中考常错易错题—— 圆及概率

中考常错易错题—— 圆及概率

中考常错易错题 第四讲 圆及概率 明确目标﹒定位考点 中考定位　圆这个模块，除了切线、圆心角圆周角等必须掌握的知识点，扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积，也都是必考的，对于扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积的公式一定要记牢。还有，掌握有三条常用辅助线，第一是圆心距，第二是直径、圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。在解题的过程中还要学会运用分类讨论、转化等思想方法。‎ 易错点聚焦﹒题型突破 易错点一 与圆有关的概念及性质 ‎【例1】下列说法正确的是（ ）‎ A 相等的圆心角所对的弧相等 ‎ B 在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C 相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 ‎ D 圆心到弦的距离相等，则弦相等 易错分析 本题考查了对圆周角定理的理解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。在解题中容易忽视“在同圆和等圆中”。‎ 温馨提醒 (1)圆心角，弦，弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立.(2)利用同圆或等圆中圆心角，弦弧之间的关系可以证明角，弦，弧相等.（3）圆心角的度数与所对弧的度数相等.‎ ‎【变式训练1】如果两个圆心角相等，那么下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A．这两个圆心角所对的弦相等; B．这两个圆心角所对的弧相等 ‎ C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D．以上说法都不对 ‎【例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.‎ 易错分析 计算平行弦两弦距离时需分类讨论，千万别漏解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意。‎ 温馨提醒 在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题.‎ ‎【变式训练2】 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。‎ 易错点二 与圆有关的位置 ‎【例3】如图，已知直线分别与x、y轴交于点A和B.‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）求原点O到直线的距离；‎ ‎（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线相切时，求点M的坐标.‎ 易错分析 本题是一次函数综合题；考查了直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.考生容易忽略点M在直线AB的上、下方两种情况需分类讨论.‎ 温馨提醒 ‎ ‎（1）求点到直线的距离可以在直角三角形中利用勾股定理求得 ‎（2）切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ ‎【变式训练3】⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，公共弦AB长16cm，两圆的半径分别是10cm，17cm，求两圆的圆心距O1O2的长．‎ 易错点三 与圆有关的计算 ‎【例4】如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　） （参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）‎ A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36‎ 易错分析 本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，在解题过程中容易忽视将阴影部分面积转化为S△ECF-S弓形EF。‎ 温馨提醒（1）根据对应直角边和对应斜边都相等，证出三角形全等 ‎（2）根据等腰直角三角形的性质，求三角形面积 ‎（3）求阴影部分面积，要运用“转化”的思想方法 ‎【变式训练4】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）‎ A．4π B．2π C．π D．π ‎ ‎【例5】若圆锥的母线长为5cm，底面直径为6cm，则它的侧面展开图的面积为　   　cm2（结果保留π）‎ 易错分析 根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算。在解题过程中容易把直径当半径用。‎ ‎ 温馨提醒 （1）根据扇形面积公式计算出扇形面积 （2） 注意审题，审清楚题目给的条件是半径还是直径。‎ ‎【变式训练5】底面直径为2，高为 的圆锥的侧面积等于 ．‎ 易错点四 概率 ‎【例6】在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4，小明先随机地摸出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜． ①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率． ②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．‎ 易错分析 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．在解题中容易忽略审清楚题目属于放回还是不放回实验．‎ ‎【温馨提醒】 （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小强获胜的情况，继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意此题属于放回实验．‎ ‎【变式训练6】‎ 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． （1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？ （2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率． （3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．‎ 归纳总结﹒思维升华 1、 在较复杂的“背景”下分析出隐含的基本图形，或通过添加适当的辅助线，构造或分解基本图形．学会将较复杂问题转化为易解决问题.‎ 2、 对于常见的辅助线的添法，在解题中可以多加引导．‎ ‎3、注意圆中一些隐含条件的作用，如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”．‎ ‎4、由特殊到一般、转化、方程、分类讨论等思想方法以及运动变化观点的渗透，在圆的综合问题中更能提高学生解决问题能力，在复习时应及时归纳并注重方法的指导．‎ 专题训练﹒对接中考 一、选择题 ‎1、（2015•广东汕尾）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心. 若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）‎ A. 20° B. 25° C. 40 D. 50°‎ ‎2、（2015•广东佛山）下列给出5个命题：‎ ①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；‎ ②六边形的内角和等于720°； ‎ ③相等的圆心角所对的弧相等； ‎ ④顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；‎ ⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等. ‎ 其中正确命题的个数是（　　）‎ ‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎3、（2012•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ 二、填空题 ‎4、（2013•宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 72π cm2．‎ ‎（第4题图） （第6题图）‎ ‎5、（2012•盐城）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=___________．‎ ‎6、（2015•湖北黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图, 若 ‎∠AOB=120°, 弧AB的长为12πcm, 则该圆锥的侧面积为_______cm2．‎ ‎7、（2012•黔西南州）已知圆锥的底面半径为10cm，它的展开图的扇形的半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是__________．‎ 三、解答题 ‎8. （2011•莱芜）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．‎ ‎（1）求⊙O的半径；‎ ‎（2）求证：EM是⊙O的切线；‎ ‎（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．‎ ‎9、（2014•枣阳）“宜居襄阳”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图：‎ 请根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）统计图共统计了 天的空气质量情况；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 ；‎ ‎（3）从小源所在环保兴趣小组4名同学（2名男同学，2名女同学）中，随机选取两名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到一名男同学和一名女同学的概率是 .‎ 参考答案 ‎【例1】 解析：本题考查了对圆周角定理的理解：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。在解题中容易忽视“在同圆和等圆中”。A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确。答案：B． ‎ ‎【变式训练1】解析：正确运用“等对等定理”即可。答案：D。‎ ‎【例2】解：(1)如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.又∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm =8+6=14(cm) ‎ ‎(2)如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间同理可证：‎ MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.‎ ‎【变式训练2】解析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。‎ ‎ 解：分两种情况讨论：‎ （1） 当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：‎ ‎ 过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，连OC、OB，则CE＝DE ‎ ∵AB∥CD，OE⊥CD∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高 ‎ 在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：‎ ‎ 过O作OE⊥CD于E，交AB于F以下证法同（1），略。 ‎ ‎【例3】解：（1）∵当x=0时，y=3 ，∴B点坐标（0，3） .‎ ‎∵当y=0时，有0=-+3，解得x=4. ∴A点坐标为（4，0）.‎ （2） 如答图1，过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离.‎ 在Rt△BOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，‎ ‎∵S△BOA=·OB·OA=AB·OC，∴OC=.‎ ‎∴原点O到直线l的距离为.‎ ‎（3）如答图2，3，过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，在△BOA和△BDM中，∵∠OBA=∠DBM，∠BOA=∠BDM，∴△BOA∽△BDM.‎ ‎∴，即，解得MB=.‎ ‎∴OM=OB-BM=或OM=OB+BM=.‎ ‎∴点M的坐标为M（0，）或 M（0，）.‎ ‎【变式训练3】解：分两种情况：‎ ‎（1）当圆心O1、O2在公共弦两旁时，如图1所示，连结O1A、O2A．‎ ‎∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，‎ ‎∴O1O2⊥AB且AH＝BH＝8（cm）．‎ ‎∴O1H＝＝＝6（cm）．‎ O2H＝＝＝15（cm）．‎ ‎∴O1O2＝O1H＋O2H＝6＋15＝21（cm）．‎ ‎（2）当圆心O1、O2在公共弦同旁时，如图2所示，连结O1A、O2A．‎ 同理可得O1H＝6（cm），O2H＝15（cm）．‎ ‎∴O1O2＝O2H－O1H＝15－6＝9（cm），‎ ‎∴两圆的圆心距O1O2的长为21cm或9cm．‎ ‎【例4】解：∵AE=AF，AB=AD， ∴△ABE≌△ADF（Hl）， ‎ ‎∴BE=DF， ∴EC=CF， 又∵∠C=90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EC=EFcos45°=2×=， ∴S△ECF=××=1， 又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=， 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-， ∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64． 故选A．‎ ‎【变式训练4】解：连接OD． ∵CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=（垂径定理）， 故S△OCE=S△CDE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB=30°， ∴∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为． 故选D．‎ ‎【例5】解析：计算出圆锥底面圆的周长2π×‎ ‎3，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可： 圆锥的侧面展开图的面积=×2π×3×5=15π（cm2）。‎ ‎【变式训练5】解：∵高线长为，底面的半径是1， ∴由勾股定理知：母线长==2， ∴圆锥侧面积=底面周长×母线长=×2π×2=2π． 故答案为：2π．‎ ‎【例6】解：①画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况， ∴小明获胜的概率为：； （2）画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况， ∴P（小明获胜）=，‎ P（小强获胜）=， ∵P（小明获胜）≠P（小强获胜）， ∴他们制定的游戏规则不公平．‎ ‎【变式训练6】解析：‎ ‎（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案； （2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案； （3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．‎ 解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况， ∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：； （3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况， ∴P（甲胜）=，‎ P（乙胜）=， ∴P（甲胜）=P（乙胜）， ∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．‎ ‎【专题训练•对接中考】‎ 一、 选择题 ‎1、解析：如答图，连接AO，‎ ‎∵AO=BO,∠B=20°，∴∠AOC=40°.‎ ‎∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AO,，即∠OAC=90°.‎ ‎∴∠C=50°.‎ 故选D.‎ ‎2、解析：根据相关知识对各选项进行分析，判作出断：‎ ‎ ①对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，命题不正确.‎ ‎ ②根据多边形内角和公式，得六边形的内角和等于(6-2)×180°=720，命题正确.‎ ‎ ③同圆或等圆满中，相等的圆心角所对的弧才相等，命题不正确. ‎ ‎ ④根据三角形中位线定理、菱形的性质和矩形的判定可知：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，命题正确.‎ ‎ ⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，命题不正确.‎ ‎ 其中正确命题的个数是2个.故选A.‎ 3、 解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=30°， ∵OP⊥AC， ∴∠AOP=90°， 在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°， ∴OA=2OP=4， 则圆O的半径4．‎ 故选A 一、 填空题 ‎4、解析：首先根据SA=12cm，∠ASO=30°求得圆锥的底面半径OA，然后利用圆锥的侧面积的计算公式进行计算即可．‎ 解：∵SA=12cm，∠ASO=30°， ∴AO=SA=6cm ∴圆锥的底面周长=2πr=2×6π=12π， ∴侧面面积=×12π×12=72πcm2． 故答案为72π．‎ 点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎5、解析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．‎ 解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根， 解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3． ①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2； ②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0． ∴t为2或0． 故答案为：2或0．‎ 6、 解析：‎ ‎ 考点：圆锥的计算 分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可。‎ 解答：解：设AO=BO=R ‎∵∠AOB=120°,弧AB的长为12πcm ‎∴π ‎ 解得：R=18‎ ‎∴圆锥的侧面积为lR=·12π·18=108π ‎7、解析：先计算出圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧长为20π，半径为30，然后利用弧长公式得到方程，解方程即可．‎ 解答：解：∵底面半径为10cm， ∴圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π， ∴20π=， ∴α=120°． 故答案为120°．‎ 一、 解答题 ‎8、解析：连接OE．∵DE垂直平分半径OA，∴OC=OA=OE，CE=DE=，‎ ‎∴∠OEC=30°‎ ‎∴OE= ‎（2）由（1）知：∠AOE=60°，AE =AD，∴∠B=∠AOE=30°，∴∠BDE=60°‎ ‎∵BD∥ME，∴∠MED=∠BDE=60°，∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，‎ ‎∴OE⊥EM，∴EM是⊙O的切线；‎ ‎（3）连接OF．∵∠DPA=45°，∵∠DCB=90°，∴∠CDP=45°，∴∠EOF=2∠EDF=90°，‎ ‎∴．‎ ‎9、解：(1) 100。（2）条形统计图中，空气质量为“良”的天数为100×20%=20（天），所以要补画一个高为20的长方形；条形统计图略。 72° 。‎ ‎（3）共有6种等可能情况，其中符合一男一女的有4种，故所求概率为P。‎ 树形图略。‎