广西梧州市中考数学试卷

广西梧州市中考数学试卷

广西梧州市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均的零分）‎ ‎1．（3分）（2013•梧州）|6|=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎7‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 绝对值 分析：‎ 根据一个正数的绝对值是它本身即可求解．‎ 解答：‎ 解：|6|=6．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．‎ 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•梧州）化简：a+a=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ a2‎ C．‎ ‎2a2‎ D．‎ ‎2a 考点：‎ 合并同类项 分析：‎ 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，由此计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2a．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项的运算，属于基础题，掌握合并同类项的法则是关键．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•梧州）sin30°=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 特殊角的三角函数值 分析：‎ 根据特殊角的三角函数值进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：sin30°=．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•梧州）如图，直线AB∥CD，AB、CD与直线BE分别交与点B、E，∠B=70°，∠BED=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎110°‎ B．‎ ‎50°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎70°‎ 考点：‎ 平行线的性质 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 直接根据平行线的性质求解．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BED=∠B=70°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•梧州）如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎1.5‎ 考点：‎ 旋转的性质；三角形中位线定理 分析：‎ 先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，‎ ‎∴△ABC≌△A′B′C′，‎ ‎∴B′C′=BC=4，‎ ‎∵D′E′是△A′B′C′的中位线，‎ ‎∴D′E′=B′C′=×4=2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是图形旋转的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•梧州）如图，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平面图形是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 分别找出这个图形的主视图、俯视图、左视图，然后结合选项选出正确答案即可．‎ 解答：‎ 解：该图形的主视图为：，俯视图为：，左视图为：，‎ A、该图形为原图形的主视图，本选项正确；‎ B、该图形为原图形的俯视图，本选项正确；‎ C、该图形为原图形的左视图，本选项正确；‎ D、观察原图形，不能得到此平面图形，故本选项错误；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了简单组合体的三视图，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•梧州）如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10‎ B．‎ ‎12‎ C．‎ ‎15‎ D．‎ ‎20‎ 考点：‎ 菱形的性质；等边三角形的判定与性质 分析：‎ 根据菱形的性质可得判断△ABD是等边三角形，继而根据AB=5求出△ABD的周长．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，‎ 又∵∠A=60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴△ABD的周长=2AB=15．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握菱形的四边相等的性质．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•梧州）下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2cm，3cm，4cm B．‎ ‎2cm，3cm，5cm C．‎ ‎2cm，5cm，10cm D．‎ ‎8cm，4cm，4cm 考点：‎ 三角形三边关系．3891921‎ 分析：‎ 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．‎ 解答：‎ 解：根据三角形任意两边的和大于第三边，可知 A、2+3＞4，能组成三角形，故本选项正确；‎ B、2+3=5，能组成三角形，故本选项错误；‎ C、2+5＜10，不能够组成三角形，故本选项错误；‎ D、4+4=8，不能组成三角形，故本选项错误；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•梧州）如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎80°‎ B．‎ ‎70°‎ C．‎ ‎40°‎ D．‎ ‎20°‎ 考点：‎ 平行线的性质；翻折变换（折叠问题 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 过G点作GH∥AD，则∠2=∠4，根据折叠的性质∠3+∠4=∠B=90°，又AD∥BC，则HG∥BC，根据平行线性质得∠1=∠3=20°，所以∠2∠4=90°﹣20°=70°．‎ 解答：‎ 解：过G点作GH∥AD，如图，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∵矩形ABCD沿直线EF折叠，‎ ‎∴∠3+∠4=∠B=90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴HG∥BC，‎ ‎∴∠1=∠3=20°，‎ ‎∴∠4=90°﹣20°=70°，‎ ‎∴∠2=70°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•梧州）小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 概率公式 分析：‎ 根据一共有9个人，其中偶数有4个，利用概率公式求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，‎ ‎∴偶数一共有4个，‎ ‎∴小李报到偶数的概率是：．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了概率公式的应用，根据已知得出偶数的个数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•梧州）如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎20°‎ B．‎ ‎46°‎ C．‎ ‎55°‎ D．‎ ‎70°‎ 考点：‎ 圆周角定理；垂径定理 分析：‎ 连接BC，根据等腰三角形的性质求得∠OBC的度数，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解．‎ 解答：‎ 解：连接BC，‎ ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB==55°，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠ABD=∠OBC=55°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•梧州）父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶．同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍．已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1.1v B．‎ ‎1.2v C．‎ ‎1.3v D．‎ ‎1.4v 考点：‎ 分式方程的应用 分析：‎ 根据“同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍”得出等式方程，求出即可．‎ 解答：‎ 解：设父亲的速度为x，‎ 根据题意得出：11×=，‎ 解得：x=1.2V．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了分式方程的应用，根据同向与逆向行驶所用时间得出等式是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13．（3分）（2013•梧州）计算：0﹣7=　﹣7　．‎ 考点：‎ 有理数的减法 分析：‎ 根据有理数的减法法则进行计算即可，减去一个数等于加上这个数的相反数．‎ 解答：‎ 解：0﹣7=﹣7；‎ 故答案为：﹣7．‎ 点评：‎ 此题考查了有理数的减法运算，熟练掌握减法法则是本题的关键，是一道基础题，较简单．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•梧州）若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值为　8　．‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 分析：‎ 直接把点（2，4）代入反比例函数y=，求出k的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵点（2，4）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴4=，即k=8．‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•梧州）若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　5　倍．‎ 考点：‎ 相似图形 分析：‎ 由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．‎ 解答：‎ 解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，‎ ‎∴扩大后的三角形与原三角形相似，‎ ‎∵相似三角形的周长的比等于相似比，‎ ‎∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，‎ 故答案为：5．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•梧州）分解因式：ax2﹣9a=　a（x+3）（x﹣3）　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．3891921‎ 分析：‎ 先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ 解答：‎ 解：ax2﹣9a ‎=a（x2﹣9），‎ ‎=a（x+3）（x﹣3）．‎ 故答案为：a（x+3）（x﹣3）．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•梧州）若一条直线经过点（﹣1，1）和点（1，5），则这条直线与x轴的交点坐标为　（﹣，0）　．‎ 考点：‎ 待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征 分析：‎ 先把（﹣1，1）和点（1，5）代入直线方程y=kx+b（k≠0），求得该直线的方程，然后令y=0，即可求得这条直线与x轴的交点横坐标．‎ 解答：‎ 解：设经过点（﹣1，1）和点（1，5）的直线方程为y=kx+b（k≠0），则 ‎，‎ 解得，，‎ 所以该直线方程为y=2x+3．‎ 令y=0，则x=﹣，‎ 故这条直线与x轴的交点坐标为（0，﹣）．‎ 故答案是：（﹣，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征．注意，x轴上所有点的坐标的纵坐标都是0．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•梧州）如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作．过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是　　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算 分析：‎ 如图，图中S阴影=S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE．根据已知条件易求得OA=OC=OD=2，BC=CE=4．∠ECB=∠OEC=60°，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：如图，连接OE．‎ ‎∵AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，‎ ‎∴∠ABC=90°，OA=OC=OD=2，BC=CE=4．‎ 又∵OE∥BC，‎ ‎∴∠AOE=∠COE=90°．‎ ‎∴在直角△OEC中，OC=CE，‎ ‎∴∠OEC=60°，OE=2．‎ ‎∴∠ECB=∠OEC=60°，‎ ‎∴S阴影=S扇形ACB﹣S扇形AOD﹣S扇形ECB﹣S△OCE=﹣﹣﹣×2×2=．‎ 故答案是：．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8分，满分66分.）‎ ‎19．（6分）（2013•梧州）解方程：．‎ 考点：‎ 解一元一次方程 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．‎ 解答：‎ 解：方程去括号得：3x+2=8+x，‎ 移项合并得：2x=6，‎ 解得：x=3．‎ 点评：‎ 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．‎ 求证：四边形BECF是平行四边形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质、‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．‎ 解答：‎ 证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠A=∠D，‎ 在△AEB与△DFC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEB≌△DFC（ASA），‎ ‎∴BE=CF．‎ ‎∵BE⊥AD，BE⊥AD，‎ ‎∴BE∥CF．‎ ‎∴四边形BECF是平行四边形．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2013•梧州）某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下：‎ 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 甲 ‎85‎ ‎92‎ 乙 ‎91‎ ‎85‎ 丙 ‎80‎ ‎90‎ ‎（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人　甲　将被录取．‎ ‎（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权．计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取．‎ 考点：‎ 加权平均数；算术平均数 分析：‎ ‎（1）根据平均数的计算公式分别计算出甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案；‎ ‎（2）根据题意先算出按6和4的甲、乙、丙的平均数，再进行比较，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）甲的平均数是：（85+92）÷2=88.5（分），‎ 乙的平均数是：（91+85））÷2=88（分），‎ 丙的平均数是：（80+90）÷2=85（分），‎ ‎∵甲的平均成绩最高，‎ ‎∴候选人甲将被录取．‎ 故答案为：甲．‎ ‎（2）根据题意得：‎ 甲的平均成绩为：（85×6+92×4）÷10=87.8（分），‎ 乙的平均成绩为：（91×6+85×4）÷10=88.6（分），‎ 丙的平均成绩为：（80×6+90×4）÷10=84（分），‎ 因为乙的平均分数最高，‎ 所以乙将被录取．‎ 点评：‎ 此题考查了平均数，用到的知识点是加权平均数和算术平均数的计算公式，注意，第二小题计算平均数时按6和4进行计算．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2013•梧州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要的时间与原计划生产450台机器所需要的时间相同，现在平均每天生产多少台机器？‎ 考点：‎ 分式方程的应用 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 本题考查列分式方程解实际问题的能力，因为现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同．所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．‎ 解答：‎ 解：设：现在平均每天生产x台机器，则原计划可生产（x﹣50）台．‎ 依题意得：．（4分）‎ 解得：x=200．‎ 检验：当x=200时，x（x﹣50）≠0．‎ ‎∴x=200是原分式方程的解．‎ 答：现在平均每天生产200台机器．（8分）‎ 点评：‎ 列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件，注意挖掘．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2013•梧州）海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．‎ ‎（1）求小岛两端A、B的距离；‎ ‎（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用 分析：‎ ‎（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解；‎ ‎（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值．‎ 解答：‎ 解：（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里，‎ ‎∴cos∠D=，‎ ‎∴CE=40（海里），CD=50（海里）．‎ ‎∵B点是CD的中点，‎ ‎∴BE=CD=25（海里）‎ ‎∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）．‎ 答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．‎ ‎（2）设BF=x海里．‎ 在Rt△CFB中，∠CFB=90°，‎ ‎∴CF2=CB2﹣BF2=252﹣x2=625﹣x2．‎ 在Rt△CFE中，∠CFE=90°，‎ ‎∴CF2+EF2=CE2，即625﹣x2+（25+x）2=1600．‎ 解得x=7．‎ ‎∴sin∠BCF=．‎ 点评：‎ 考查了解直角三角形的应用，关键是熟悉三角函数的知识和勾股定理，同时涉及到方程思想．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2013•梧州）我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元．‎ ‎（1）若商家同时购进甲、乙两种商品100件，设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y 元．写出y与x的函数关系式．‎ ‎（2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？‎ ‎（3）“五•一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？‎ 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过400元 售价打九折 超过400元 售价打八折 考点：‎ 一次函数的应用 分析：‎ ‎（1）根据利润=甲种商品的利润+乙种商品的利润就可以得出结论；‎ ‎（2）根据“商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根据一次函数的性质，求出商家可获得的最大利润；‎ ‎（3）设小王到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．分两种情况讨论：①打折前一次性购物总金额不超过400；②打折前一次性购物总金额超过400．‎ 解答：‎ 解：（1）设甲商品购进x件，则乙商品购进（100﹣x）件，由题意，得 y=（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）=﹣5x+1000，‎ 故y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+1000；‎ ‎（2）由题意，得15x+35（100﹣x）≤3000，‎ 解之，得x≥25．‎ ‎∵y=﹣5x+1000，k=﹣5＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x取最小值25时，y最大值，此时y=﹣5×25+1000=875（元），‎ ‎∴至少要购进25件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是875元；‎ ‎（3）设小王到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．‎ ‎①当打折前一次性购物总金额不超过400时，购物总金额为324÷0.9=360（元），‎ 则20m+45n=360，m=18﹣n＞0，∴0＜n＜8．‎ ‎∵n是4的倍数，‎ ‎∴n=4，m=9．‎ 此时的利润为：324﹣（15×9+35×4）=49（元）；‎ ‎②当打折前一次性购物总金额超过400时，购物总金额为324÷0.8=405（元），‎ 则20m+45n=405，m=＞0，∴0＜n＜9．‎ ‎∵m、n均是正整数，‎ ‎∴m=9，n=5或m=18，n=1．‎ 当m=9，n=5的利润为：324﹣（9×15+5×35）=14（元）；‎ 当m=18，n=1的利润为：324﹣（18×15+1×35）=19（元）．‎ 综上所述，商家可获得的最小利润是14元，最大利润各是49元．‎ 点评：‎ 本题考查了根据利润=甲种商品的利润+乙种商品的利润求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答本题时求出一次函数的解析式，进行分类讨论是关键．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2013•梧州）已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若，，求⊙O的面积．‎ 考点：‎ 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质 分析：‎ ‎（1）连接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ADO，推出OD∥AC，推出OD⊥CB，根据切线判定推出即可；‎ ‎（2）根据勾股定理求出AC=，AB=4．设⊙O的半径为r，证△BOD∽△BAC，得出，代入求出r即可．‎ 解答：‎ 解：（1）连接OD．‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠ODA=∠OAD，‎ ‎∵AD平分∠CAB，‎ ‎∴∠OAD=∠CAD，‎ ‎∴∠ODA=∠CAD，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB=∠ACB=90°，‎ ‎∴BD是⊙O的切线．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴AB=4AC，‎ ‎∵BC2=AB2﹣AC2，‎ ‎∴15AC2=80，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴AB=4．‎ 设⊙O的半径为r，‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴△BOD∽△BAC，‎ ‎∴‎ ‎∴，解得：r=‎ ‎∴πr2=π•（）2=，‎ ‎∴⊙O的面积为．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，圆的面积，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的综合运用性质进行推理和计算的能力．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2013•梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．‎ ‎（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）由抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是B（1，2）知：h=1，k=2，则y=a（x﹣1）2+2，再把A点坐标代入此解析式即可；‎ ‎（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分线是直线y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线y=x与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标；‎ ‎（3）先求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线AC平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线AC的解析式，设出与AC平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=a（x﹣h）2+k顶点坐标为B（1，2），‎ ‎∴y=a（x﹣1）2+2，‎ ‎∵抛物线经过点A（0，1），‎ ‎∴a（0﹣1）2+2=1，‎ ‎∴a=﹣1，‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+2或y=﹣x2+2x+1；‎ ‎（2）∵A（0，1），C（1，0），‎ ‎∴OA=OC，‎ ‎∴△OAC是等腰直角三角形．‎ 过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，‎ ‎∴l与抛物线的交点即为点P．‎ 如图，直线l的解析式为y=x，‎ 解方程组，‎ 得，（不合题意舍去），‎ ‎∴点P的坐标为（，）；‎ ‎（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点．‎ 由（1）知，点C的坐标为（1，0）．‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，‎ 则，解得，‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+1．‎ 设与AC平行的直线的解析式为y=﹣x+m．‎ 解方程组，‎ 代入消元，得﹣x2+2x+1=﹣x+m，‎ ‎∵此点与AC距离最远，‎ ‎∴直线y=﹣x+m与抛物线有且只有一个交点，‎ 即方程﹣x2+2x+1=﹣x+m有两个相等的实数根．‎ 整理方程得：x2﹣3x+m﹣1=0，‎ ‎△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=．‎ 则x2﹣3x+﹣1=0，解之得x1=x2=，此时y=．‎ ‎∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中．‎