2020年山东省烟台市中考数学试卷(含解析）

2020年山东省烟台市中考数学试卷(含解析）

‎2020年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．‎ ‎1．（3分）（2020•烟台）4的平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．‎‎2‎ ‎2．（3分）（2020•烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•烟台）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（　　）‎ A．a B．b C．c D．无法确定 ‎4．（3分）（2020•烟台）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．（3分）（2020•烟台）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（　　）‎ A．众数改变，方差改变 ‎ B．众数不变，平均数改变 ‎ C．中位数改变，方差不变 ‎ D．中位数不变，平均数不变 ‎6．（3分）（2020•烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A．按键即可进入统计计算状态 ‎ B．计算‎8‎的值，按键顺序为： ‎ C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果 ‎ D．计算器显示结果为‎1‎‎3‎时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333‎ ‎7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（　　）‎ A．（‎2‎）n B．（‎2‎）n﹣1 C．（‎2‎‎2‎）n D．（‎2‎‎2‎）n﹣1‎ ‎8．（3分）（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．60° B．70° C．80° D．85°‎ 第26页（共26页）‎ ‎9．（3分）（2020•烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．（3分）（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）‎ A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4‎ ‎11．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎9‎‎20‎ C．‎2‎‎5‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎12．（3分）（2020•烟台）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3‎=‎kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 ‎ C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（3分）（2020•烟台）5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•烟台）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为　 　．‎ ‎17．（3分）（2020•烟台）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6‎ 第26页（共26页）‎ ‎），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为　 　．‎ ‎18．（3分）（2020•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为‎-‎‎1‎a．‎ 其中正确结论的序号是　 　．‎ 三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）‎ ‎19．（6分）（2020•烟台）先化简，再求值：（yx-y‎-‎y‎2‎x‎2‎‎-‎y‎2‎）‎÷‎xxy+‎y‎2‎，其中x‎=‎3‎+‎1，y‎=‎3‎-‎1．‎ ‎20．（8分）（2020•烟台）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）此次共调查了多少名学生？‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E 第26页（共26页）‎ 表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．‎ ‎21．（9分）（2020•烟台）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．‎ ‎（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；‎ ‎（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？‎ ‎22．（9分）（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．‎ ‎（1）求证：EC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD＝2‎3‎，求AM的长（结果保留π）．‎ ‎23．（9分）（2020•烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1‎ 第26页（共26页）‎ ‎，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．‎ ‎（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：‎ 测量对象 男性（18～60岁）‎ 女性（18～55岁）‎ 抽样人数（人）‎ ‎2000‎ ‎5000‎ ‎20000‎ ‎2000‎ ‎5000‎ ‎20000‎ 平均身高（厘米）‎ ‎173‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎164‎ ‎165‎ ‎164‎ 根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　 　厘米，女性应采用　 　厘米；‎ ‎（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．‎ ‎（参考数据表）‎ 计算器按键顺序 计算结果（近 计算器按键顺序 计算结果（近 第26页（共26页）‎ 似值）‎ 似值）‎ ‎0.1‎ ‎78.7‎ ‎0.2‎ ‎84.3‎ ‎1.7‎ ‎5.7‎ ‎3.5‎ ‎11.3‎ ‎24．（12分）（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．‎ ‎【问题解决】‎ 如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；‎ ‎【类比探究】‎ 如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．‎ ‎25．（13分）（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x‎=‎‎1‎‎2‎，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第26页（共26页）‎ 第26页（共26页）‎ ‎2020年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．‎ ‎1．（3分）（2020•烟台）4的平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．‎‎2‎ ‎【解答】解：4的平方根是±2．‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）（2020•烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；‎ B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；‎ C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）（2020•烟台）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（　　）‎ A．a B．b C．c D．无法确定 ‎【解答】解：有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，‎ 这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）（2020•烟台）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．‎ 故选：B．‎ ‎5．（3分）（2020•烟台）如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（　　）‎ A．众数改变，方差改变 ‎ B．众数不变，平均数改变 ‎ C．中位数改变，方差不变 ‎ D．中位数不变，平均数不变 ‎【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）（2020•烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（　　）‎ A．按键即可进入统计计算状态 ‎ B．计算‎8‎的值，按键顺序为： ‎ C．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果 ‎ D．计算器显示结果为‎1‎‎3‎时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项A不符合题意；‎ B、计算‎8‎的值，按键顺序为：，故选项B符合题意；‎ C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的，故选项C不符合题意；‎ D、计算器显示结果为‎1‎‎3‎时，若按键，则结果切换为小数格式0.333333333是正确的，故选项D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（　　）‎ A．（‎2‎）n B．（‎2‎）n﹣1 C．（‎2‎‎2‎）n D．（‎2‎‎2‎）n﹣1‎ ‎【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，‎ ‎∴OA2‎=‎‎2‎；‎ ‎∵△OA2A3为等腰直角三角形，‎ ‎∴OA3＝2‎=(‎‎2‎‎)‎‎2‎；‎ ‎∵△OA3A4为等腰直角三角形，‎ ‎∴OA4＝2‎2‎‎=(‎‎2‎‎)‎‎3‎．‎ ‎∵△OA4A5为等腰直角三角形，‎ ‎∴OA5＝4‎=(‎‎2‎‎)‎‎4‎，‎ ‎……‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴OAn的长度为（‎2‎）n﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．60° B．70° C．80° D．85°‎ ‎【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，‎ ‎∴∠A＝∠B‎=‎‎1‎‎2‎（180°﹣140°）＝20°，‎ ‎∵∠AOC＝60°，‎ ‎∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）（2020•烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积‎=‎1‎‎8‎×‎1‎‎2‎×‎42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则 A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；‎ B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；‎ C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；‎ D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）‎ A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4‎ ‎【解答】解：∵点G为△ABC的重心，‎ ‎∴AE＝BE，BF＝CF，‎ ‎∴EF‎=‎1‎‎2‎AC=‎1.7，‎ 故选：A．‎ ‎11．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎9‎‎20‎ C．‎2‎‎5‎ D．‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，‎ ‎∴AF＝AD＝5，EF＝DE，‎ 在Rt△ABF中，BF‎=AF‎2‎-AB‎2‎=‎25-9‎=‎4，‎ ‎∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，‎ 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，‎ ‎∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x‎=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∴DE＝EF＝3﹣x‎=‎‎5‎‎3‎，‎ ‎∴tan∠DAE‎=DEAD=‎5‎‎3‎‎5‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 故选：D．‎ ‎12．（3分）（2020•烟台）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3‎=‎kx的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 ‎ C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1‎ ‎【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，‎ 所以若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（3分）（2020•烟台）5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为　1.3×106　．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．‎ 故答案为：1.3×106．‎ ‎14．（3分）（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为　1260°　．‎ ‎【解答】解：正n边形的每个外角相等，且其和为360°，‎ 据此可得‎360°‎n‎=‎40°，‎ 解得n＝9．‎ ‎（9﹣2）×180°＝1260°，‎ 即这个正多边形的内角和为1260°．‎ 故答案为：1260°．‎ ‎15．（3分）（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　．‎ ‎【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，‎ 解得m＞0且m≠1．‎ 故答案为：m＞0且m≠1．‎ ‎16．（3分）（2020•烟台）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为　18　．‎ ‎【解答】解：∵﹣3＜﹣1，‎ ‎∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，‎ 故答案为：18．‎ ‎17．（3分）（2020•烟台）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C 第26页（共26页）‎ 重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为　（4，2）　．‎ ‎【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2）．‎ 故答案为（4，2）．‎ ‎18．（3分）（2020•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为‎-‎‎1‎a．‎ 其中正确结论的序号是　②③④　．‎ ‎【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，‎ ‎∴ab＜0，故①错误；‎ 第26页（共26页）‎ ‎②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），‎ ‎∴c＝﹣1，‎ ‎∴a+b﹣1＝0，故②正确；‎ ‎③∵a+b﹣1＝0，‎ ‎∴a﹣1＝﹣b，‎ ‎∵b＜0，‎ ‎∴a﹣1＞0，‎ ‎∴a＞1，故③正确；‎ ‎④∵抛物线与与y轴的交点为（0，﹣1），‎ ‎∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，‎ ‎∵抛物线与x轴的交点为（1，0），‎ ‎∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为‎-‎‎1‎a，故④正确；‎ 故答案为②③④．‎ 三、解答题（本大题共7个小题，满分66分）‎ ‎19．（6分）（2020•烟台）先化简，再求值：（yx-y‎-‎y‎2‎x‎2‎‎-‎y‎2‎）‎÷‎xxy+‎y‎2‎，其中x‎=‎3‎+‎1，y‎=‎3‎-‎1．‎ ‎【解答】解：（yx-y‎-‎y‎2‎x‎2‎‎-‎y‎2‎）‎÷‎xxy+‎y‎2‎，‎ ‎＝[y(x+y)‎‎(x+y)(x-y)‎‎-‎y‎2‎‎(x+y)(x-y)‎]‎÷‎xy(x+y)‎，‎ ‎=xy‎(x+y)(x-y)‎×‎y(x+y)‎x‎，‎ ‎=‎y‎2‎x-y‎，‎ 当x‎=‎3‎+‎1，y‎=‎3‎-‎1时，‎ 原式‎=‎(‎3‎-1‎‎)‎‎2‎‎2‎=‎2‎-‎‎3‎．‎ ‎20．（8分）（2020•烟台）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）此次共调查了多少名学生？‎ 第26页（共26页）‎ ‎（2）将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．‎ ‎【解答】解：（1）此次共调查的学生有：40‎÷‎72°‎‎360°‎=‎200（名）；‎ ‎（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人），补全统计图如下：‎ ‎（3）根据题意画树状图如下：‎ 第26页（共26页）‎ 共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，‎ 则他俩选择不同项目的概率是‎20‎‎25‎‎=‎‎4‎‎5‎．‎ ‎21．（9分）（2020•烟台）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A，B两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中A，B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．‎ ‎（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；‎ ‎（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设购进A型口罩m只，这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？‎ ‎【解答】解：设销售A型口罩x只，销售B型口罩y只，根据题意得：‎ x+y=9000‎‎2000‎x‎×1.2=‎‎3000‎y‎，解答x=4000‎y=5000‎，‎ 经检验，x＝4000，y＝5000是原方程组的解，‎ ‎∴每只A型口罩的销售利润为：‎2000‎‎4000‎‎=0.5‎（元），每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）．‎ 答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元．‎ ‎（2）根据题意得，W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000，‎ ‎10000﹣m≤1.5m，解得m≥4000，‎ ‎∵0.1＜0，‎ ‎∴W随m的增大而减小，‎ ‎∵m为正整数，‎ ‎∴当m＝4000时，W取最大值，则﹣0.1×4000+6000＝5600，‎ 即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使销售总利润最大，增大利润为5600元．‎ ‎22．（9分）（2020•烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．‎ ‎（1）求证：EC是⊙O的切线；‎ 第26页（共26页）‎ ‎（2）若AD＝2‎3‎，求AM的长（结果保留π）．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OB，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠ABC＝∠D＝60°，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠BAC＝30°，‎ ‎∵BE＝AB，‎ ‎∴∠E＝∠BAE，‎ ‎∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，‎ ‎∴∠E＝∠BAE＝30°，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠ABO＝∠OAB＝30°，‎ ‎∴∠OBC＝30°+60°＝90°，‎ ‎∴OB⊥CE，‎ ‎∴EC是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BC＝AD＝2‎3‎，‎ 过O作OH⊥AM于H，‎ 则四边形OBCH是矩形，‎ ‎∴OH＝BC＝2‎3‎，‎ ‎∴OA‎=OHsin60°‎=‎4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，‎ ‎∴AM的长度‎=‎60⋅π×4‎‎180‎=‎‎4π‎3‎．‎ 第26页（共26页）‎ ‎23．（9分）（2020•烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．‎ ‎（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：‎ 测量对象 男性（18～60岁）‎ 女性（18～55岁）‎ 抽样人数（人）‎ ‎2000‎ ‎5000‎ ‎20000‎ ‎2000‎ ‎5000‎ ‎20000‎ 平均身高（厘米）‎ ‎173‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎164‎ ‎165‎ ‎164‎ 根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　176　厘米，女性应采用　164　厘米；‎ ‎（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．‎ 第26页（共26页）‎ ‎（参考数据表）‎ 计算器按键顺序 计算结果（近似值）‎ 计算器按键顺序 计算结果（近似值）‎ ‎0.1‎ ‎78.7‎ ‎0.2‎ ‎84.3‎ ‎1.7‎ ‎5.7‎ ‎3.5‎ ‎11.3‎ ‎【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米．‎ 故答案为176，164．‎ ‎（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，‎ ‎∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，‎ 由题意FC＝10cm，‎ ‎∴tan∠FAC‎=FCAF=‎50‎‎10‎=‎5，‎ ‎∴∠FAC＝78.7°，‎ ‎∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，‎ 答：两臂杆的夹角为157.4°‎ ‎24．（12分）（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．‎ ‎【问题解决】‎ 如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；‎ 第26页（共26页）‎ ‎【类比探究】‎ 如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．‎ ‎【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ECH＝60°，‎ ‎∴△CEH是等边三角形，‎ ‎∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，‎ ‎∵△DEF是等边三角形，‎ ‎∴DE＝FE，∠DEF＝60°，‎ ‎∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，‎ ‎∴∠DEH＝∠FEC，‎ 在△DEH和△FEC中，‎ DE=FE‎∠DEH=∠FECEH=EC‎，‎ ‎∴△DEH≌△FEC（SAS），‎ ‎∴DH＝CF，‎ ‎∴CD＝CH+DH＝CE+CF，‎ ‎∴CE+CF＝CD；‎ ‎【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝60°，‎ 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：‎ ‎∵GD∥AB，‎ ‎∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠GDC＝∠DGC＝60°，‎ ‎∴△GCD为等边三角形，‎ ‎∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，‎ ‎∵△EDF为等边三角形，‎ ‎∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，‎ ‎∴∠EDG＝∠FDC，‎ 在△EGD和△FCD中，‎ ED=DF‎∠EDG=∠FDCDG=CD‎，‎ ‎∴△EGD≌△FCD（SAS），‎ ‎∴EG＝FC，‎ ‎∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．‎ ‎25．（13分）（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x‎=‎‎1‎‎2‎，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），‎ 则x‎=‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎（2t﹣t），解得：t＝1，‎ 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），‎ 则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，‎ 解得：a＝﹣1，‎ 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；‎ ‎（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），‎ 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，‎ 设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），‎ 则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，‎ ‎∵﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D（1，2）；‎ ‎（3）存在，理由：‎ 点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，‎ 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，‎ 则DEOE‎=OBOC或OCOB，即DEOE‎=‎2或‎1‎‎2‎，即‎-m‎2‎+m+2‎m‎=‎2或‎1‎‎2‎，‎ 解得：m＝1或﹣2（舍去）或‎1+‎‎33‎‎4‎或‎1-‎‎33‎‎4‎（舍去），‎ 故m＝1或‎1+‎‎33‎‎4‎．‎ 第26页（共26页）‎