中考数学几何旋转经典例题

中考数学几何旋转经典例题

旋转知识点归纳 O B A 图1‎ 知识点1:旋转的定义及其有关概念 在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转,点O就是旋转中心,都是旋转角.‎ 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.‎ 知识点2:旋转的性质 由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：‎ ‎⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同.‎ ‎⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.‎ ‎⑶对应点到旋转中心的距离相等.‎ ‎⑷对应线段相等，对应角相等.‎ 图2‎ 例1 、如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ADB绕点逆时针方向旋转到△的位置，则的度数是（　　）Ｄ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 知识点3:旋转作图 ‎1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.‎ ‎2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.‎ ‎3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论.‎ 例2 如图3，小明将△ABC绕O点旋转得到△，其中点分别是A、B、C的对应点.随即又将△ABC的边AC、BC及旋转中心O擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O及△ABC的位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.‎ 解：连接，,分别作，的垂直平分线，相交于O点，则O点即为旋转中心.再作关于点的对应点,连接,则的位置就确定了.如图4所示.‎ 评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.‎ 图4‎ C B A O 图3‎ 考点4:钟表的旋转问题 钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转这样时针每分钟旋转分针每小时旋转一周,则每分钟旋转 例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角?时针转了多少度角?1点25分时时针与分针的夹角是多少度?‎ 解读生活中的旋转 一. 旋转及其基本性质 ‎1.旋转的概念 在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.‎ ‎2.旋转的基本性质 (1) 旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;‎ (2) 对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.‎ ‎3.理解旋转中的不变量 图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度,图形在旋转过程中,图形中的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度.图形在旋转后点的位置改变,但线段的长度不变,对应点到旋转中心的距离不变,每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等.‎ 总结:旋转过程中,每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.‎ 二. 旋转前后两个图形的比较 图形是由点组成的,图形中的主要元素有线段和角,也有一些其他可度量的元素,所以从这两个方面加以分析.旋转的特点有以下几个方面:‎ (1) 旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变,位置发生了改变;‎ (2) 对应线段相等，对应角相等;‎ (3) 每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角.‎ 三. 旋转作图 ‎1.旋转作图的依据是:图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点到旋转中心的距离相等.‎ ‎2.旋转作图的条件 (1) 图形原来所在的位置;(2)旋转中心;(3)图形旋转的方向;(4)图形的旋转角度.‎ ‎3.旋转作图的具体步骤为:‎ (1) 分析题目的要求,找出旋转中心、旋转角；‎ (2) 分析所作的图形，找出构造图形的关键点；‎ (1) 沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。‎ ‎①连：即连图形中的每一个关键点与旋转中心；‎ ‎②转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度；‎ ‎③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；为了避免作图时的混乱，每个点独立完成后，再进行下一个点的旋转；‎ ‎(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；‎ ‎(5)写出结论（方格纸内作图可以略写结论）.‎ 四.旋转作图的考查形式 ‎(1)已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；‎ ‎(2)已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；‎ ‎(3)已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形.‎ 五.典例剖析 图1‎ 例1如图1，是等腰内一点，是斜边，如果将绕点逆时针方向旋转到的位置，则的度数是（ 　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 例2如图2，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 例3在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．‎ 图4‎ 图3‎ ‎（1）画出向平移4个单位后的；‎ ‎（2）画出绕点顺时针旋转后的 ‎，并求点旋转到所经过的路线长．‎ 学好旋转的三个要点 ‎　　旋转在实际生活中随处可见．因此，学好旋转的知识有利于我们解决实际问题，学习时应注意把握好以下几点：‎ ‎　　一、正确理解旋转的概念 ‎　　在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心．旋转不改变图形的形状和大小．‎ A C D B E P 图1‎ ‎　　理解这个概念应注意以下两点：‎ ‎　　1．旋转和平移一样，是图形的一种基本变换；‎ ‎　　2．图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．‎ ‎　　例　如图1，是等腰直角三角形，，是上一点，经过旋转后到达的位置．‎ ‎　　（1）旋转中心是哪一点？‎ ‎　　（2）旋转了多少度？‎ ‎　　（3）若是的中点，那么经过上述旋转后，点旋转到了什么位置？‎ ‎　　解：（1）点是旋转中心；‎ ‎　　（2）顺时针旋转了；‎ ‎　　（3）点旋转到了的中点．‎ ‎　　二、掌握旋转的特征 ‎　　图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等；旋转前后图形的大小、形状都不发生变化．‎ ‎　 图2‎ 　例2　如图2所示，是国际奥林匹克运动会会旗（五环旗）的标志图案，它是由五个半径相同的圆组成的，它象征着五大洲的体育健儿，为发展奥林匹克精神而团结起来，携手拼搏．观察此图案，结合我们所学习的图形变换知识，完成下列题目：‎ ‎　　（1）整个图案可以看做是什么图形？‎ ‎　　（2）此图案可以看做是把一个圆经过多次什么变换运动得到的？‎ ‎　　解：（1）这个图案是轴对称图形．‎ ‎　　（2）既可以看做是由一个圆经过4次平移得到的，又可以看做是一个圆经过4次旋转得到的（你能分析吗，提示：旋转中心可以不在图案上）．‎ ‎　　三、会寻找旋转中心 ‎　　知道了旋转中心及旋转角，可以作出一个图形旋转后的图形．那么知道一个图形及其旋转后的图形时，如何确定旋转中心呢？‎ ‎　　确定旋转中心的关键是确定两个图形上的两组对应点构成的对应线段的旋转中心，由旋转特征可知，这两组对应点的旋转中心就是整个图形的旋转中心．‎ ‎　　由旋转特征可知，如果已知图形上点关于旋转中心的对应点是，则有，所以点必在线段的垂直平分线上；如果图形上点关于旋转中心的对应点是，则，所以点必在线段的垂直平分线上．这样两个对应点和以及和连线的垂直平分线的交点就是旋转中心．‎ ‎　　例3　如图3所示，四边形绕某点旋转后到四边形，你能确定旋转中心吗?试一试．‎ ‎　　分析：我们可以用待定位置法．假定点就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的距离相等，则有，从而一定是线段和线段的垂直平分线的交点上．‎ ‎　　解：如图3所示，连结．‎ 图1‎ 图4‎ ‎　　分别作的垂直平分线，两直线交于点．则点就是旋转中心．‎ ‎　　例2　如图4，是等边三角形，点分别是的中点，四边形和四边形都是正方形．‎ ‎　　（1）试确定正方形绕某点旋转得正方形的旋转中心．‎ ‎　　（2）正方形旋转多少度时可以与正方形重合？‎ ‎　　分析：因为四边形和四边形都是正方形，所以情况较多，我们只选择其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索，欢迎你把自己的探索成果告诉我们．‎ ‎　　解：（1）选择和作为对应线段（点对应点，点的对应点为点）．‎ ‎　　连接，则易知，连接点与线段的中点并延长，连接点 与线段的中点并延长，两直线相交于点，则有垂直平分垂直平分，则点就是旋转中心．为旋转角．‎ ‎　　（2），‎ ‎，‎ ‎　　（对顶角）．‎ ‎　　又，所以．‎ ‎　　所以旋转角．‎ ‎　　所以当正方形绕点顺时针旋转时，可与正方形重合．‎ 旋转坐标新意多 求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。这类问题新意颇多，下面举例说明，供同学们学习时参考 ‎1、求旋转90°后点的坐标 例1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ．‎ 分析：在平面直角坐标系中，先做出OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OA′，然后根据点A′的特征求出点A′的坐标 解：如图所示，做出OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OA′，则A′的坐标为(4，－1)‎ 规律总结：已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按顺时针方向旋转90°得，则点的坐标为，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为，‎ ‎2、求旋转180°后点的坐标 例2、在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到‎0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在 ‎ A 第一象限 B 第二象限 c 第三象限 D 第四象限 分析：将OA绕原点O逆时针旋转180°得到‎0A′，则点A′与点A关于原点成中心对称，根据点A的坐标即可求出点A′的坐标，从而确定A′在平面直角坐标系中的位置 解：因为OA绕原点O逆时针旋转180°得到‎0A′，所以点A′与点A关于原点成中心对称，又因为点A得坐标为(2，3)，所以点A′的坐标为（-2，-3），所以点A′在第三象限，选C 规律总结：已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按顺时针方向（或逆时针方向）旋转180°得，则点的坐标为， ‎ ‎3、求旋转135°后点的坐标 例3、点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，那么点B的坐标是 _________ ．‎ 分析：如图所示，在平面直角坐标系中，小格点正方形的边长为1，在图中先通过旋转作图确定点B的位置，然后再求出它的坐标 解：点A的坐标为（，0），则点A在x轴的正半轴上，把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，则点B在第三象限且在第三象限的角平分线上，由于OB=OA=，所以点B就在边长为1的格点正方形的顶点上，则点B的坐标为（-1，1）‎ ‎4、求多次旋转后点的坐标 例4、如图，在直角坐标系中，已知点，，对△连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为________‎ 析解：认真观察图形可知，连续作旋转变换依次得到三角形①的直角顶点的坐标为（0，0），三角形②的直角顶点的坐标未知，三角形③的直角顶点的坐标为（12，0），三角形④的直角顶点的坐标为（12，0），…，由此可见其中的规律：三角形的直角顶点的纵坐标总是0，二横坐标每经过三次变换增加12，依此类推三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）‎ 点评：解决本题的关键是找出△连续作旋转变换中三角形的直角顶点的坐标的变化规律，要求同学们具有一定的探索和想象能力。‎ 旋转常见错解剖析 ‎　　一、分析旋转作图时语言叙述不准确 ‎　　例1　分析图1的旋转现象.‎ ‎　　错解：本题是由图案的绕图案中心分别旋转 四次，每次旋转90°形成的.‎ ‎　　剖析：分析旋转图案的方法：（1）找准旋转图案 的基本图案，本题取图案的或；（2）找出旋　　　　　　图1‎ 转中心；（3）算准旋转的角度.‎ ‎　　正解：是由一个梯形绕图案中心依次旋转90°，180°，270°而形成的，也可以看做是由两个相邻的梯形绕图案的中心旋转180°而形成的.‎ ‎　　二、弄错图形的旋转方向 ‎　　例2　如图2，将网格中的△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形.‎ A A A/‎ A/‎ B B B/‎ B/‎ C C E D 图2‎ 图3‎ ‎　　错解：作∠ACD=∠BCE=90°并截取CA/=CA，CB/=CB；连结CB/、B/A/、CA/就得到了旋转后的图形△CB/A/.‎ ‎　　剖析：这种作法显然没有注意到是逆时针方向旋转，同学们可以按照逆时针方向作一下，看看是不是与图3所示一样.‎ ‎　　三、忽视分类讨论 ‎　　例3　在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC绕点A旋转30°后与△AB‎1C1重合，求∠BAC1的度数.‎ 错解：如图4，因为在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，所以∠BAC=75°.所以∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=75°+30°=105°.‎ ‎ A A ‎ ‎ ‎ ‎ C1 B‎1 C ‎ ‎ B C C1 ‎ ‎ B1 B ‎ ‎ 图4 图5 ‎ ‎　　剖析：本题将△ABC绕点A旋转30°，并未指明旋转方向，故应分两种情况，错解只考虑了一种情况.‎ ‎　　正解：当△ABC绕点A逆时针方向旋转30°时，作法同错解；当△ABC绕点A顺时针方向旋转30°时，如图9，∠BAC1=∠BBAC－∠CAC1=75°－30°=45°.‎ ‎　　四、对旋转角的概念理解不准确 B E A C D 图6‎ ‎　　例4　如图6，P等边△BDE是由等边△ABC经过旋转得到的.试判断旋转中心和旋转角及旋转方向.‎ ‎　　错解：等边△BDE是由等边△ABC绕旋转中心B按逆时针方向旋转∠ABE的度数形成的.‎ ‎　　剖析：错误的原因在于没有正确找出对应线段，从而把旋转的角度弄错了.‎ ‎　　正解：△BDE是由等边△ABC绕旋转中心B按逆时针方向，旋转∠DBA的度数形式的.‎ ‎　　五、旋转作图中，找不准关键点，错用旋转的性质 ‎　　例5　如图7所示，请将方格纸中的图形以点O为旋转中心，顺时针旋转90°，再向左平移两格，你能作出相应的图形吗？‎ ‎　　错解：如图8所示.‎ ‎　　剖析：未找准关键点关于旋转中心的对称点.‎ ‎　　正解：如图9所示.‎ O O O 图7‎ 图8‎ 图9‎