北京市石景山中考数学二模试卷及答案

北京市石景山中考数学二模试卷及答案

石景山区2013年初三第二次统一练习 数 学 试 卷 ‎ ‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ ‎1．3的相反数是( ) ‎ A．-3 B．3 C． D．‎ ‎2．某市政府召开的全市经济形势分析会公布，全市去年地区生产总值（GDP）实现1091亿元，数字1091用科学记数法表示为( )‎ A． B． C． D． ‎ 第 3题图 ‎ ‎3．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，‎ ‎△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为( ) ‎ A．18 cm B． 22 cm ‎ C．24 cm D． 26 cm ‎ ‎4．一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如下表所示：这次成绩的众数、平均数是( )‎ 成绩（环）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ A．9， 8 B． 9， 8.2 C． 10， 8 D．10， 8.2‎ 第6题图 ‎5．甲盒装有3个红球和4个黑球，乙盒装有3个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两盒中的球，从盒中分别任意摸出一个球．正确说法是( )‎ A．从甲盒摸到黑球的概率较大 B．从乙盒摸到黑球的概率较大 C．从甲、乙两盒摸到黑球的概率相等 D．无法比较从甲、乙两盒摸到黑球的概率 ‎6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，则BD的长为( )‎ A．6          B．5           C．3         D．1.5 ‎ ‎7．若二次函数配方后为，则、的值分别为( )‎ A．2、6 B．2、8 C．-2、6 D．-2、8‎ ‎8． 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，则下列说法正确的是( ) ‎ 主视图方向 第 8题图 ‎ A．左视图面积最大 ‎ B．俯视图面积最小 C．左视图面积和主视图面积相等 ‎ D．俯视图面积和主视图面积相等 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．分解因式： = ．‎ ‎10．抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 ．‎ ‎11．已知：平面直角坐标系xoy中，圆心在x轴上的⊙M与y轴交于点（0，4）、点，过作⊙的切线交轴于点，若点M（-3，0），则的值为 ．‎ O D ‎.‎ y H A O x M 第 11题图 第 12题图 ‎12．如图，，过上到点的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为…，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积 ，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积 ．‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解分式方程：．‎ D C A B F G E ‎15．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE^DG于E，CF∥AE交DG于F．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明．‎ ‎16． 先化简，再求值:，其中x满足．‎ ‎17．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点坐标为，连接，过点作轴，垂足为点，且△的面积为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求这个一次函数的解析式．‎ ‎18．甲、乙两位同学进行长跑训练，两人距出发点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：‎ ‎（1）他们在进行 米的长跑训练；‎ ‎（2）在3＜x＜4的时段内，速度较快的人是 ；‎ ‎（3）当x= 时，两人相距最远，此时两人距离是多少米（写出解答过程）？‎ 甲 乙 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．如图，四边形ABFE中，延长FE至点P，∠AEP＝74°，∠BEF＝30°，∠EFB＝120°， AF平分∠EFB，EF＝2． 求AB长（结果精确到0.1）．（参考数据：≈1.73， ≈1.41，sin74°≈0.6，cos74°≈0.28，‎ O tan74°≈3.49， sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E ‎．‎ ‎（1）求证：点E为BC中点；‎ ‎（2）若tanEDC=，AD=，求DE的长．‎ ‎21．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：40分； B：39-35分； C：34-30分； D：29-20分；‎ E：19-0分）统计如下：‎ 学业考试体育成绩（分数段）统计表 学业考试体育成绩（分数段）统计图 ‎0‎ 分数段 人数（人）‎ 频率 A ‎48‎ ‎0.2‎ B a ‎0.25‎ C ‎84‎ b D ‎36‎ ‎0.15‎ E ‎12‎ ‎0.05‎ ‎ 根据上面提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）在统计表中，的值为_____，的值为______，并将统计图补充完整；‎ ‎（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______（填相应分数段的字母）‎ ‎（3）如果把成绩在30分以上（含30分）定为优秀，那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名？‎ ‎22．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E． ‎ ‎（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；‎ ‎ （2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE ‎ 的取值范围： ．‎ ‎ ‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．如图，抛物线过点A（-1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C, 反比例函数（x>0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D．‎ ‎ （1）求抛物线和反比例函数的解析式．‎ y x O ‎ （2）在线段DC上任取一点E，过点E作轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC．‎ ‎①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；‎ ‎②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由；‎ ‎③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．‎ ‎24．如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动．‎ ‎（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 __；‎ ‎（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _________；‎ ‎（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎25．（1）如图1，把抛物线平移后得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则抛物线的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．‎ ‎（2）若点为抛物线上的动点，我们把时的△称为抛物线的内接直角三角形.过点做轴的垂线，抛物线的内接直角三角形的两条直角边所在直线、与直线分别交于、两点，以为直径的⊙与轴交于、两点,如图2.请问：当点在抛物线上运动时，线段的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ 石景山区2013初三第二次统一练习 数学参考答案 阅卷须知：‎ ‎1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．‎ ‎2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答 案 A ‎ B ‎ B ‎ B ‎ A C ‎ C D 二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）‎ ‎9．； 10．且； 11．； 12．；．‎ 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13．解:原式= ……………………………………………………4分 ‎ = ………………………………………………………5分 ‎14． 解： ………………………………………………………2分 ‎ ∴ ……………………………………………………………4分 ‎ 经检验: 是原方程的增根………………………………………………5分 ‎ ∴是原方程的根.‎ ‎15．证明：略（找出全等三角形1分；证明4分）‎ ‎16．解：原式 …………………………………………………………2分 ‎ 由，得 ……………………………………… 3分 ‎ 由题意， ……………………………………………………… 4分 ‎ ∴原式. ………………………………………………………5分 ‎17. 解：（1）设点的坐标为，则有，即： …………1分 ‎ ∵△的面积为，∴， …………………2分 ‎ ∴=-3. …………………………………………………………3分 ‎ （2）∵，∴，当时，，‎ ‎ ∴点坐标为，……………………………………………………………4分 ‎ 把点坐标代入得，这个一次函数的解析式为. …5分 ‎18．解：（1）1000米； ……..……..………..……..…..……………………..1分 ‎（2）甲 ………………..……..……..……..……..…………..2分 ‎（3）设l乙：，过（4，1000），故 ……………………..3分 在0＜x3的时段内，设l甲：，过（3，600），故……..4分 ‎ 当时，.‎ ‎ 答：当时，两人相距最远，此时两人距离是150米 ………..……..……..5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19. 解：由∠EFB＝120°，AF平分∠EFB，‎ ‎∴∠EFO=60°,∠EOF=90°………………………………………………………..1分 ‎ ∴FE=FB ………………………………………………………..2分 ‎ Rt△EOF中,‎ ‎∴OE……………………………………………………………..3分 ‎ Rt△EOA中,‎ ‎∴AE ……………………………………..4分 ‎ 在△和△中 ‎∴△≌△ ‎ ‎∴AB=AE ……………………………………………..5分 ‎20.解: (1)连结OD，‎ ‎ ∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，‎ ‎ ∴BC是⊙O切线 ………………………………………………..1分 ‎ ∵DE是⊙O切线 ‎ ∴BE=DE，‎ ‎ ∴∠EBD=∠EDB，‎ ‎ ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，‎ ‎ ∴DE=CE，‎ ‎ ∴BE=CE. ………………………………………………..2分 ‎ (2) ∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，‎ ‎ ∴∠C=∠ABD=∠EDC，‎ ‎ Rt△ABD中，DB=， …………………………………..3分 ‎ Rt△BDC中，BC=，………………………………..4分 ‎ 又点E为BC中点，∴=3 .……………………………………..5分 ‎21．‎60‎ 学业考试体育成绩（分数段）统计图 ‎0‎ 解：（1） 60 ， 0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分 ‎ （2） C ; ……………4分 ‎ ‎（3）0.8×2400=1920（名）‎ 答：该区九年级考生中体育成绩 为优秀的学生人数有1920名.‎ ‎…………………………5分 ‎ ‎ ‎22．解：（1）由题意，△BMN沿MN折叠得到△EMN ‎ ∴△BMN≌△EMN ‎ ∴EM=BM=.‎ ‎ 过点M作MH⊥AD交AD于点H，则四边形ABMH为矩形 ‎ MH=AB=3， AH=BM=.‎ ‎ Rt△EHM中，‎ ‎ EH=‎ ‎ ∴AE. ……………………………… 3分 ‎ (2) 1≤AE≤3. ……………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．解：‎ ‎（1）抛物线过点A（-1，0），B（3，0）‎ ‎ ‎ ‎ 解得：‎ ‎ ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎ 顶点 函数，是常数）图象经过，‎ ‎ ．…………………………………………………………………… 2分 ‎（2）①设G点的坐标为，‎ 据题意，可得E点的坐标为，F点的坐标为， ‎ ‎ ，，．‎ ‎ 由的面积为4，即，得，点G的坐标为．‎ ‎………………………………………………… 3分 ‎ ②直线FC和DG平行.理由如下： ‎ ‎ 方法1：利用相似三角形的性质.‎ ‎ 据题意，点的坐标为，，‎ ‎ ，易得，，‎ ‎ ，．‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ∴△∽△‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………………… 5分 ‎ 方法2：利用正切值.‎ ‎ 据题意，点的坐标为，，‎ ‎ ，易得，，‎ ‎ ，． ‎ ‎ ‎ ‎ ． ‎ ‎ ③解：方法1：‎ ‎ ，当时，有两种情况：‎ ‎ 当时，四边形是平行四边形，‎ ‎ 由上题得，，，得．‎ ‎ 点G的坐标是（2，2）．‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得 ‎ 直线的函数解析式是．…………………………………… 6分 ‎ 当FD与CG所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，‎ ‎ 则，，点G的坐标是（4，1）．‎ ‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ ‎ 得解得 ‎ 直线的函数解析式是．…………………………………… 7分 ‎ 综上所述，所求直线的函数解析式是或．‎ 方法2.‎ 在Rt⊿DFE中，，‎ 在Rt⊿GEC中，，， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解方程得：或 当时，点G的坐标是（2，2）．‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ 得解得 直线的函数解析式是．‎ 当时，点G的坐标是（4，1）．‎ 设直线的函数解析式为，把点的坐标代入，‎ 得解得 直线的函数解析式是．‎ 综上所述，所求直线的函数解析式是或． ‎ 注：不同解法酌情给分 ‎24. 解：（1）==6；…………………………1分 ‎ （2）=； ……………………2分 ‎ （3）. ……………………3分 ‎ 证明：连接，延长 ‎ 交于点.如图所示：……4分 ‎ 由正方形的性质可知： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 即：‎ ‎ △≌△ ………………………………………5分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即：. ………………………………………7分 ‎25.解：（1）抛物线的解析式为；‎ 图中阴影部分的面积与△的面积相同，.‎ ‎∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分 ‎（2）由题意可知，抛物线只存在两个内接直角三角形.‎ 当点在抛物线上运动时线段的长度不会发生变化.‎ 证明: ∵为⊙的直径,‎ ‎∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴△∽△ ‎ ‎∴，‎ 连接，，在△和△中，‎ ‎，‎ ‎∴△∽△ …………………………………… 6分 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴. …………………………………… 8分