初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做题第二部

初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做题第二部

初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题 第二部 例11、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，，，为的中点，分别交、于、.‎ 想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.‎ 证明：过点Ｐ作ＡＣ，ＢＣ的垂线，垂足为Ｍ，Ｎ ‎∴△ＰＥＭ≌△ＰＦＮ（ＡAS）‎ ＰＥ和ＰＦ是相等的关系 例12、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，，，为上一点，且，分别交、于、.‎ 想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.‎ 证明：过点Ｐ作ＡＣ，ＢＣ的垂线，垂足为Ｍ，Ｎ ‎∴△ＰＥＭ∽△ＰＦＮ（ＡAＡ）‎ ＰＥ＝k·ＰＦ 例13、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，，为上一点，且，，的两边分别交、于、.‎ 想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.‎ 证明：MP∥BC PN∥AC MP=PQ ‎∠EPQ=∠NPF ∠EQP=∠PNF ‎∴△EPQ∽△FPN MP：PN＝EP：PF ‎△AMP∽△PNB AM＝MP AP：PB＝EP：PF EP＝k·PF 例14、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，，，.‎ 想一想、思一思、咱来探究：与之间的数量关系 证明：过点E作AB的平行线交BD于G 平行三角相等，EG＝ED＝AB ‎∴△ABF≌△EGF（ＡAS）‎ AF=EF 证明二：在BD上取一点G，使BG＝DG 由角证AB与EG平行，从而全等 证明三：延长AB、DE交于G，模型就改变了 例15、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，，，.‎ 想一想、思一思、咱来探究：与之间的数量关系 证明：过点E作AB的平行线交BD于G 平行三角相等，‎ ‎∴△ABF∽△EGF AF＝k·EF 例16、如图，直线L1、L2相交于点A，点B、点C分别在直线L1、L2上，AB＝k﹒AC，连结BC，点D是线段AC上任意一点（不与A、C重合），作∠BDE=∠BAC=α，与∠ECF的一边交于点E，且∠ECF=∠ABC.‎ ‎⑴如图1，若k=1，且∠α=90°时，猜想线段BD与DE的数量关系，并加以证明；‎ ‎⑵如图2，若，时，猜想线段与的数量关系，并加以证明.‎ 证明：（1）连接BE． ∵∠ECF=∠ABC， ‎ ‎∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°， ∴∠BCE=∠BAC； ∵∠BDE=∠BAC=α=90°， ∴B、E、D、C四点共圆， ∴∠BED=∠BCA， ∴△BED∽△BCA， ∴BD：DE=AB：AC=k=1， ∴BD=DE． （2）连接BE． ∵∠ECF=∠ABC， ∠ECF+∠BCE+∠BCA=∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°， ∴∠BCE=∠BAC； ∵∠BDE=∠BAC=α， ∴B、E、D、C四点共圆， ∴∠BED=∠BCA， ∴△BED∽△BCA， ∴BD：DE=AB：AC=k， ∴BD=k•DE．‎ 问题解析 ‎（1）连接BE．若k=1，且∠α=90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出； （2）连接BE．若k≠1，且∠α≠90°时，要求线段BD与DE的数量关系，可以通过证明△BED∽△BCA得出．‎ 名师点评 本题考点：‎ 确定圆的条件；圆周角定理．‎ 考点点评：‎ 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．解题的关键是确定B、E、D、C四点共圆．‎ 二．倍长中线法：‎ 例17、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，点是中点，，求证：‎ 例18、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，AD是△ABC的中线，AB＝k﹒AC，点E是AC延长线上一点，且∠AEF=∠BAD，EF交BA延长线于点F.想一想、思一思、咱来探究AE、AF的数量关系.‎ AE=kAF 证明：延长AD到G,使DG=AD,连接BG、CG, 则ABGC是平行四边形,AB∥=CG ∴∠BAG=∠AGC就是∠BAD=∠AGC 而∠BAD=∠AEF ∴∠AGC=∠AEF 又∠FAE=∠ACG(平行线内错角相等) ∴△AEF∼△CGA ∴AE/AF=CG/AC ∴AE/AF=AB/AC 因为AB=kAC ∴AE=kAF 例19、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，，，是边的中线.求证：‎ 证明：延长AE到F，使EF＝AE ‎∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠BDA+∠BDF＝∠ADF　　‎ AB＝BD＝CD＝DF ‎∴△ADF≌△ADC（SAS）‎ AC＝2AE 例20、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，，，是边的中线，且.‎ 想一想、思一思、咱来探究、的数量关系.‎ 证明：延长AE到F，使EF＝AE ‎∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠BDA+∠BDF＝∠ADF ‎∴△FDA∽△ADC AE＝k·AC