全国各地中考数学真题分类解析汇编梯形

全国各地中考数学真题分类解析汇编梯形

梯形 一、选择题 ‎1. （2014•广西贺州，第9题3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎12‎ D．‎ ‎15‎ 考点：‎ 等腰梯形的性质．‎ 分析：‎ 过点A作AE∥CD，交BC于点E，可得出四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰梯形的性质及平行线的性质得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定义求出∠EAC的度数，故可得出四边形ADEC是菱形，再由等边三角形的判定定理得出△ABE是等边三角形，由此可得出结论．‎ 解答：‎ 解：过点A作AE∥CD，交BC于点E，‎ ‎∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形，‎ ‎∴∠AEB=∠BCD=60°，‎ ‎∵CA平分∠BCD，‎ ‎∴∠ACE=∠BCD=30°，‎ ‎∵∠AEB是△ACE的外角，‎ ‎∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，‎ ‎∴∠EAC=30°，‎ ‎∴AE=CE=3，‎ ‎∴四边形ADEC是菱形，‎ ‎∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴AB=BE=AE=3，‎ ‎∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是等腰梯形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2.（2014•襄阳，第10题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎80°‎ B．‎ ‎90°‎ C．‎ ‎100°‎ D．‎ ‎110°‎ 考点：‎ 梯形；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．‎ 分析：‎ 根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°﹣80°=100°．‎ 解答：‎ 解：∵DE=DC，∠C=80°，‎ ‎∴∠DEC=80°，‎ ‎∵AB∥DE，‎ ‎∴∠B=∠DEC=80°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A=180°﹣80°=100°，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．‎ ‎3．（2014·台湾，第3题3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E点在BC上，且AE⊥BC．若AB＝10，BE＝8，DE＝6，则AD的长度为何？(　　)‎ A．8 B．9 C．6 D．6 分析：利用勾股定理列式求出AE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．‎ 解：∵AE⊥BC，‎ ‎∴∠AEB＝90°，‎ ‎∵AB＝10，BE＝8，‎ ‎∴AE＝＝＝6，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠AEB＝90°，‎ ‎∴AD＝＝ ＝6．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了梯形，勾股定理，是基础题，熟记定理并确定出所求的边所在的直角三角形是解题的关键．‎ ‎4．（2014•浙江宁波，第8题4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2：3‎ B．‎ ‎2：5‎ C．‎ ‎4：9‎ D．‎ ‎：‎ ‎ ‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ 先求出△CBA∽△ACD，求出=，COS∠ACB•COS∠DAC=‎ ‎，得出△ABC与△DCA的面积比=．‎ 解答：‎ 解：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ACB=∠DAC 又∵∠B=∠ACD=90°，‎ ‎∴△CBA∽△ACD ‎==，‎ AB=2，DC=3，‎ ‎∴===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴COS∠ACB==，‎ COS∠DAC==‎ ‎∴•=×=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵△ABC与△DCA的面积比=，‎ ‎∴△ABC与△DCA的面积比=，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角形相似的判定及性质，解决本题的关键是明确△ABC与△DCA的面积比=．‎ ‎5. （2014•湘潭，第3题，3分）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=‎15米，则AB=（　　）米．‎ ‎（第1题图）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7.5‎ B．‎ ‎15‎ C．‎ ‎22.5‎ D．‎ ‎30‎ 考点：‎ 三角形中位线定理 分析：‎ 根据三角形的中位线得出AB=2DE，代入即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=‎15米，‎ ‎∴AB=2DE=‎30米，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．‎ ‎6.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4米 B．‎ ‎6米 C．‎ ‎12米 D．‎ ‎24米 考点：‎ 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ 分析：‎ 先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．‎ 解答：‎ 解：在Rt△ABC中，∵=i=，AC=12米，‎ ‎∴BC=6米，‎ 根据勾股定理得：‎ AB==6米，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，难度适中．根据坡度的定义求出BC的长是解题的关键．‎ 二.填空题 ‎1. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第17题3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是　7+　．‎ 考点：‎ 直角梯形．‎ 分析：‎ 根据题意得出AB=AD，进而得出BD的长，再利用在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，进而求出CD以及利用勾股定理求出BC的长，即可得出梯形ABCD的周长．‎ 解答：‎ 解：过点A作AE⊥BD于点E，‎ ‎∵AD∥BC，∠A=120°，‎ ‎∴∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=30°，‎ ‎∴∠ABE=∠ADE=30°，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴AE=AD=1，‎ ‎∴DE=，则BD=2，‎ ‎∵∠C=90°，∠DBC=30°，‎ ‎∴DC=BD=，‎ ‎∴BC===3，‎ ‎∴梯形ABCD的周长是：AB+AD+CD+BC=2+2++3=7+．‎ 故答案为：7+．‎ 点评：‎ 此题主要考查了直角梯形的性质以及勾股定理和直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出∠DBC的度数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2. （2014•扬州，第13题，3分）如图，若该图案是由8个全等的等腰梯形拼成的，则图中的∠1=　67.5°　．‎ ‎（第1题图）‎ 考点：‎ 等腰梯形的性质；多边形内角与外角 分析：‎ 首先求得正八边形的内角的度数，则∠1的度数是正八边形的度数的一半．‎ 解答：‎ 解：正八边形的内角和是：（8﹣2）×180°=1080°，‎ 则正八边形的内角是：1080÷8=135°，‎ 则∠1=×135°=67.5°．‎ 故答案是：67.5°．‎ 点评：‎ 本题考查了正多边形的内角和的计算，正确求得正八边形的内角的度数是关键．‎ ‎　‎ ‎3. （2014•扬州，第14题，3分）如图，△ABC的中位线DE=5cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为　40　cm3．‎ ‎（第2题图）‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理 分析：‎ 根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．‎ 解答：‎ 解：∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥BC，BC=2DE=10cm；‎ 由折叠的性质可得：AF⊥DE，‎ ‎∴AF⊥BC，‎ ‎∴S△ABC=BC×AF=×10×8=40cm2．‎ 故答案为：40．‎ 点评：‎ 本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．‎ 三.解答题 ‎1. （2014年江苏南京，第19题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．‎ ‎（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？‎ ‎（第1题图）‎ 考点：三角形的中位线、菱形的判定 分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；‎ ‎（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．‎ ‎（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；‎ ‎（2）解答：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．‎ 理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．‎ 点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．‎