初三数学中考压轴题训练

初三数学中考压轴题训练

‎1、（2008广州）（14分）如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE ‎（1）求证：四边形OGCH是平行四边形 ‎（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度 ‎（3）求证：是定值 ‎2．（本题满分9分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求的值．‎ N D A CD B M 第22题图 ‎3.（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ ‎4、（2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=‎2cm，BC=‎4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=‎6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以‎1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 ‎（1）当t=4时，求S的值 ‎（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值 图11‎ ‎5、如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．‎ ‎(1)求此抛物线的解析式；‎ ‎(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．‎ ‎①求证：PB＝PS；‎ ‎②判断△SBR的形状；‎ ‎ ‎ ‎6、如图22所示，在平面直角坐标系中，四边形 是等腰梯形，，，点为轴上的一个动点，点P不与点O、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．‎ ‎（1）求点B的坐标；‎ ‎（2）当点P运动什么位置时，为等腰三角形，求这时点的坐标；‎ ‎（3）当点P运动什么位置时使得∠CPD＝∠OAB，且＝求这时点P的坐标．‎ ‎7、已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90º， AC＝‎4cm，BC＝‎3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为‎1cm/s；点 Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为‎2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t (s)（0＜t＜2），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BC ?‎ ‎（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；‎ ‎（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP ′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP ′C为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．‎ P ′‎ B A Q P C 图②‎ B A Q P C 图①‎ ‎8、如图12，直角梯形中，，动点从点出发，沿方向移动，动点从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，线段平分梯形的周长．‎ ‎（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；‎ ‎（2）当时，求的值；‎ ‎（3）当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．‎ 图12‎ ‎1．（1）连结OC交DE于M，由矩形得OM＝CG，EM＝DM ‎　　　　因为DG=HE所以EM－EH＝DM－DG得HM＝DG ‎（2）DG不变，在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1‎ ‎（3）设CD＝x,则CE＝，由得CG＝‎ ‎　　所以所以HG＝3－1－‎ ‎ 所以3CH2＝‎ 所以 ‎2．解：（1）在正方形中，，‎ N D A CD B M 答案22题图 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎． 2分 ‎（2），‎ ‎，‎ ‎， 4分 ‎，‎ 当时，取最大值，最大值为10． 6分 ‎（3），‎ 要使，必须有， 7分 由（1）知，‎ ‎，‎ 当点运动到的中点时，，此时． 9分 ‎（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）‎ ‎3.解：（1），，…………………………1分 等腰；…………………………2分 ‎ （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）‎ ‎ 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)‎ 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎（3）由题意知，FP∥AE，‎ ‎ ∴ ∠1＝∠PFB，‎ 又∵ ∠1＝∠2＝30°，‎ ‎ ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,‎ ‎∴ FP＝BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K，则.‎ ‎∵ AF＝t，AB＝8，‎ ‎∴ FB＝8－t，.‎ 在Rt△BPK中，. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积，‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为：‎ ‎ ，或. …………………………………8分 t的取值范围为：. …………………………………………………………9分 ‎4．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，‎ 重合部分是＝‎ ‎5．⑴解：∵B点坐标为(0．2)，‎ ‎∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.‎ ‎∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。‎ 设抛物线的解析式为．‎ 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。‎ c 得 解这个方程组，得 ‎∴此抛物线的解析式为 ………… (3分)‎ ‎(2)解：‎ ‎①过点B作BN，垂足为N．‎ ‎ ∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．‎ ‎ ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。‎ ‎∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)‎ ‎ 在Rt△PNB中．‎ ‎ PB2＝‎ ‎∴PB＝PS＝………………………… (6分)‎ ‎②根据①同理可知BQ＝QR。‎ ‎∴，‎ 又∵ ，‎ ‎∴，‎ 同理SBP＝………………………… (7分)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ M ‎∴.‎ ‎∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)‎ ‎ ③ 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，‎ ‎∵，‎ ‎∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。‎ ‎ 当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．‎ ‎ 由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。‎ ‎∴。………………………… (9分)‎ ‎ 取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．…………………… (10分)‎ ‎∴MN为直角梯形SRQP的中位线,‎ ‎∴点M为SR的中点 …………………… (11分)‎ 当△PSM∽△QRM时，‎ 又，即M点与O点重合。‎ ‎∴点M为原点O。‎ 综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；‎ 当点M为原点时，PSM∽△QRM …………(12分)‎ ‎6、解：‎ ‎（1）过点作，垂足是点，‎ ‎ 四边形是等腰梯形，‎ ‎ ，‎ ‎ 在中，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎，点的坐标． ‎ ‎（2）∠COA=60°，为等腰三角形，‎ ‎ 为等边三角形．‎ x y C B D A E P O ‎ ，‎ ‎ 点是在轴上，‎ 点的坐标或．‎ ‎ （3）‎ ‎∵∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60°‎ ‎∴∠OPC＋∠DPA＝120°‎ 又∵∠PDA＋∠DPA＝120°‎ ‎∴∠OPC＝∠PDA ‎∵∠OCP＝∠A＝60°‎ ‎∴△COP∽△PAD ‎∴∵，AB＝4‎ ‎∴BD＝∴AD＝即 ∴‎ 得OP＝1或6 ∴P点坐标为（1，0）或（6，0）‎ ‎7、(1)∵BC=‎3 AC=4 ∠C=，∴AB=5，∵BP=t，∴AP=5-t……………‎‎1’‎ 若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，∴‎ ‎∵AQ=2t，∴……………………………………………‎‎2’‎ ‎ 得，∴当时，PQ∥BC…………………………………‎‎3’‎ ‎(2)过点P做PE⊥AC于点E，∴PE∥BC，∴△APE∽△ABC ‎∴………………………………………………‎‎4’‎ ‎∴PE=………………………………………………‎‎5’‎ ‎∴…………‎‎6’‎ ‎(3)答：不存在…………………………………………………‎‎7’‎ ‎∵S△ACB=，∴当S△ACB=3时 有…………………………………………………‎‎8’‎ 解得：﹥2(不合题意舍去)………‎‎9’‎ ‎∴‎ ‎∴AP+AQ=‎ ‎∵△ACB周长=3+4+5=12，∴△ACB周长的 ‎∵AP+AQ=………………………………………………‎‎10’‎ ‎∴不存在t，使线段PQ恰好白Rt△ACB的周长合面积同时平分 ‎(4)答：存在………………………………………‎‎11’‎ 过点P作PG⊥AC垂足为G ‎∴PG∥BC ‎∴△APG∽△ABC ‎∴‎ ‎∴…………………………………‎‎12’‎ ‎∴GC=AC-AG=‎ 当QG=GC时, △PQG≌△PCG,有PQ=PC,四边形PQP′C为菱形，此时有,得…………………………………‎‎13’‎ 当时，菱形边长为…………………………………‎‎14’‎ ‎8．本题满分11分．‎ ‎ 解：（1）过作于，则，可得，‎ ‎ 所以梯形的周长为18． 1分 ‎ 平分的周长，所以， 2分 Q B C D P A ‎ 因为，所以，‎ ‎ 所求关系式为：． 3分 ‎ （2）依题意，只能在边上，．‎ ‎ ，‎ ‎ 因为，所以，所以，得 4分 ‎ ，即，‎ ‎ 解方程组 得． 6分 ‎ （3）梯形的面积为18． 7分 ‎ 当不在边上，则，‎ ‎ （）当时，在边上，．‎ ‎ 如果线段能平分梯形的面积，则有 8分 ‎ 可得：解得（舍去）． 9分 ‎ （）当时，点在边上，此时．‎ ‎ 如果线段能平分梯形的面积，则有，‎ ‎ 可得此方程组无解．‎ ‎ 所以当时，线段能平分梯形的面积． 11分