- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
几何类问题解决浅见中考数学规律探索型
⑴ 1+8=? 1+8+16=? ⑵ ⑶ 1+8+16+24=? …… 中考数学规律探索型(几何类)问题解决浅见 长旺中学 明道银 中考数学规律探索型问题的解决体现了新课程下数学中考 命题的新尝试,是近几年来中考的热点、重点和难点,需要敏锐 的观察力、严密的逻辑推理能力和一定的计算能力。为培养这方 面的能力,本人以几何图形的问题为例,从哪些方面来观察思考, 观察发现规律,并利用规律从特殊到一般和从一般到特殊的办法 来解决几何类规律探索型问题。 一、 规律明显 数数看看定有发现 例 1、如图,每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第 1 幅 图中有 1 个,第 2 幅图中有 3 个,第 3 幅图中有 5 个,则第 n 幅 图中共有 个。 解析:方法 :一数。在数字中发现。在开始的几幅图中把所 要的问题分别数字记载,如 1、3、5、7 、… ,发现奇数规律 排列,猜想最终结果为 2n-1 ;二看。发现图形规律和结果数字 规律。直接由图序排列发现大小菱形逐次各自多 1,得出所要的 结果是:1、1+2、1+2+2、1+2+2+2、… ,再发现是 1 加上若干 个 2 组成,2 的多少与序列号少 1,于是得 1+2(n-1)即 2n-1 。 例 2、观察下列图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律 计算 1+8+16+24+……+8n(n 是正整数)的结果为 ( )。 … … 第 1 幅 第 2 幅 第 3 幅 第 n 幅 解析:是图形规律与数字规律结合的问题,与上述比较多了 个数字条件规律,探究数字规律结果。 方法:在开始的几幅图中发现图形及图形所对应的算式之间 的关系,即:图形中小正方形的个数是图形所对应的算式的数值 结果;然后可直接由图形的规律发现结果或在数字形式(原式或 变形式或运算结果)发现结果。如在图形的规律发现结果为 3、5、 7、…、的平方;在原式数字形式发现结果为 1 加上若干个含 8 的 倍数的项的和,于是变形为 1+8(1+2+3+ … + n );在运算结果数 字规律 9、25、47、81 …中发现为 3、5、7、… 、的平方。 归纳方法:这类给定的图形或数字规律及寻找的数字规律容 易发现,通过一看二数三变的方法即可解决问题。 练习 1、用正三角形、正四边形和正六四边形按如图所示的 规律拼图案,即从第二个图案开始,每个图案中正三角形的个数 都比上一个图案中正三角形的个数多 4 个.则第 n 个图案中正三 角形的个数为 。 练习 2、、如图 9,在锐角 内部,画 1 条射线,可得 3 个锐角;画 2 条不同射线,可得 6 个锐角;画 3 条不同射线,可 得 10 个锐角;……照此规律,画 n 条不同射线,可得锐角 个. … 第一个图案 第二个图案 第三个图案 AOB∠ (3)(2)(1) C3 B3 A3 A2C1 B1 A1 CB A C2B2B2 C2 A B CA1 B1C1 A2C1 B1 A1 CB A … 练习 3、在图(1)中,A1、B1、C1 分别是△ABC 的边 BC、CA、 AB 的中点,在图(2)中,A2、B2、C2 分别是△A1B1C1 的边 B1C1、 C1 A1、 A1B1 的中点,…,按此规律,则第 n 个图形中平行四边 形的个数共有 个。 练习 4、在△ABC 中,D 为 BC 边的中点,E 为 AC 边上的任意 一点,BE 交 AD 于点 O.某学生在研究这一问题时,发现了如下 的事实: (1)当 时,有 (如图 1); (2)当 时,有 (如图 2); 图 1 图 2 图 3 图 4 (3)当 时,有 (如图 3); 11 1 2 1 +== AC AE 12 2 3 2 +== AD AO 21 1 3 1 +== AC AE 22 2 4 2 +== AD AO 31 1 4 1 +== AC AE 32 2 5 2 +== AD AO B A C D A1 A2 A D B A D C F E B A D A1 A2 A3 B1 B2 B3 在图 4 中,当 时,参照上述研究结论,请你猜想用 n 表示 的一般结论,并给出证明(其中 n 是正整数)。 说明:证明时按照几何的探究思路和方法。 练习 5、如图,△ABC 的面积为 1,分别取 AC、BC 两边的中点 A1、B1,则四边形 A1ABB1 的面积为3 4 ,再分别取 A1C、B1C 的中点 A2、B2,A2C、B2C 的中点 A3、B3,依次取下去….利用这一图形, 能直观地计算出3 4 + 3 42 + 3 43 +…+ 3 4n =________. 二、 规律隐含 算算数量待发现 例 3、如图,在△ABC 中,∠A= .∠ABC 与∠ACD 的平分 线交于点 A1,得∠A1;∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相交于点 A2, 得∠A2; ……;∠A2009BC 与∠A2009CD 的平分线相交于点 A2010, 得∠A2010,则∠A2010= . 解析:(一) ∵∠A1 = ∠A1CD - ∠A1BD ,∠A1BC = 1 2 ∠ABC nAC AE += 1 1 AD AO α ∠A1CD = 1 2 ∠ACD = 1 2 (∠A +∠ABC ) ∴∠A1 = 1 2 ∠A 又∵∠A2 = ∠A2CD - ∠A2BD ,∠A2CD =1 4 ∠ACD = 1 4 (∠A +∠ABC ) ,∠A2BC = 1 4 ∠ABC ∴∠A2 = 1 4 ∠A 同理,得∠A3 = 1 8 ∠A ;∠A4 = 1 16 ∠A ;∠A5 = 1 32 ∠A ∴∠An = 1 2 ∠A ∴∠A2010 = 1 2 ∠A 归纳方法:利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分 线性质,采取从特殊到一般解决问题的数学思想,逐次探究出∠ A1 ;∠A2 ;∠A3 ;… ;∠An 的结果,发现一定的数量规律,猜 测结论。 解析:(二) ∵∠An = ∠AnCD - ∠AnBD ,∠AnBD = 1 2 ∠ABC ∠AnCD = 1 2 ∠ACD = 1 2 (∠A +∠ABC ) ∴∠An = 1 2 ∠A ∴∠A2010 = 1 2 ∠A 归纳方法:利用三角形的内角和或外角和的性质及角平分 线性质,采取从一般到特殊解决问题的数学思想,先探究出一般 情况下的的结果: n 2010 n 2010 n nn ∠AnBD = 1 2 ∠ABC ∠AnCD = 1 2 ∠ACD = 1 2 (∠A +∠ABC ) 再利用外角和的性质探究出一般情况下的的结果: ∠An = ∠AnCD - ∠AnBD 最后进行代入计算,即得规律性的结果。 练习 1.如图,n+1 个上底、两腰长皆为 1,下底长为 2 的等 腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形 P1M1N1N2 面积为 S1,四 边形 P2M2N2N3 的面积为 S2,……,四边形 PnMnNnNn+1 的面积记为 Sn,通过逐一计算 S1,S2,…,可得 Sn = . 练习 2、如图,已知 Rt△ABC 中,AC=3,BC= 4,过直角顶点 C 作 CA1⊥AB,垂足为 A1,再过 A1 作 A1C1⊥BC,垂足为 C1,过 C1 作 C1A2⊥AB,垂足为 A2,再过 A2 作 A2C2⊥BC,垂足为 C2,…, 这样一直做下去,得到了一组线段 CA1,A1C1,C1A2,A2C2,…, AnCn,则 AnCn= 。 A N1 N2 N3 N4 N5 P4P1 P2 P3 M1 M2 M3 M4 … A B C A1 A2 A3 A4A5 C1C2C3C4C5 nn n 练习 3、如图,如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二 个正方形 ACEF,再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如 此下去,…,已知正方形 ABCD 的面积 为 1,按上述方法所作的 正方形的面积依次为 , … (n 为正整数),那么第 8 个正方 形的面积 = . 练习 4、如图, 过 上到点 的距离为 1,3,5, 7,…的点作 的垂线,分别与 相交,得到图所示的阴影梯形, 它们的面积依次记为 ….则 三、 坐标规律 数形贯穿 庞杂难发现 例 4、如图,P1 是反比例函数 在第一象限图像上 的一点,点 A1 的坐标为(2,0),若△P1O A1 、△P2 A1 A2 、…、△Pn An-1 An 均为 等边三角形, 则 An 点的 坐标 是 . 1s 2s 3s ns 30AOB = °∠ , OA O OA OB 1 2 3S S S, , , 2009S = )0( >kx ky = A B C D B E D A C (第 19 题图) O A B 1 3 5 7 9 11 13 15 … S1 S2 S3 S4 ns 解答思路:1、在等边三角形△P1O A1 中,易得点 P1(1 ,√3) 从而求的其反比例函数 2、在等边三角形△Pn An-1 An 中,记 An 的坐标为(an ,0) 过点 Pn 做 PnH⊥x 轴于点 H, 则 PnH =1 2√3An-1 An = 1 2√3(an - an-1 ) OH = OAn-1 + 1 2An-1 An = an-1+ 1 2(an - an-1 )= 1 2(an + an-1 ) 3 、 写 出 点 Pn 的 坐 标 为 〔1 2(a n + an-1 ) ,1 2√ 3 (a n - an-1 ) 〕 代入其反比例函数 得 an - an-1 = 4 4、作赋值计算 ∵a0 = 0 ;a1 = 2 xy 3= xy 3= 2 2 2 22 2 ∴a1 = 4 ;a2 = 8 ;a3 = 12 ;a4 = 16 ; A5 = 20 ;a6 = 24;… ∴a1 = 2= 2√1 ;a2 = 2√2 ;a3 = 2√3 ; a4 = 2 √4;A5 = 2√5 ;a6 = 2√6;…… ; ∴an = 2√n ∴An 点的坐标是(2√n , 0 ) 归纳方法:这个问题如果采取从特殊到一般办法来解决,至少 要求得 A2、A3、A4、这三个点的坐标,方可发现一些规律,这样虽 然思维量小些,但运算量大;于是采取从一般到特殊的办法来解决, 虽然思维量大一些,但运算量小,能准确得出最终规律。但是要根据 问题的情形而定。 练习 1、如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其 顺序按图中“ ”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3, 2),(3,1),(3,0) 根据这个规律探索可得,第 个点的坐 标为 。 → 100 2 2 练习 2、如图,在直角坐标系中,四边形 ABCD 是正方形,A (1,-1)、B(-1,-1)、C(-1,1)、D(1, 1).曲线 AA A A … 叫做“正方形的渐开线”,其中 AA 、A A 、A A …的圆心依次是 点 B、C、D、A 循环,则点 A 的坐标是 。 练习 3、如图 15,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3……△PnAn-1An 都是等腰直角三角形,点 P1、P2、P3……Pn 都在函数 (x > 0) 的图象上,斜边 OA1、A1A2、A2A3……An-1An 都在 x 轴上。则点 An 的坐标是 。 练习 4、如图 7 所示,P 1(x1,y1)、P2(x2,y2),……Pn (xn,yn)在函数 y= (x>0)的图象上,△OP1A1,△P2A1A2,△ P3A2A3 ……△P nAn - 1An ……都是等腰直角三角形,斜边 OA 1 , A1A2……An-1An,都在 x 轴上,则 y1+y2+…yn= 。 练习 5、如图 11,若第一个正方形 OABC 的顶点 B,第二个正 1 2 3 1 1 2 2 3 2 0 1 0 xy 4= x 9 方形 ADEF 的顶点 E,….第 n 个正方形的顶点 P 都在函数 ( )的图象上,则点 P 的坐标是( , ). 练习 6、如图 15,点 A 、A 、A 、……、A 、A 为 x 轴的 正半轴上的点,O A = A A = A A =……=A A =1,分别以 A 、A 、A 、……、A 、A 为直角顶点作 Rt△OA B 、Rt△A A B 、Rt △A A B 、……、Rt△A A B ,它们的面积分别记为 S 、S 、 S 、……、S ,且 S =1;双曲线恰好经过点 B 、B 、B 、……、 B 。(1)求双曲线和直线 A B 对应的函数解析式; (2)填空:S =___________,S =_____________; (3)若直线 B O 交双曲线于另一点 P,有三位同学在研究直 线 A B 、直线 A B 、……、直线 A B 这系列直线时,有如下 发现: ①小明说:“我发现直线 A B 经过 P 点” ②小亮说:“我发现直线 A B 和直线 A B 都经过 P 点” ③小王说:“我发现直线 A B 和直线 A B 、……、直线 A B 都经过 P 点” 1y x = 0x > 1 2 3 1−n n 1 1 2 2 3 1−n n 1 2 3 1−n n 1 1 1 2 2 2 3 3 1−n n n 1 2 3 n 1 1 2 3 n 1 2 10 n 1 1 2 2 3 1−n n 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1−n n 请问:上述三位同学的发现,谁的发现更准确?并给予说明。 练习 7、正方形 A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的 方式放置.点 A1,A2,A3,…和点 C1,C2,C3,…分别在直线 (k>0)和 x 轴上,已知点 B1(1,1), B2(3,2), 则 Bn 的坐标 是 . 练习 8、如图所示,已知:点 , , 在 内依次作等边三角形,使一边在 轴上,另一个顶点在 边上, 作出的等边三角形分别是第 1 个 ,第 2 个 ,第 3 个 ,…,则第 个等边三角形的边长等于 . 练习 9、如图,在直角坐标系中,一直线 经过点 与 x 轴,y 轴分别交于 A、B 两点,且 MA=MB,则△ABO 的内切圆 的半径 = ;若 与 、 、y 轴分别相切, 与 、 、y 轴分别相切,…,按此规律,则 的半径 = 练习 10、二次函数 的图象如图 12 所示,点 位于坐标原点, y kx b= + (0 0)A , ( 3 0)B , (01)C , ABC△ x BC 1 1AA B△ 1 2 2B A B△ 2 3 3B A B△ n l ( 3,1)M 1o 1r 2o 1o l 3o 2o l 20080 2008r 22 3y x= 0A y xO C1 B2 A2 C3 B1 A3 B3 A1 C2 O y x(A) A1 C1 1 2B A2 A3 B3B2B1 0 x y A B M O 1 O 2 O 3 点 , , ,…, 在 y 轴的正半轴上,点 , , ,…, 在二次函数 位于第一象限的图象上,若△ ,△ ,△ ,…,△ 都为等边三角形,则△ 的边 长= . 练 习 11 、 对 于 每 个 非 零 自 然 数 , 抛 物 线 与 轴交于 、 两点,以 表示这两 点间的距离,则 … 的值是( ) A. B. C. D. n ( ) ( )2 2 1 1 1 1 ny x xn n n n += − ++ + x nA nB n nA B 1 1 2 2A B A B+ + 2009 2009A B+ 2009 2008 2008 2009 2010 2009 2009 2010 1A 2A 3A 2008A 1B 2B 3B 2008B 22 3y x= 0 1 1A B A 1 2 2A B A 2 3 3A B A 2007 2008 2008A B A 2007 2008 2008A B A查看更多