新定义问题2016北京中考模拟

新定义问题2016北京中考模拟

‎　‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点．‎ 例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为（2，4），点N′的坐标为（0，3）．‎ ‎（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M′与点N′的坐标；‎ ‎（2）若点Q的坐标是（0，﹣），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限．当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；‎ ‎（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；‎ ‎（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，﹣）当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标．‎ ‎2．在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．‎ ‎（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数；‎ ‎（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；‎ ‎（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”‎ ‎（1）已知点P的坐标为（2，0）‎ ‎①若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；‎ ‎②若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为，求n的值；‎ ‎（2）已知△ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（﹣，0）、（，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标．‎ ‎（3）已知△ABC三个顶点的坐标为：A（﹣3，0）、B（，0），C（0，4），点P的坐标为（0，），点Q的坐标为（m，），若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：‎ 将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作Dy；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=．‎ 例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，‎ 所以λ==．‎ ‎（1）如图2，点A（1，0），‎ ‎①点B（2，1），E（﹣1，2），‎ 则△AOB的纵横比λ1=　 　‎ ‎△AOE的纵横比λ2=　 　；‎ ‎②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；‎ ‎③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；‎ ‎（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：‎ 对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．‎ ‎（1）如图，⊙O的半径为1，‎ ‎①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；‎ 若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数　 　；‎ ‎②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．‎ ‎（2）若点P在直线y=﹣x+2上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围．‎ ‎（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，﹣1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标xC的取值范围．‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB．如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．‎ ‎（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是　 　；‎ ‎（2）已知点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；‎ ‎（3）已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4，1），求⊙M的半径r的取值范围．‎ ‎7．（1）在图①，②，③中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是　 　，　 　，　 　；（可用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）‎ ‎（2）在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；‎ ‎★归纳与发现 ‎（3）通过对图①②③④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f）（如图④）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为　 　；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为　 　（不必证明）；‎ ‎★运用与推广 ‎（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=﹣x2﹣（5c﹣3）x﹣c和三个点G（﹣c，‎ c），S（c，c），H（2c，0）（其中c＞0）．问当c为何值时，该双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．‎ ‎（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．‎ ‎①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；‎ ‎②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；‎ ‎（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．‎ ‎9．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．‎ ‎（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：‎ A（1，0）的距离跨度　 　；‎ B（﹣，）的距离跨度　 　；‎ C（﹣3，﹣2）的距离跨度　 　；‎ ‎②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是　 　．‎ ‎（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．‎ ‎（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围　 　．‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：‎ ‎“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．‎ 例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．‎ ‎（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．‎ ‎①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；‎ ‎②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．‎ ‎（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．‎ ‎①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；‎ ‎②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．‎ ‎（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标　 　；‎ ‎（2）如果点P在函数y=x﹣2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；‎ ‎（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0），如果m=2n，则称双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m＞0）是双曲线y=（n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y=（n＞0）是双曲线y=（m＞0）的“半双曲线”，‎ ‎（1）请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是　 　；双曲线y=的“半双曲线”是　 　；‎ ‎（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；‎ ‎（3）如图2，已知点M是双曲线y=（k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：‎ 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．‎ ‎（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．‎ ‎①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为　 　；‎ ‎②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；‎ ‎（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙‎ P的半径r的取值范围．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：‎ 点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．‎ 如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．‎ ‎（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为　 　；‎ 请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：　 　；‎ ‎（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．‎ ‎15．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．‎ 在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．‎ ‎（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是　 　；‎ ‎（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．‎ ‎①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；‎ ‎②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）‎ ‎（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．‎ ‎（1）如图1，点A（﹣1，0）．‎ ‎①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为　 　；‎ ‎②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为　 　；‎ ‎③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为　 　；‎ ‎（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=x（x≥0）上，b的取值范围是　 　；‎ ‎（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．‎ 已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），‎ ‎（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是　 　；‎ ‎（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；‎ ‎（3）⊙B的半径为，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．‎ ‎18．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”．‎ 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．‎ ‎（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”．‎ ‎（2）设直线y=（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离”；‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内．将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是　 　；“近距离”的最小值是　 　．‎ ‎19．对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD．‎ ‎（1）当⊙P的半径为4时，‎ ‎①在P1（0，﹣3），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是　 　；‎ ‎②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；‎ ‎（2）已知点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围．‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4．‎ ‎（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则lx　 　，ly　 　．‎ ‎（2）已知点C（4，0），点D在直线y=﹣2x+6上，若图形W为△OCD．当lx=ly时，求点D的坐标．‎ ‎（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足lx=ly≤1时，请直接写出a的取值范围．‎ ‎21．对于关于x的一次函数y=kx+b（k≠0），我们称函数y[m]=为它的m分函数（其中m为常数）．‎ 例如，y=3x+2的4分函数为：当x≤4时，y[4]=3x+2；当x＞4时，y[4]=﹣3x﹣2．‎ ‎（1）如果y=﹣x+1的2分函数为y[2]，‎ ‎①当x=4时，y[2]=　 　；②当y[2]=3时，x=　 　．‎ ‎（2）如果y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1]，求双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标；‎ ‎（3）从下面两问中任选一问作答：‎ ‎①设y=﹣x+2的m分函数为y[m]，如果抛物线y=x2与y[m]的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．‎ ‎②如果点A（0，t）到y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象的距离小于1，直接写出t的取值范围．‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，﹣1）．点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点．‎ ‎（1）请判断P1（﹣4，0），P2（3，0）是否为理想点；‎ ‎（2）若直线x=﹣3上存在理想点，求理想点的纵坐标；‎ ‎（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当a≥b时，Q点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，Q点坐标为（a，﹣b）．‎ ‎（1）求（﹣2，3），（6，﹣1）的变换点坐标；‎ ‎（2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）．若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；‎ ‎（3）若抛物线y=﹣x2+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围．‎ ‎24．对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示．例如，当M（1，2），N（2，2）时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为2．‎ ‎（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），‎ ‎①点O与线段AB的“密距”为　 　，“疏距”为　 　；‎ ‎②线段AB与△COD的“密距”为　 　，“疏距”为　 　；‎ ‎（2）直线y=2x+b与x轴，y轴分别交于点E，F，以C（0，﹣1）为圆心，1为半径作圆，当⊙C与线段EF的“密距”0＜d＜1时，求⊙‎ C与线段EF的“疏距”f的取值范围．‎ ‎25．在平面直角坐标系xoy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，那么称点P′为点P关于⊙C的反演点，图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．‎ ‎（1）如图2，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；‎ ‎（2）如图3：已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点，如果点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小．‎ ‎26．设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）．在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）．‎ 例如：函数f（x）=x2﹣2x﹣3，当x=4时，f（4）=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：‎ 如果函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）．f（b）＜0，那么函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内有零点，即存在c（a ‎≤c≤b），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范围内的根．‎ 例如：二次函数f（x）=x2﹣2x﹣3的图象如图1所示．‎ 观察可知：f（﹣2）＞0，f（1）＜0，则f（﹣2）．f（1）＜0．所以函数f（x）=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范围内有零点．由于f（﹣1）=0，所以，﹣1是f（x）=x2﹣2x﹣3的零点，﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根．‎ ‎（1）观察函数y1=f（x）的图象2，回答下列问题：‎ ‎①f（a）•f（b）　 　0（“＜”“＞”或“=”） ‎ ‎②在a≤x≤b范围内y1=f（x）的零点的个数是　 　． ‎ ‎（2）已知函数y2=f（x）=﹣的零点为x1，x2，且x1＜1＜x2．‎ ‎①求零点为x1，x2（用a表示）；‎ ‎②在平面直角坐标xOy中，在x轴上A，B两点表示的数是零点x1，x2，点 P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，若a是整数，求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围．‎ ‎27．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．‎ ‎（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；‎ ‎（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）‎ ‎①直接写出△ABM的面积，其面积是　 　；‎ ‎②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；‎ ‎③以②中的点M为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．‎ ‎28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形．例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形．‎ ‎（1）如图1，点A（﹣1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）．‎ ‎①如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是　 　；‎ ‎②如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值　 　；‎ ‎（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围；‎ ‎（3）如图4，已知点E（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围．‎ ‎29．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．‎ ‎（1）分别判断函数y=x﹣1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；‎ ‎（2）函数y=2x2﹣bx．‎ ‎①若其不变长度为零，求b的值；‎ ‎②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；‎ ‎（3）记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．‎ ‎30．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2‎ 上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．‎ ‎（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．‎ ‎31．P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”． ‎ ‎（1）⊙O的半径为5，OP=3．‎ ‎①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为　 　；‎ ‎②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围．‎ ‎（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围　 　；‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为4，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于⊙O的“幂值”为13，请写出b的取值范围　 　．‎ ‎32．在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形W1和W2，若在图形W1和W2上分别存在点M （x1，y1 ）和N （x2，y2 ），使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，并称点P为图形W1和W2的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足x=，y=‎ ‎（1）已知点A（0，1），B（4，1），C（3，﹣1），D（3，﹣2），连接AB，CD．‎ ‎①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为　 　；‎ ‎②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2，﹣），求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；‎ ‎（2）如图1，已知点R（﹣2，0）和抛物线W1：y=x2﹣2x，对于抛物线W1上的每一个点M，在抛物线W2上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W2；‎ ‎（3）正方形EFGH的顶点分别是E（﹣4，1），F（﹣4，﹣1），G（﹣2，﹣1），H（﹣2，1），⊙T的圆心为T（3，0），半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．‎ ‎33．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时．‎ ‎①分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；‎ ‎②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；‎ ‎（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答．‎ ‎ 问题1‎ 问题2 ‎ ‎ 若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为 ‎　 　．‎ ‎ 若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为 ‎　 　．‎ ‎34．阅读下面材料：‎ 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．‎ 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．‎ ‎（1）请你回答：AP的最大值是　 　．‎ ‎（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：‎ 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．‎ 提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．‎ ‎①请画出旋转后的图形 ‎②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．‎ ‎35．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙‎ C关于点P的相邻线．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有　 　；‎ ‎②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；‎ ‎③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年05月16日139****3005的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共35小题）‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90°得到PM′，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90°得到QN′，则称线段MN进行了三等分变换，其中M′，N′记为点M，N三等分变换后的对应点．‎ 例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M′的坐标为（2，4），点N′的坐标为（0，3）．‎ ‎（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M′与点N′的坐标；‎ ‎（2）若点Q的坐标是（0，﹣），点P在x轴正半轴上，点N′在第二象限．当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；‎ ‎（3）若点Q的坐标为（0，0），点M′的坐标为（﹣3，﹣3），直接写出点P与点N的坐标；‎ ‎（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，﹣）当点N′在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M′的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵PQ=2，根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2 ），N′（ 4，﹣2 ）．‎ ‎（2）①当PQ=1时，OQ=‎ 在RT△OPQ中，如图1中，‎ ‎∴OP=OQ ‎∴∠OQP=∠OPQ=45°‎ ‎∵∠PQN′=90°PQ=Q N′‎ ‎∴点N’在x轴负半轴上，不在第二象限 ‎∴PQ=1不符合题意．‎ ‎②当PQ=2时 OP===，‎ 此时，点N′在第二象限符合题意．‎ ‎（3）如图2中，由图象可知，P（0，﹣3 ），N（ 0，3 ）．‎ ‎（4）如图3中，过点P作PA⊥x轴于点A．‎ 在Rt△OAP中，由勾股定理，OP==1，‎ 在△PQN′中，∠PQN′=90°，PQ=Q N'‎ 点N'在⊙O内部或在⊙O上运动，当PN′为⊙O直径时，PN′最大 ‎∠QPN′=45°‎ ‎∴PQ=PN′=，‎ ‎∴PQ的取值范围：0＜PQ≤，‎ ‎∵P（，﹣）‎ 由对称性可知N′（﹣，）‎ 过点N′作N′E⊥x轴于点E，过点Q作QF⊥x轴于点F 易证△ON′E≌△QOF，‎ ‎∴OF=EN′=，FQ=OE=‎ ‎∴Q（﹣，﹣）‎ ‎∵∠N′QP=∠QP M′=90°‎ ‎∴N′Q∥PM′，‎ 又∵N′Q=PM′，‎ ‎∴四边形PN′QM′是平行四边形，对角线的交点为J，设M′（m，n）‎ 则J（，﹣），‎ 则有=，=﹣，‎ 解得m=，n=，‎ ‎∴点M′的坐标为（，）．‎ ‎　‎ ‎2．在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．‎ ‎（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣，1），B（，1），C（，3），D（﹣，3），直接写出视角∠AOB的度数；‎ ‎（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；‎ ‎（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，设AB交y轴于E．‎ ‎∵A（﹣，1），B（，1），‎ ‎∴OE⊥AB，EA=EB，‎ ‎∴OA=OB，‎ 在Rt△OAE中，tan∠OAE=，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=30°，‎ ‎∴∠AOB=120°．‎ ‎（2）如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．‎ ‎∵AB=2，BC=2，‎ ‎∴AC=4，‎ ‎∴∠ACQ=60°．‎ ‎∴△ACQ为等边三角形，‎ 即∠AQC=60°，‎ ‎∵CQ=AC=4，‎ ‎∴Q（，﹣1）．‎ ‎（3）如图3中，当点Q与点O重合时，设⊙P与y轴相切于点E，OF是⊙P的切线，‎ ‎∵P（1，），‎ ‎∴PE=1，OE=，‎ ‎∴tan∠POE=，‎ ‎∴∠POE=∠POF=30°‎ ‎∴∠EQF=60°，此时Q（0，0），‎ 如图4，根据对称性可知，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，‎ ‎∴Q（2，0），‎ ‎∴a的取值范围是0＜a＜2．‎ ‎　‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”‎ ‎（1）已知点P的坐标为（2，0）‎ ‎①若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；‎ ‎②若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为，求n的值；‎ ‎（2）已知△ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（﹣，0）、（，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是△ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标．‎ ‎（3）已知△ABC三个顶点的坐标为：A（﹣3，0）、B（，0），C（0，4），点P的坐标为（0，），点Q的坐标为（m，），若点P、Q的“相关圆”与△ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①∵PQ===，‎ ‎∴S=π•r2=5π．‎ ‎②过点Q作QH⊥x轴于H．‎ ‎∵HQ==2，‎ ‎∴Q点坐标为（3，2）或（3，﹣2）．‎ ‎∴n=2或﹣2．‎ ‎（2）如图，‎ 在Rt△OAC中，∠ACO=30°，‎ ‎∴OC=OA=3，‎ ‎∴C点坐标为（0，3），‎ ‎∴△ABC的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，‎ ‎∴P（0，1），‎ 设Q（x，2x），则有x2+（2x﹣1）2=1，‎ 解得x=或0，‎ ‎∴Q（，）或（0，0）．‎ ‎（3）如图3中，‎ ‎①当相关圆与AC、AB相切时半径有最小值．‎ ‎②当相关圆经过点B时，半径有最大值，‎ ‎∴﹣≤m≤﹣，≤m≤．‎ ‎　‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：‎ 将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作Dy；将叫做△ABC的纵横比，记作λ=．‎ 例如：如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，‎ 所以λ==．‎ ‎（1）如图2，点A（1，0），‎ ‎①点B（2，1），E（﹣1，2），‎ 则△AOB的纵横比λ1=　　‎ ‎△AOE的纵横比λ2=　1　；‎ ‎②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；‎ ‎③点M是双曲线y=上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；‎ ‎（2）如图3，点A（1，0），⊙P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 由题意△AOB的纵横比λ1=，△AOE的纵横比λ2==1，‎ 故答案为，1．‎ ‎②由点F在第四象限，若△‎ AOF的纵横比为1，则F（1，﹣1）（在第四象限的角平分线上即可）．‎ ‎③如图设M（xM，yM）．‎ a、当0＜xM≤1时，点M在y=上，则yM＞0，‎ 此时△AOM的横长Dx=1，△AOM的纵长为Dy=yM，‎ ‎∵△AOM的纵横比为1，‎ ‎∴Dy=1，‎ ‎∴yM=1或﹣1（舍弃），‎ ‎∴xM=，‎ ‎∴M（，1）．‎ b、当xM＞1时，点M在y=上，则yM＞0，‎ 此时△AOM的横长Dx=xM，△AOM的纵长为Dy=yM，‎ ‎∵△AOM的纵横比为1，‎ ‎∴Dy=Dx，‎ ‎∴xM=yM ‎∴yM=±（舍弃），‎ c、当xM＜0时，点M在y=上，则yM＜0，‎ 此时△AOM的横长Dx=1﹣xM，△AOM的纵长为Dy=﹣yM，‎ ‎∵△AOM的纵横比为1，‎ ‎∴1﹣xM=﹣yM，‎ ‎∴xM=或（舍弃），‎ ‎∴yM=﹣，‎ ‎∴M′（，﹣），‎ 综上所述，点M坐标为（，1）或（，﹣）．‎ ‎（2）如图3中，当N（0，1+）时，可得△AON的纵横比λ的最大值==1+，‎ 当AN′与⊙P相切时，切点在第二象限时，可得△AON的纵横比λ的最小值，‎ ‎∵OP=，OA=1，‎ ‎∴PA=2．AN′==，‎ ‎∴tan∠APN′=，‎ ‎∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．‎ ‎∴∠HPN′=30°，‎ ‎∴N′H=，PH=，‎ 此时△AON的纵横比λ==，‎ ‎∴≤λ≤1+．‎ ‎　‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：‎ 对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．‎ ‎（1）如图，⊙O的半径为1，‎ ‎①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；‎ 若点P在直线x=2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数　60°　；‎ ‎②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．‎ ‎（2）若点P在直线y=﹣x+2上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围．‎ ‎（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，﹣1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标xC的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①画如图1所示，‎ 如图2，当∠MPN最大时，此时PM与PN与⊙O相切，‎ ‎∵⊙O的半径为r=1，‎ ‎∴sin∠MPO=，‎ 当OP最小时，此时sin∠MPO最大，即∠MPO最大，‎ ‎∴sin∠MPO=，‎ ‎∴∠MPO=30°‎ ‎∴∠MPN=2∠MPO=60°；‎ 故答案为：60°‎ ‎②∵点B关于⊙O的视角为60°，‎ ‎∴BM与⊙O相切，且∠MBO=30°，‎ ‎∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2，‎ ‎∵B（m，m） （m＞0），‎ ‎∴OB==m=2，‎ ‎∴m=‎ ‎∴B（，）；‎ ‎（2）如图3，‎ ‎∵点P关于⊙O的“视角”大于60°，‎ ‎∴∠MPO＞30°，‎ ‎∴sin∠MPO=＞sin30°，‎ ‎∴OP＜2，‎ ‎∵点P不在⊙C上，‎ ‎∴1＜OP＜2‎ ‎∴点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，‎ ‎∵点P在直线y=x+2上，‎ 由图4，‎ 可得xp=0或xP=‎ ‎∴0＜xP＜‎ ‎（3）如图5，‎ ‎①当点C在x轴正半轴时，‎ 在线段EF上取一点P，当PM，PN都与⊙C相切时，∠MPN最大，当∠MPN=120°时，连接CP，‎ ‎∴∠CPM=60°，‎ 在Rt△PCM中，CM=1，sin∠CPM===，‎ ‎∴CP=，‎ ‎∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，‎ ‎∴点P和原点O重合时，视角只要小于120°时，即可，OP最大=CP=，‎ 此时，满足条件的xC ‎②当点C在x轴负半轴时，同①可得，xC＜﹣，‎ 即：满足条件的xC或xC＜﹣．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB．如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．‎ ‎（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是　点D和E　；‎ ‎（2）已知点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；‎ ‎（3）已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4，1），求⊙‎ M的半径r的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由“环绕点”的定义可知：点P到直线AB的距离d应满足：d≤1，‎ ‎∵A、B两点的纵坐标都是3，‎ ‎∴AB∥x轴，‎ ‎∴点C到直线AB的距离为|1.5﹣3|=1.5＞1，‎ 点D到直线AB的距离为|3.5﹣3|=0.5＜1，‎ 点E到直线AB的距离为|3﹣3|=0＜1，‎ ‎∴点D和E是线段AB的环绕点；‎ 故答案为：点D和E；‎ ‎（2）当点P在线段AB的上方，点P到线段AB的距离为1时，m=2；‎ 当点P在线段AB的下方，点P到线段AB的距离为1时，m=4；‎ 所以点P的横坐标m的取值范围为：2≤m≤4；‎ ‎（3）当点P在线段AB的下方时，且到线段AB的最小距离是1时，r=1；‎ 当点P在线段AB的上方时，且到点A的距离是1时，如图，过M作MC⊥AB，‎ 则CM=2，AC=2，‎ 连接MA并延长交⊙M于P，‎ 则PA=1，‎ ‎∴MP=2+1，即r=2+1．‎ ‎∴⊙M的半径r的取值范围是1≤r≤2+1．‎ ‎　‎ ‎7．（1）在图①，②，③中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），写出图①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是　（5，2）　，　（e+c，d）　，　（c+e﹣a，d）　；（可用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）‎ ‎（2）在图④中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；‎ ‎★归纳与发现 ‎（3）通过对图①②③④的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f）（如图④）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为　m=c+e﹣a　；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为　n=d+f﹣b　（不必证明）；‎ ‎★运用与推广 ‎（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=﹣x2﹣（5c﹣3）x﹣c和三个点G（﹣c，c），S（c，c），H（2c，0）（其中c＞0）．问当c为何值时，该双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得出：‎ ‎①，②，③中的顶点C的坐标，它们分别是（5，2），（e+c，d），（c+e﹣a，d）．‎ 故答案为：（5，2），（e+c，d），（c+e﹣a，d）．‎ ‎（2）如图所示：‎ 分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，‎ 分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．‎ 在平行四边形ABCD中，CD=BA，‎ 又∵BB1∥CC1，‎ ‎∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．‎ ‎∴∠EBA=∠FCD．‎ 在△BEA和△CFD中 ‎∴△BEA≌△CFD（AAS）．‎ ‎∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．‎ 设C（x，y）．‎ 由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．‎ 由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．‎ ‎∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．‎ ‎（此问解法多种，可参照评分）‎ ‎（3）由图①②③④可得出：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b．或m+a=c+e，n+b=d+f．‎ 故答案为：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b．‎ ‎（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（﹣2c，7c）．‎ 要使P1在抛物线上，‎ 则有7c=4c2﹣（5c﹣3）×（﹣2c）﹣c，‎ 即c2﹣c=0．‎ ‎∴c1=0（舍去），c2=1．此时P1（﹣2，7）．‎ 若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），‎ 同理可得c=1，此时P2（3，2）．‎ 若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得（c，﹣2c），‎ 同理可得c=1，此时P3（1，﹣2）．‎ 综上所述，当c=1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形．‎ 符合条件的点有P1（﹣2，7），P2（3，2），P3（1，﹣2）．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．‎ ‎（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．‎ ‎①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；‎ ‎②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；‎ ‎（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1中，‎ 在x轴的上方，作以AB为斜边的直角三角形△ACB，易知A、B、P三点在⊙C上，‎ 圆心C的坐标为（4，3），半径为3，‎ 根据对称性可知点C（4，﹣3）也满足条件．‎ ‎②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点“．‎ 如图2所示：当圆心为C（4，3）时，过点C作CD⊥y轴于D，则D（0，3），CD=4‎ ‎∵⊙C的半径r=＞4，‎ ‎∴⊙C与y轴相交，‎ 设交点为P1、P2，此时P1、P2在y轴的正半轴上 连接CP1、CP2、CA，则CP1=CP2=CA=r=‎ ‎∵CD⊥y轴，CD=4，CP1=，‎ ‎∴DP1==DP2，‎ ‎∴P1（0，3+） P2（0，3﹣）．‎ ‎（2）当过点A，B的圆与y轴正半轴相切于点P时，∠APB最大．‎ 理由如下：如果点P在y轴的正半轴上，设此时圆心为E，则E在第一象限，‎ 在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），‎ 连接MA，MB，PA，PB，设MB交于⊙E于点N，连接NA，‎ ‎∵点P，点N在⊙E上，∴∠APB=∠ANB，‎ ‎∵∠ANB是△MAN的外角，‎ ‎∴∠ANB＞∠AMB，即∠APB＞∠AMB，‎ 此时，过点E作EF⊥x轴于F，连接EA，EP，则AF=AB=3，OF=4，‎ ‎∵⊙E与y轴相切于点P，则EP⊥y轴，‎ ‎∴四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4．‎ ‎∴⊙E的半径为4，即EA=4，‎ ‎∴在Rt△AEF中，EF=，‎ ‎∴OP=即 P（0，）．‎ ‎　‎ ‎9．我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d．‎ ‎（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：‎ A（1，0）的距离跨度　2　；‎ B（﹣，）的距离跨度　2　；‎ C（﹣3，﹣2）的距离跨度　4　；‎ ‎②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是　圆　．‎ ‎（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．‎ ‎（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围　﹣1≤xE≤2　．‎ ‎【解答】解：（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，‎ ‎∴直径为4，‎ ‎∵A（1，0），OA=1，‎ ‎∴点A到⊙O的最小距离d=1，‎ 点A到⊙O的最大距离D=3，‎ ‎∴点A到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；‎ ‎∵B（﹣，），‎ ‎∴OB==1，‎ ‎∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG﹣OB=1，‎ 点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3，‎ ‎∴点B到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2；‎ ‎∵C（﹣3，﹣2），‎ ‎∴OC==，‎ ‎∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC﹣OD=﹣2，‎ 点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+，‎ ‎∴点C到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+﹣（ ﹣2）=4；‎ 故答案为2，2，4．‎ ‎②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），‎ ‎∴OP=，‎ ‎∴点P到⊙O的最小距离d=2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D=2+OP，‎ ‎∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+OP﹣（2﹣OP）=2OP；‎ ‎∵图形G1的距离跨度为2，‎ ‎∴2OP=2，‎ ‎∴OP=1，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴x2+y2=1，‎ 即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．‎ b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），‎ ‎∴OQ=，‎ ‎∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，‎ ‎∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=OQ+2﹣（OQ﹣2）=4；‎ ‎∵图形G1的距离跨度为2，‎ ‎∴此种情况不存在，‎ 所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．‎ 故答案为：圆；‎ ‎（2）设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），‎ ‎∴OP=，‎ 由（1）②‎ 知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，‎ ‎∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，‎ ‎∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，‎ ‎∴点P在图形G2⊙C内部，‎ ‎∴R=2OP=2 ，‎ ‎∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，‎ ‎∴2 =2，‎ ‎∴（k2+1）m2+2（k2﹣1）m+k2=0①，‎ ‎∵存在点P，‎ ‎∴方程①有实数根，‎ ‎∴△=4（k2﹣1）2﹣4×（k2+1）k2=﹣12k2+4≥0，‎ ‎∴﹣≤k≤．‎ ‎（3）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．‎ 由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，‎ ‎∴CD=2，CH=4，CE=1，‎ ‎∵射线OP的解析式为y=，‎ ‎∴∠COE=30°，OE=2CE=2，‎ 当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，‎ 观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：﹣1≤xE≤2．‎ 故答案为：﹣1≤xE≤2．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：‎ ‎“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．‎ 例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．‎ ‎（1）已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．‎ ‎①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；‎ ‎②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．‎ ‎（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．‎ ‎①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；‎ ‎②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意：a=4．‎ ‎①当t＞2时，h=t﹣1，‎ 则4（t﹣1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；‎ 当t＜1时，h=2﹣t，‎ 则4（2﹣t）=12，可得t=﹣1，故点P 的坐标为（0，﹣1）；‎ ‎②∵根据题意得：h的最小值为：1，‎ ‎∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；‎ ‎（2）①∵E，F，M三点的“矩面积”为8，‎ ‎∴a=4，h=2，‎ ‎∴．‎ ‎∴0≤m≤．‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴0＜m≤；‎ ‎②∵当n≤4时，a=4，h=，此时S=ah=，‎ ‎∴当n=4时，取最小值，S=16；‎ 当4＜n＜8时，a=n，h=，此时S=ah=16；‎ 当n≥8时，a=n，h=2，此时S=ah=2n，‎ ‎∴当n=8时，取最小值，S=16；‎ ‎∴E，F，N三点的“矩面积”的最小值为16，此时n的取值范围为4≤n≤8．‎ ‎　‎ ‎11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=，那么称点Q为点P的“关联点”．‎ ‎（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标　（3，2）　；‎ ‎（2）如果点P在函数y=x﹣2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；‎ ‎（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵3＜5，根据关联点的定义，‎ ‎∴y′=5﹣3=2，‎ 点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2），‎ 故答案为：（3，2）；‎ ‎（2）∵点P在函数y=x﹣2的图象上，‎ ‎∴点P的坐标为（x，x﹣2）．‎ ‎∵x＞x﹣2，根据关联点的定义，点Q的坐标为（x，2）．‎ 又∵点P与点Q重合，‎ ‎∴x﹣2=2，解得x=4，‎ ‎∴点P的坐标是（4，2）；‎ ‎（3）点M（m，n）的“关联点”N，由关联点的定义，得 第一种情况：当m≥n时，点N的坐标为（m，m﹣n），‎ ‎∵N在函数y=2x2的图象上，‎ ‎∴m﹣n=2m2，n=﹣2m2+m，即yM=﹣2m2+m，yN=2m2，‎ ‎∴MN=|yM﹣yN|=|﹣4m2+m|，‎ ‎①当0≤m≤，﹣4m2+m＞0，‎ MN=﹣4m2+m=﹣4（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，线段MN的最大值是；‎ ‎②当＜m≤2时，﹣4m2+m＜0，‎ MN=4m2﹣m=4（m﹣）2﹣，当m=2时，线段MN的最大值是14；‎ 第二种情况：当m＜n时，点N的坐标为（m，n﹣m），‎ ‎∵N在函数y=2x2的图象上，‎ ‎∴n﹣m=2m2，即n=2m2+m，‎ ‎∴yM=2m2+m，yN=2m2，‎ ‎∴MN=|yM﹣yN|=|m|，‎ ‎∵0≤m≤2，‎ ‎∴MN=m，‎ ‎∴当m=2时，线段MN的最大值是2；‎ 综上所述：当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2．‎ ‎　‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0），如果m=2n，则称双曲线y=（m＞0）和双曲线y=（n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m＞0）是双曲线y=（n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y=（n＞0）是双曲线y=（m＞0）的“半双曲线”，‎ ‎（1）请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是　y=　；双曲线y=的“半双曲线”是　y=　；‎ ‎（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；‎ ‎（3）如图2，已知点M是双曲线y=（k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义 ‎∴双曲线y=，的“倍双曲线”是y=；‎ 双曲线y= 的“半双曲线”是y=．‎ 故答案为y=，y=；‎ ‎（2）如图1，‎ ‎∵双曲线y=的“半双曲线”是y=，‎ ‎∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，‎ ‎∴△AOB的面积为1． ‎ ‎（3）解法一：如图2，‎ 依题意可知双曲线的“半双曲线”为，‎ 设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），‎ ‎∴CM=，CN=．‎ ‎∴MN=﹣=．‎ 同理PM=m﹣=．‎ ‎∴S△PMN=MN•PM=‎ ‎∵1≤S△PMN≤2，‎ ‎∴1≤≤2．‎ ‎∴4≤k≤8，‎ 解法二：如图3，‎ 依题意可知双曲线的“半双曲线”为，‎ 设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），‎ ‎∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．‎ 连接OM，‎ ‎∵，‎ ‎∴△PMN∽△OCM． ‎ ‎∴．‎ ‎∵S△OCM=k，‎ ‎∴S△PMN=．‎ ‎∵1≤S△PMN≤2，‎ ‎∴1≤≤2．‎ ‎∴4≤k≤8．‎ ‎　‎ ‎13．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：‎ 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．‎ ‎（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．‎ ‎①当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为　35　；‎ ‎②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；‎ ‎（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，‎ ‎∴最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，‎ ‎∴最优覆盖矩形的面积为：7×5=35；‎ ‎②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，‎ ‎∴由定义可知，t=﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），‎ 设AC表达式为y=kx+b，‎ ‎∴或 ‎∴或 ‎∴y=5x+13或；‎ ‎（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：‎ ‎∵点D（1，1），‎ ‎∴OD所在的直线表达式为y=x，‎ ‎∴点E的坐标为（2，2），‎ ‎∴OE==，‎ ‎∴⊙P的半径最小r=，‎ ‎②当DE∥x轴时，即：点E的纵坐标为1，如图2所示：‎ ‎∵点D（1，1）．E（m，n）是函数y=（x＞0）的图象上一点 ‎∴1=，解得x=4，‎ ‎∴OE═=，‎ ‎∴⊙P的半径最大r=，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：‎ 点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k≠0）满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“隔离直线”．‎ 如图1，直线l：y=﹣x﹣4是函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”．‎ ‎（1）在直线y1=﹣2x，y2=3x+1，y3=﹣x+3中，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为　y1=﹣2x　；‎ 请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式：　y=﹣3x　；‎ ‎（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），⊙O的半径为2．是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）根据的“隔离直线”的定义可知y1=﹣2x，是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，‎ 直线y=﹣3x也是图1函数y=（x＜0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”，‎ 故答案为y1=﹣2x，y=﹣3x．‎ ‎（2）连接OD，过点D作DG⊥x轴于点G，如图．‎ 在Rt△DGO中，OD==2，‎ sin∠1==，‎ ‎∴∠1=30°，∠2=60°，‎ ‎∵⊙O的半径为2，‎ ‎∴点D在⊙O上．‎ 过点D作DH⊥OD交y轴于点H，‎ ‎∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．‎ 在Rt△ODH中，OH==4，‎ ‎∴点H的坐标是（0，4），‎ ‎∴直线DH的表达式为y=﹣x+4，‎ 即所求“隔离直线”的表达式为y=﹣x+4．‎ ‎（3）如图，‎ 由题意F（4，5），当直线y=2x+b经过点F时，5=8+b，‎ ‎∴b=﹣3，‎ ‎∴直线y=2x﹣3，即图中直线EF，‎ ‎∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t），‎ 易知正方形正方形A1B1C1D1的边长为2，‎ 当x=2时，y=1，‎ ‎∴C1（2，1），直线EF是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，此时t=2，‎ 当直线y=2x+b与y=x2﹣2x﹣3只有一个交点时，‎ 消去y得到x2﹣4x﹣3+b=0，‎ 由△=0，可得16﹣4（﹣3﹣b）=0，‎ 解得b=﹣7，‎ 此时易知M（1，﹣8），t=﹣8，‎ 根据图象可知，当t≥2或t≤﹣8时，直线y=2x+b是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤‎ ‎4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．‎ ‎　‎ ‎15．设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．‎ 在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．‎ ‎（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是　E、F　；‎ ‎（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．‎ ‎①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；‎ ‎②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）‎ ‎（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意R=2，r=1，点O是△ABC的中心，‎ ‎∵OD=2，OE=2，OF=，‎ ‎∴点E、F是△ABC的中心关联点 故答案为E，F； ‎ ‎（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（，0）．‎ 可求得直线AM的解析式为y=﹣x+2，‎ 经验证E在直线AM上．‎ 因为OE=OA=2，∠MAO=60°，‎ 所以△OAE为等边三角形，‎ 所以AE边上的高长为．‎ 当点P在AE上时，≤OP≤2．‎ 所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．‎ 所以0≤m≤； ‎ ‎ ‎ ‎②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．‎ 当OH=2时，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，‎ ‎∴cos30°=，‎ ‎∴OG=，‎ ‎∴满足条件的b的值为﹣≤b≤2； ‎ ‎（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．‎ 由题意当OQ=时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，‎ ‎=，‎ 解得m=，‎ ‎∴t=．‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．‎ ‎（1）如图1，点A（﹣1，0）．‎ ‎①若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为　（3.0）　；‎ ‎②若点C（﹣5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为　﹣2　；‎ ‎③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为　y=﹣x+2　；‎ ‎（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙‎ O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=x（x≥0）上，b的取值范围是　﹣≤b≤1　；‎ ‎（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）．①如图1中，点A（﹣1，0）关于y轴的对称点A1（1，0），A1关于直线x=2的对称点B（3，0）．‎ ‎②如图2中，由题意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C关于直线x=a对称，‎ ‎∴a=﹣2．‎ ‎③如图3中，∵A1（1，0），D（2，1），‎ ‎∴直线A1D的解析式为y=x﹣1，线段A1D的中垂线的解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∴直线l3的解析式为y=﹣x+2．‎ 故答案分别为（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．‎ ‎（2）如图4中，‎ 由题意b=MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，‎ ‎∵直线OM′的解析式为y=x，‎ ‎∴∠MM′O=∠M′OD=30°，‎ ‎∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，‎ ‎∴b的最大值为1，‎ 如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣，‎ 综上所述，满足条件的b取值范围为﹣≤b≤1．‎ 故答案为﹣≤b≤1．‎ ‎（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．‎ 连接E1E′交直线y=x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y=﹣x﹣t，‎ 由解得，‎ ‎∴K（，），‎ ‎∵KE1=KE′，‎ ‎∴E′（，），‎ 当⊙E′与y轴相切时，||=2，解得t=﹣4或+4，‎ 综上所述，满足条件的t的取值范围为﹣4≤t≤+4．‎ ‎　‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．‎ 已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），‎ ‎（1）若b=3，则R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是　R，S　；‎ ‎（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；‎ ‎（3）⊙B的半径为，点C的坐标为（2，4）．若⊙B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知：R、S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．‎ 故答案为R，S．‎ ‎（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．‎ ‎∵点A，B的“相关菱形”为正方形，‎ ‎∴△ABH为等腰直角三角形．‎ ‎∵A（1，4），‎ ‎∴BH=AH=4．‎ ‎∴b=﹣3或5．‎ ‎（3）如图3中，观察图象可知，满足条件的b的范围为：﹣5≤b≤0或3≤b≤8．‎ ‎　‎ ‎18．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”．‎ 请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：‎ 在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，3），B（﹣4，﹣3），C（4，﹣3），D（4，3）．‎ ‎（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”．‎ ‎（2）设直线y=（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离”；‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内．将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是　7　；“近距离”的最小值是　1　．‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示：‎ ‎∵由点A、B、C、D的坐标可知；四边形ABCD为矩形．‎ ‎∴AB与DC之间的近距离为BC或AD的长，近距离=8，AB与DC之间的近距离远距离等于BD或AC的长，远距离==10．‎ ‎（2）①当EF在矩形ABCD的内部时．‎ ‎∵线段EF与矩形ABCD的“近距离”=1，‎ ‎∴线段GF=1．‎ ‎∴OF=OG﹣FG=3﹣1=2．‎ ‎∴F（0，2）．‎ ‎∴线段EF与矩形ABCD的“远距离”=FC==．‎ ‎②当EF在矩形的外部时．如图3所示：过点A作AH⊥EF，垂足为H，延长DA交EF于点N．‎ ‎∵线段EF与矩形ABCD的近距离=1，‎ ‎∴AH=1．‎ ‎∴AN=．‎ ‎∴点N的坐标为（﹣5，3）．‎ 将点N的坐标代入y=+b得；+b=3，解得b=10．‎ ‎∴点F的坐标为（0，10）．‎ ‎∴线段EF的与矩形ABCD的“远距离”=CF==．‎ 综上所述EF与矩形的远距离为或．‎ ‎（3）如图4所示：当OG⊥AD时，矩形GHMN与矩形ABCD的近距离有最小值，最小值=OE﹣OG=3﹣2=1．‎ 如图5所示：当点A、G、O在一条直线上时，矩形GHMN与矩形ABCD的远距离有最大值，最大值=OC+OG=5+2=7．‎ 故答案为：1；7．‎ ‎　‎ ‎19．对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD．‎ ‎（1）当⊙P的半径为4时，‎ ‎①在P1（0，﹣3），P2（2，3），P3（﹣2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是　P1（0，﹣3），P2（2，3）　；‎ ‎②如果点P在直线上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；‎ ‎（2）已知点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，如果⊙P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD，‎ ‎∴点B的坐标为（﹣，2），点C的坐标为（﹣，0），点D的坐标为（，0），‎ ‎∴矩形ABCD的中心E的坐标为（0，1），‎ 当⊙P的半径为4时，‎ ‎①若P1（0，﹣3），则PE=1+3=4，‎ 若P2（2，3），则PE==4，‎ 若P3（﹣2，1）则PE==2，‎ ‎∴可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是：P1（0，﹣3），P2（2，3）；‎ 故答案为：P1（0，﹣3），P2（2，3）．‎ ‎②∵设P的坐标为（x，﹣x+1），‎ ‎∵E为（0，1），‎ ‎∴x2+（﹣x+1﹣1）2=42，‎ 解得：x=±2，‎ 当x=2时，y=﹣×2+1=﹣1；‎ 当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）+1=3；‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，3）；‎ ‎（2）∵点P在y上，且⊙P是矩形ABCD的“等距圆”，且⊙‎ P与直线AD没有公共点，‎ ‎∴|m﹣1|＜，且|m﹣1|≠0，‎ 解得：1﹣＜m＜1+且m≠1．‎ ‎∴点P的纵坐标m的取值范围为：1﹣＜m＜1+且m≠1．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度lx=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度ly=|4﹣0|=4．‎ ‎（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则lx　4　，ly　3　．‎ ‎（2）已知点C（4，0），点D在直线y=﹣2x+6上，若图形W为△OCD．当lx=ly时，求点D的坐标．‎ ‎（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足lx=ly≤1时，请直接写出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（3，3），‎ ‎∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．‎ ‎∴△OAB在y轴上的投影长度ly=3．‎ ‎∵B（4，1），‎ ‎∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．‎ ‎∴△OAB在x轴上的投影长度lx=4．‎ 故答案为：4；3．‎ ‎（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．‎ 设D（x，2x+6），则PD=2x+6．‎ ‎∵PD⊥x轴，‎ ‎∴P（x，0）．‎ ‎∴PC=4﹣x．‎ ‎∵lx=ly，‎ ‎∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．‎ ‎∴D（﹣，）．‎ 如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．‎ 设D（x，2x+6），则PD=﹣2x﹣6．‎ ‎∵PD⊥x轴，‎ ‎∴P（x，0）．‎ ‎∴PC=4﹣x．‎ ‎∵lx=ly，‎ ‎∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．‎ ‎∴D（﹣10，﹣14）．‎ 综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣10，﹣14）．‎ ‎（3）如图3所示：‎ 设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．‎ ‎∵lx=ly，‎ ‎∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0．‎ ‎∵b≠a，‎ ‎∴b+a=1．‎ 又∵0≤a＜b，‎ ‎∴a+a＜1，‎ ‎∴0≤a＜．‎ ‎　‎ ‎21．对于关于x的一次函数y=kx+b（k≠0），我们称函数y[m]=为它的m分函数（其中m为常数）．‎ 例如，y=3x+2的4分函数为：当x≤4时，y[4]=3x+2；当x＞4时，y[4]=﹣3x﹣2．‎ ‎（1）如果y=﹣x+1的2分函数为y[2]，‎ ‎①当x=4时，y[2]=　3　；②当y[2]=3时，x=　4或﹣2　．‎ ‎（2）如果y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1]，求双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标；‎ ‎（3）从下面两问中任选一问作答：‎ ‎①设y=﹣x+2的m分函数为y[m]，如果抛物线y=x2与y[m]的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围．‎ ‎②如果点A（0，t）到y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象的距离小于1，直接写出t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）y=﹣x+1的2分函数为：当x≤2时，y[2]=﹣x+1；当x＞2时，y[2]=x﹣1．‎ 当x=4时，y[2]=4﹣1=3，‎ 当y[2]=3时，‎ 如果x≤2，则有，﹣x+1=3，‎ ‎∴x=﹣2，‎ 如果x＞2，则有，x﹣1=3，‎ ‎∴x=4，‎ 故答案为3，4或﹣2；‎ ‎（2）当y=x+1的﹣1分函数为y[﹣1]，‎ ‎∴当x≤﹣1时，y[﹣1]=x+1①，‎ 当x＞﹣1时，y[﹣1]=﹣x﹣1②，‎ ‎∵双曲线y=③，‎ 联立①③解得，（舍），‎ ‎∴它们的交点坐标为（﹣2，﹣1），‎ 联立②③时，方程无解，‎ ‎∴双曲线y=与y[﹣1]的图象的交点坐标（﹣2，﹣1）；‎ ‎（3）①∵y=﹣x+2的m分函数为y[m]，‎ ‎∴x≤m时，y[m]=﹣x+2①，‎ 当x＞m时，y[m]=x﹣2②，‎ ‎∵抛物线y=x2③与y[m]的图象有且只有一个公共点，‎ 联立①③，则有x2=﹣x+2，‎ ‎∴x=﹣2，或x=1，‎ ‎∵只有一个公共点，‎ ‎∴﹣2≤m＜1‎ 联立②③，则有x2=x﹣2，‎ ‎∴此方程无解，‎ ‎②∵y=﹣x+2的0分函数y[0]，‎ ‎∴Ⅰ、当x≤0时，y[0]=﹣x+2，‎ ‎∴d=＜1，‎ ‎∴2﹣＜t＜2+，‎ ‎∵x≤0，‎ ‎∴2＜t＜2+，‎ 当x＞0时，y[0]=x﹣2，‎ ‎∴d=＜1，‎ ‎∴﹣2﹣＜t＜﹣2+，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴﹣2＜t＜﹣2+，‎ ‎∴点A（0，t）到y=﹣x+2的0分函数y[0]的图象的距离小于1，t的取值范围2＜t＜2+，﹣2＜t＜﹣2+．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，﹣1）．点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点．‎ ‎（1）请判断P1（﹣4，0），P2（3，0）是否为理想点；‎ ‎（2）若直线x=﹣3上存在理想点，求理想点的纵坐标；‎ ‎（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1中，O′是MN的中点，‎ ‎∵AB∥MN，‎ ‎∴△P1AB∽△P1MN，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴MN=2，‎ ‎∴O′M=O′N=2，‎ ‎∵CO′=2，‎ ‎∴点C在⊙O′上，‎ ‎∴点P1是理想点．‎ ‎②由图2可知，点P2不是理想点．‎ ‎（2）存在，‎ 如图3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假设P是理想点，MN与x轴的交点为H．‎ ‎∵AB∥MN，‎ ‎∴△PAB∽△PMN，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴MN=，‎ ‎∴O′M=，‎ 在RT△CHO′中，O′H==，‎ ‎∴MH=﹣=，‎ ‎∴点M坐标（4，），‎ ‎∴直线AM的解析式为y=x+1，‎ ‎∴x=﹣3时，y=，‎ ‎∴点P坐标（﹣4，），‎ 根据对称性点P′（﹣4，﹣）也是理想点．‎ 线x=﹣3上存在理想点，理想点的纵坐标为±．‎ ‎（3）如图4中，假设点P在x轴的正半轴上，是理想点．‎ ‎∵AB∥MN，AB=2，MN=4，‎ ‎∴△PAB∽△PNM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PO=，‎ ‎∴点P坐标（，0），‎ ‎∵点P1（﹣4，0）也是理想点，由图象可知，‎ 若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，则m的取值范围是﹣4≤m＜0或0＜m≤‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当a≥b时，Q点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，Q点坐标为（a，﹣b）．‎ ‎（1）求（﹣2，3），（6，﹣1）的变换点坐标；‎ ‎（2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）．若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；‎ ‎（3）若抛物线y=﹣x2+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）（﹣2，3）的变换点坐标是（﹣2，﹣3），‎ ‎（6，﹣1）的变换点坐标是（﹣1，﹣6）；‎ ‎（2）直线AB的解析式为y=﹣x+2，‎ x=y时，x=，‎ 所以，点C的坐标为（，），‎ 点C′的变换点的坐标为（，﹣），‎ A的变换点的坐标为（0，﹣4），‎ B的变换点的坐标为（0，﹣2），‎ 画图思路：①由点A、B的坐标求出直线l的解析式，‎ ‎②求出直线l上横坐标与纵坐标相等的点C坐标，求出它的变换点C′的坐标，‎ ‎③在直线l上点C两侧的点A、B确定出他们的变换点A′、B′，‎ ‎④作射线C′A′、C′B′，‎ 射线C′A′和C′B′组成的图形即为所求；‎ ‎（3）抛物线经过点C′时，﹣=﹣×（）2+c，‎ 解得c=0，‎ 抛物线与射线C′B′相切时，设直线C′B′解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得，‎ 所以，直线C′B′的解析式为y=x﹣2，‎ 与抛物线联立消掉y得，﹣x2+c=x﹣2，‎ 整理得，3x2+2x﹣4c﹣8=0，‎ ‎△=22﹣4×3（﹣4c﹣8）=0，‎ 解得c=﹣，‎ 综上所述，c的取值范围为c=﹣或c=0．‎ ‎　‎ ‎24．对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示．例如，当M（1，2），N（2，2）时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为2．‎ ‎（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），‎ ‎①点O与线段AB的“密距”为　　，“疏距”为　4　；‎ ‎②线段AB与△COD的“密距”为　　，“疏距”为　2　；‎ ‎（2）直线y=2x+b与x轴，y轴分别交于点E，F，以C（0，﹣1）为圆心，1为半径作圆，当⊙C与线段EF的“密距”0＜d＜1时，求⊙C与线段EF的“疏距”f的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1所示：过点O作OE⊥AB，垂足为E，DF⊥AB，垂足为F．‎ ‎∵A（﹣2，0），B（0，4），‎ ‎∴OA=2，OB=4．‎ ‎∴点O与线段AB的疏距=OB=4．‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==2．‎ ‎∵S△AOB=OA•OB=AB•OE，‎ ‎∴OE===．‎ ‎∵FD⊥AB，OE⊥AB，‎ ‎∴DF∥OE．‎ ‎∴△BFD∽△BEO．‎ ‎∴，即DF=OE==．‎ ‎∴△ODC与线段AB的密距为=．‎ 在△OBC中，BC==2．‎ ‎∴△ODC与AB的数据为2．‎ 故答案为：①；4；②；2．‎ ‎（2）①当点F在y轴的正半轴时，如图2．‎ 当E在O时，密距时0，此时疏距是2．‎ CE'=2，OC=1，‎ 则OE'==．‎ 在直角△OE'F'中，OF'=2OE'=2，‎ 则此时，疏距是2+2．‎ 所以2＜f＜2+2．‎ ‎②当点F在y轴的负半轴时，如图3所示．‎ ‎∵EF的解析式为y=2x+b，‎ ‎∴tan∠OEF=2，‎ ‎∴OE：EF=1：．‎ 当d=0时，MC=1，直线EF与圆C相切，则∠CMF=∠EOF=90°，‎ 又∵∠OFE=∠CFM，‎ ‎∴△CMF∽△EOF．‎ ‎∴，即 当d=1时，‎ 如图3，QH=1，则PH=2，‎ ‎∵Rt△PHF∽Rt△OEF，‎ ‎∴PF=2，‎ ‎∴OF=2+1，‎ ‎∴+1＜f＜2+1．‎ 当点F在y轴的负半轴时，‎ 当d=0时，如图2，f=+1；‎ 当d=1时，‎ 如图3，QH=1，则PH=2，‎ ‎∵Rt△PHF∽Rt△OEF，‎ ‎∴PF=2，‎ ‎∴OF=2+1，‎ ‎∴+1＜f＜2+1．‎ 综上所述，当0＜d＜1时，f的取值范围，+1＜f＜2+1．‎ ‎　‎ ‎25．在平面直角坐标系xoy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，那么称点P′为点P关于⊙C的反演点，图1为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．‎ ‎（1）如图2，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；‎ ‎（2）如图3：已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G的与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点，如果点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小．‎ ‎【解答】解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，‎ ‎∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），‎ ‎∵OM•OM′=1，OM=1，‎ ‎∴OM′=1‎ 反演点M′坐标（1，0）‎ ‎∵OT•OT′=1，OT=，‎ ‎∴OT′=，‎ ‎∵T′在第一象限的角平分线上，‎ ‎∴反演点T′坐标（1，1）‎ ‎（2）由题意：AB=2，r=，‎ ‎∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，‎ ‎∴E′G=，‎ ‎∵OG•O′G=5，OG=2，‎ ‎∴O′G=，‎ ‎∵E′（﹣，2），O′（，），‎ ‎∴O′E′=，‎ ‎∴E′G2=E′O′2+O′G2，‎ ‎∴∠E′O′G=90°．‎ ‎　‎ ‎26．设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）．在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）．‎ 例如：函数f（x）=x2﹣2x﹣3，当x=4时，f（4）=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：‎ 如果函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）．f（b）＜0，那么函数y=f（x）在a≤x≤b的范围内有零点，即存在c（a≤c≤b），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范围内的根．‎ 例如：二次函数f（x）=x2﹣2x﹣3的图象如图1所示．‎ 观察可知：f（﹣2）＞0，f（1）＜0，则f（﹣2）．f（1）＜0．所以函数f（x）=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范围内有零点．由于f（﹣1）=0，所以，﹣1是f（x）=x2﹣2x﹣3的零点，﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根．‎ ‎（1）观察函数y1=f（x）的图象2，回答下列问题：‎ ‎①f（a）•f（b）　＜　0（“＜”“＞”或“=”） ‎ ‎②在a≤x≤b范围内y1=f（x）的零点的个数是　1　． ‎ ‎（2）已知函数y2=f（x）=﹣的零点为x1，x2，且x1＜1＜x2．‎ ‎①求零点为x1，x2（用a表示）；‎ ‎②在平面直角坐标xOy中，在x轴上A，B两点表示的数是零点x1，x2，点 P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，若a是整数，求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①由图象1，得f（a）•f（b）＜0，‎ ‎②在a≤x≤b范围内y1=f（x）的零点的个数是 1． ‎ 故答案为：＜，1； ‎ ‎（2）①∵x1、x2是零点 ‎∴当y=0时，即﹣=0．‎ 方程可化简为 x2+2（a﹣1）x+（a2﹣2a）=0．‎ 解方程，得x=﹣a或x=﹣a+2．‎ ‎∵x1＜1＜x2，﹣a＜﹣a+2，‎ ‎∴x1=﹣a，x2=﹣a+2．‎ ‎②∵x1＜1＜x2，‎ ‎∴﹣a＜1＜﹣a+2．‎ ‎∴﹣1＜a＜1．‎ ‎∵a是整数，‎ ‎∴a=0，所求抛物线的表达式为y=﹣x2+2．‎ 此时顶点C的坐标为C（1，）如图2，‎ ‎，‎ 作CD⊥AB于D，连接CQ，‎ 则AD=1，CD=，tan∠BAC=，‎ ‎∴∠BAC=60°‎ 由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形；‎ 由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，‎ 点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN的平行四边形，‎ C、Q、P三点共线，且PQ=PC；‎ ‎∵点P线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，‎ DC≤PC＜AC，DC=，AC=2，‎ 即≤PQ＜，‎ ‎∴≤PQ＜1；‎ 线段PQ的长的取值范围为：≤PQ＜1．‎ ‎　‎ ‎27．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，﹣5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．‎ ‎（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；‎ ‎（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）‎ ‎①直接写出△ABM的面积，其面积是　2　；‎ ‎②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；‎ ‎③以②中的点M为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值．‎ ‎【解答】解：（1）最小值函数的图象见图中实线，‎ ‎∵x=1时，y=3，‎ ‎∴点A（1，3）在这个最小值函数的图象上．‎ ‎（2）①如图2中，作ON⊥AB于N．‎ ‎∵AB∥OM，‎ ‎∴S△ABM=S△ABO，‎ ‎∵A（1，3），B（3，5），ON=，AB=2‎ ‎∴S△ABM=××=2．‎ 故答案为2．‎ ‎②∵直线AB的解析式为y=x+2，‎ ‎∴线段AB的中垂线的解析式为y=﹣x+6，‎ 由解得，‎ ‎∴点M坐标为（3，3）．‎ ‎③如图3中，取BM的中点D，连接PD、PM．‎ ‎∵PM2=2=1×2=MD•BM，‎ ‎∵∠PMD=∠BMP，‎ ‎∴△PMD∽△BMP，‎ ‎∴==，‎ ‎∴PD=PB，‎ ‎∴PA+PB=PA+PD≥AD，‎ ‎∵AD==，‎ ‎∴PA+PB≥，‎ ‎∴PA+PB的最小值为．‎ ‎　‎ ‎28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形．例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形．‎ ‎（1）如图1，点A（﹣1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）．‎ ‎①如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是　16　；‎ ‎②如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值　﹣1（答案不唯一）　；‎ ‎（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x2﹣2x﹣3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围；‎ ‎（3）如图4，已知点E（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1所示：‎ ‎∵t=3，‎ ‎∴C（0，3）．‎ ‎∵A（﹣1，0）、B（2，4）、C（0，3），‎ ‎∴点A，B，C的最佳外延正方形为正方形ADEF．‎ ‎∴点A，B，C的最佳外延正方形的面积=AD2=42=16．‎ 故答案为：16．‎ ‎②如图2所示：‎ ‎∵正方形的面积为25，‎ ‎∴正方形的边长为5．‎ ‎∵点B（2，4），正方形的边长为5，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣1）．‎ 故答案为：﹣1（答案不唯一）．‎ ‎（2）如图3所示：‎ 如图3所示：当点M、N、P均在正方形的边上时，点M，N，P的最佳外延正方形的面积的有最小值．‎ ‎∵此时正方形的边长为4，‎ ‎∴点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值为16．‎ ‎∴点M，N，P的最佳外延正方形的面积的取值范围为S≥16．‎ 令y=0得x2﹣2x﹣3=4，解得：x=1+2或x=1﹣2．‎ ‎∴当3＜x≤1+2时，点M，N，P的最佳外延正方形的面积有最小值．‎ x=﹣1时，PM=PN=4，点M，N，P的最佳外延正方形的面积也有最小值．‎ 综上所述点P的横坐标x的取值范围是3＜x≤1+2或x=﹣1．‎ ‎（3）∵点E在反比例函数的图象上，‎ ‎∴mn=6．‎ ‎①当m=n时，m=，n=，此时点O，D，E的最佳外延正方形的边长为，‎ ‎②当m＞n时，则m＞，即m2＞6，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m＞．‎ ‎∴点O，D，E的最佳外延正方形的边长大于．‎ ‎③当m＜n时，＜n，即n2＞6，‎ ‎∵n＞0，‎ ‎∴n＞．‎ ‎∴点O，D，E的最佳外延正方形的边长大于．‎ 综上所述，a的取值范围是a≥．‎ ‎　‎ ‎29．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．‎ ‎（1）分别判断函数y=x﹣1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；‎ ‎（2）函数y=2x2﹣bx．‎ ‎①若其不变长度为零，求b的值；‎ ‎②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；‎ ‎（3）记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3，则m的取值范围为．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数y=x﹣1，令y=x，则x﹣1=x，无解；‎ ‎∴函数y=x﹣1没有不变值；‎ ‎∵函数y=，令y=x，则x=，解得：x=±1，‎ ‎∴函数y=的不变值为±1，q=1﹣（﹣1）=2，‎ ‎∵函数y=x2，令y=x，则x=x2，解得：x1=0，x2=1，‎ ‎∴函数y=x2的不变值为：0或1，q=1﹣0=1；‎ ‎（2）①函数y=2x2﹣bx，令y=x，则x=2x2﹣bx，‎ 整理得：x（2x﹣b﹣1）=0，‎ ‎∵q=0，‎ ‎∴x=0且2x﹣b﹣1=0，‎ 解得：b=﹣1；‎ ‎②由①知：x（2x﹣b﹣1）=0，‎ ‎∴x=0或2x﹣b﹣1=0，‎ 解得：x1=0，x2=，‎ ‎∵1≤b≤3，‎ ‎∴1≤x2≤2，‎ ‎∴1﹣0≤q≤2﹣0，‎ ‎∴1≤q≤2；‎ ‎（3）∵记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2．‎ ‎∴函数G的图象关于x=m对称，‎ ‎∴G：y=，‎ ‎∵当x2﹣2x=x时，x3=0，x4=3；‎ 当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）=x时，△=1+8m，‎ 当△＜0，即m＜﹣时，q=x4﹣x3=3；‎ 当△≥0，即m≥﹣时，x5=，x6=，‎ ‎①当﹣≤m≤0时，x3=0，x4=3，‎ ‎∴x6＜0，‎ ‎∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；‎ ‎②∵当x5=x4时，m=1，当x6=x3时，m=3；‎ 当0＜m＜1时，x3=0（舍去），x4=3，‎ 此时0＜x5＜x4，x6＜0，q=x4﹣x6＞3（舍去）；‎ 当1≤m≤3时，x3=0（舍去），x4=3，‎ 此时0＜x5＜x4，x6＞0，q=x4﹣x6＜3；‎ 当m＞3时，x3=0（舍去），x4=3（舍去），‎ 此时x5＞3，x6＜0，q=x5﹣x6＞3（舍去）；‎ 综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．‎ ‎　‎ ‎30．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．‎ ‎（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；‎ ‎（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（1）是“相邻函数”，‎ 理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，‎ ‎∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，‎ ‎∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，‎ ‎∴﹣1≤y1﹣y2≤1，‎ 即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；‎ ‎（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，‎ ‎∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），‎ ‎∴顶点坐标为：（1，a﹣1），‎ 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，‎ ‎∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，‎ ‎∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，‎ ‎∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，‎ ‎∴0≤a≤1；‎ ‎（3）y1﹣y2=﹣（﹣2x+4）=+2x﹣4，构造函数y=+2x﹣4，‎ ‎∵y=+2x﹣4‎ ‎∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，‎ 当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤，‎ ‎∵函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，‎ ‎∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，‎ ‎∴1≤a≤2；‎ ‎∴a的最大值是2，a的最小值1．‎ ‎　‎ ‎31．P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”． ‎ ‎（1）⊙O的半径为5，OP=3．‎ ‎①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为　16　；‎ ‎②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围．‎ ‎（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围　不填　；‎ ‎（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为4，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于⊙O的“幂值”为13，请写出b的取值范围　﹣2≤b≤2　．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．‎ ‎∵OA=OB，P为AB的中点，‎ ‎∴OP⊥AB．‎ ‎∵在△PBO中，由勾股定理得：PB==4，‎ ‎∴PA=PB=4．‎ ‎∴⊙O的“幂值”=4×4=16．‎ 故答案为：16．‎ ‎②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．‎ 证明：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．‎ ‎∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，‎ ‎∴△APA′∽△B′PB．‎ ‎∴．‎ ‎∴PA•PB=PA′•PB′=16．‎ ‎∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．‎ ‎（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．‎ ‎∵AO=OB，PO⊥AB，‎ ‎∴AP=PB．‎ ‎∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2．‎ 在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2．‎ ‎∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2．‎ ‎（3）如图4所示：过点O作OP⊥AB．‎ ‎∵OP⊥AB，‎ ‎∴直线OP的解析式为y=﹣x．‎ 将y=x+b与y=﹣x联立得：，‎ 解得：x=﹣b，y=．‎ ‎∴点P的坐标为（﹣，）．‎ ‎∵点P关于⊙O的“幂值”为13，‎ ‎∴r2﹣d2=13．‎ ‎∴d2=3，即（﹣）2+（）2=3．‎ 整理得：b2=4．‎ ‎∴b的取值范围是﹣2≤b≤2．‎ 故答案为：﹣2≤b≤2．‎ ‎　‎ ‎32．在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形W1和W2，若在图形W1和W2上分别存在点M （x1，y1 ）和N （x2，y2 ），使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，并称点P为图形W1和W2‎ 的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足x=，y=‎ ‎（1）已知点A（0，1），B（4，1），C（3，﹣1），D（3，﹣2），连接AB，CD．‎ ‎①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为　（，0）　；‎ ‎②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2，﹣），求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；‎ ‎（2）如图1，已知点R（﹣2，0）和抛物线W1：y=x2﹣2x，对于抛物线W1上的每一个点M，在抛物线W2上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W2；‎ ‎（3）正方形EFGH的顶点分别是E（﹣4，1），F（﹣4，﹣1），G（﹣2，﹣1），H（﹣2，1），⊙T的圆心为T（3，0），半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．‎ ‎【解答】解：（1）①∵点A和C被点P“关联”，‎ 又∵=，=0，‎ ‎∴点P坐标（，0），‎ 故答案为（，0）．‎ ‎②设在线段AB和线段CD上分别存在K（x，1）和L（3，y）被点Q（2，﹣）“关联”，则点Q是KL中点，‎ ‎∴2=，﹣=，‎ ‎∴x=1，y=﹣2，‎ ‎∴这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标分别是（1，1）和（3，﹣2）．‎ ‎（2）所求作的抛物线如图1所示，‎ ‎（3）正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形如图2所示（影阴部分包括边界），‎ S阴=2×2﹣4[×﹣•π•（）2]=3+．‎ ‎　‎ ‎33．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙‎ C的限距点P′的示意图．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时．‎ ‎①分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；‎ ‎②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；‎ ‎（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答．‎ ‎ 问题1‎ 问题2 ‎ ‎ 若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为 ‎　　．‎ ‎ 若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为 ‎　0＜r＜　．‎ ‎【解答】解：（1）①点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙0的限距点存在，坐标为（1，0）．‎ ‎②∵点D坐标为（2，0），⊙O半径为1，DE、DF分别切⊙O于E、F，‎ ‎∴切点坐标为（，），（，﹣），如图所示，不妨设点E（，），点F（，﹣），‎ EO、FO的延长线分别交⊙O于点E′、F′，则E′（﹣，﹣），F′（﹣，）．‎ 设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x，‎ ‎①当点P在线段EF上时，直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足﹣1≤x≤﹣．‎ ‎②当点P在线段DE、DF（不包括端点）上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P关于⊙O的限距点不存在．‎ ‎③当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′（1，0），满足PP′=1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x=1．‎ 综上所述点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为﹣1≤x≤﹣或x=1．‎ ‎（2）问题1：如图2中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，‎ ‎∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，‎ ‎∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，‎ ‎∵PC∥ED，‎ ‎∴==，‎ ‎∴PC=，‎ 由题意：r≤﹣r≤2r，‎ ‎∴，‎ ‎∴r的最小值为．‎ 问题2：如图2中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，‎ ‎∵HC=，‎ ‎∴﹣r＞2r，‎ ‎∴r＜，‎ ‎∴0＜r＜时点P的限距点不存在．‎ 故答案分别为，0＜r＜．‎ ‎　‎ ‎34．阅读下面材料：‎ 小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．‎ 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△‎ A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．‎ ‎（1）请你回答：AP的最大值是　6　．‎ ‎（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：‎ 如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．‎ 提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．‎ ‎①请画出旋转后的图形 ‎②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，‎ ‎∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C ‎∴△A′BA是等边三角形，‎ ‎∴A′A=AB=BA′=2，‎ 在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，‎ 则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，‎ 即AP=6，‎ 即AP的最大值是：6；‎ 故答案是：6．‎ ‎（2）①旋转后的图形如图1；‎ ‎②如图2，‎ ‎∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．‎ 以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B=AB=BC=4，PA=P1A1，PB=P1B，‎ ‎∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC．‎ ‎∵当A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，‎ ‎∴A1C=PA+PB+PC，‎ ‎∴A1C长度即为所求．‎ 过A1作A1D⊥CB延长线于D．‎ ‎∵∠A1BA=60°（由旋转可知），‎ ‎∴∠A1BD=30°．‎ ‎∵A1B=4，‎ ‎∴A1D=2，BD=2‎ ‎∴CD=4+2；‎ 在Rt△A1DC中，A1C===2+2．‎ ‎　‎ ‎35．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．‎ ‎（1）当⊙O的半径为1时，‎ ‎①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有　D或E　；‎ ‎②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙‎ O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；‎ ‎③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；‎ ‎（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由定义可知，‎ 当点P在⊙C内时，‎ 由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，‎ 此时，0≤PC＜1；‎ 当点P在⊙C外时，‎ 设点A是PB的中点，‎ 连接PC交⊙C于点M，‎ 延长PC交⊙C于点N，‎ 连接AM，BN，‎ ‎∵∠AMP+∠NMA=180°，‎ ‎∠B+∠NMA=180°，‎ ‎∴∠AMP=∠B，‎ ‎∵∠P=∠P，‎ ‎∴△AMP∽△NBP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PA•PB=PM•PN，‎ ‎∵点A是PB的中点，‎ ‎∴AB=PA，‎ 又∵⊙C的半径为1，‎ ‎∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN），‎ ‎∴2AB2=PC2﹣1，‎ 又∵AB是⊙C的弦，‎ ‎∴AB≤2，‎ ‎∴2AB2≤8，‎ ‎∴PC2﹣1≤8，‎ ‎∴PC2≤9，‎ ‎∴PC≤3，‎ ‎∵点P在⊙C外，‎ ‎∴PC＞1，‎ ‎∴1＜PC≤3，‎ 当点P在⊙C上时，‎ 此时PC=1，但不符合题意，‎ 综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C的相邻点；‎ ‎①∵D（，），‎ ‎∴DO==，‎ ‎∵E（0，﹣），‎ ‎∴OE=，‎ ‎∵F（4，0），‎ ‎∴OF=4，‎ ‎∴D和E是⊙O的相邻点；‎ ‎②连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点；‎ ‎③令x=0代入y=﹣x+3，‎ ‎∴y=3，‎ 令y=0代入y=﹣x+3，‎ ‎∴x=3，‎ ‎∴y=﹣x+3与坐标轴的交点为（0，3）和（3，0）‎ ‎∵由于点P在直线y=﹣x+3上，且点P是⊙O的相邻点，‎ ‎∴0≤PO≤3，且PO≠1‎ 又∵点P在⊙O外，‎ ‎∴1＜PO≤3，‎ ‎∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；‎ ‎（2）令x=0代入y=﹣x+2，‎ ‎∴y=2，‎ ‎∴N（0，2），‎ 令y=0代入y=﹣x+2，‎ ‎∴x=6，‎ ‎∴M（6，0），‎ ‎∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，‎ ‎∴0≤PC≤3且PC≠1，‎ ‎∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，‎ ‎∵点C在x轴上，‎ ‎∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．‎ ‎　‎