中考数学大题练习

中考数学大题练习

‎ 第1讲、依据特征作图——填空压轴（讲义）‎ 1. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在线段AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为_____________．‎ ‎ ‎ 2. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，则点A′的坐标为____________．‎ ‎ ‎ 3. 如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为______________．‎ ‎ ‎ 4. 在矩形ABCD中，AB=6，AD=，E是AB边上一点，AE=2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为A′，当E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为 ‎________________．‎ 5. 如图是矩形纸片ABCD，AB=16 cm，BC=40 cm，M是边BC的中点，沿过M的直线翻折．若点B恰好落在边AD上，则折痕长度为_________cm．‎ 1. 如图，在矩形ABCD中，，AD=4，点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为_____________．‎ ‎ ‎ 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使 ‎∠BQP=90°，则x的取值范围是_____________．‎ 3. 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点．若使P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是_____________________________．‎ 4. 在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30 cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD（如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为___________cm．‎ 图1 图2‎ 1. 在□ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为______________．‎ 2. 在□ABCD中，CD长为6．点E是线段AB上一点，沿直线DE折叠，使点A落在线段DC上．延长DE交直线BC于点F，若△FCD的面积为，则∠ADC=_____________．‎ 3. 在平行四边形ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在平行四边形ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为______________．‎ ‎【参考答案】‎ 1. 或 2. ‎(，3)，(，1)或(，-2)‎ 3. 或 4. 或 5. 或 6. ‎2，或 7. ‎3≤x≤4‎ 8. ‎0，或4＜x＜‎ 9. 或40‎ 10. ‎55°或35°‎ 11. ‎120°或60°‎ 12. ‎6或4‎ 第2讲、依据特征作图——动态几何（讲义）‎ 1. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．‎ ‎（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明．‎ ‎（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B，C分别落在点B′，C′处，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．‎ ‎①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；‎ ‎②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．‎ 图1‎ 图2‎ 1. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设 ‎．（1）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；‎ ‎（2）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．‎ 2. 如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠A=60°，点E为AB中点，过点E作l⊥AB，垂足为点E，点M是直线l上的一点．‎ ‎（1）若平面内存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有______个．‎ ‎（2）连接MA，MD，若∠AMD不小于60°，且设符合题意的点M在直线l上可移动的距离为t，求t的范围．‎ 1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=4，∠C=90°．点D在线段AC上，AD=2CD，点E，F在△ABC的边上，且满足 ‎△DAF与△DEF全等，过点E作EG⊥AB于点G，求线段AG的长．‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）四边形ABCD为平行四边形，证明略；‎ ‎（2）①作图略；②时，B′P⊥AB．‎ 2. ‎（1）；‎ ‎（2）n的值为16或．‎ 3. ‎（1）5；‎ ‎（2）0≤t≤．‎ 4. 线段AG的长为，或4．‎ 第3讲、函数图象的分析与作图（讲义）‎ 1. 已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2，2)，对称轴是直线x=1，顶点为B．‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；‎ ‎（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示∠AMB的正切值；‎ ‎（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．‎ 1. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．‎ ‎（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上．‎ ‎①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；‎ ‎②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的坐标；‎ ‎③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．‎ 图1‎ 2. 已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．‎ ‎（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；‎ ‎（3）设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点，请直接写出t的取值．‎ 1. 如图，抛物线L：（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线（k＞0，x＞0）于点P，且．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；‎ ‎（3）把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G最高点的坐标；‎ ‎（4）设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围．‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）抛物线的表达式为y=-x2+2x+2；点B(1，3)；（2）tan∠AMB=；（3）点Q的坐标为，．‎ 2. ‎（1）作图略；（2）①，曲线L是抛物线；②d1+d2≥；P1(3，5)，P2(-3，5)；‎ ‎③k的取值范围为．‎ 3. ‎（1）二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；顶点D(1，4)；（2）|PC-PD|的最大值为，对应的点P坐标为(-3，0)；（3）≤t＜3，或t≤-3．‎ 4. ‎（1）k的值为6；（2）直线MP与L对称轴之间的距离为；（3）图象G最高点的坐标为；‎ ‎（4）t的取值范围为5≤t≤，7≤t≤．‎ 第4讲、依据背景转化（讲义）‎ 1. 已知点A(-1，1)，B(4，6)在抛物线y=ax2+bx上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图1，点F的坐标为(0，m)（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：FH∥AE．‎ ‎（3）如图2，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重合）．以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段 OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线 经过A，C两点．‎ ‎（1）求此抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. 抛物线y=ax2-bx+4（a≠0）过点A(1，-1)，B(5，-1)，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）如图，⊙O1过A，B，C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），连接MB，作BN⊥MB交ME的延长线于点N，求线段BN长度的最大值．‎ 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(6，0)，B(0，8)，点C的坐标为(0，m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF．‎ ‎（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；‎ ‎（2）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）解析式为；（2）略；（3）t的值为，，或．‎ 1. ‎（1）抛物线的函数表达式为；（2）E1(-，2-)，E2(-1，1)；‎ ‎（3）P1(-1，)，P2(0，)．‎ 2. ‎（1）抛物线的函数表达式为y=x2-6x+4；（2）BN长度的最大值为．‎ 3. ‎（1）CE的长为；（2）满足条件的m的值为0，，或．‎ 第5讲、分析特征转化——整体思考（讲义）‎ 1. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，-1)，顶点C在第一象限，直角顶点B在第四象限，且AB∥x轴．已知抛物线过A，B两点，顶点为P．‎ ‎（1）求点B，C的坐标．‎ ‎（2）平移抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．若点M在直线AC下方，且为平移前抛物线上的点，当以M，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标．‎ 1. 如图1，二次函数的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作x轴的垂线，垂足为N，且S△AMO:S四边形AONB=1:48．‎ ‎（1）求直线AB和直线BC的解析式；‎ ‎（2）如图2，直线AB上有一点K(3，4)，将二次函数沿直线BC平移，平移的距离是t（t≥0），平移后抛物线上点A，C的对应点分别为点A′，C′．当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 已知抛物线C1：y=x2．如图1，平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A(2，0)，C2的对称轴分别交C1，C2于点B，D．‎ ‎（1）求抛物线C2的解析式．‎ ‎（2）探究四边形ODAB的形状，并证明你的结论．‎ ‎（3）如图2，将抛物线C2向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于点M．点N是点M关于x轴的对称点，点P在直线MG上．当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？‎ 1. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D(0，4)，AB=，设点F(m，0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．‎ ‎（1）求抛物线C的函数表达式．‎ ‎（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴右侧有两个不同的公共 点，求m的取值范围．‎ ‎（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点为P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．‎ 图1‎ 图2‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）B(4，-1)；C(4，3)；（2）点M的坐标为(4，-1)，，(-2，-7)，或．‎ 2. ‎（1）lAB：y=x+1；lBC：y=2x-5；（2）当△A′C′K是直角三角形时，t的值为0，，或．‎ 3. ‎（1）抛物线C2的解析式为y=x2-2x；（2）四边形ODAB为正方形，证明略；（3）当m的值为或时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．‎ 4. ‎（1）抛物线C的函数表达式为；（2）2＜m＜；（3）能，m的值为或6．‎ 第6讲、分析特征转化——逆向思考（讲义）‎ 1. 如图，已知抛物线的顶点为D，并与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的坐标．‎ ‎（2）取点E(，0)和点F(0，)，直线l经过E，F两点，点G是线段BD的中点．‎ ‎①判断点G是否在直线l上，请说明理由．‎ ‎②在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(-3，0)，点B的坐标为(4，0)，连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒，连接PQ．‎ ‎（1）填空：b=_________，c=__________；‎ ‎（2）如图2，点N的坐标为(，0)，线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，求出点Q′的坐标．‎ 备用图 图1 图2‎ 1. 如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线l：过点C，交x轴于点E．点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于点M，交抛物线于点N．连接CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. 如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A，B的直线与曲线l相交于点M，N，求△OMN的面积．‎ 2. 如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)．‎ 抛物线经过点A，交y轴于点B(0，-2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；‎ ‎（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）A(，0)，B(，0)，C(0，)，D(，-4)；（2）①G在直线l上，理由略；②存在，M1(，-4)，M2(，)．‎ 2. ‎（1）；4；（2）Q′(，)．‎ 3. 存在，Q1(，0)，Q2(4，0)．‎ 4. ‎△OMN的面积为8．‎ 5. ‎（1）抛物线的解析式为；（2）线段PD的长为或；‎ ‎（3）P1(，)，P2(，)，P3(，)．‎ 第7讲、拆解转化（讲义）‎ 1. 在平面直角坐标系中，直线交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线经过点B，与直线交于点C(4，-2)．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长；‎ ‎（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．‎ 1. 如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）．‎ ‎（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明 理由．‎ ‎（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 1. 如图，已知二次函数y=x2+(1-m)x-m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为对称轴l上一点，且PA=PC．‎ ‎（1）∠ABC的度数为________．‎ ‎（2）求点P的坐标（用含m的代数式表示）．‎ ‎（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q，B，C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 1. 已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．‎ ‎（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；‎ ‎（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；‎ ‎（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于点E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）解析式为；（2）△DEM的周长为；‎ ‎（3）A1的坐标为(，)或(，)．‎ 2. ‎（1）(b，0)；(0，)；（2）存在，点P的坐标为(，)；‎ ‎（3）存在，点Q的坐标为(1，)或(1，4)．‎ 3. ‎（1）45°；（2）P(，)；（3）存在，点Q的坐标为(，0)或(0，)．‎ 4. ‎（1）x=1；（2）证明略；（3）此时抛物线的解析式为y=x2+2x-3．‎ 第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）‎ 1. 我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．‎ 特例感知：‎ ‎（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．‎ ‎①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=_____BC；‎ ‎②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为_________．‎ 猜想论证：‎ ‎（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．‎ 拓展应用 图3‎ ‎（3）如图4，四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．‎ 图4‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 1. ‎【探索发现】‎ 如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．‎ ‎【拓展应用】‎ 如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________（用含a，h的代数式表示）．‎ ‎【灵活应用】‎ 如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．‎ ‎【实际应用】‎ 如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．‎ 图4‎ 图1 图2 图3‎ 备用图 1. 折纸的思考．‎ ‎【操作体验】‎ 用一张矩形纸片折等边三角形．‎ 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（如图1），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（如图2）．‎ 第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到 ‎△PBC．‎ 图1 图2 图3‎ ‎（1）说明△PBC是等边三角形．‎ ‎【数学思考】‎ ‎（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC 经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．‎ 图4 图5‎ ‎（3）已知矩形一边长为3 cm，另一边长为a cm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm和 ‎1 cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm．‎ 1. 已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线交于点E．‎ ‎（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB．‎ ‎（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．‎ ‎（3）如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）．‎ 图1 ‎ 图2‎ 图3‎ ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）①；②4；（2）AD=BC，证明略；（3）存在，“旋补中线”长为．‎ 2. ‎【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】该矩形的面积为720；‎ ‎【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm2．‎ 3. ‎（1）证明略；（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；‎ ‎（3）略；（4）．‎ 4. ‎（1）证明略；（2）四边形ABCD的面积为；‎ ‎（3）AD的长为．‎ 第9讲、依据特征构造——补全模型（讲义）‎ 1. 如图，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=120°，点D，E都在BC上，∠DAE=60°，若BD=2CE，则DE的长为_____．‎ 2. 如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点 G．连接BB′，CC′，若AD=7，CG=4，AB′=B′G，则的值是________．‎ ‎ ‎ 1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，AE与BD交于点F．若DF=，EF=，则BC边的长为____________．‎ 2. 如图，已知△ABC是等边三角形，直线l过点C，分别过A，B两点作AD⊥l于点D，作BE⊥l于点E．若AD=4，BE=7，则△ABC的面积为____________．‎ 3. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，连接BD，AE．‎ ‎（1）如图1，证明：BD=AE．‎ ‎（2）如图2，如果D在AC边上，BD交AE于点F，连接CF，过E作EH⊥CF于点H，若FB-FA=6，CF=4DF，求CH的长．‎ 图1 图2‎ 1. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y=x-3经过B，C两点．‎ ‎（1）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．‎ 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点．‎ ‎①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值．‎ ‎②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【参考答案】‎ ‎1. 2. 3. 4. 5 .（1）证明略；（2）CH的长为． 6.（1）；‎ ‎（2）线段MN的长为．7.（1）抛物线的函数表达式为；（2）①的最大值为；②存在，点D的坐标为(-2，3)，(，)．‎ 第10讲、依据特征构造——最值问题（讲义）‎ 1. 如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC：交y轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．‎ ‎（1）求抛物线y=-x2+bx+c的表达式．‎ ‎（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标．‎ ‎（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；‎ ‎②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM的最小值．‎ ‎ ‎ 1. 如图，抛物线y=ax2+bx-a-b（a＜0，a，b为常数）与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，直线AB的函数关系式为．‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系式与点C的坐标．‎ ‎（2）已知点M(m，0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D，E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？‎ ‎（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）．‎ i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O，B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ ii．试求出此旋转过程中，(NA+NB)的最小值．‎ ‎ ‎ 1. 已知抛物线y=a(x+3)(x-1)（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A，B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D．‎ ‎（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，则当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？‎ ‎ ‎ 1. 如图，抛物线y=x2+bx+c经过B(-1，0)，D(-2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）是否存在点P，使∠APB=90°？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中的用时t最少？‎ 备用图 ‎【参考答案】‎ 1. ‎（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+4；（2）点G的坐标为(-2，4)；（3）①此时E(-2，0)，H(0，-1)；‎ ‎②AM+CM的最小值为．‎ 2. ‎（1）抛物线的函数表达式为；C(1，0)；（2）当m=-4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）i．存在，P点坐标为(0，3)；ii．(NA+NB)的最小值为．‎ 3. ‎（1）抛物线的函数解析式为；（2）点P的坐标为(-4，)或(-6，)；‎ ‎（3）当点E的坐标为(1，)时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．‎ 4. ‎（1）抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）存在，点P的横坐标为或；‎ ‎（3）当点Q的坐标为(-1，4)时，点M在整个运动过程中的用时t最少．‎