内蒙古赤峰市中考数学试卷解析

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内蒙古赤峰市中考数学试卷解析

‎2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑.每小题3分,共计36分)‎ ‎1.|(﹣3)﹣5|等于(  )‎ A.﹣8 B.﹣2 C.2 D.8‎ ‎2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称,赤峰市全域总面积为90021平方公里.90021用科学记数法表示为(  )‎ A.9.0021×105 B.9.0021×104 C.90.021×103 D.900.21×102‎ ‎4.下列运算正确的是(  )‎ A.3x+2y=5(x+y) B.x+x3=x4 C.x2•x3=x6 D.(x2)3=x6‎ ‎5.直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C在直线a上,若∠1=35°,则∠2等于(  )‎ A.65° B.50° C.55° D.60°‎ ‎6.能使式子+成立的x的取值范围是(  )‎ A.x≥1 B.x≥2 C.1≤x≤2 D.x≤2‎ ‎7.小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖,点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.下面几何体的主视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.点A(1,y1)、B(3,y2)是反比例函数y=图象上的两点,则y1、y2的大小关系是(  )‎ A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能确定 ‎10.如图,将边长为4的菱形ABCD纸片折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=2,则∠A=(  )‎ A.120° B.100° C.60° D.30°‎ ‎11.将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度,所得直线的解析式为(  )‎ A.y=2x﹣5 B.y=2x+5 C.y=2x+8 D.y=2x﹣8‎ ‎12.正整数x、y满足(2x﹣5)(2y﹣5)=25,则x+y等于(  )‎ A.18或10 B.18 C.10 D.26‎ ‎ ‎ 二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上,每小题3分,共12分)‎ ‎13.分解因式:xy2+8xy+16x=   .‎ ‎14.如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是   .‎ ‎15.数据5,6,5,4,10的众数、中位数、平均数的和是   .‎ ‎16.在平面直角坐标系中,点P(x,y)经过某种变换后得到点P'(﹣y+1,x+2),我们把点P'(﹣y+1,x+2)叫做点P(x,y)的终结点.已知点P1的终结点为P2,点P2的终结点为P3,点P3的终结点为P4,这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…,若点P1的坐标为(2,0),则点P2017的坐标为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,共10题,满分102分)‎ ‎17.(﹣)÷,其中a=2017°+(﹣)﹣1+tan30°.‎ ‎18.已知平行四边形ABCD.‎ ‎(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.‎ ‎19.为了增强中学生的体质,某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果,学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果,进行了抽样调查,调查分为五种类型:A喜欢吃苹果的学生;B喜欢吃桔子的学生;C.喜欢吃梨的学生;D.喜欢吃香蕉的学生;E喜欢吃西瓜的学生,并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图(不完整).请根据图中提供的数据解答下列问题:‎ ‎(1)求此次抽查的学生人数;‎ ‎(2)将图2补充完整,并求图1中的x;‎ ‎(3)现有5名学生,其中A类型3名,B类型2名,从中任选2名学生参加体能测试,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法)‎ ‎20.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图1所示.已知AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内?请说明你的理由.(提示:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2)‎ ‎21.如图,一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC.‎ ‎(1)若点C在反比例函数y=的图象上,求该反比例函数的解析式;‎ ‎(2)点P(2,m)在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,当△PAD与△OAB相似时,P点是否在(1)中反比例函数图象上?如果在,求出P点坐标;如果不在,请加以说明.‎ ‎22.为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图,某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗,已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元,购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.‎ ‎(1)若两种树苗购买的棵数一样多,求梨树苗的单价;‎ ‎(2)若两种树苗共购买1100棵,且购买两种树苗的总费用不超过6000元,根据(1)中两种树苗的单价,求梨树苗至少购买多少棵.‎ ‎23.如图,点A是直线AM与⊙O的交点,点B在⊙O上,BD⊥AM垂足为D,BD与⊙O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.‎ ‎(1)求证:AM是⊙O的切线;‎ ‎(2)若DC=2,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).‎ ‎24.如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=,则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C,‎ 即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:‎ 如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:‎ ‎(1)如图3,在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8.求S△DEF 和DE2.‎ 解:S△DEF=EF×DFsin∠F=   ;‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=   .‎ ‎(2)如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°,△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:S1+S2=S3+S4.‎ ‎25.△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形,点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.‎ ‎(1)当∠AOB=90°时如图1,连接PE、QE,直接写出EP与EQ的大小关系;‎ ‎(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转,当∠AOB是锐角时如图2,(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请加以说明.‎ ‎(3)仍将△OQB绕点O旋转,当∠AOB为钝角时,延长PC、QD交于点G,使△ABG为等边三角形如图3,求∠AOB的度数.‎ ‎26.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).‎ ‎(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;‎ ‎(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;‎ ‎(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题给出的选项中只有一个符合题意,请将符合题意的选项序号,在答题卡的对应位置上按要求涂黑.每小题3分,共计36分)‎ ‎1.|(﹣3)﹣5|等于(  )‎ A.﹣8 B.﹣2 C.2 D.8‎ ‎【考点】1A:有理数的减法;15:绝对值.‎ ‎【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题.‎ ‎【解答】解:|(﹣3)﹣5|‎ ‎=|﹣3﹣5|‎ ‎=|﹣8|‎ ‎=8,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意;‎ B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不合题意;‎ C、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不合题意.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称,赤峰市全域总面积为90021平方公里.90021用科学记数法表示为(  )‎ A.9.0021×105 B.9.0021×104 C.90.021×103 D.900.21×102‎ ‎【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:90021用科学记数法表示为9.0021×104.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.下列运算正确的是(  )‎ A.3x+2y=5(x+y) B.x+x3=x4 C.x2•x3=x6 D.(x2)3=x6‎ ‎【考点】47:幂的乘方与积的乘方;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法.‎ ‎【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算,对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ ‎【解答】解:A、不是同类项不能合并,故A错误;‎ B、不是同类项不能合并,故B错误;‎ C、x2•x3=x5,故C错误;‎ D、(x2)3=x6,故D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点C在直线a上,若∠1=35°,则∠2等于(  )‎ A.65° B.50° C.55° D.60°‎ ‎【考点】JA:平行线的性质.‎ ‎【分析】先根据直角为90°,即可得到∠‎ ‎3的度数,再根据平行线的性质,即可得出∠2的度数.‎ ‎【解答】解:∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上,∠1=35°,‎ ‎∴∠3=90°﹣35°=55°,‎ 又∵a∥b,‎ ‎∴∠2=∠3=55°,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.能使式子+成立的x的取值范围是(  )‎ A.x≥1 B.x≥2 C.1≤x≤2 D.x≤2‎ ‎【考点】E4:函数自变量的取值范围.‎ ‎【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.‎ ‎【解答】解:根据题意得:,‎ 解得:1≤x≤2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖,点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】X5:几何概率.‎ ‎【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:如图所示:连接BE,‎ 可得,AE=BE,∠AEB=90°,‎ 且阴影部分面积=S△CEB=S△BEC=S正方形ABCD,‎ 故小明投掷飞镖一次,则飞镖落在阴影部分的概率为:.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.下面几何体的主视图为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】U2:简单组合体的三视图.‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,可得答案.‎ ‎【解答】解:从正面看,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.点A(1,y1)、B(3,y2)是反比例函数y=图象上的两点,则y1、y2的大小关系是(  )‎ A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能确定 ‎【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.‎ ‎【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=中的9>0,‎ ‎∴经过第一、三象限,且在每一象限内y随x的增大而减小,‎ 又∵A(1,y1)、B(3,y2)都位于第一象限,且1<3,‎ ‎∴y1>y2,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,将边长为4的菱形ABCD纸片折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=2,则∠A=(  )‎ A.120° B.100° C.60° D.30°‎ ‎【考点】PB:翻折变换(折叠问题);L8:菱形的性质.‎ ‎【分析】连接AC,根据菱形的性质得出AC⊥BD,根据折叠得出EF⊥AC,EF平分AO,得出EF∥BD,得出EF为△ABD的中位线,根据三角形中位线定理求出BD的长,进而可得到BO的长,由勾股定理可求出AO的长,则∠ABO可求出,继而∠BAO的度数也可求出,再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO.‎ ‎【解答】解:‎ 连接AC,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵A沿EF折叠与O重合,‎ ‎∴EF⊥AC,EF平分AO,‎ ‎∵AC⊥BD,‎ ‎∴EF∥BD,‎ ‎∴E、F分别为AB、AD的中点,‎ ‎∴EF为△ABD的中位线,‎ ‎∴EF=BD,‎ ‎∴BD=2EF=4,‎ ‎∴BO=2,‎ ‎∴AO==2,‎ ‎∴AO=AB,‎ ‎∴∠ABO=30°,‎ ‎∴∠BAO=60°,‎ ‎∴∠BAD=120°.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎11.将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度,所得直线的解析式为(  )‎ A.y=2x﹣5 B.y=2x+5 C.y=2x+8 D.y=2x﹣8‎ ‎【考点】F9:一次函数图象与几何变换.‎ ‎【分析】根据函数图象上加下减,可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意,得 y=2x﹣3+8,‎ 即y=2x+5,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.正整数x、y满足(2x﹣5)(2y﹣5)=25,则x+y等于(  )‎ A.18或10 B.18 C.10 D.26‎ ‎【考点】1C:有理数的乘法.‎ ‎【分析】易得(2x﹣5)、(2y﹣5)均为整数,分类讨论即可求得x、y的值即可解题.‎ ‎【解答】解:∵xy是正整数,‎ ‎∴(2x﹣5)、(2y﹣5)均为整数,‎ ‎∵25=1×25,或25=5×5,‎ ‎∴存在两种情况:①2x﹣5=1,2y﹣5=25,解得:x=3,y=15,;‎ ‎②2x﹣5=2y﹣5=5,解得:x=y=5;‎ ‎∴x+y=18或10,‎ 故选 A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(请把答案填写在答题卡相应的横线上,每小题3分,共12分)‎ ‎13.分解因式:xy2+8xy+16x= x(y+4)2 .‎ ‎【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有3项,可采用完全平方公式继续分解.‎ ‎【解答】解:xy2+8xy+16x ‎=x(y2+8y+16)‎ ‎=x(y+4)2.‎ 故答案为:x(y+4)2.‎ ‎ ‎ ‎14.如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 m<2 .‎ ‎【考点】AA:根的判别式.‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△=16﹣8m>0,解之即可得出m的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=(﹣4)2﹣4×2m=16﹣8m>0,‎ 解得:m<2.‎ 故答案为:m<2.‎ ‎ ‎ ‎15.数据5,6,5,4,10的众数、中位数、平均数的和是 16 .‎ ‎【考点】W5:众数;W1:算术平均数;W4:中位数.‎ ‎【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数,再相加即可.‎ ‎【解答】解:数据5出现了2次,次数最多,所以众数是5;‎ 数据按从小到大排列为4,5,5,6,10,中位数为5;‎ 平均数=(5+6+5+4+10)÷5=6;‎ ‎5+5+6=16.‎ 故答案为16.‎ ‎ ‎ ‎16.在平面直角坐标系中,点P(x,y)经过某种变换后得到点P'(﹣y+1,x+2),我们把点P'(﹣y+1,x+2)叫做点P(x,y)的终结点.已知点P1的终结点为P2,点P2的终结点为P3,点P3的终结点为P4,这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…,若点P1的坐标为(2,0),则点P2017的坐标为 (2,0) .‎ ‎【考点】D2:规律型:点的坐标.‎ ‎【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值,即可发现其中规律,即可解题.‎ ‎【解答】解:P1 坐标为(2,0),则P2坐标为(1,4),P3坐标为(﹣3,3),P4坐标为(﹣2,﹣1),P5坐标为(2,0),‎ ‎∴Pn的坐标为(2,0),(1,4),(﹣3,3),(﹣2,﹣1)循环,‎ ‎∵2017=2016+1=4×504+1,‎ ‎∴P2017 坐标与P1点重合,‎ 故答案为(2,0).‎ ‎ ‎ 三、解答题(在答题卡上解答,答在本试卷上无效,解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,共10题,满分102分)‎ ‎17.(﹣)÷,其中a=2017°+(﹣)﹣1+tan30°.‎ ‎【考点】6D:分式的化简求值;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】先化简分式,然后再化简a的值,从而可求出原式的值.‎ ‎【解答】解:原式=×﹣×‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ 由于a=2017°+(﹣)﹣1+tan30°,‎ ‎∴a=1﹣5+3=﹣1‎ ‎∴原式=﹣=﹣2‎ ‎ ‎ ‎18.已知平行四边形ABCD.‎ ‎(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.‎ ‎【考点】N2:作图—基本作图;L5:平行四边形的性质.‎ ‎【分析】(1)作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F即可;‎ ‎(2)先根据平行四边形的性质得出AB∥DC,AD∥BC,故∠1=∠2,∠3=∠4.再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3,故可得出∠2=∠4,据此可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)如图所示,AF即为所求;‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB∥DC,AD∥BC,‎ ‎∴∠1=∠2,∠3=∠4.‎ ‎∵AF平分∠BAD,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ ‎∴∠2=∠4,‎ ‎∴CE=CF.‎ ‎ ‎ ‎19.为了增强中学生的体质,某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果,学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果,进行了抽样调查,调查分为五种类型:A喜欢吃苹果的学生;B喜欢吃桔子的学生;C.喜欢吃梨的学生;D.喜欢吃香蕉的学生;E喜欢吃西瓜的学生,并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图(不完整).请根据图中提供的数据解答下列问题:‎ ‎(1)求此次抽查的学生人数;‎ ‎(2)将图2补充完整,并求图1中的x;‎ ‎(3)现有5名学生,其中A类型3名,B类型2名,从中任选2名学生参加体能测试,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法)‎ ‎【考点】X6:列表法与树状图法;VB:扇形统计图;VC:条形统计图.‎ ‎【分析】(1)根据百分比=计算即可;‎ ‎(2)求出B、C的人数画出条形图即可;‎ ‎(3)利用树状图,即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)此次抽查的学生人数为16÷40%=40人.‎ ‎(2)C占40×10%=4人,B占20%,有40×20%=8人,‎ 条形图如图所示,‎ ‎(3)由树状图可知:两名学生为同一类型的概率为=.‎ ‎ ‎ ‎20.王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图1所示.已知AC=20cm,BC=18cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为17cm,宽为8cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内?请说明你的理由.(提示:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2)‎ ‎【考点】T8:解直角三角形的应用.‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线,可以求得AD和CD的长,进而可以求得DB的长,然后根据勾股定理即可得到AB的长,然后与17比较大小,即可解答本题.‎ ‎【解答】解:王浩同学能将手机放入卡槽AB内.‎ 理由:作AD⊥BC于点D,‎ ‎∵∠C=50°,AC=20cm,‎ ‎∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm,‎ CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm,‎ ‎∵BC=18cm,‎ ‎∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm,‎ ‎∴AB==,‎ ‎∵17=<,‎ ‎∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为边在第一象限作等边△ABC.‎ ‎(1)若点C在反比例函数y=的图象上,求该反比例函数的解析式;‎ ‎(2)点P(2,m)在第一象限,过点P作x轴的垂线,垂足为D,当△PAD与△OAB相似时,P点是否在(1)中反比例函数图象上?如果在,求出P点坐标;如果不在,请加以说明.‎ ‎【考点】GB:反比例函数综合题.‎ ‎【分析】(1)由直线解析式可求得A、B坐标,在Rt△AOB中,利用三角函数定义可求得∠BAO=30°,且可求得AB的长,从而可求得CA⊥OA,则可求得C点坐标,利用待定系数法可求得反比例函数解析式;‎ ‎(2)分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况,分别利用相似三角形的性质可求得m的值,可求得P点坐标,代入反比例函数解析式进行验证即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)在y=﹣x+1中,令y=0可解得x=,令x=0可得y=1,‎ ‎∴A(,0),B(0,1),‎ ‎∴tan∠BAO===,‎ ‎∴∠BAO=30°,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠BAC=60°,‎ ‎∴∠CAO=90°,‎ 在Rt△BOA中,由勾股定理可得AB=2,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∴C(,2),‎ ‎∵点C在反比例函数y=的图象上,‎ ‎∴k=2×=2,‎ ‎∴反比例函数解析式为y=;‎ ‎(2)∵P(2,m)在第一象限,‎ ‎∴AD=OD﹣OA=2﹣=,PD=m,‎ 当△ADP∽△AOB时,则有=,即=,解得m=1,此时P点坐标为(2,1);‎ 当△PDA∽△AOB时,则有=,即=,解得m=3,此时P点坐标为(2,3);‎ 把P(2,3)代入y=可得3≠,‎ ‎∴P(2,3)不在反比例函数图象上,‎ 把P(2,1)代入反比例函数解析式得1=,‎ ‎∴P(2,1)在反比例函数图象上;‎ 综上可知P点坐标为(2,1).‎ ‎ ‎ ‎22.为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图,某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗,已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元,购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.‎ ‎(1)若两种树苗购买的棵数一样多,求梨树苗的单价;‎ ‎(2)若两种树苗共购买1100棵,且购买两种树苗的总费用不超过6000元,根据(1)中两种树苗的单价,求梨树苗至少购买多少棵.‎ ‎【考点】B7:分式方程的应用;C9:一元一次不等式的应用.‎ ‎【分析】(1)设梨树苗的单价为x元,则苹果树苗的单价为(x+2)元,根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可;‎ ‎(2)设购买梨树苗种树苗a棵,苹果树苗则购买棵,根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可.‎ ‎【解答】解:(1)设梨树苗的单价为x元,则苹果树苗的单价为(x+2)元,‎ 依题意得: =,‎ 解得x=5.‎ 经检验x=5是原方程的解,且符合题意.‎ 答:梨树苗的单价是5元;‎ ‎(2)设购买梨树苗种树苗a棵,苹果树苗则购买棵,‎ 依题意得:(5+2)+5a≤6000,‎ 解得a≥850.‎ 答:梨树苗至少购买850棵.‎ ‎ ‎ ‎23.如图,点A是直线AM与⊙O的交点,点B在⊙O上,BD⊥AM垂足为D,BD与⊙O交于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.‎ ‎(1)求证:AM是⊙O的切线;‎ ‎(2)若DC=2,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).‎ ‎【考点】ME:切线的判定与性质;MO:扇形面积的计算.‎ ‎【分析】(1)由已知条件得到△BOC是等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°,由角平分线的性质得到∠1=∠3,根据平行线的性质得到∠OAM=90°,于是得到结论;‎ ‎(2)根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°,根据三角形的内角和得到∠CAD=30°,根据勾股定理得到AD=2,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠B=60°,‎ ‎∴△BOC是等边三角形,‎ ‎∴∠1=∠2=60°,‎ ‎∵OC平分∠AOB,‎ ‎∴∠1=∠3,‎ ‎∴∠2=∠3,‎ ‎∴OA∥BD,‎ ‎∴∠BDM=90°,∴∠OAM=90°,‎ ‎∴AM是⊙O的切线;‎ ‎(2)∵∠3=60°,OA=OC,‎ ‎∴△AOC是等边三角形,‎ ‎∴∠OAC=60°,‎ ‎∵∠OAM=90°,‎ ‎∴∠CAD=30°,‎ ‎∵CD=2,‎ ‎∴AC=2CD=4,‎ ‎∴AD=2,‎ ‎∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=(4+2)×2﹣=6﹣.‎ ‎ ‎ ‎24.如图1,在△ABC中,设∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,过点A作AD⊥BC,垂足为D,会有sin∠C=,则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C,‎ 即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理:‎ 如图2,在△ABC中,若∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题:‎ ‎(1)如图3,在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8.求S△DEF和DE2.‎ 解:S△DEF=EF×DFsin∠F= 6 ;‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= 49 .‎ ‎(2)如图4,在△ABC中,已知AC>BC,∠C=60°,△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形,设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4,求证:S1+S2=S3+S4.‎ ‎【考点】KY:三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论;‎ ‎(2)方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式,再利用等边三角形的性质即可得出结论;‎ 方法2、先用正弦定理得出S1,S2,S3,S4,最后用余弦定理即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)在△DEF中,∠F=60°,∠D、∠E的对边分别是3和8,‎ ‎∴EF=3,DF=8,‎ ‎∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6,‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49,‎ 故答案为:6,49;‎ ‎(2)证明:方法1,∵∠ACB=60°,‎ ‎∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC,‎ 两边同时乘以sin60°得, AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°,‎ ‎∵△ABC',△BCA',△ACB'是等边三角形,‎ ‎∴S1=AC•BCsin60°,S2=AB2sin60°,S3=BC2sin60°,S4=AC2sin60°,‎ ‎∴S2=S4+S3﹣S1,‎ ‎∴S1+S2=S3+S4,‎ 方法2、令∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,‎ ‎∴S1=absin∠C=absin60°=ab ‎∵△ABC',△BCA',△ACB'是等边三角形,‎ ‎∴S2=c•c•sin60°=c2,S3=a•a•sin60°=a2,S4=b•b•sin60°=b2,‎ ‎∴S1+S2=(ab+c2),S3+S4=(a2+b2),‎ ‎∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°,‎ ‎∴a2+b2=c2+ab,‎ ‎∴S1+S2=S3+S4.‎ ‎ ‎ ‎25.△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形,点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点.‎ ‎(1)当∠AOB=90°时如图1,连接PE、QE,直接写出EP与EQ的大小关系;‎ ‎(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转,当∠AOB是锐角时如图2,(1)中的结论是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请加以说明.‎ ‎(3)仍将△OQB绕点O旋转,当∠AOB为钝角时,延长PC、QD交于点G,使△ABG为等边三角形如图3,求∠AOB的度数.‎ ‎【考点】RB:几何变换综合题.‎ ‎【分析】(1)先判断出点P,O,Q在同一条直线上,再判断出△APE≌△BFE,最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论;‎ ‎(2)先判断出CE=DQ,PC=DE,进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论;‎ ‎(3)先判断出CQ,GP分别是OB,OA的垂直平分线,进而得出∠GBO=∠GOB,∠‎ GOA=∠GAO,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)如图1,延长PE,QB交于点F,‎ ‎∵△APO和△BQO是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠APO=∠BQO=90°,∠AOP=∠BOQ=45°,‎ ‎∵∠AOB=90°,‎ ‎∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°,‎ ‎∴点P,O,Q在同一条直线上,‎ ‎∵∠APO=∠BQO=90°,‎ ‎∴AP∥BQ,‎ ‎∴∠PAE=∠FBE,‎ ‎∵点E是AB中点,‎ ‎∴AE=BE,‎ ‎∵∠AEP=∠BEF,‎ ‎∴△APE≌△BFE,‎ ‎∴PE=EF,‎ ‎∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点,‎ ‎∴EP=EQ;‎ ‎(2)成立,‎ 证明:∵点C,E分别是OA,AB的中点,‎ ‎∴CE∥OB,CE=OB,‎ ‎∴∠DOC=∠ECA,‎ ‎∵点D是Rt△OQB斜边中点,‎ ‎∴DQ=OB,‎ ‎∴CE=DQ,‎ 同理:PC=DE,∠DOC=∠BDE,‎ ‎∴∠ECA=∠BDE,‎ ‎∵∠PCE=∠EDQ,‎ ‎∴△EPC≌△QED,‎ ‎∴EP=EQ;‎ ‎(3)如图2,连接GO,∵点D,C分别是OB,OA的中点,△APO与△QBO都是等腰直角三角形,‎ ‎∴CQ,GP分别是OB,OA的垂直平分线,‎ ‎∴GB=GO=GA,‎ ‎∴∠GBO=∠GOB,∠GOA=∠GAO,‎ 设∠GOB=x,∠GOA=y,‎ ‎∴x+x+y+y+60°=360°‎ ‎∴x+y=150°,‎ ‎∴∠AOB=150°.‎ ‎ ‎ ‎26.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).‎ ‎(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;‎ ‎(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;‎ ‎(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.‎ ‎【考点】HF:二次函数综合题.‎ ‎【分析】(1)可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,则可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;‎ ‎(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;‎ ‎(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q和QH⊥BD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得△DHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4),‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,‎ ‎∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,‎ ‎∴0=a(3﹣1)2+4,解得a=﹣1,‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3,‎ ‎∵点D在y轴上,令x=0可得y=3,‎ ‎∴D点坐标为(0,3),‎ ‎∴可设直线BD解析式为y=kx+3,‎ 把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=﹣1,‎ ‎∴直线BD解析式为y=﹣x+3;‎ ‎(2)设P点横坐标为m(m>0),则P(m,﹣m+3),M(m,﹣m2+2m+3),‎ ‎∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,‎ ‎∴当m=时,PM有最大值;‎ ‎(3)如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,‎ 设Q(x,﹣x2+2x+3),则G(x,﹣x+3),‎ ‎∴QG=|﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)|=|﹣x2+3x|,‎ ‎∵△BOD是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠DBO=45°,‎ ‎∴∠HGQ=∠BGE=45°,‎ 当△BDQ中BD边上的高为2时,即QH=HG=2,‎ ‎∴QG=×2=4,‎ ‎∴|﹣x2+3x|=4,‎ 当﹣x2+3x=4时,△=9﹣16<0,方程无实数根,‎ 当﹣x2+3x=﹣4时,解得x=﹣1或x=4,‎ ‎∴Q(﹣1,0)或(4,﹣5),‎ 综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5).‎ ‎ ‎ ‎2017年7月12日
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