咸宁市2015年中考数学卷

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咸宁市2015年中考数学卷

湖北省咸宁市2015年中考数学试卷 一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎1.如图,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数.从轻重的角度看,最接近标准的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 正数和负数..‎ 分析:‎ 求出每个数的绝对值,根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可.‎ 解答:‎ 解:∵|﹣0.6|<|+0.7|<|+2.5|<|﹣3.5|,‎ ‎∴﹣0.6最接近标准,‎ 故选:C.‎ 点评:‎ 本题考查了绝对值和正数和负数的应用,掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键,主要考查学生的理解能力,题目具有一定的代表性,难度也不大.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2015•咸宁)方程2x﹣1=3的解是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1‎ B.‎ ‎﹣2‎ C.‎ ‎1‎ D.‎ ‎2‎ 考点:‎ 解一元一次方程..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 方程移项合并,把x系数化为1,即可求出解.‎ 解答:‎ 解:方程2x﹣1=3,‎ 移项合并得:2x=4,‎ 解得:x=2,‎ 故选D 点评:‎ 此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2015•咸宁)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 圆柱 B.‎ 圆锥 C.‎ 长方体 D.‎ 正方体 考点:‎ 由三视图判断几何体..‎ 分析:‎ 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.‎ 解答:‎ 解:由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体,由俯视图为圆可得此几何体为圆柱.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了由三视图判断几何体:由三视图想象几何体的形状,首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2015•咸宁)如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=50°,则∠2的度数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎50°‎ B.‎ ‎40°‎ C.‎ ‎30°‎ D.‎ ‎25°‎ 考点:‎ 平行线的性质..‎ 分析:‎ 由两直线平行,同位角相等,可求得∠3的度数,然后求得∠2的度数.‎ 解答:‎ 解:如图,,‎ ‎∵∠1=50°,‎ ‎∴∠3=∠1=50°,‎ ‎∴∠2=90°﹣50°=40°.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 此题考查了平行线的性质.注意两直线平行,同位角相等定理的应用是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2015•咸宁)下列运算正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a6÷a2=a3‎ B.‎ ‎(a+b)2=a2+b2‎ C.‎ ‎2﹣3=﹣6‎ D.‎ ‎=﹣3‎ 考点:‎ 同底数幂的除法;立方根;完全平方公式;负整数指数幂..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断;‎ B、原式利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断;‎ C、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果,即可做出判断;‎ D、原式利用立方根定义计算得到结果,即可做出判断.‎ 解答:‎ 解:A、原式=a4,错误;‎ B、原式=a2+b2+2ab,错误;‎ C、原式=,错误;‎ D、原式=﹣3,正确,‎ 故选D 点评:‎ 此题考查了同底数幂的除法,立方根,完全平方公式,以及负整数指数幂,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2015•咸宁)如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积之比为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1:2‎ B.‎ ‎1:4‎ C.‎ ‎1:5‎ D.‎ ‎1:6‎ 考点:‎ 位似变换..‎ 分析:‎ 利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比.‎ 解答:‎ 解:∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,‎ ‎∴OA:OD=1:2,‎ ‎∴△ABC与△DEF的面积之比为:1:4.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了位似图形的性质,得出位似比是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2015•咸宁)如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在EF上,设∠BDF=α(0°<α<90°),当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 由小到大 B.‎ 由大到小 ‎ ‎ C.‎ 不变 D.‎ 先由小到大,后由大到小 考点:‎ 扇形面积的计算..‎ 分析:‎ 作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,构造正方形DMCN,利用正方形和等腰直角三角形的性质,通过证明△DMG≌△DNH,把△DHN补到△DNG的位置,得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积,于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形DMCN的面积,即为定值.‎ 解答:‎ 解:作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,连接DC,‎ ‎∵CA=CB,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠A=∠B=45°,‎ DM=AD=AB,DN=BD=AB,‎ ‎∴DM=DN,‎ ‎∴四边形DNCN是正方形,‎ ‎∴∠MDN=90°,‎ ‎∴∠MDG=90°﹣∠GDN,‎ ‎∵∠EDF=90°,‎ ‎∴∠NDH=90°﹣∠GDN,‎ ‎∴∠MDG=∠NDH,‎ 在△DMG和△DNH中,‎ ‎,‎ ‎∴△DMG≌△DNH,‎ ‎∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积,‎ ‎∵正方形DMCN的面积=DM2=AB2,‎ ‎∴四边形DGCH的面积=,‎ ‎∵扇形FDE的面积==,‎ ‎∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=(定值),‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2015•咸宁)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:‎ ‎①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;‎ ‎②4a+2b+c<0;‎ ‎③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1;‎ ‎④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.‎ 其中正确的个数有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1个 B.‎ ‎2个 C.‎ ‎3个 D.‎ ‎4个 考点:‎ 二次函数的图象;二次函数图象与系数的关系;二次函数的最值;抛物线与x轴的交点;二次函数与不等式(组)..‎ 分析:‎ ‎①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值;‎ ‎②根据x=2时,y<0确定4a+2b+c的符号;‎ ‎③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和;‎ ‎④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围.‎ 解答:‎ 解:∵抛物线的顶点坐标为(﹣1,4),∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4,①正确;‎ ‎∵x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,②正确;‎ 根据抛物线的对称性可知,一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2,③错误;‎ 使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2,④错误,‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式,掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、细心填一填(本大题共有8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎9.(3分)(2015•咸宁)﹣6的倒数是  .‎ 考点:‎ 倒数..‎ 分析:‎ 根据倒数的定义求解.‎ 解答:‎ 解:因为(﹣6)×(﹣)=1,‎ 所以﹣6的倒数是﹣.‎ 点评:‎ 倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2015•咸宁)端午节期间,“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元,则粽子的原价卖 a 元.‎ 考点:‎ 列代数式..‎ 分析:‎ ‎8折=80%,把原价当作单位“1”,则现价是原价的80%,根据分数除法的意义原价是:a÷80%=,得结果.‎ 解答:‎ 解:8折=80%,‎ a÷80%=,‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题主要考查了打折问题,找准单位“1”,弄清各种量的关系是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)(2015•咸宁)将x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式,则m= 3 .‎ 考点:‎ 配方法的应用..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式配方得到结果,即可求出m的值.‎ 解答:‎ 解:x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=(x+3)2﹣6=(x+m)2+n,‎ 则m=3,‎ 故答案为:3‎ 点评:‎ 此题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2015•咸宁)如果实数x,y满足方程组,则x2﹣y2的值为 ﹣ .‎ 考点:‎ 解二元一次方程组;平方差公式..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 方程组第二个方程变形求出x+y的值,原式利用平方差公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.‎ 解答:‎ 解:方程组第二个方程变形得:2(x+y)=5,即x+y=,‎ ‎∵x﹣y=﹣,‎ ‎∴原式=(x+y)(x﹣y)=﹣,‎ 故答案为:﹣‎ 点评:‎ 此题考查了解二元一次方程组,以及平方差公式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2015•咸宁)为了解学生课外阅读的喜好,某校从八年级1200名学生中随机抽取50名学生进行问卷调查,整理数据后绘制如图所示的统计图.由此可估计该年级喜爱“科普常识”的学生约有 360 人.‎ 考点:‎ 扇形统计图..‎ 分析:‎ 根据扇形图求出喜爱科普常识的学生所占的百分比,1200乘百分比得到答案.‎ 解答:‎ 解:喜爱科普常识的学生所占的百分比为:1﹣40%﹣20%﹣10%=30%,‎ ‎1200×30%=360,‎ 故答案为:360.‎ 点评:‎ 本题考查的是扇形统计图的知识,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键,扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2015•咸宁)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,6),将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′,点A的对应点A′落在直线y=﹣x上,则点B与其对应点B′间的距离为 8 .‎ 考点:‎ 一次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-平移..‎ 分析:‎ 根据题意确定点A′的纵坐标,根据点A′落在直线y=﹣x上,求出点A′的横坐标,确定△OAB沿x轴向左平移的单位长度即可得到答案.‎ 解答:‎ 解:由题意可知,点A移动到点A′位置时,纵坐标不变,‎ ‎∴点A′的纵坐标为6,‎ ‎﹣x=6,解得x=﹣8,‎ ‎∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置,移动了8个单位,‎ ‎∴点B与其对应点B′间的距离为8,‎ 故答案为:8.‎ 点评:‎ 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移,确定三角形OAB移动的距离是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2015•咸宁)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角数,它有一定的规律性.若把第一个三角数记为a1,第二个三角数记为a2…,第n个三角数记为an,计算a1+a2,a2+a3,a3+a4,…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 .‎ 考点:‎ 规律型:数字的变化类..‎ 分析:‎ 首先计算a1+a2,a2+a3,a3+a4的值,然后总结规律,根据规律可以得出结论.‎ 解答:‎ 解:∵;;;…‎ ‎∴;‎ ‎∴.‎ 故答案为:1.6×105或160000.‎ 点评:‎ 本题考查的是规律发现,根据计算a1+a2,a2+a3,a3+a4的值可以发现规律为,发现规律是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2015•咸宁)如图,已知正方形ABCD的边长为2,E是边BC上的动点,BF⊥AE交CD于点F,垂足为G,连结CG.下列说法:①AG>GE;②AE=BF;③点G运动的路径长为π;④CG的最小值为﹣1.其中正确的说法是 ②③ .(把你认为正确的说法的序号都填上)‎ 考点:‎ 四边形综合题..‎ 分析:‎ 根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时,AG=GE,故①错误;求得∠BAE=∠CBF,根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C=90°,然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等,根据全等三角形对应角相等可得AE=BF,判断出②正确;根据题意,G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长,然后求出弧BD的长度,判断出③正确;正方形的对角线减去圆弧的半径就是CG的最小值,通过计算从而判断出④错误.‎ 解答:‎ 解:∵在正方形ABCD中,AE、BD垂直平分,‎ ‎∴当E移动到与C重合时,AG=GE,故①错误;‎ ‎∵BF⊥AE,‎ ‎∴∠AEB+∠CBF=90°,‎ ‎∵∠AEB+∠BAE=90°,‎ ‎∴∠BAE=∠CBF,‎ 在△ABE和△BCF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△BCF(AAS),‎ ‎∴故②正确;‎ 根据题意,G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长,‎ ‎∴圆弧BD的长==π,故③正确;‎ CG的最小值为AC﹣AB=4﹣2,故④错误;‎ 综上所述,正确的结论有②③.‎ 故答案为②③.‎ 点评:‎ 本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,弧长的计算,勾股定理的应用,熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键,用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观.‎ ‎ ‎ 三、专心解一解(本大题共8小题,满分72分)‎ ‎17.(8分)(2015•咸宁)(1)计算:|1﹣|++(﹣2)0;‎ ‎(2)化简:(a2b﹣2ab2﹣b3)÷b﹣(a﹣b)2.‎ 考点:‎ 整式的混合运算;实数的运算;零指数幂..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项化为最简二次根式,第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果;‎ ‎(2)原式第一项利用多项式除以单项式法则计算,第二项利用完全平方公式化简,去括号合并即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:(1)原式=﹣1+2+1=3;‎ ‎(2)原式=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=﹣2b2.‎ 点评:‎ 此题考查了整式的混合运算,以及实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(6分)(2015•咸宁)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.‎ ‎(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;‎ ‎(2)选择(1)中一对加以证明.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定;全等三角形的判定..‎ 分析:‎ ‎(1)利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案;‎ ‎(2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可.‎ 解答:‎ 解:(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD;‎ ‎(2)证明:∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°,‎ ‎∵BD为角平分线,‎ ‎∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,‎ 在△ADE和△BDE中 ‎∵,‎ ‎∴△ADE≌△BDE(AAS);‎ 证明:∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°,‎ ‎∵BD为角平分线,‎ ‎∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A,‎ ‎∵∠C=∠C,‎ ‎∴△ABC∽△BCD.‎ 点评:‎ 此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎19.(8分)(2015•咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.‎ ‎(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;‎ ‎(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.‎ 考点:‎ 根的判别式;解一元二次方程-公式法..‎ 分析:‎ ‎(1)求出方程根的判别式,利用配方法进行变形,根据平方的非负性证明即可;‎ ‎(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根,根据题意求出m的值.‎ 解答:‎ 解:(1)△=(m+2)2﹣8m ‎=m2﹣4m+4‎ ‎=(m﹣2)2,‎ ‎∵不论m为何值时,(m﹣2)2≥0,‎ ‎∴△≥0,‎ ‎∴方程总有实数根;‎ ‎(2)解方程得,x=,‎ x1=,x2=1,‎ ‎∵方程有两个不相等的正整数根,‎ ‎∴m=1或2,m=2不合题意,‎ ‎∴m=1.‎ 点评:‎ 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(9分)(2015•咸宁)某校九年级两个班,各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛.各参赛选手的成绩如图:‎ 九(1)班:88,91,92,93,93,93,94,98,98,100‎ 九(2)班:89,93,93,93,95,96,96,98,98,99‎ 通过整理,得到数据分析表如下:‎ 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 九(1)班 ‎100‎ m ‎93‎ ‎93‎ ‎12‎ 九(2)班 ‎99‎ ‎95‎ n ‎93‎ ‎8.4‎ ‎(1)直接写出表中m、n的值;‎ ‎(2)依据数据分析表,有人说:“最高分在(1)班,(1)班的成绩比(2)班好”,但也有人说(2)班的成绩要好,请给出两条支持九(2)班成绩好的理由;‎ ‎(3)若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛,另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个,试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法;加权平均数;中位数;众数;方差..‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)求出九(1)班的平均分确定出m的值,求出九(2)班的中位数确定出n的值即可;‎ ‎(2)分别从平均分,方差,以及中位数方面考虑,写出支持九(2)班成绩好的原因;‎ ‎(3)画树状图得出所有等可能的情况数,找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数,即可求出所求的概率.‎ 解答:‎ 解:(1)m=(88+91+92+93+93+93+94+98+98+100)=94;‎ 把九(2)班成绩排列为:89,93,93,93,95,96,96,98,98,99,‎ 则中位数n=(95+96)=95.5;‎ ‎(2)①九(2)班平均分高于九(1)班;②九(2)班的成绩比九(1)班稳定;③九(2)班的成绩集中在中上游,故支持九(2)班成绩好(任意选两个即可);‎ ‎(3)用A1,B1表示九(1)班两名98分的同学,C2,D2表示九(2)班两名98分的同学,‎ 画树状图,如图所示:‎ 所有等可能的情况有12种,其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种,‎ 则P(另外两个决赛名额落在同一个班)==.‎ 点评:‎ 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎21.(9分)(2015•咸宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一点O为圆心,OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D,分别交AC、AB于点E、F.‎ ‎(1)若∠B=30°,求证:以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形.‎ ‎(2)若AC=6,AB=10,连结AD,求⊙O的半径和AD的长.‎ 考点:‎ 切线的性质;菱形的判定与性质;相似三角形的判定与性质..‎ 分析:‎ ‎(1)连接OD、OE、ED.先证明△AOE是等边三角形,得到AE=AO=0D,则四边形AODE是平行四边形,然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形;‎ ‎(2)连接OD、DF.先由△OBD∽△ABC,求出⊙O的半径,然后证明△ADC∽△AFD,得出AD2=AC•AF,进而求出AD.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:如图1,连接OD、OE、ED.‎ ‎∵BC与⊙O相切于一点D,‎ ‎∴OD⊥BC,‎ ‎∴∠ODB=90°=∠C,‎ ‎∴OD∥AC,‎ ‎∵∠B=30°,‎ ‎∴∠A=60°,‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴△AOE是等边三角形,‎ ‎∴AE=AO=0D,‎ ‎∴四边形AODE是平行四边形,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴四边形AODE是菱形.‎ ‎(2)解:设⊙O的半径为r.‎ ‎∵OD∥AC,‎ ‎∴△OBD∽△ABC.‎ ‎∴,即8r=6(8﹣r).‎ 解得r=,‎ ‎∴⊙O的半径为.‎ 如图2,连接OD、DF.‎ ‎∵OD∥AC,‎ ‎∴∠DAC=∠ADO,‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎∴∠ADO=∠DAO,‎ ‎∴∠DAC=∠DAO,‎ ‎∵AF是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADF=90°=∠C,‎ ‎∴△ADC∽△AFD,‎ ‎∴,‎ ‎∴AD2=AC•AF,‎ ‎∵AC=6,AF=,‎ ‎∴AD2=×6=45,‎ ‎∴AD==3.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质,是一个综合题,难度中等.熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2015•咸宁)在“绿满鄂南”行动中,某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化.经投标,由甲、乙两个工程队来完成,已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.‎ ‎(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积.‎ ‎(2)设甲工程队施工x天,乙工程队施工y天,刚好完成绿化任务,求y与x的函数解析式.‎ ‎(3)若甲队每天绿化费用是0.6万元,乙队每天绿化费用为0.25万元,且甲乙两队施工的总天数不超过26天,则如何安排甲乙两队施工的天数,使施工总费用最低?并求出最低费用.‎ 考点:‎ 一次函数的应用;分式方程的应用..‎ 分析:‎ ‎(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2,根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天,列方程求解;‎ ‎(2)根据题意得到100x+50y=1800,整理得:y=36﹣2x,即可解答.‎ ‎(3)根据甲乙两队施工的总天数不超过26天,得到x≥10,设施工总费用为w元,根据题意得:w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×(36﹣2x)=0.1x+9,根据一次函数的性质,即可解答.‎ 解答:‎ 解:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2,‎ 根据题意得:,‎ 解得:x=50,‎ 经检验,x=50是原方程的解,‎ 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2),‎ 答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2;‎ ‎(2)根据题意,得:100x+50y=1800,‎ 整理得:y=36﹣2x,‎ ‎∴y与x的函数解析式为:y=36﹣2x.‎ ‎(3)∵甲乙两队施工的总天数不超过26天,‎ ‎∴x+y≤26,‎ ‎∴x+36﹣2x≤26,‎ 解得:x≥10,‎ 设施工总费用为w元,根据题意得:‎ w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×(36﹣2x)=0.1x+9,‎ ‎∵k=0.1>0,‎ ‎∴w随x减小而减小,‎ ‎∴当x=10时,w有最小值,最小值为0.1×10+9=10,‎ 此时y=36﹣20=16.‎ 答:安排甲队施工10天,乙队施工16天时,施工总费用最低.‎ 点评:‎ 本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程和不等式求解.‎ ‎ ‎ ‎23.(10分)(2015•咸宁)定义:数学活动课上,乐老师给出如下定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形.‎ 理解:(1)如图1,已知A、B、C在格点(小正方形的顶点)上,请在方格图中画出以格点为顶点,AB、BC为边的两个对等四边形ABCD;‎ ‎(2)如图2,在圆内接四边形ABCD中,AB是⊙O的直径,AC=BD.求证:四边形ABCD是对等四边形;‎ ‎(3)如图3,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,BC=11,tan∠PBC=,点A在BP边上,且AB=13.用圆规在PC上找到符合条件的点D,使四边形ABCD为对等四边形,并求出CD的长.‎ 考点:‎ 四边形综合题..‎ 分析:‎ ‎(1)根据对等四边形的定义,进行画图即可;‎ ‎(2)连接AC,BD,证明Rt△ADB≌Rt△ACB,得到AD=BC,又AB是⊙O的直径,所以AB≠CD,即可解答;‎ ‎(3)根据对等四边形的定义,分两种情况:①若CD=AB,此时点D在D1的位置,CD1=AB=13;②若AD=BC=11,此时点D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11;利用勾股定理和矩形的性质,求出相关相关线段的长度,即可解答.‎ 解答:‎ 解:(1)如图1所示(画2个即可).‎ ‎(2)如图2,连接AC,BD,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADB=∠ACB=90°,‎ 在Rt△ADB和Rt△ACB中,‎ ‎∴Rt△ADB≌Rt△ACB,‎ ‎∴AD=BC,‎ 又∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴AB≠CD,‎ ‎∴四边形ABCD是对等四边形.‎ ‎(3)如图3,点D的位置如图所示:‎ ‎①若CD=AB,此时点D在D1的位置,CD1=AB=13;‎ ‎②若AD=BC=11,此时点D在D2、D3的位置,AD2=AD3=BC=11,‎ 过点A分别作AE⊥BC,AF⊥PC,垂足为E,F,‎ 设BE=x,‎ ‎∵tan∠PBC=,‎ ‎∴AE=,‎ 在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,‎ 即,‎ 解得:x1=5,x2﹣5(舍去),‎ ‎∴BE=5,AE=12,‎ ‎∴CE=BC﹣BE=6,‎ 由四边形AECF为矩形,可得AF=CE=6,CF=AE=12,‎ 在Rt△AFD2中,,‎ ‎∴,,‎ 综上所述,CD的长度为13、12﹣或12+.‎ 点评:‎ 本题主要考查了四边形的综合题,解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念.在(3)中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2015•咸宁)如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”).‎ ‎(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;‎ ‎(2)如图2,双曲线y=与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.‎ ‎①试求△PAD的面积的最大值;‎ ‎②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.‎ 考点:‎ 反比例函数综合题..‎ 分析:‎ ‎(1)根据一次函数的性质,结合函数图象可写出新函数的两条性质;求新函数的解析式,可分两种情况进行讨论:①x≥﹣3时,显然y=x+3;②当x<﹣3时,利用待定系数法求解;‎ ‎(2)①先把点C(1,a)代入y=x+3,求出C(1,4),再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=.由点D是线段AC上一动点(不包括端点),可设点D的坐标为(m,m+3),且﹣3<m<1,那么P(,m+3),PD=﹣m,再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=(﹣m)×(m+3)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+,然后利用二次函数的性质即可求解;‎ ‎②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标,再计算DP,DE的长度,如果DP=DE,那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形;如果DP≠DE,那么不是平行四边形.‎ 解答:‎ 解:(1)如图1,均是正整数新函数的两条性质:①函数的最小值为0;‎ ‎②函数图象的对称轴为直线x=﹣3;‎ 由题意得A点坐标为(﹣3,0).分两种情况:‎ ‎①x≥﹣3时,显然y=x+3;‎ ‎②当x<﹣3时,设其解析式为y=kx+b.‎ 在直线y=x+3中,当x=﹣4时,y=﹣1,‎ 则点(﹣4,﹣1)关于x轴的对称点为(﹣4,1).‎ 把(﹣4,1),(﹣3,0)代入y=kx+b,‎ 得,解得,‎ ‎∴y=﹣x﹣3.‎ 综上所述,新函数的解析式为y=;‎ ‎(2)如图2,①∵点C(1,a)在直线y=x+3上,‎ ‎∴a=1+3=4.‎ ‎∵点C(1,4)在双曲线y=上,‎ ‎∴k=1×4=4,y=.‎ ‎∵点D是线段AC上一动点(不包括端点),‎ ‎∴可设点D的坐标为(m,m+3),且﹣3<m<1.‎ ‎∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,‎ ‎∴P(,m+3),‎ ‎∴PD=﹣m,‎ ‎∴△PAD的面积为 S=(﹣m)×(m+3)=﹣m2﹣m+2=﹣(m+)2+,‎ ‎∵a=﹣<0,‎ ‎∴当m=﹣时,S有最大值,为,‎ 又∵﹣3<﹣<1,‎ ‎∴△PAD的面积的最大值为;‎ ‎②在点D运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形.理由如下:‎ 当点D为AC的中点时,其坐标为(﹣1,2),此时P点的坐标为(2,2),E点的坐标为(﹣5,2),‎ ‎∵DP=3,DE=4,‎ ‎∴EP与AC不能互相平分,‎ ‎∴四边形PAEC不能为平行四边形.‎ 点评:‎ 本题是反比例函数综合题,其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式,反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,二次函数最值的求法,平行四边形的判定等知识,综合性较强,难度适中.利用数形结合、分类讨论是解题的关键.‎ ‎ ‎
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