500人．‎ ‎②建议：同学们要多参加体育锻炼，增强自身的体质．‎ ‎【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，读懂图表，从图表中得到必要的信息是解决问题的关键．分布表能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎21．某商场销售A、B两种品牌的节能灯，每盏售价B种节能灯比A种节能灯多10元，且花费150元购买A种节能灯与花费200元购买B种节能灯的数量相同．‎ ‎（1）求每盏A、B两种品牌的节能灯的售价分别是多少元？‎ ‎（2）某公司准备在该商场从A、B两种品牌的节能灯中选购其中一种，购买数量不少于10盏，因为购买数量较多，商场可给予以下优惠：购买A种节能灯每盏均按原售价8折优惠；购买B种节能灯，5盏按原售价付款，超出5盏每盏按原售价5折优惠，请帮助该公司判断购买哪种节能灯更省钱．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】（1）设每盏A种品牌的节能灯的售价是x元，则每盏B种品牌的节能灯的售价是（x+10）元，根据“花费150元购买A种节能灯与花费200元购买B种节能灯的数量相同”列出方程，求解即可；‎ ‎（2）设该公司购买节能灯a盏，则a≥10．用含a的代数式分别表示出购买A种品牌的节能灯的费用为：30×0.8a=24a（元）；购买B种品牌的节能灯的费用为：40×5+40×0.5（a﹣5）=20a+100（元）．再分三种情况讨论即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）设每盏A种品牌的节能灯的售价是x元，则每盏B种品牌的节能灯的售价是（x+10）元，‎ 根据题意得=，‎ 解得x=30，‎ 经检验，x=20是原方程的解．‎ 则x+10=40．‎ 答：每盏A种品牌的节能灯的售价是30元，每盏B种品牌的节能灯的售价是40元；‎ ‎（2）设该公司购买节能灯a盏，则a≥10．‎ 如果购买A种品牌的节能灯，那么费用为：30×0.8a=24a（元）；‎ 如果购买B种品牌的节能灯，那么费用为：40×5+40×0.5（a﹣5）=20a+100（元）．‎ 当24a=20a+100时，a=25；‎ 当24a＞20a+100时，a＞25；‎ 当24a＜20a+100时，a＜25．‎ 故该公司购买节能灯盏数a满足10≤a＜25时，购买A种品牌的节能灯更省钱；‎ 购买节能灯25盏时，两种品牌的节能灯一样省钱；‎ 购买节能灯盏数a满足a＞25时，购买B种品牌的节能灯更省钱．‎ ‎【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．‎ ‎（1）求证：△BFH≌△DEG；‎ ‎（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．‎ ‎【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；‎ ‎（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，‎ ‎∴∠FBH=∠EDG，‎ ‎∵AE=CF，‎ ‎∴BF=DE，‎ ‎∵EG∥FH，‎ ‎∴∠OHF=∠OGE，‎ ‎∴∠BHF=∠DGE，‎ 在△BFH和△DEG中，‎ ‎，‎ ‎∴BFH≌△DEG（AAS）；‎ ‎（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：‎ 连接DF，如图所示：‎ 由（1）得：BFH≌△DEG，‎ ‎∴FH=EG，‎ 又∵EG∥FH，‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形，‎ ‎∵BF=DF，OB=OD，‎ ‎∴EF⊥BD，‎ ‎∴EF⊥GH，‎ ‎∴四边形EGFH是菱形．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．‎ ‎（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；‎ ‎（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计）．若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点B（5，5）、点A（30，0）代入求得a、b的值即可得抛物线解析式；‎ ‎（2）将抛物线解析式配方可得其最大值，即最大高度；‎ ‎（3）使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥则y=7，求得x的值，即可的货箱的最大宽度．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，‎ 将点B（5，5）、点A（30，0）代入，得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 故抛物线解析式为：y=﹣x2+x；‎ ‎（2）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣15）2+9，‎ ‎∴当x=15时，y取得最大值，最大值为9，‎ 故在正常水位时桥面CD距离水面的高度为9米；‎ ‎（3）根据题意，当y=7时，有﹣x2+x=7，‎ 解得：x1=15+5，x2=15﹣5，‎ 则货箱最宽为：15+5﹣（15﹣5）=10米．‎ 答：若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为10米．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，待定系数法求出抛物线解析式是解题的关键，结合题意理解不同水位对应的函数关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．问题情境：‎ 我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？‎ 探究方法：‎ 用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2=2ab．‎ 于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．‎ 另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．‎ ‎∵（a﹣b）2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．‎ 仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2的大小关系．‎ 类比应用 利用上面所得到的结论，完成填空：‎ ‎（1）x2+≥　2x•　，代数式x2+有最　小　值为　2　．‎ ‎（2）当x＞0时，x+≥　2　，代数式x+有最　小　值为　6　．‎ ‎（3）当x＞2时，x+　≥2+2　，代数式x+有最　小　值为　2+2　．‎ 问题解决：‎ 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】探究方法：仿照给定的方法，即可得出a+b≥2这一结论；‎ 类比应用：（1）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；‎ ‎（2）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；‎ ‎（3）代数式中先﹣2再+2，根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；‎ 问题解决：设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），根据a+b≥2，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：探究方法：‎ ‎∵当a，b均为正数时， =a+b﹣2≥0，‎ ‎∴a+b≥2．‎ 类比应用：‎ ‎（1）结合探究方法中得出的结论可知：‎ x2+≥2x•=2，代数式x2+有最小值为2．‎ 故答案为：2x•；小；2．‎ ‎（2）结合探究方法中得出的结论可知：‎ 当x＞0时，x+≥2=6，代数式x+有最小值为6．‎ 故答案为：2；小；6．‎ ‎（3）结合探究方法中得出的结论可知：‎ 当x＞2时，x+≥2+2=2+2，代数式x+有最小值为2+2．‎ 故答案为：2+2；小；2+2．‎ 问题解决：‎ 设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），‎ 根据题意知：周长C=2（a+b）≥4=4，且当a=b时，代数式2（a+b）取得最小值为4，‎ 此时a=b=．‎ 故若一个矩形的面积固定为n，它的周长是有最小值，周长的最小值为4，此时矩形的长和宽均为．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的面积公式、矩形的周长公式以及完全平方式的展开式，解题的关键：（探究方法）仿照给定方法套入数据；（类比应用）结合前面得出的结论套入数据；（问题解决）利用前面结论找出周长的最值．本题属于中档题，难度不大，由于本题篇幅较长，孩子们很难耐下心来细读，其实像这样的阅读形题，只要读懂题意仿照例题给定方法，套入数据即可得出结论，为此应加强这方面的练习．‎ ‎　‎ ‎25．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．‎ ‎（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；‎ ‎（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质．‎ ‎【专题】动点型．‎ ‎【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，‎ ‎（2）作PG⊥x轴，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，‎ ‎（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：AP=2t ‎∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，‎ ‎∴∠CQE=45°=∠DEF，‎ ‎∴CQ=CE=t，‎ ‎∴AQ=8﹣t，‎ t的取值范围是：0≤t≤5；‎ ‎（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，‎ ‎∴PG=PBSinB=（10﹣2t）‎ ‎∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==‎ ‎∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）‎ ‎（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）‎ 若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ‎∴△APH∽△ABC，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得：（s）‎ 若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t ‎∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，‎ ‎∴△AQI∽△ABC ‎∴即，‎ 解得：（s）‎ 综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．‎ ‎　‎