中考数学第一轮复习二次函数的综合题及应用

中考数学第一轮复习二次函数的综合题及应用

第十五讲 二次函数的综合题及应用 ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：确定二次函数关系式 例1 （2017•牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3） （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．‎ 思路分析：（1）利用待定系数法把A（1，0），C（0，-3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x-3； （2）首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．‎ 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3； （2）∵当y=0时，x2+2x-3=0， 解得：x1=-3，x2=1； ∴A（1，0），B（-3，0）， ∴AB=4， 设P（m，n）， ∵△ABP的面积为10， ∴AB•|n|=10， 解得：n=±5， 当n=5时，m2+2m-3=5， 解得：m=-4或2， ∴P（-4，5）（2，5）； 当n=-5时，m2+2m-3=-5， 方程无解， 故P（-4，5）（2，5）；‎ 点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．‎ 对应训练 ‎1．（2017•湖州）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标．‎ 考点二：二次函数与x轴的交点问题 例2 （2017•苏州）已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（　　）‎ A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3‎ 对应训练 ‎2．（2013•株洲）二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（　　）‎ A．-8 B．8 ‎ C．±8 D．6‎ 考点三：二次函数的实际应用 例3 （2017•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？‎ 思路分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式； （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； （3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．‎ 解：（1）由题意得出： w=（x-20）∙y =（x-20）（-2x+80） =-2x2+120x-1600， 故w与x的函数关系式为：w=-2x2+120x-1600； （2）w=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200， ∵-2＜0， ∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200． 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w=150时，可得方程-2（x-30）2+200=150． 解得 x^=25，x2=35．      ∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去．    答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．‎ 点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．‎ 对应训练 ‎3．（2017•武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：‎ 温度x/℃‎ ‎…‎ ‎-4‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎…‎ 植物每天高度增长量y/mm ‎…‎ ‎41‎ ‎49‎ ‎49‎ ‎41‎ ‎25‎ ‎19.75‎ ‎…‎ 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种． （1‎ ‎）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由； （2）温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．‎ ‎3．解：（1）选择二次函数，设y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵x=-2时，y=49， x=0时，y=49， x=2时，y=41， ∴， 解得， 所以，y关于x的函数关系式为y=-x2-2x+49； 不选另外两个函数的理由： ∵点（0，49）不可能在反比例函数图象上， ∴y不是x的反比例函数， ∵点（-4，41）（-2，49）（2，41）不在同一直线上， ∴y不是x的一次函数； （2）由（1）得，y=-x2-2x+49=-（x+1）2+50， ∵a=-1＜0， ∴当x=-1时，y有最大值为50， 即当温度为-1℃时，这种作物每天高度增长量最大； （3）∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm， ∴平均每天该植物高度增长量超过25mm， 当y=25时，-x2-2x+49=25， 整理得，x2+2x-24=0， 解得x1=-6，x2=4， ∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，实验室的温度应保持在-6＜x＜4℃．‎ 考点四：二次函数综合性题目 例4 （2017•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA= ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值； （3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 思路分析：（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标．‎ 解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．‎ ‎ ∵tan∠DBA==， ∴BE=6， ∴OB=BE-OE=4， ∴B（-4，0）． ∵点B（-4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x2+x-2． （2）抛物线的解析式为：y=x2+x-2， 令x=0，得y=-2，∴C（0，-2）， 令y=0，得x=-4或1，∴A（1，0）． 设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0）， 如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=-n，OF=-m，BF=4+m． S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC =BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC =（4+m）×（-n）+（-n+2）×（-m）+×1×2 =-2n-m+1 ∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x-2上， ∴n=m2+m-2，代入上式得： S四边形BMCA=-m2-4m+5=-（m+2）2+9， ∴当m=-2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9． （3）假设存在这样的⊙Q． 如答图2所示，设直线x=-2与x轴交于点G，与直线AC交于点F． ‎ 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，-2）代入得： ， 解得：k=2，b=-2， ∴直线AC解析式为：y=2x-2， 令x=-2，得y=-6，∴F（-2，-6），GF=6． 在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF==． 设Q（-2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==． 设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=． 在Rt△AGF与Rt△QEF中， ∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE， ∴Rt△AGF∽Rt△QEF， ∴，即=， 化简得：n2-3n-4=0，解得n=4或n=-1． ∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（-2，4）或（-2，-1）．‎ 点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标．‎ 对应训练 ‎4．（2017•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC． （1）求直线CD的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO； （4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎4．解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将C（0，1），D（1，0）代入得：， 解得：b=1，k=-1， ∴直线CD的解析式为：y=-x+1． （2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3， 将C（0，1）代入得：1=a×（-2）2+3，解得a=-． ∴y=-（x-2）2+3=-x2+2x+1． （3）证明：由题意可知，∠ECD=45°， ∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°， ∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称， ∴点E的坐标为（4，1）． 如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1）， ∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°． 又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°， ∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°， ∴△CEQ∽△CDO． （4）存在． 如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度． （证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′． 由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， ‎ 即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．） 如答图③所示，连接C′E，‎ ‎ ∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形， ∴△QC′E为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形， ∴点C′的坐标为（4，5）； ∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（-1，0）． 过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6， 在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″=． 综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为2．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2017•淄博）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（　　）‎ A．（，） B．（2，2） C．（，2） D．（2，）‎ ‎2．（2017•滨州）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．‎ ‎2．解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm． 由题意得：y=x（90-x）×20 =-20（x2-90x） =-20（x-45）2+40500 当x=45时，y有最大值，最大值为40500． 答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．‎ ‎3．（2017•日照）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：‎ x ‎3O00‎ ‎3200‎ ‎3500‎ ‎4000‎ y ‎100‎ ‎96‎ ‎90‎ ‎80‎ ‎（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式． （2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：‎ 租出的车辆数 ‎  ‎ 未租出的车辆数 ‎  ‎ 租出每辆车的月收益 ‎  ‎ 所有未租出的车辆每月的维护费 ‎  ‎ ‎（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．‎ ‎3．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系， 设其解析式为y=kx+b． 由题：，解之得：， ∴y与x间的函数关系是y=-x+160． （2）如下表： ‎ 租出的车辆数 ‎-x+160‎ 未租出的车辆数 x-60‎ 租出的车每辆的月收益 x-150‎ 所有未租出的车辆每月的维护费 x-3000‎ ‎（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得： W=（-x+160）（x-150）-（x-3000） =（-x2+163x-24000）-（x-3000） =-x2+162x-21000 =-（x-4050）2+30705 当x=4050时，Wmax=307050， 即：当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元． 故答案为：-x+160，x-60．‎ ‎4．（2017•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．‎ ‎4．解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：； ‎ 所以二次函数的表达式为：y=x2-2x-3。 （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；‎ ‎ 如图，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO； 连接PP′，则PE⊥CO于E， ∴OE=EC=， ∴y=-； ∴x2-2x-3=- 解得x1=，x2=（不合题意，舍去） ∴P点的坐标为（，-）。 （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 易得，直线BC的解析式为y=x-3 则Q点的坐标为（x，x-3）； S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =×4×3+ (-x2+3x)×3 =- (x-)2+。‎ 当x=时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为(，-)，四边形ABPC的面积的最大值为．‎ ‎5．（2017•潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边 BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ ‎ ‎（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 ？‎ ‎5．解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=24米，∠BAC=60°， ∴AC=AB=12米，BC=AC=36米，∠ABC=30°， ∴AD==x，BE==x， ∵AD+DE+BE=AB， ∴x+y+x=24， ∴y=24-x-x=24-x， 即y与x之间的函数解析式为y=24-x（0＜x＜18）； （2）∵y=24-x，∴矩形DEFG的面积=xy=x（24-x）=-x2+24x=-（x-9）2+108， ∴当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108平方米； （3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S， 则S1=πAC2，S2=πBC2，S3=πAB2， ∵AC2+BC2=AB2， ∴S1+S2=S3， ∴S1+S2-S=S3-S△ABC， ∴S=S△ABC， ∴两弯新月的面积S=AC•BC=×12×36=216（平方米）． 如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的， ‎ 那么-（x-9）2+108=×216， 化简整理，得（x-9）2=27， 解得x=9±3，符合题意． 所以当x为（9±3）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的．‎ ‎6．（2017•烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（-，0），以0C为直径作半圆，圆心为D． （1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线BE是⊙D的切线； （3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎6．解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（-，0）， 则，解得， ∴该二次函数的解析式为：y=-x2+x+2； ‎ ‎ （2）如图1，过点D作DG⊥BE于点G． 由题意，得 ED=+1=，EC=2+=，BC=2， ∴BE==． ∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°， ∴△EGD∽△ECB， ∴， ∴DG=1． ∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE， ∴BE是⊙D的切线； （3）如图2，由题意，得 E（-，0），B（2，2）． 设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则 ， 解得，， ∴直线BE为：y=x+． ∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1， ∴点P的纵坐标y=，即P（1，）． ‎ ‎∵MN∥BE， ∴∠MNC=∠BEC． ∵∠C=∠C=90°， ∴△MNC∽△BEC， ∴， ∴，则CN=t， ∴DN=t-1， ∴S△PND=DN•PD=（t-1）•=t-． S△MNC=CN•CM=×t•t=t2． S梯形PDCM=（PD+CM）•CD=•（+t）•1=+t． ∵S=S△PND+S梯形PDCM-S△MNC=-t2+t（0＜t＜2）． ∵抛物线S=-t2+t（0＜t＜2）的开口方向向下， ∴S存在最大值．当t=1时，S最大=．‎ ‎7．（2017•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式． （2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．‎ ‎7．解：（1）把点C（0，-4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中， ‎ 得， 解得。 ∴该抛物线的解析式为y=x2+x-4． （2）令y=0，即x2+x-4=0，解得x1=-4，x2=2， ∴A（-4，0），S△ABC=AB•OC=12． 设P点坐标为（x，0），则PB=2-x． ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即， 化简得：S△PBE=（2-x）2． S△PCE=S△PCB-S△PBE=PB•OC-S△PBE=×（2-x）×4-（2-x）2 =-x2-x+ =-（x+1）2+3 ∴当x=-1时，S△PCE的最大值为3． （3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形： （I）当DM=DO时，如答图①所示． DO=DM=DA=2， ∴∠OAC=∠AMD=45°， ∴∠ADM=90°， ∴M点的坐标为（-2，-2）； （II）当MD=MO时，如答图②所示． 过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点， ∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3， 又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3， ‎ ‎∴M点的坐标为（-1，-3）； （III）当OD=OM时， ∵△OAC为等腰直角三角形， ∴点O到AC的距离为×4=2，即AC上的点与点O之间的最小距离为2． ∵2＞2，∴OD=OM的情况不存在． 综上所述，点M的坐标为（-2，-2）或（-1，-3）．‎ ‎8．（2017•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+ 与直线y=x交于点A，点B在直线y= x+ 上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； （3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．‎ ‎8．解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得 ， 解得，， ∴点A的坐标是（3，3）． ∵∠BOA=90°， ∴OB⊥OA， ∴直线OB的解析式为y=-x． 又∵点B在直线y=x+上， ‎ ‎∴， 解得，， ∴点B的坐标是（-1，1）． 综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）． （2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）． ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为y=x2-x，或y=（x-）2-． ∴顶点E的坐标是（，-）； （3）OD与CF平行．理由如下： 由（2）知，抛物线的对称轴是x=． ∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C， ∴C（，）． 设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（，）代入，得 ‎ ， 解得， ∴直线BC的解析式为y=-x+． ‎ ‎∵直线BC与抛物线交于点B、D， ∴-x+=x2-x， 解得，x1=，x2=-1． 把x1=代入y=-x+，得y1=， ∴点D的坐标是（，）． 如图，作DN⊥x轴于点N． 则tan∠DON=． ∵FE∥x轴，点E的坐标为（，-）． ∴点F的纵坐标是-． 把y=-代入y=x+，得x=-， ∴点F的坐标是（-，-）， ∴EF=+=． ∵CE=+=， ∴tan∠CFE=， ∴∠CFE=∠DON． 又∵FE∥x轴， ∴∠CMN=∠CFE， ∴∠CMN=∠DON， ∴OD∥CF，即OD与CF平行．‎ ‎9．（2017•潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1‎ 对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2， ）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O是坐标原点． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值； （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎9．解：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A（-1，0），B（3，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， ∵点D（2，）在抛物线上， ∴=a×3×（-1），解得a=-， ∴抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+x+． （2）抛物线解析式为：y=-x2+x+，令x=0，得y=，∴C（0，）， ∵D（2，），∴CD∥OB，直线CD解析式为y=． 直线l解析式为y=kx-2，令y=0，得x=；令y=，得x=；‎ ‎ 如答图1所示，设直线l分别与OB、CD交于点E、F，则E（，0），F（，）， OE=，BE=3-，CF=，DF=2-． ∵直线l平分四边形OBDC的面积， ∴S梯形OEFC=S梯形FDBE， ‎ ‎∴（OE+CF）•OC=（FD+BE）•OC， ∴OE+CF=FD+BE，即：+=（3-）+（2-）， 解方程得：k=，经检验k=是原方程的解且符合题意， ∴k=． （3）假设存在符合题意的点P，其坐标为（0，t）． 抛物线解析式为：y=-x2+x+=-（x-1）2+2， 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为：y=-x2． 依题意画出图形，如答图2所示，过点M作MD⊥y轴于点D，NE⊥y轴于点E， 设M（xm，ym），N（xn，yen），则MD=-xm，PD=t-ym；NE=xn，PE=t-yen． ∵直线PM与PN关于y轴对称，∴∠MPD=∠NPE， 又∠MDP=∠NEP=90°， ∴Rt△PMD∽Rt△PNE， ∴，即， ∵点M、N在直线y=kx-2上，∴ym=kxm-2，yen=kxn-2， 代入①式化简得：（t+2）（xm+xn）=2kxmxn  ② 把y=kx-2代入y=-x2．，整理得：x2+2kx-4=0， ∴xm+xn=-2k，xmxn=-4，代入②式解得：t=2，符合条件． 所以在y轴正半轴上存在一个定点P（0，2），使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称．‎ ‎【备考真题过关】‎ 一、选择题 ‎1．（2017•大庆）已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（　　）‎ A．-4 B．0 C．2 D．3‎ ‎2．（2017•南昌）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）‎ A．a＞0 B．b2-4ac≥0‎ C．x1＜x0＜x2 D．a（x0-x1）（x0-x2）＜0‎ ‎3．（2017•湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为3，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（　　）‎ A．16 B．15 C．14 D．13‎ 二、填空题 ‎4．（2017•宿迁）若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是 0或1‎ ‎．‎ ‎5．（2017•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．‎ ‎6．（2013•锦州）二次函数y=x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn的周长为 4n ‎．‎ 三、解答题 ‎7．（2017•鞍山）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？‎ ‎7．解：（1）由题意，可设y=kx+b， 把（5，30000），（6，20000）代入得：， 解得：， 所以y与x之间的关系式为：y=-10000x+80000； （2）设利润为W，则W=（x-4）（-10000x+80000） =-10000（x-4）（x-8） =-10000（x2-12x+32） =-10000[（x-6）2-4] =-10000（x-6）2+40000 所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元． 答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．‎ ‎8．（2017•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：‎ 价格x（元/个）‎ ‎…‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎…‎ 销售量y（万个）‎ ‎…‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎…‎ 同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元． （1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式． （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？‎ ‎8．解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系， 设解析式为：y=ax+b， 则， 解得：， 故函数解析式为：y=-x+8； （2）根据题意得出： z=（x-20）y-40=（x-20）（-x+8）-40=-x2+10x-200=-（x2-100x）-200=- [（x-50）2-2500]-200=-（x-50）2+50， 故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （3）当公司要求净得利润为40万元时，即-（x-50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60． 如上图，通过观察函数y=-（x-50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60． 而y与x的函数关系式为：y=-x+8，y随x的增大而减少，‎ ‎9．（2017•达州）今年，6月12日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题． （1）小华的问题解答： 当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润 ‎； （2）小明的问题解答： 800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元是，每天的销售利润最大 ‎．‎ ‎9．解：（1）设定价为x元，利润为y元，则销售量为：（500-×10）， 由题意得，y=（x-2）（500-×10） =-100x2+1000x-1600 =-100（x-5）2+900， 当y=800时， -100（x-5）2+900=800， 解得：x=4或x=6， ∵售价不能超过进价的240%， ∴x≤2×240%， 即x≤4.8， 故x=4， 即小华问题的解答为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润； （2）由（1）得y=-100（x-5）2+900， ∵-100＜0， ∴函数图象开口向下，且对称轴为x=5， ∵x≤4.8， 故当x=4.8时函数能取最大值， 即ymax=-100（4.8-5）2+900=896． ‎ 故小明的问题简答为：800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元是，每天的销售利润最大． 故答案为：当定价为4元时，能实现每天800元的销售利润；800元的销售利润不是最多，当定价为4.8元是，每天的销售利润最大．‎ ‎10．（2017•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为： y1= ， 若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为 y2= 。‎ ‎（1）用x的代数式表示t为：t= 6-x ‎；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2= 5x+80‎ ‎；当 6‎ 时，y2=100； （2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围； （3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？‎ ‎10．解：（1）由题意，得x+t=6， ∴t=6-x； ∵y2=， ∴当0＜x≤4时，2≤6-x＜6，即2≤t＜6， 此时y2与x的函数关系为：y2=-5（6-x）+110=5x+80； 当4≤x＜6时，0≤6-x＜2，即0≤t＜2， 此时y2=100． 故答案为6-x；5x+80；4，6； （2）分三种情况： ①当0＜x≤2时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10x2+40x+480； ②当2＜x≤4时，w=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10x2+80x+480； ③当4＜x＜6时，w=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x2+30x+600； 综上可知，w=； （3）当0＜x≤2时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时x=2时，w最大=600； 当2＜x≤4时，w=-10x2+80x+480=-10（x-4）2+640，此时x=4时，w最大=640； 当4＜x＜6时，w=-5x2+30x+600=-5（x-3）2+645，4＜x＜6时，w＜640； ‎ ‎∴x=4时，w最大=640． 故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．‎ ‎11.（2017•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，-5）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明； （3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎11．解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x-3）2+4， 将A（0，-5）代入求得：a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5． （2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．证明： 令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，∴B（1，0），C（5，0）． 如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE， ∴，即， 求得⊙C的半径CE=； 而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞， ∴抛物线的对称轴l与⊙C相离． （3）存在．理由如下： 有两种情况：‎ ‎ （I）如答图②所示，点P在x轴上方． ∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°； ∵PC⊥AC，∴∠PCO=45°． 过点P作PF⊥x轴于点F，则△PCF为等腰直角三角形． 设点P坐标为（m，n），则有OF=m，PF=CF=n， OC=OF+CF=m+n=5 ① ‎ 又点P在抛物线上，∴n=-m2+6m-5 ② 联立①②式，解得：m=2或m=5． 当m=5时，点F与点C重合，故舍去， ∴m=2，∴n=3， ∴点P坐标为（2，3）； （II）如答图③所示，点P在x轴下方． ∵A（0，-5），C（5，0），∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°； 过点P作PF⊥x轴于点F， ∵PA⊥AC，∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形． 设点P坐标为（m，n），则有PF=AF=m，OF=-n=OA+AF=5+m， ∴m+n=-5 ① 又点P在抛物线上，∴n=-m2+6m-5 ② 联立①②式，解得：m=0或m=7． 当m=0时，点F与原点重合，故舍去， ∴m=7，∴n=-12， ∴点P坐标为（7，-12）． 综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，-12）．‎ ‎12．（2013•曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积． （3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎12．解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，4）． ∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x2+bx+c上， ∴， 解得：b=-3，c=4， ∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4． （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，AC=4+m． ∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m， ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m， ∴点E坐标为（m，8+m）． ∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上， ∴8+m=-m2-3m+4，解得m=-2． ‎ ‎∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6， S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB-S△BCO=×2×6+（6+4）×2-×2×4=12． （3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，则D（m，4+m）． ∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似 ∴△DBE必为等腰直角三角形． i）若∠BED=90°，则BE=DE， ∵BE=OC=-m， ∴DE=BE=-m， ∴CE=4+m-m=4， ∴E（m，4）． ∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上， ∴4=-m2-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3， ∴D（-3，1）； ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-m， 在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m， ∴CE=4+m-2m=4-m， ∴E（m，4-m）． ∵点E在抛物线y=-x2-3x+4上， ∴4-m=-m2-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2， ∴D（-2，2）． 综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．‎ ‎13．（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA． （1）求点A的坐标和∠AOB的度数； （2）若将抛物线y= x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y= x2+2x上，请说明理由； （4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎13．解：（1）∵由y=x2+2x得，y=（x-2）2-2， ∴抛物线的顶点A的坐标为（-2，-2）， 令x2+2x=0，解得x1=0，x2=-4， ∴点B的坐标为（-4，0）， 如图1，过点A作AD⊥x轴，垂足为D， ∴∠ADO=90°， ∴点A的坐标为（-2，-2），点D的坐标为（-2，0）， ∴OD=AD=2， ∴∠AOB=45°； （2）四边形ACOC′为菱形． 由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，-4）， ∴抛物线的解析式为：y=（x-2）2-4，即y=x2-2x-2， 过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H， ∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE-EF=2， ∴OC=， ‎ 同理，AC=2，OC=AC， 由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′， 故四边形ACOC′为菱形． （3）如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上． 理由如下： 过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G， ∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°， ∴∠COH=∠C′OG， ∵CE∥OH， ∴∠OCE=∠C′OG， 又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′， ∴△CEO≌△C′GO， ∴OG=4，C′G=2， ∴点C′的坐标为（-4，2）， 把x=-4代入抛物线y=x2+2x得y=0， ∴点C′不在抛物线y=x2+2x上； （4）存在符合条件的点Q． ∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上， ∴设Q（a，（a-2）2-4）， ∵OC为该四边形的一条边， ∴OP为对角线， ∴，解得x1=6，x2=4， ∴P（6，4）或（-2，4）（舍去）， ∴点Q的坐标为（6，4）．‎