中考二次函数专题复习

中考二次函数专题复习

中考二次函数专题复习 知识点归纳：‎ 一、二次函数概念：‎ ‎1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．‎ ‎2. 二次函数的结构特征：‎ ‎⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．‎ ‎⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．‎ 二、二次函数的基本形式 ‎1. 二次函数基本形式：的性质：‎ a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。‎ 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．‎ 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．‎ ‎2. 的性质：‎ 上加下减。‎ 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．‎ 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．‎ ‎3. 的性质：‎ 左加右减。‎ 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．‎ 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．‎ ‎4. 的性质：‎ 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．‎ 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．‎ 三、二次函数图象的平移 ‎ 1. 平移步骤：‎ 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；‎ ‎⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：‎ ‎ 2. 平移规律 ‎ 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．‎ 概括成八个字“左加右减，上加下减”．‎ ‎ 方法二：‎ ‎⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 ‎（或）‎ ‎⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）‎ 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．‎ 五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.‎ 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.‎ 六、二次函数的性质 ‎ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．‎ 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．‎ ‎ 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．‎ 七、二次函数解析式的表示方法 ‎1. 一般式：（，，为常数，）；‎ ‎2. 顶点式：（，，为常数，）；‎ ‎3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.‎ 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.‎ 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 ‎ 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然．‎ ‎ ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；‎ ‎ ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．‎ 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．‎ ‎2. 一次项系数 ‎ 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．‎ ‎ ⑴ 在的前提下，‎ 当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；‎ 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；‎ 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．‎ ‎⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；‎ 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；‎ 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．‎ 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．‎ 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”‎ 总结：‎ ‎ 3. 常数项 ‎ ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；‎ ‎ ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；‎ ‎ ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．‎ ‎ 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．‎ ‎ 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．‎ 二次函数解析式的确定：‎ 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：‎ ‎1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；‎ ‎2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；‎ ‎3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；‎ ‎4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．‎ 九、二次函数图象的对称 ‎ 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 ‎ 1. 关于轴对称 ‎ 关于轴对称后，得到的解析式是； ‎ 关于轴对称后，得到的解析式是；‎ ‎ 2. 关于轴对称 ‎ 关于轴对称后，得到的解析式是； ‎ 关于轴对称后，得到的解析式是；‎ ‎ 3. 关于原点对称 ‎ 关于原点对称后，得到的解析式是；‎ ‎ 关于原点对称后，得到的解析式是；‎ ‎ 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）‎ ‎ 关于顶点对称后，得到的解析式是；‎ 关于顶点对称后，得到的解析式是．‎ ‎ 5. 关于点对称 ‎ 关于点对称后，得到的解析式是 ‎ 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．‎ 十、二次函数与一元二次方程：‎ ‎1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：‎ 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.‎ 图象与轴的交点个数：‎ ‎① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. ‎ ‎② 当时，图象与轴只有一个交点； ‎ ‎③ 当时，图象与轴没有交点.‎ ‎ 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；‎ ‎ 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ‎ ‎2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； ‎ ‎3. 二次函数常用解题方法总结：‎ ‎⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；‎ ‎⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；‎ ‎⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；‎ ‎⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.‎ 抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.‎ ‎⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 师生共同学习过程：‎ 知识梳理：‎ 练习：‎ ‎1.抛物线的对称轴是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.要得到二次函数的图象，需将的图象（ ）．‎ A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 最新考题 ‎1.(2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）‎ A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）‎ ‎2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A． B． ‎ C． D．‎ 知识点2：二次函数的图形与性质 例1：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.‎ 第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 . 　第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②‎2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______. 例2：抛物线y=－x2+（m－1）x+m与y轴交于（0，3）点，（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方?（4）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？‎ 思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x2+（m－1）x+m即可求得m的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）. 　解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3， 　　∴ 抛物线为y=－x2+2x+3. 　　图象（图2）： 　 　　（2）令y=0，则－x2+2x+3=0，得x1=－1，x2=3； 　　∴ 抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）. 　　∵ y=－x2+2x+3=－（x－1）2+4， 　　∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）； 　　（3）由图象可知：当－11时，y的值随x值的增大而减小.‎ 练习：‎ ‎1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.函数y =ax＋1与y =ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）‎ A B C 　　　D 最新考题 ‎1.（2009深圳）二次函数的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）‎ ‎ A． B． C． D．不能确定 ‎2.（2009北京）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=，DE=，下列中图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是（ ）‎ ‎3.（2009年台州）已知二次函数的与的部分对应值如下表：‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎…‎ 则下列判断中正确的是（　　）‎ A．抛物线开口向上　　　　　　 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当＝4时，＞0 D．方程的正根在3与4之间 知识点3：二次函数的应用 例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 ‎（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是 ‎，那么小球运动中的最大高度 ．‎ 随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米． ‎ 思路点拨：观察函数图像得：图像关于对称，‎ 当因为x=2到对称轴的距离 与x=6到对称轴的距离相等。‎ 所以，当 练习：‎ ‎1.出售某种文具盒，若每个获利元，一天可售出个，则当 元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．‎ ‎2.如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽‎20cm，水位上升‎3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为‎10cm. 　　（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时‎0‎‎.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥桥顶？ 　 　最新考题 ‎1.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）‎ ‎ A． 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 ‎ ‎2.(2009年河北)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为‎5 m，则开始刹车时的速度为（ ）‎ A．‎40 m/s B．‎20 m/s C．‎10 m/s D．‎5 m/s 中考压轴题分析：‎ 例：.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．‎ ‎（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：‎ ‎（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．‎ ‎ ‎ 解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．‎ ‎∵ A、B是直线分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0），B．‎ 又∠COD＝∠CBO．　∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C是的中点．　∴ EC⊥OA．‎ ‎∴ ．‎ 连结OE．∴ ．　∴ ．∴ C点的坐标为（）． ‎ ‎（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为．‎ ‎∵ C（）．　∴．∴ ．‎ ‎∴ 为所求．‎ ‎（3）∵ ，　∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．‎ 由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ．‎ ‎∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．‎ ‎∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．‎ ‎∴ △ADP是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．‎ ‎∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即　PA⊥AB．‎ 即直线PA是⊙E的切线．‎ 课后检测：‎ 一、选择题 ‎1．抛物线y=－2(x－1)2－3与y轴的交点纵坐标为（　　）‎ ‎（A）－3 （B）－4 （C）－5　　（Ｄ）－1‎ ‎2．将抛物线y=3x2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是（　　）‎ (A) y=3(x+2)2+4 (B) y=3(x－2)2+4 (C) y=3(x－2)2－4 (D)y=3(x+2)2－4‎ ‎3．抛物线y =x2，y =－3x2，y =x2的图象开口最大的是（　　）‎ ‎(A) y =x2 (B)y =－3x2 (C)y =x2 (D)无法确定 ‎4．二次函数y =x2－8x+c的最小值是0，那么c的值等于（　　）‎ ‎(A)4 　　 (B)8 　　(C)－4 　　(D)16‎ ‎5．抛物线y=－2x2+4x+3的顶点坐标是（　　）‎ ‎(A)(－1，－5) 　　 (B)(1，－5) 　　(C)(－1，－4) 　　(D) (－2，－7)‎ ‎6．过点(1，0)，B(3，0)，C(－1，2)三点的抛物线的顶点坐标是（　　）‎ ‎(A)(1，2) 　　（B）(1，)　　 (C) (－1，5) 　　 (D)(2，)‎ ‎7． 若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（　　）‎ ‎（A）a+c    （B）a－c    （C）－c    （D）c ‎8． 在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当物体经过的路程是‎88米时，该物体所经过的时间为（　　）‎ ‎(A)2秒　　　(B)　4秒　　(C)6秒　　(D)　8秒 ‎9．如图2，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH， 设小正方形EFGH的面积为，AE为，则关于的函数图象大致是（　　） ‎ 图2‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎10．抛物线y=ax2+bx+c的图角如图3，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；‎ ‎④b<1．其中正确的结论是（　　）‎ ‎（A）①②   （B）②③   （C）②④   （D）③④‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎1．已知函数y=ax2+bx+c，当x=3时，函数的最大值为4，当x=0时，y=－14，则函数关系式____．‎ ‎2．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 ．‎ ‎3．函数的图象与轴的交点坐标是________．‎ ‎4．抛物线y= ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 ．‎ ‎5．二次函数y=2x2－x－3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________．‎ ‎6．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______．‎ ‎7．用配方法把二次函数y=2x2+2x－5化成y=a(x－h)2+k的形式为___________．‎ ‎8．抛物线y=(m－4)x2－2mx－m－6的顶点在x轴上，则m=______．‎ ‎9．若函数y=a(x－h)2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=－2x2－2x+3相同，则此函数关系式______．‎ ‎10．如图1，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该抛物线的关系式__________．‎ ‎ 三、解答题 ‎21． 已知一次函的图象过点（0，5） ⑴ 求m的值，并写出二次函数的关系式； ⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．‎ ‎22．已知抛物线 经过（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．‎ ‎⑴求这条抛物线的表达式；‎ ‎⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．‎ ‎23．有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为‎3米，跨度OA为‎6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如右图所示）．‎ ‎⑴请你直接写出O、A、M三点的坐标；‎ ‎⑵一艘小船平放着一些长‎3米，宽‎2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？ ‎ ‎24． 甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：‎ 速度x（千米/小时）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎…‎ 刹车距离y（米）‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎…‎ ‎（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在右图所示的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）．‎ ‎（2）在一个限速为‎40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向速度x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式．‎ 而行，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为‎12米和‎10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数，请你就两车的速度方面分析相撞的原因．‎ ‎25． 某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．‎ ‎（1）求y的解析式；‎ ‎（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？‎