人教版九年级数学中考模拟试卷含答案

人教版九年级数学中考模拟试卷含答案

浙教版2018-2019学年度九年级中考数学模拟试卷含解析答案 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共12小题，12*3=36）‎ ‎1．的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3‎ ‎2．已知x2﹣3x+1=0，则的值是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎3．如图，在数轴上表示实数的可能是（　　）‎ A．点P B．点Q C．点M D．点N ‎4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．计算﹣•的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途电话被收费m元，则这次长途电话的时间是（　　）‎ A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 ‎8．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）‎ A．四边形ACDF是平行四边形 ‎ B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 ‎ C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 ‎ D．四边形ACDF不可能是正方形 ‎9．若不等式组的解集为x＞3，则a的取值是（　　）‎ A．a≤6 B．a≥6 C．a＜6 D．a≤0‎ ‎10．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙‎ C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．2﹣ D．4﹣‎ ‎11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x=﹣1；②abc=0；③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，ax2+bx≤a﹣b．其中，正确的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎12．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共6小题，4*6=24）‎ ‎13．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=　 　．‎ ‎14．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA=90°，AB=4，则CD的长为　 　．‎ ‎15．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是　 　．‎ ‎16．如图，△AOB，AB∥x轴，OB=2，点B在反比例函数y=上，将△AOB绕点B逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A′B恰好经过点O，则k的值为　 　．‎ ‎17．如图，动点P从（0，2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为P1‎ ‎（2，0），则P2017的坐标为　 　．‎ ‎18．如图，MN为⊙O的直径，四边形ABCD，CEFG均为正方形，若OM=2，则EF的长为　 　．‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共7小题，60分）‎ ‎19．（6分）解方程组：．‎ ‎20．（8分）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．‎ 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价（元/千克）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ 千克（千克）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（1）该什锦糖的单价为　 　元/千克．‎ ‎（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？‎ ‎21．（8分）‎ 某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元，用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同．‎ ‎（1）求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元？‎ ‎（2）若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍，按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元？‎ ‎22．（8分）如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．‎ ‎（1）求证：点C是劣弧的中点；‎ ‎（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．‎ ‎23．（10分）问题探究 ‎（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；‎ 问题解决 ‎（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．‎ ‎24．（10分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．‎ ‎（1）求灯杆CD的高度；‎ ‎（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎25．（10分）已知，矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（8，10），抛物线y=ax2+bx+c经过点O，点C，与AB交于点D，将矩形OABC沿CD折叠，点B的对应点E刚好落在OA上．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．的值是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3‎ ‎【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．‎ ‎【解答】解：=﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．‎ ‎2．已知x2﹣3x+1=0，则的值是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【分析】先根据x2﹣3x+1=0得出x2=3x﹣1，再代入分式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，‎ ‎∴x2=3x﹣1，‎ ‎∴原式==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎3．如图，在数轴上表示实数的可能是（　　）‎ A．点P B．点Q C．点M D．点N ‎【分析】根据数的平方估出介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点．‎ ‎【解答】解：∵＜＜，‎ ‎∴2＜＜3，‎ 点Q在这两个数之间，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系，解题的关键是求出介于哪两个整数之间．‎ ‎4．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你认为派谁去参赛更合适（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．‎ ‎【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，‎ ‎∴甲的成绩最稳定，‎ ‎∴派甲去参赛更好，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．‎ ‎5．一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．从左面看到的这个几何体的形状图的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为4，3，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为1，4，3．据此可画出图形．‎ ‎【解答】解：由俯视图及其小正方体的分布情况知，‎ 该几何体的主视图为：‎ 该几何体的左视图为：‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．‎ ‎6．计算﹣•的结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先进行二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣‎ ‎=3﹣‎ ‎=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．‎ ‎7．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每分钟收费b元，如果某人打一次该长途电话被收费m元，则这次长途电话的时间是（　　）‎ A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 ‎【分析】打电话的时间=（m﹣超过a元的钱数+b）÷b，把相关数值代入即可．‎ ‎【解答】解：这次长途电话的时间是分钟，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查列代数式；得到打电话所用两个时间段的和的关系式是解决本题的关键．‎ ‎8．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）‎ A．四边形ACDF是平行四边形 ‎ B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 ‎ C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 ‎ D．四边形ACDF不可能是正方形 ‎【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．‎ ‎【解答】解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，‎ ‎∴AC∥DF，‎ ‎∵AC=DF，‎ ‎∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．‎ B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．‎ C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，‎ ‎∴四边形AFDC是菱形，‎ D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定．正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．‎ ‎9．若不等式组的解集为x＞3，则a的取值是（　　）‎ A．a≤6 B．a≥6 C．a＜6 D．a≤0‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集即可确定a的范围．‎ ‎【解答】解：解不等式2x+a＜3（x+1）得：x＞a﹣3，‎ 解不等式＞，得：x＞3，‎ ‎∵不等式组的解集为x＞3，‎ ‎∴a﹣3≤3，‎ 解得：a≤6，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 ‎10．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（　　）‎ A．1 B．2 C．2﹣ D．4﹣‎ ‎【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，由△AEO∽△ACD，求出OE的长即可解决问题；‎ ‎【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；‎ Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；‎ 由勾股定理，得：AD=2；‎ ‎∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC，‎ ‎∴△AOE∽△ADC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ OE=，‎ ‎∴BE=2﹣，‎ ‎∴△ABE的面积的最小值=•BE•AO=2﹣，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．‎ ‎11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①抛物线的对称轴为x=﹣1；②abc=0；③方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；④无论x取何值，ax2+bx≤a﹣b．其中，正确的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（0，0），‎ ‎∴对称轴为x==﹣1，故①正确；‎ ‎∵抛物线开口向下，a＜0，抛物线与原点相交，c=0，‎ ‎∴abc=0，故②正确；‎ ‎∵c=0，‎ ‎∴b2﹣4a（c+1）=b2﹣4a＞0，故③正确；‎ 当x=﹣1时，抛物线有最大值，‎ ‎∴无论x取何值，ax2+bx+c≤a﹣b+c，‎ 即ax2+bx≤a﹣b，故④正确．‎ 正确的为①②③④，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．‎ ‎12．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F，设BE=x，△ECF的面积为y，下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】过F作FG⊥BC于G，求出FG=CG，求出△BAE∽△GEF，得出=，求出FG=x，代入y=×CE×FG求出解析式，根据解析式确定图象即可．‎ ‎【解答】解：过F作FG⊥BC于G，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DCG=90°，‎ ‎∵CF平分∠DCG，‎ ‎∴∠FCG=∠DCG=45°，‎ ‎∵∠G=90°，‎ ‎∴∠GCF=∠CFG=45°，‎ ‎∴FG=CG，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，‎ ‎∴∠B=∠G=∠AEF=90°，‎ ‎∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，‎ ‎∴∠BAE=∠FEG，‎ ‎∵∠B=∠G=90°，‎ ‎∴△BAE∽△GEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BE=x，‎ ‎∴EG=BC﹣BE+CG=4﹣x+FG，‎ ‎∴=，‎ 解得：FG=x，‎ ‎∴y=×CE×FG=×（4﹣x）•x，‎ 即：y=2x﹣x2，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了动点问题的函数图象、正方形性质、角平分线定义、三角形面积的计算、相似三角形的性质和判定的应用等知识，能用x的代数式把CE和FG的值表示出来是解决问题的关键．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=　（y﹣1）2（x﹣1）2　．‎ ‎【分析】式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点，设x+y=a，xy=b，将a、b代入原式，进行因式分解，然后再将x+y、xy代入进行因式分解．‎ ‎【解答】解：令x+y=a，xy=b，‎ 则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）‎ ‎=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）‎ ‎=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b ‎=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1‎ ‎=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1‎ ‎=（b﹣a+1）2；‎ 即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．‎ 故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2．‎ ‎【点评】本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，选择适当的方法，对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．‎ ‎14．如图是按以下步骤作图：（1）在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若∠BCA=90°，AB=4，则CD的长为　2　．‎ ‎【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，再证明DA=DC，从而得到CD=AB=2．‎ ‎【解答】解：由作法得MN垂直平分BC，‎ ‎∴DB=DC，‎ ‎∴∠B=∠BCD，‎ ‎∵∠B+∠A=90°，∠BCD+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠ACD=∠A，‎ ‎∴DA=DC，‎ ‎∴CD=AB=×4=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．‎ ‎15．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是　4　．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，‎ ‎∵x12+x22=4，‎ ‎∴=4，‎ ‎（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，‎ ‎2k2+2k﹣4=0，‎ k2+k﹣2=0，‎ k=﹣2或1，‎ ‎∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，‎ k≥0，‎ ‎∴k=1，‎ ‎∴x1•x2=k2﹣k=0，‎ ‎∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．‎ ‎16．如图，△AOB，AB∥x轴，OB=2，点B在反比例函数y=上，将△AOB绕点B逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A′B恰好经过点O，则k的值为　　．‎ ‎【分析】先求得△BOO′是等边三角形，即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的解析式；‎ ‎【解答】解：（1）∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠ABO=∠BOO′，‎ ‎∵∠ABO=∠A′BO′，‎ ‎∴∠BOO′=∠OBO′，‎ ‎∴OO′=O′B，‎ ‎∵OB=BO′，‎ ‎∴△BOO′是等边三角形，‎ ‎∴∠BOO′=60°，‎ ‎∵OB=2，‎ ‎∴B（1，）；‎ ‎∵双曲线y=经过点B，‎ ‎∴k=1×=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得△BOO′是等边三角形是解题的关键．‎ ‎17．如图，动点P从（0，2）出发，沿所示的方向在矩形网格中运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，若第一次碰到矩形的边时坐标为P1（2，0），则P2017的坐标为　（2，0）　．‎ ‎【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2017除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 经过6次反弹后动点回到出发点（0，2），‎ ‎∵2017÷6=336…1，‎ ‎∴当点P第2017次碰到矩形的边时为第336个循环组的第1次反弹，‎ 点P的坐标为（2，0）．‎ 故答案为：（2，0）．‎ ‎【点评】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．‎ ‎18．如图，MN为⊙O的直径，四边形ABCD，CEFG均为正方形，若OM=2，则EF的长为　2　．‎ ‎【分析】连接OD、OF，作OH⊥AD于H，如图，利用垂径定理得到AH=DH，再证明OC=AD，设正方形ABCD的边长为x，利用勾股定理x2+x2=（2）2，解得x=4（x=﹣4舍去），然后设正方形CEFG的边长为a，在Rt△OFG中利用勾股定理得到a2+（2+a）2=（2）2，于是解关于a的方程即可．‎ ‎【解答】解：连接OD、OF，作OH⊥AD于H，如图，则AH=DH，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴四边形OCDH为矩形，‎ ‎∴OC=AD，‎ 设正方形ABCD的边长为x，‎ 在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=x，CD=x，‎ ‎∴x2+x2=（2）2，解得x=4（x=﹣4舍去），‎ 设正方形CEFG的边长为a，则FG=a，OG=2+a，‎ 在Rt△OFG中，a2+（2+a）2=（2）2，解得a=2，‎ 即EF=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的性质和勾股定理．‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎19．解方程组：．‎ ‎【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．‎ ‎【解答】解：方程组整理得：，‎ ‎①+②得：8x=24，‎ 解得：x=3，‎ 把x=3代入②得：y=﹣5，‎ 则方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎20．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和数量如下表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．‎ 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价（元/千克）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ 千克（千克）‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（1）该什锦糖的单价为　20　元/千克．‎ ‎（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中再加入甲、乙两种糖果共100千克，则最少需要加入甲种糖果多少千克？‎ ‎【分析】（1）根据单价=三种糖果的总价÷三种糖果的总质量，由此即可得出结论；‎ ‎（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100﹣x）千克，根据单价=总价÷数量结合单价不超过18元/千克，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）（15×30+20×40+25×30）÷（30+40+30）=20（元/千克）．‎ 故答案为：20．‎ ‎（2）设需加入甲种糖果x千克，则加入乙种糖果（100﹣x）千克，‎ 根据题意得：≤20﹣2，‎ 解得：x≥80．‎ 答：最少需要加入甲种糖果80千克．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及加权平均数，解题的关键是：（1）根据单价=三种糖果的总价÷三种糖果的总质量列式计算；（2）根据单价=总价÷数量结合单价不超过18元/千克，列出关于x的一元一次不等式．‎ ‎21．某企业计划购买甲、乙两种学习用品800件，资助某贫困山区希望小学，已知每件甲种学习用品的价格比每件乙种学习用品的价格贵10元，用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同．‎ ‎（1）求甲、乙两种学习用品的价格各是多少元？‎ ‎（2）若该希望小学需要乙种学习用品的数量是甲种学习用品数量的3倍，按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为多少元？‎ ‎【分析】（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x﹣10）元，根据数量=总价÷单价结合用400元购买甲种学习用品的件数恰好与用320元购买乙种学习用品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；‎ ‎（2）根据总价=单价×数量列式计算，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种学习用品的价格是x元，则乙种学习用品的价格是（x﹣10）元，‎ 根据题意得：=，‎ 解得：x=50，‎ 经检验，x=50是原分式方程的解，‎ ‎∴x﹣10=40．‎ 答：甲种学习用品的价格是50元，乙种学习用品的价格是40元．‎ ‎（2）50××800+40××800=34000（元）．‎ 答：按照此比例购买这800件学习用品所需的资金为34000元．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×数量列式计算．‎ ‎22．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．‎ ‎（1）求证：点C是劣弧的中点；‎ ‎（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC，于是得到结论；‎ ‎（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接CE，‎ ‎∵AE是⊙O的直径，‎ ‎∴CE⊥AD，‎ ‎∵AC=CD，‎ ‎∴AE=ED，‎ ‎∴∠AEC=∠DEC，‎ ‎∴；‎ ‎∴点C是劣弧的中点；‎ ‎（2）连接BC，OB，OC，‎ ‎∵AE=2AC=4，‎ ‎∴∠AEC=30°，AE=AD，‎ ‎∴∠AED=60°，‎ ‎∴△AED是等边三角形，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∵=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AE∥BC，∠BOC=60°，‎ ‎∴S△OBC=S△EBC，‎ ‎∴S阴影=S扇形==π．‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎23．问题探究 ‎（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；‎ 问题解决 ‎（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．‎ ‎【分析】（1）结论：AM⊥BN．只要证明△ABM≌△BCN即可解决问题；‎ ‎（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．首先证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可解决问题；‎ ‎（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．首先证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）结论：AM⊥BN．‎ 理由：如图①中，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，‎ ‎∵BM=CN，‎ ‎∴△ABM≌△BCN，‎ ‎∴∠BAM=∠CBN，‎ ‎∵∠CBN+∠ABN=90°，‎ ‎∴∠ABN+∠BAM=90°，‎ ‎∴∠APB=90°，‎ ‎∴AM⊥BN．‎ ‎（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．‎ ‎∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，‎ ‎∴四边形EFPG是矩形，‎ ‎∴∠FEG=∠AEB=90°，‎ ‎∴∠AEF=∠BEG，‎ ‎∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，‎ ‎∴△AEF≌△BEG，‎ ‎∴EF=EG，AF=BG，‎ ‎∴四边形EFPG是正方形，‎ ‎∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，‎ ‎∵EF≤AE，‎ ‎∴EF的最大值=AE=2，‎ ‎∴△APB周长的最大值=4+4．‎ ‎（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△‎ ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．‎ ‎∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，‎ ‎∴△ABM≌△BCN，‎ ‎∴∠BAM=∠CBN，‎ ‎∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，‎ ‎∴∠APB=120°，‎ ‎∵∠AKB=60°，‎ ‎∴∠AKB+∠APB=180°，‎ ‎∴A、K、B、P四点共圆，‎ ‎∴∠BPH=∠KAB=60°，‎ ‎∵PH=PB，‎ ‎∴△PBH是等边三角形，‎ ‎∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，‎ ‎∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，‎ ‎∴△KBH≌△ABP，‎ ‎∴HK=AP，‎ ‎∴PA+PB=KH+PH=PK，‎ ‎∴PK的值最大时，△APB的周长最大，‎ ‎∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，‎ ‎∴△PAB的周长最大值=2+4．‎ ‎【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎24．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．‎ ‎（1）求灯杆CD的高度；‎ ‎（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；‎ ‎（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）延长DC交AN于H．‎ ‎∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，‎ ‎∴∠BDH=30°，‎ ‎∵∠CBH=30°，‎ ‎∴∠CBD=∠BDC=30°，‎ ‎∴BC=CD=10（米）．‎ ‎（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，‎ ‎∴DH=15，‎ 在Rt△ADH中，AH===20，‎ ‎∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎25．已知，矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（8，10），抛物线y=ax2+bx+c经过点O，点C，与AB交于点D，将矩形OABC沿CD折叠，点B的对应点E刚好落在OA上．‎ ‎（1）求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；‎ ‎（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据翻折的性质，可得DE，CE的长，根据勾股定理，可得AD的长，根据待定系数法，可得答案；‎ ‎（2）①根据平行四边形的对角线互相平分，可得xQ=xP，根据自变量与函数式的对应关系，可得答案；‎ ‎②根据平行四边形对边的横坐标的距离相等可得|xQ﹣xP|，根据自变量与函数式的对应关系，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由矩形OCBA，B点坐标为（8，10），‎ 得C（8，0），AB=8，AC=BC=10．‎ 设AD的长为x，BD=8﹣x，‎ 由翻折的性质，得 DE=DB=8﹣x，CE=BC=10，‎ 由勾股定理，得OE===6，AE=AO﹣OE=10﹣6=4，‎ 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AD2+AE2=DE2，即42+x2=（8﹣x）2，‎ 解得x=3，即D（3，10），C（8，0），‎ 将D、C、O点坐标代入函数解析式，得，‎ 解得，‎ 抛物线的解析式为y=﹣x2+x；‎ ‎（2）C点坐标为（8，0），E（0，6）‎ ‎①当CE为平行四边形的对角线时，对角线的交点坐标为（4，3），‎ ‎∵Q在对称轴上，‎ ‎∴点P的横坐标等于Q的横坐标4，‎ 当x=4时，y=，‎ 点P为抛物线的顶点∴P（4，）；‎ ‎②当CE为平行四边形的边时，C、E两点之间的水平距离等于P、Q两点间的横坐标，‎ 对称轴是x=4，C、E两点之间的水平距离等于8，‎ P在Q的左边时，4﹣8=﹣4，当x=﹣4时，y=﹣32，即P（﹣4，﹣32）；‎ P在Q的右边时，4+8=12，当x=12时，y=﹣32，即P（12，﹣32）；‎ 综上所述：存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标（4，），（﹣4，﹣32），（12，﹣32）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用翻折的性质得出DE，CE的长，又利用了勾股定理，待定系数法；解（2）的关键是利用平行四边形的性质xQ=xP，|xQ﹣xP|；又利用了自变量与函数值的对应关系．‎