2015中考数学复习轨迹问题的解题策略

2015中考数学复习轨迹问题的解题策略

轨迹问题的解题策略 ‎ 对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点，下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略．‎ ‎ 一、运动路径是线段 例1（2012年张家界中考题）如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．‎ ‎ ‎ ‎ 解析 此题中主动点是P，动点G是因点P的变化而变化，动点P在运动过程中始终保持不变的量是AP＋BP＝6．另外，题中还有不变的量是△APE和△PBF始终为等边三角形．‎ ‎ 解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量，而既然是求动点G的运动轨迹，则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变，还是到某个定点的距离保持不变，显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变，因此尝试作GQ⊥AB，垂足为Q．又根据△APE和△PBF均是等边三角形这一性质，不难想到分别作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分别为M，N（如图2）．‎ 此时容易得到 EM＝AP，FN＝BP，‎ 所以EM＋FN＝（AP＋BP）‎ ‎＝3．‎ 再根据梯形中位线的性质，可得到 CQ＝（EM＋FN）＝．‎ ‎ 因此得到点G到直线AB的距离始终保持不变，从而得证点G的运动轨迹是一条线段．而此时就点G的运动路径长，便可转化为求点Q的运动路径长，这时只要分别求出点P在C点和D点时AQ的长度即可．‎ ‎ 当点P在点C时（如图3），‎ MQ1＝MN＝，‎ 所以AQ1＝AM＋MQ1＝＋＝2．‎ ‎ ‎ 当点P在点D时（如图4），‎ MQ2＝MN＝，‎ 所以AQ2＝AM＋MQ2＝＝4．‎ 所以点G运动的路径长为4－2＝2．‎ 事实上，点G在运动过程中，MQ的长度也是始终保持不变，因此G的运动路径长度就是M点的运动路径长度，而整个运动过程中M点是从AC的中点运动到AD的中点，即M1M2(如图5)．‎ 笔者认为，如果用这样的方式去分析问题，那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解．此题的解题思路中还体现了转化思想，对培养学生的数学思维是有积极作用的．‎ ‎ 二、运动路径是圆弧 例2（2011年湖州中考题）如图6，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．‎ ‎ ‎ ‎ (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎ (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；‎ ‎ (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）‎ ‎ 解析 (1)、(2)略．‎ ‎ (3)此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持 不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧．‎ ‎ 下面只需确定圆弧的度数即可，即要找到动点H的始点和终点，根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C，因此可将点C定为动点H的终点．当点P在O点时，点H在始点，记为H1，由对称性可知，此时点E的坐标为(3，0)，作MN⊥OE，垂足为N，取DM的中点F，再连结FC、F H1 （如图8）．‎ ‎ 因为M点的坐标为(1，2)，所以可得MN＝NE＝2，所以得到∠MEN＝45°，所以∠H1OE＝45°，所以∠H1OC＝45°．‎ ‎ 因为C，D，H1，M四点共圆，所以∠CFH1＝90°．‎ ‎ 又因为FC＝OM＝，所以弧CH1的长为：，所以点H所经过的路径长为．‎ ‎ 以上两个例题刚好反映了初中数学轨迹问题中的两种典型情况．此类问题的解题策略便是确定动点到定直线的距离保持不变，还是到定点的距离保持不变．沿着这个思路走下去，便能找到变化过程中不变的量，从而找到解题的突破口．‎