备考志鸿优化设计中考数学总复习北师大版基础讲练实数

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备考志鸿优化设计中考数学总复习北师大版基础讲练实数

第1讲 实数 考纲要求 备考指津 ‎1.了解有理数、无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应.‎ ‎2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义,会求一个数的相反数、倒数与绝对值.‎ ‎3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根.‎ ‎4.了解科学记数法、近似数与有效数字的概念,能按要求用四舍五入法求一个数的近似值,能正确识别一个数的有效数字的个数.在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值.‎ ‎5.熟练掌握实数的运算,会用各种方法比较两个实数的大小.‎ ‎  实数是中学数学重要的基础知识,中考中多以选择题、填空题的形式出现,实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算,常以计算或化简题型出现.另外,命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.‎ 考点一 实数的分类 ‎1.按实数的定义分类 ‎2.按正负分类 实数 考点二 实数的有关概念 ‎1.数轴 实数与数轴上的点是一一对应的.‎ ‎2.相反数 ‎(1)实数a的相反数是-a,零的相反数是零;‎ ‎(2)a与b互为相反数a+b=0.‎ ‎3.倒数 ‎(1)实数a的倒数是(a≠0);(2)a与b互为倒数ab=1.‎ ‎4.绝对值 ‎(1)数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|.‎ ‎(2)|a|= 考点三 平方根、算术平方根、立方根 ‎1.平方根 ‎(1)定义:如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根),数a的平方根记作±(a≥0).‎ ‎(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.‎ ‎2.算术平方根 ‎(1)如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a 的算术平方根记作.零的算术平方根是零,即=0.‎ ‎(2)算术平方根都是非负数,即≥0(a≥0).‎ ‎(3)()2=a(a≥0),=|a|.‎ ‎(4)=·(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0).‎ ‎3.立方根 ‎(1)定义:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根),数a的立方根记作.‎ ‎(2)任何数都有唯一一个立方根,一个数的立方根的符号与这个数的符号相同.‎ 考点四 科学记数法、近似数、有效数字 ‎1.科学记数法 把一个数N表示成a×10n(1≤a<10,n是整数)的形式叫科学记数法.当N≥1时,n等于原数N的整数位数减1;当N<1时,n是一个负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零).‎ ‎2.近似数与有效数字 一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时从左边第1个不为0的数字起,到末位数字止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字.‎ 考点五 非负数的性质 ‎1.常见的三种非负数:|a|≥0,a2≥0,≥0(a≥0).‎ ‎2.非负数的性质:‎ ‎(1)非负数有最小值是零;‎ ‎(2)任意几个非负数的和仍为非负数;‎ ‎(3)几个非负数的和为0,则每个非负数都等于0.‎ 考点六 实数的运算 ‎1.基本运算:加法、减法、乘法、除法、乘方、开方.‎ ‎2.基本法则:加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则.‎ ‎3.运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律.‎ ‎4.运算顺序:(1)先算乘方,再算乘除,最后算加减;(2)同级运算,按照从左至右的顺序进行;(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.‎ ‎5.零指数幂和负整数指数幂 ‎(1)零指数幂的意义为:a0=1(a≠0);‎ ‎(2)负整数指数幂的意义为:a-p=(a≠0,p为整数).‎ 考点七 实数的大小比较 ‎1.在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.‎ ‎2.正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;两个负数比较,绝对值大的反而小.‎ ‎3.取差比较法 ‎(1)a-b>‎0‎a>b;(2)a-b=‎0‎a=b;(3)a-b<‎0‎a<B.‎ ‎4.倒数比较法 若>,a>0,b>0,则a<B.‎ ‎5.平方法:因为由a>b>0,可得>,所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题.‎ ‎1.在-1,0,1,2这四个数中,既不是正数也不是负数的是(  ).‎ A.-1B.‎0‎C.1D.2‎ ‎2.-2的倒数是(  ).‎ A.-B.C.-2D.2‎ ‎3.|-3|的相反数是(  ).‎ A.3B.-‎3‎C.D.- ‎4.下列运算正确的是(  ).‎ A.-|-3|=3B.-1=-‎3‎C.=±3D.=-3‎ ‎5.第26届深圳大运会将在‎2011年8月12日拉开帷幕,据悉,来自海内外各种渠道的赛会志愿者报名人数为85 000人,远远超过需要的2.2万人.报名人数用科学记数法表示为__________.‎ ‎6.已知一粒大米的质量约为0.000 021千克,这个数用科学记数法表示为(  ).‎ A.0.21×10-4B.2.1×10-‎4‎C.2.1×10-5D.21×10-6‎ ‎7.若x,y为实数,且|x+2|+=0,则2 011的值为(  ).‎ A.1B.-‎1‎C.2D.-2‎ ‎8.计算下列各题:‎ ‎(1)(5-1)0+-1+×3-|-2|-tan 60°.‎ ‎(2)-22×5-(-2)3÷4++sin 45°.‎ ‎9.如图,数轴上A,B两点分别对应实数a,b,则下列结论正确的是(  ).‎ A.a+b>0B.ab>‎0‎C.a-b>0D.|a|-|b|>0‎ 一、实数的分类 ‎【例1】 下列各数:,0,,0.2,cos 60°,,0.300 03…,1-中无理数个数为(  ).‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析:中π是无理数,所以是无理数;0是有理数;=3是有理数;0.2是无限循环小数,属于有理数;cos 60°=,是有理数;是有理数;0.300 03…是无理数;1-中是无理数,所以1-是无理数.‎ 答案:B 有理数都可以化成分数的形式.常见的无理数有四种形式:(1)含有π的式子;(2)根号内含开方开不尽的式子;(3)无限且不循环的小数;(4)某些三角函数式.‎ 二、相反数、倒数、绝对值与数轴 ‎【例2】 (1)-的倒数是__________;‎ ‎(2)(-3)2的相反数是(  ).‎ A.6 B.-‎6 C.9 D.-9‎ ‎(3)实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|+=__________.‎ 解析:(1)-的倒数为=-5;‎ ‎(2)因为(-3)2=9,9的相反数是-9,故选D;‎ ‎(3)本题考查了绝对值,平方根及数轴的有关知识,由图可知:a<0,b>0,|a|>|b|,‎ ‎∴a+b<0,b-a>0,原式=-a-b+b-a=-‎2A.‎ 答案:(1)-5 (2)D (3)-‎‎2a 相反数是它本身的数只有0;绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数);倒数是它本身的数是±1.‎ 三、平方根、算术平方根与立方根 ‎【例3】 (1)(-1.44)2的算术平方根为________;的平方根为________;=________;‎ ‎(2)(-2)-3的立方根是________;立方等于-216的数是________;()3=________.‎ 解析:(1)(-1.44)2的算术平方根,即=|-1.44|=1.44;=9,9的平方根是±3;=0.2;‎ ‎(2)∵(-2)-3=,‎ ‎∴(-2)-3的立方根是=-;‎ ‎∵(-6)3=-216,∴=-6;‎ ‎()3=()3=53=125.‎ 答案:(1)1.44 ±3 0.2 (2)- -6 125‎ ‎1.对于算术平方根,要注意:(1)一个正数只有一个算术平方根,它是一个正数;(2)0的算术平方根是0;(3)负数没有算术平方根;(4)算术平方根具有双重非负性:①被开方数a是非负数,即中的a≥0;②算术平方根本身是非负数,即≥0.‎ ‎2.立方根中,()3=a,=A.‎ 四、科学记数法、近似数、有效数字 ‎【例4】 第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场,体育馆、游泳馆、网球馆,综合服务楼三组建筑组成,呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局.建筑面积约为359 ‎800平方米,请用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)(  ).‎ A.35.9×105平方米 B.3.60×105平方米C.3.59×105平方米 D.35.9×104平方米 解析:359 800=3.598 00×105,要保留3个有效数字,需对从左边起第四个数字8进行四舍五入,所以3.598 00×105≈3.60×105.‎ 答案:B ‎1.取一个数精确到某一位的近似数时,应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入,而之后的数不予考虑;‎ ‎2.用科学记数法表示的近似数,乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字;而这个近似数精确到哪一位,应将用科学记数法表示的数还原成原来的数,再看最后一个有效数字处于哪一个数位上.‎ 五、非负数性质的应用 ‎【例5】 若实数x,y满足+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为__________.‎ 解析:因为≥0,(3-y)2≥0,‎ 而+(3-y)2=0,‎ 所以x-2=0,3-y=0,解得x=2,y=3,‎ 则xy-x2=2×3-22=2.‎ 答案:2‎ 常见的非负数的形式有三种:|a|,(a≥0),a2,若它们的和为零,则每一个式子都为0.‎ 六、实数的运算 ‎【例6】 计算:(1)4cos 30°sin 60°+(-2)-1-(-2 008)0;‎ ‎(2)-1-|-2+tan 45°|+(-1.41)0.‎ 解:(1)原式=4××--1=3--1=.‎ ‎(2)原式=3-|-2+|+1=3-(2-)+1=2+.‎ 提高实数的运算能力,首先要认真审题,理解有关概念;其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则,根据运算律及顺序,选择合理、简捷的解题途径.要特别注意把好符号关.‎ 七、实数的大小比较 ‎【例7】 比较2.5,-3,的大小,正确的是(  ).‎ A.-3<2.5<B.2.5<-3<C.-3<<2.5D.<2.5<-3‎ 解析:由负数小于正数可得-3最小,故只要比较2.5和的大小即可,由2.52<()2,得2.5<,‎ 所以-3<2.5<.‎ 答案:A 实数的各种比较方法,要明确应用条件及适用范围.如:“差值比较法”用于比较任何两数的大小,而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小,还有“平方法”“倒数法”等.要依据数值特点确定合适的方法.‎ ‎1.(2012江苏南京)下列四个数中,是负数的是(  ).‎ A.|-2| B.(-2)‎2 C.- D. ‎2.(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于‎2012年6月1日闭幕,本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元.将60 110 000 000用科学记数法表示应为(  ).‎ A.6.011×109 B.60.11×‎109‎C.6.011×1010 D.0.601 1×1011‎ ‎3.(2012山东烟台)的值是(  ).‎ A.4 B.‎2 C.-2 D.±2‎ ‎4.(2011安徽)设a=-1,a在两个相邻整数之间,则这两个整数是(  ).‎ A.1和2 B.2和‎3‎C.3和4 D.4和5‎ ‎5.(2011山东济宁)下列各式计算正确的是(  ).‎ A.+=B.2+=2 C.3-=2D.=- ‎6.(2011四川达州)若+b2+2b+1=0,则a2+-|b|=__________.‎ ‎1.若|a|=3,则a的值是(  ).‎ A.-3 B.‎3 C. D.±3‎ ‎2.下列各组数中,互为相反数的是(  ).‎ A.|-5|与- B.-5与C.|-5|与 D.|-5|与- ‎3.在-3,-,-1,0这四个实数中,最大的是(  ).‎ A.-3 B.- C.-1 D.0‎ ‎4.如图,数轴上A,B两点对应的实数分别为1和,若点A关于点B的对称点为C,则点C所表示的实数是(  ).‎ A.2-1 B.1+ C.2+ D.2+1‎ ‎5.的倒数是________,-的零次幂是________,|3.142-π|=________,(-2)2的平方根是________.‎ ‎6.若将三个数-,,表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________.‎ ‎7.定义a*b=a2-b,则(1].‎ ‎8.如果某个数的平方根是a+3和‎2a-15,那么这个数等于__________.‎ ‎9.若实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|-|a-b|-|-b|.‎ 参考答案 基础自主导学 自主测试 ‎1.B2.A3.B4.D‎5.8.5‎×104 6.C7.B ‎8.解:(1)原式=1+2+-2-=1.‎ ‎(2)原式=-20+2+3+2×=-13.‎ ‎9.C由数轴可知:a>0,b<0,且|a|<|b|,故选C.‎ 知能优化训练 中考回顾 ‎1.C2.C3.B4.C5.C6.6‎ 模拟预测 ‎1.D2.D3.D4.A 5.13.142-π±26.7.-2 8.49‎ ‎9.解:如题图,a<0,b<0,|a|>|b|,‎ ‎∴a+b<0,a-b<0,-b>0.‎ ‎∴|a+b|-|a-b|-|-b|=-(a+b)-[-(a-b)]-(-b)=-b.‎
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