丽水市2016年中考数学卷

丽水市2016年中考数学卷

‎2016年浙江省丽水市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：每小题3分，共30分 ‎1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣‎ ‎2．计算32×3﹣1的结果是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2‎ ‎3．下列图形中，属于立体图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4． +的运算结果正确的是（　　）‎ A． B． C． D．a+b ‎5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（　　）‎ 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 ‎270‎ ‎262‎ ‎254‎ A．七年级的合格率最高 B．八年级的学生人数为262名 C．八年级的合格率高于全校的合格率 D．九年级的合格人数最少 ‎6．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）‎ A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0‎ ‎7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　）‎ A．13 B．17 C．20 D．26‎ ‎8．在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（　　）‎ A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）‎ ‎9．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．1.2‎ ‎　‎ 二、填空题：每小题4分，共24分 ‎11．分解因式：am﹣3a=　　　　　　．‎ ‎12．如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为　　　　　　．‎ ‎13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是　　　　　　．‎ ‎14．已知x2+2x﹣1=0，则3x2+6x﹣2=　　　　　　．‎ ‎15．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=　　　　　　．‎ ‎16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．‎ ‎（1）b=　　　　　　（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．‎ ‎18．解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）‎ ‎19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．‎ 请你运用所学的数学知识解决这个问题．‎ ‎20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．‎ ‎（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；‎ ‎（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；‎ ‎（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．‎ ‎21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．‎ ‎①求AB所在直线的函数解析式；‎ ‎②该运动员跑完赛程用时多少分钟？‎ ‎22．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．‎ ‎（1）求证：AD是半圆O的切线；‎ ‎（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；‎ ‎（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．‎ ‎23．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．‎ ‎（1）求绳子最低点离地面的距离；‎ ‎（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；‎ ‎（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．‎ ‎24．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．‎ ‎（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；‎ ‎（2）当BE=2EC时，求的值；‎ ‎（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．‎ ‎　‎ ‎2016年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：每小题3分，共30分 ‎1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】找出﹣2的相反数即为所求．‎ ‎【解答】解：下列四个数中，与﹣2的和为0的数是2，‎ 故选B ‎　‎ ‎2．计算32×3﹣1的结果是（　　）‎ A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】负整数指数幂．‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．‎ ‎【解答】解：32×3﹣1=32﹣1=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列图形中，属于立体图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】认识立体图形．‎ ‎【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、角是平面图形，故A错误；‎ B、圆是平面图形，故B错误；‎ C、圆锥是立体图形，故C正确；‎ D、三角形是平面图形，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4． +的运算结果正确的是（　　）‎ A． B． C． D．a+b ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】首先通分，把、都化成以ab为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可．‎ ‎【解答】解： +‎ ‎=+‎ ‎=‎ 故+的运算结果正确的是．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（　　）‎ 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 ‎270‎ ‎262‎ ‎254‎ A．七年级的合格率最高 B．八年级的学生人数为262名 C．八年级的合格率高于全校的合格率 D．九年级的合格人数最少 ‎【考点】统计表．‎ ‎【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可．‎ ‎【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定，‎ ‎∴无法求得七、八、九年级的合格率．‎ ‎∴A错误、C错误．‎ 由统计表可知八年级合格人数是262人，故B错误．‎ ‎∵270＞262＞254，‎ ‎∴九年级合格人数最少．‎ 故D正确．‎ 故选；D．‎ ‎　‎ ‎6．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）‎ A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；‎ B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；‎ C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；‎ D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（　　）‎ A．13 B．17 C．20 D．26‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，‎ ‎∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（　　）‎ A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M的坐标求出k的值，再代入N点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，‎ A、﹣3=2k，解得：k=﹣，‎ ‎﹣4×（﹣）=6，6=6，‎ ‎∴点N在正比例函数y=﹣x的图象上；‎ B、3=﹣2k，解得：k=﹣，‎ ‎4×（﹣）=﹣6，﹣6≠6，‎ ‎∴点N不在正比例函数y=﹣x的图象上；‎ C、﹣3=﹣2k，解得：k=，‎ ‎4×=6，6≠﹣6，‎ ‎∴点N不在正比例函数y=x的图象上；‎ D、3=2k，解得：k=，‎ ‎﹣4×=﹣6，﹣6≠6，‎ ‎∴点N不在正比例函数y=x的图象上．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．‎ ‎【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；‎ B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；‎ C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；‎ D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．1.2‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心．‎ ‎【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．‎ ‎【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，‎ ‎∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，‎ ‎∴∠D=90°，‎ 在Rt△ABD中，AD=，AB=4，‎ ‎∴BD=，‎ ‎∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，‎ ‎∴△ADE∽△BCE，‎ ‎∵AD：BC=：4=1：5，‎ ‎∴相似比为1：5，‎ 设AE=x，‎ ‎∴BE=5x，‎ ‎∴DE=﹣5x，‎ ‎∴CE=28﹣25x，‎ ‎∵AC=4，‎ ‎∴x+28﹣25x=4，‎ 解得：x=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：每小题4分，共24分 ‎11．分解因式：am﹣3a=　a（m﹣3）　．‎ ‎【考点】因式分解-提公因式法．‎ ‎【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可．‎ ‎【解答】解：am﹣3a=a（m﹣3）．‎ 故答案为：a（m﹣3）．‎ ‎　‎ ‎12．如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为　70°　．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE，由∠AEN=∠A+∠ADE计算即可．‎ ‎【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE，∠AEN=133°，∠A=63°，‎ ‎∴∠ADE=70°，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠B=∠ADE=70°，‎ 故答案为70°．‎ ‎　‎ ‎13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是　　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，‎ 故答案为；．‎ ‎　‎ ‎14．已知x2+2x﹣1=0，则3x2+6x﹣2=　1　．‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【分析】直接利用已知得出x2+2x=1，再代入原式求出答案．‎ ‎【解答】解：∵x2+2x﹣1=0，‎ ‎∴x2+2x=1，‎ ‎∴3x2+6x﹣2=3（x2﹣2x）﹣2=3×1﹣2=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则=　　．‎ ‎【考点】菱形的性质．‎ ‎【分析】连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．‎ ‎【解答】解：如图，连接AC、EF，‎ 在菱形ABCD中，AC⊥BD，‎ ‎∵BE⊥AD，AE=DE，‎ ‎∴AB=BD，‎ 又∵菱形的边AB=AD，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠ADB=60°，‎ 设EF与BD相交于点H，AB=4x，‎ ‎∵AE=DE，‎ ‎∴由菱形的对称性，CF=DF，‎ ‎∴EF是△ACD的中位线，‎ ‎∴DH=DO=BD=x，‎ 在Rt△EDH中，EH=DH=x，‎ ‎∵DG=BD，‎ ‎∴GH=BD+DH=4x+x=5x，‎ 在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG===2x，‎ 所以， ==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．‎ ‎（1）b=　m+　（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是　　．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．‎ ‎（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF，推出EF=AM=NB，得B（2m，）代入直线解析式即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m，‎ ‎∴点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）．‎ 令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b，‎ ‎∴﹣m+b=‎ 即b=m+．‎ 故答案为：m+．‎ ‎（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．‎ ‎∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，‎ ‎∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S，‎ 则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），‎ ‎∴S△ADM=2S△OEF，‎ ‎∴EF=AM=NB，‎ ‎∴点B坐标（2m，）代入直线y=﹣x+m+，‎ ‎∴=﹣2m=m+，整理得到m2=2，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂．‎ ‎【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣+2‎ ‎=1+．‎ ‎　‎ ‎18．解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）‎ ‎【考点】解一元一次不等式．‎ ‎【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题．‎ ‎【解答】解：3x﹣5＜2（2+3x），‎ 去括号，得3x﹣5＜4+6x，‎ 移项及合并同类项，得﹣3x＜9，‎ 系数化为1，得x＞﹣3．‎ 故原不等式组的解集是：x＞﹣3．‎ ‎　‎ ‎19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．‎ 请你运用所学的数学知识解决这个问题．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，‎ AC==2，‎ 则EF=AC=2，‎ ‎∵∠E=45°，‎ ‎∴FC=EF•sinE=，‎ ‎∴AF=AC﹣FC=2﹣．‎ ‎　‎ ‎20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．‎ ‎（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；‎ ‎（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；‎ ‎（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．‎ ‎【考点】条形统计图；频数（率）分布折线图．‎ ‎【分析】（1）先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数，除以2可求“跳绳”项目男、女生总人数，再减去“跳绳”项目男生人数，即可得到“跳绳”项目的女生人数；‎ ‎（2）根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解；‎ ‎（3）根据统计图提出合理化建议，合理即可．‎ ‎【解答】解：（1）÷2﹣260‎ ‎=1000÷2﹣260‎ ‎=500﹣260‎ ‎=240（人）‎ 答：“跳绳”项目的女生人数是240人；‎ ‎（2）“掷实心球”项目平均分：‎ ‎÷‎ ‎=÷1000‎ ‎=9000÷1000‎ ‎=9（分），‎ 投篮项目平均分大于9分，‎ 其余项目平均分小于9分．‎ 故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮，掷实心球两个项目．‎ ‎（3）如：游泳项目考试的人数最多，可以选考游泳．‎ ‎　‎ ‎21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．‎ ‎①求AB所在直线的函数解析式；‎ ‎②该运动员跑完赛程用时多少分钟？‎ ‎【考点】一次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题．‎ ‎（2）①先求出A、B两点坐标即可解决问题．‎ ‎②令s=0，求出x的值即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，‎ ‎∴a=0.3×35=10.5千米．‎ ‎（2）①∵线段OA经过点O（0，0），A（35，10.5），‎ ‎∴直线OA解析式为y=0.3t（0≤t≤35），‎ ‎∴当s=2.1时，0.3t=2.1，解得t=7，‎ ‎∵该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟，‎ ‎∴该运动员从起点点到第二次经过C点所用的时间是7+68=75分钟，‎ ‎∴直线AB经过（35，10.5），（75，2.1），‎ 设直线AB解析式s=kt+b，‎ ‎∴解得，‎ ‎∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85．‎ ‎②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标，‎ ‎∴当s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得t=85‎ ‎∴该运动员跑完赛程用时85分钟．‎ ‎　‎ ‎22．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．‎ ‎（1）求证：AD是半圆O的切线；‎ ‎（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；‎ ‎（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．‎ ‎【考点】切线的判定与性质；弧长的计算．‎ ‎【分析】（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；‎ ‎（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；‎ ‎（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠DBO=∠BDO，‎ ‎∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，‎ ‎∴∠ADO=∠ABO=90°，‎ ‎∴AD是半圆O的切线；‎ ‎（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，‎ ‎∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，‎ ‎∵AD是半圆O的切线，‎ ‎∴∠ODE=90°，‎ ‎∴∠ODC+∠CDE=90°，‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ODC+∠BDO=90°，‎ ‎∴∠BDO=∠CDE，‎ ‎∵∠BDO=∠OBD，‎ ‎∴∠DOC=2∠BDO，‎ ‎∴∠DOC=2∠CDE，‎ ‎∴∠A=∠CDE；‎ ‎（3）解：∵∠CDE=27°，‎ ‎∴∠DOC=2∠CDE=54°，‎ ‎∴∠BOD=180°﹣54°=126°，‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴的长==π．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．‎ ‎（1）求绳子最低点离地面的距离；‎ ‎（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；‎ ‎（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；‎ ‎（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；‎ ‎（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=＞0，‎ ‎∴抛物线顶点为最低点，‎ ‎∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，‎ ‎∴绳子最低点离地面的距离为： m；‎ ‎（2）由（1）可知，BD=8，‎ 令x=0得y=3，‎ ‎∴A（0，3），C（8，3），‎ 由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），‎ 设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，‎ 将（0，3）代入得：4a+1.8=3，‎ 解得：a=0.3，‎ ‎∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，‎ 当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，‎ ‎∴MN的长度为：2.1m；‎ ‎（3）∵MN=DC=3，‎ ‎∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，‎ ‎∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），‎ ‎∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，‎ 把C（8，3）代入得：（4﹣m﹣4）2+k=3，‎ 解得：k=﹣（4﹣m）2+3，‎ ‎∴k=﹣（m﹣8）2+3，‎ ‎∴k是关于m的二次函数，‎ 又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，‎ ‎∴k随m的增大而增大，‎ ‎∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，‎ 解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），‎ 当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，‎ 解得：m18﹣24，m2=8+2（不符合题意，舍去），‎ ‎∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．‎ ‎　‎ ‎24．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．‎ ‎（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；‎ ‎（2）当BE=2EC时，求的值；‎ ‎（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可；‎ ‎（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出结果；‎ ‎（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=，设EM=x，则FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算即可得出n的值．‎ ‎【解答】（1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点，‎ ‎∴CF=DE=EF，‎ ‎∴∠FEC=∠FCE，‎ ‎∵∠BFC=90°，E为BC中点，‎ ‎∴EF=EC，‎ ‎∴CF=CE，‎ 在△BCF和△DEC中，，‎ ‎∴△BCF≌△DEC（ASA）；‎ ‎（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，‎ ‎∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，‎ ‎∴CF=DE，‎ ‎∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，‎ ‎∴△BCF∽△DEC，‎ ‎∴=，‎ 即： =，‎ 解得：ED2=6a2，‎ 由勾股定理得：DC===a，‎ ‎∴==；‎ ‎（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：‎ ‎∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，‎ ‎∴FC=FE=FD，‎ ‎∴∠FEC=∠FCE，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴∠ADF=∠CEF，‎ ‎∴∠ADF=∠BCF，‎ 在△ADF和△BCF中，，‎ ‎∴△ADF≌△BCF（SAS），‎ ‎∴∠AFD=∠BFC=90°，‎ ‎∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，‎ ‎∴四边形C′MFH是矩形，‎ ‎∴FM=C′H=，‎ 设EM=x，则FC=FE=x+，‎ 在Rt△EMC和Rt△FMC中，‎ 由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，‎ ‎∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，‎ 解得：x=，或x=﹣（舍去），‎ ‎∴EM=，FC=FE=+；‎ 由（2）得：，‎ 把CE=1，BE=n代入计算得：CF=，‎ ‎∴，‎ 解得：n=4‎ ‎　‎ ‎2016年6月21日