北京中考数学一模题几何综合题

北京中考数学一模题几何综合题

‎2017年北京中考数学一模28题“几何综合题”‎ 西城28．在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．‎ ‎（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.‎ ①求证：△BEF是等腰三角形；‎ ②求证：；‎ ‎（2）点E在AB边上，连接CE. 若，在图2.中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路 ‎ 图1 图2 ‎ 朝阳28.在△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE=AD，‎ ‎(1) 如图1，连接AE，DE，当∠AEB=110°时，求∠DAE的度数；‎ ‎(2) 在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE=AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF,DE.‎ ‎ ①依题意补全图形；‎ ‎②求证：BF=DE.‎ 图2‎ 图1‎ 东城28. 在等腰△ABC中，‎ （1） 如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB的对称线 段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；‎ （2） 若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将 线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE.‎ ‎①根据题意在图2中补全图形；‎ ‎②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：‎ 思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；‎ 思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；‎ 思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；‎ ‎……‎ 请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）‎ （3） 小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3 ‎ 房山28. 在△ABC中，AB=BC，∠B=90°，点D为直线BC上一个动点（不与B、C重合），连结AD ‎，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC.‎ ‎（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：‎ ①依题意补全图1；‎ ②求证：∠BAD=∠EDC ③通过观察、实验，小明得出结论：在点D 运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：‎ 想法一：在AB上取一点F，使得BF=BD，要证∠DCE =135°，只需证△ADF≌△DEC.‎ 想法二：以点D为圆心，DC为半径画弧交AC于点F. 要证∠DCE=135°，只需证 ‎△AFD≌△ECD.‎ 想法三：过点E作BC所在直线的垂线段EF，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF.‎ ‎……‎ 请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.‎ ‎（2）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE的度数；如果不是，说明你的理由.‎ 顺义28．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．‎ ‎（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；‎ ‎（2）如图2，连接AH，GH．‎ ‎ 小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：‎ ‎ 想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；‎ ‎ 想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG.‎ ‎ ……‎ ‎ 请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）‎ 平谷28．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE 绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．‎ ‎（1）依题意将图1补全；‎ ‎（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：‎ 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； ‎ 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；‎ 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….‎ 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；‎ ‎（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．‎ 备用图 图1‎ 门头沟28. 已知△ABC，, ,在BA的延长线上任取一点D,过点D作BC的平行线交CA的延长线于点E.‎ ‎（1）当时，如图28-1，依题意补全图形，直接写出EC,BC,ED的数量关系；‎ ‎（2）当时，如图28-2，判断EC,BC,ED之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（3）当时（），请写出EC,BC,ED之间的数量关系并写出解题思路.‎ ‎ ‎ ‎28-1‎ ‎28-2‎ ‎ ‎ 海淀28．在ABCD中，点B关于AD的对称点为，连接，，交AD于F点.‎ ‎（1）如图1，，求证：F为的中点；‎ ‎（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B绕点A旋转的过程中，点F始终为的中点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：‎ ‎ 想法1：过点作∥CD交AD于G点，只需证三角形全等；‎ 想法2：连接交AD于H点，只需证H为的中点；‎ 想法3：连接，，只需证．‎ ‎……‎ 请你参考上面的想法，证明F为的中点．（一种方法即可）‎ ‎（3）如图3，当时，，CD的延长线相交于点E，求的值．‎ ‎ 图2‎ ‎ 图3‎ ‎ 图1‎ 丰台28．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与 ‎ 点B，C，D重合），且AE⊥EF．‎ ‎（1）如图1，当BE = 2时，求FC的长；‎ ‎（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．‎ ‎①依题意将图2补全；‎ ‎②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：‎ 想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．‎ 想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，‎ ‎ 需证△EHP为等腰三角形．‎ 想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，‎ ‎ 要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．‎ 请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）‎ 图1 图2‎ 石景山28．在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接．‎ ‎ （1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点.‎ ‎ ①依题意补全图1；‎ ‎ ②小研通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系：‎ ‎ 与的平方和等于的平方．小研把这个猜想与同学们进行交流，通 ‎ ‎ 过讨论，形成证明该猜想的几种想法：‎ ‎ 想法1： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， 要证， ，‎ ‎ 的关系，只需证，，的关系.‎ ‎ 想法：将沿翻折，得到，要证，，的关系，‎ ‎ 只需证，，的关系. ‎ ‎ ……‎ ‎ 请你参考上面的想法，用等式表示线段，，的数量关系并证明；‎ ‎ （一种方法即可）‎ ‎ （2）如图2，若将直线绕点顺时针旋转，交直线于点.小研完成作 ‎ 图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平 ‎ 方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.‎ 图1 图2‎ 通州28．在等边三角形ABC中，E为直线AB上一点，连接EC.ED与直线BC交于点D，ED=EC.‎ ‎（1）如图1，AB=1，点E是AB的中点，求BD的长；‎ ‎（2）点E是AB边上任意一点（不与AB边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明；‎ ‎（3）点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形.‎ ‎ 图1 图2 图3 ‎ 怀柔28．（1）如图1，在△ACB和△ADB中，∠C=∠D =90°，过A，B，C三点可以作一个圆，此时AB为圆的直径，AB的中点O为圆心.因为∠D=90°，利用圆的定义可知点D也在此圆上，若连接DC，当∠CAB=31°时，利用圆的知识可知∠CDB= 度.‎ ‎（2）如图2，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CE⊥AB于E，点F是CE中点，连接AF并延长交BC于点D.CG⊥AD于点G，连接EG. ‎ ‎ ①求证:BD=2DC;‎ ‎ ②借助（1）中求角的方法，写出求EG长的思路.（可以不写出计算的结果）　‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ 西城28．证明：在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D.‎ ‎ ∴∠ABD=∠CBD，AD=BD．‎ ‎(1) ①∵∠ABC=90°，‎ ‎ ∴∠ACB=45°.‎ ‎ ∵CE平分∠ACB ‎ ∴∠ECB=∠ACE=22.5°.‎ ‎∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°.‎ ‎ ∴BE=BF.‎ ‎∴△BEF是等腰三角形. 2分 ‎ ②延长AB至M，使得BM=AB，连接CM.‎ ‎ ∴BD∥CM，BD=CM ‎∴∠BCM=∠DBC=∠ABD=∠BMC=45°，‎ ‎∠BFE=∠MCE.‎ ‎∴BC=BM.‎ 由①可得，∠BEF=∠BFE，BE=BF.‎ ‎∴∠BFE =∠MCE=∠BEF.‎ ‎∴EM=MC ‎∴ 5分 ‎ (2)∠ACE=∠ABC ‎ a.与（1）②同理可证BD∥PC，BD=PC，BP=BC；‎ ‎ b.由可知△PEC和△BEF分别是等腰三角形；‎ ‎ c.由∠BEF+∠BFE+∠EBF=180°，∠FCD+∠DFC=90°，‎ 可知∠ACE=∠ABC ‎ 7分 东城28.解：‎ ‎（1）30°； …………1分 ‎（2）思路1：如图，连接AE. ‎ ‎…………5分 思路2：过点D作DF∥AB，交AC于F.‎ ‎…………5分 思路3：延长CB至G，使BG=CD.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎…………5分 ‎（3）k(BE+BD)=AC. …………7分 朝阳28．（1）解：∵‎ ‎∴. ‎ ‎（2）①补全图形，如图所示. ‎ ‎ ②证明：由题意可知∠AEF=90°，EF=AE.‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠AEC+∠BEF=∠AEC+∠DAE=90°. ‎ ‎∴∠BEF=∠DAE. ‎ ‎∵BE=AD，‎ ‎∴△EBF≌△ADE． ‎ ‎∴DE=BF． ‎ 房山28.（1）补全图形 ------1分 ‎（2）证明：∵∠B=90º ‎ ‎ ∴∠BAD+∠BDA=90º ‎ ∵∠ADE=90º，点D在线段BC上 ‎ ∴∠BAD+∠EDC=90º ‎ ∴∠BAD=∠EDC ------2分 证法1：在AB上取点F，使得BF=BD，连结DF ------3分 ‎ ∵BF=BD，∠B=90º ‎ ∴∠BFD=45º ‎ ∴∠AFD=135º ‎ ‎∵BA=BC ‎ ∴AF=CD ------4分 ‎ 在△ADF和△DEC中 ‎ ∴△ADF≌△DEC ------5分 ‎ ∴∠DCE=∠AFD=135º ------6分 ‎ ‎ 证法2：以D为圆心，DC为半径作弧交AC于点F，连结DF ------3分 ‎ ∴DC=DF ∠DFC=∠DCF ‎ ∵AB=BC ∠B=90º ‎ ∴∠ACB=45º ∠DFC=45º ‎ ∴∠FDC=90º ∠AFD=135º ‎ ‎ ∵∠ADE=∠FDC=90º ‎ ∴∠ADF=∠EDC ------4分 ‎ 又∵AD=DE DF=DC ‎ ∴△ADF≌△CDE ------5分 ‎ ∴∠AFD=∠DCE=135º ------6分 证法3：过点E作EF⊥BC交BC延长线于点F ------3分 ‎ ∴∠EFD=90º ‎ ∵∠B=90º， ∴∠EFD=∠B ‎ ∵∠BAD=∠CDE，AD=DE ‎ ∴△ABD≌△DEF ------4分 ‎ ∴AB=DF BD=EF ‎ ∵AB=BC ‎ ∴BC=DF，BC-DC=DF-DC 即BD=CF ------5分 ‎ ∴EF=CF ‎ ∵∠EFC=90º ‎ ∴∠ECF=45º，∠DCE=135º ------6分 （2） ‎∠DCE=45º ------7分 顺义28．（1）解：∵ 正方形中ABCD和正方形DEFG，‎ ‎∴ △ABD，△GDF为等腰直角三角形．‎ ‎∵ AB=1，DG=2， ‎ ‎∴ 由勾股定理求得BD=，DF=．…………………………… 2分 ‎∵ B、D、F共线，‎ ‎∴ BF=．‎ ‎∵ H是BF的中点，‎ ‎∴ BH=BF=． …………………………………………………… 3分 ‎5‎ ‎　（2）证法一：‎ 延长AH交EF于点M，连接AG，GM，‎ ‎∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，‎ ‎∴AB∥EF．‎ ‎∴∠ABH=∠MFH．‎ 又∵BH=FH,∠AHB=∠MHF，‎ ‎∴△ABH≌△MFH．…………… 4分 ‎∴AH=MH，AB=MF．‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴AD=MF．‎ ‎∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，‎ ‎∴△ADG≌△MFG．…………… 5分 ‎∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．‎ 又∵∠DGM+∠MGF=90°，‎ ‎∴∠AGD+∠DGM=90°．‎ ‎∴△AGM为等腰直角三角形．…………………………………… 6分 ‎∵AH=MH，‎ ‎∴AH=GH，AH⊥GH．…………………………………………… 7分 证法二：‎ 连接AC，GE分别交BF于点M，N，‎ ‎∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，‎ ‎∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=BD，DN=DF．‎ ‎∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=BF．………………………… 4分 ‎∵H是BF的中点，‎ ‎∴BH=BF．‎ ‎∴BH=MN．‎ ‎∴BH-MH=MN-MH．‎ ‎∴BM=HN．‎ ‎∵AM=BM=DM，‎ ‎∴AM=HN=DM．‎ ‎∴MD+DH=NH+DH．‎ ‎∴MH=DN．‎ ‎∵DN = GN，‎ ‎∴MH = GN．‎ ‎∴△AMH≌△HNG． ……………………………………………… 5分 ‎∴AH=GH，∠AHM=∠HGN． …………………………………… 6分 ‎∵∠HGN+∠GHN=90°，‎ ‎∴∠AHM+∠GHN=90°．‎ ‎∴∠AHG=90°．‎ ‎　　　　∴AH⊥GH． ………………………………………………………… 7分 平谷28．解：（1）如图1， 1‎ 图1‎ ‎（2）‎ 图2‎ 图3‎ 图4‎ 想法1证明：如图2，过D作DG∥AB，交AC于G， 2‎ ‎∵点D是BC边的中点，‎ ‎∴DG=AB．‎ ‎∴△CDG是等边三角形．‎ ‎∴∠EDB+∠EDG=120°．‎ ‎∵∠FDG+∠EDG=120°，‎ ‎∴∠EDB =∠FDG． 3‎ ‎∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，‎ ‎∴△BDE≌△GDF． 4‎ ‎∴DE=DF． 5‎ 想法2证明：如图3，连接AD，‎ ‎∵点D是BC边的中点，‎ ‎∴AD是△ABC的对称轴．‎ 作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上， 2‎ ‎∴△ADE≌△ADP．‎ ‎∴DE=DP，∠AED=∠APD．‎ ‎∵∠BAC+∠EDF=180°，‎ ‎∴∠AED+∠AFD=180°．‎ ‎∵∠APD+∠DPF=180°，‎ ‎∴∠AFD=∠DPF． 3‎ ‎∴DP=DF． 4‎ ‎∴DE=DF． 5‎ 想法3证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AB于N， 2‎ ‎∵点D是BC边的中点，‎ ‎∴AD平分∠BAC．‎ ‎∵DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，‎ ‎∴DM=DN． 3‎ ‎∵∠A=60°，‎ ‎∴∠MDE+∠EDN=120°．‎ ‎∵∠FDN+∠EDN=120°，‎ ‎∴∠MDE=∠FDN．‎ ‎∴Rt△MDE≌Rt△NDF． 4‎ ‎∴DE=DF． 5‎ ‎（3）当点F在AC边上时，； 6‎ 当点F在AC延长线上时，． 7‎ 门头沟28.（1）补全图形正确 . …………………1分 ‎ 数量关系：EC=BC + ED. …………2分 ‎ （2）数量关系：.‎ 过D作DF∥AC交BC延长线于F点 ‎∵DF∥AC，ED∥BC，‎ ‎∴四边形ADCF为平行四边形.‎ ‎∴ED=CF , EC=DF.‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB.‎ ‎∵ED∥BC，‎ ‎∴∠DEC=∠ECB, ∠EDB=∠DBC.‎ ‎∴∠CED=∠BDE.‎ ‎∴AE=AD.‎ ‎∴EC=BD . …………………3分 ‎∴BD=DF.‎ ‎∵DF∥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠BAC=90°. ‎ ‎∴△BDF为等腰直角三角形.…………………4分 在Rt△BDF中 ‎∵BF2=BD2+DF2，‎ ‎∴(BC+ED)2=2EC2.‎ ‎ . …………………5分 ‎（3）数量关系：.……6分 ‎ ①由（2）可知四边形ACFD为平行四边形，△BDF为等腰三角形 ‎ 过D点作DN⊥BC于N点可得BN=BF，∠BDN=.‎ ‎②在Rt△BDN中 Sin∠BDN==sin . ‎ 可得.……………………………7分 海淀28．（1）证明：‎ ‎ ∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，‎ ‎ ∴□ABCD为矩形，AB=CD.‎ ‎∴. ∠D =∠BAD = 90°.‎ ‎ ∵ B，关于AD对称，‎ ‎ ∴ ∠AD=∠BAD=90°，AB=A．----------------- 1分 ‎ ∴ ∠AD=∠D．‎ ‎ ∵ ∠AF=∠CFD，‎ ‎ ∴ △AF≌ △CFD（AAS）.‎ ‎ ∴ F=FC．‎ ‎ ∴ F是C的中点． ---------------------------------------------------------------------------- 2分 ‎ （2）证明：‎ 方法1：过点作∥CD交AD于点G．‎ ‎ ∵ B，关于AD对称，‎ ‎ ∴ ∠1=∠2，AB=A．‎ ‎ ∵ G∥CD， AB∥CD，‎ ‎ ∴ G∥AB．‎ ‎ ∴ ∠2=∠3．‎ ‎ ∴ ∠1=∠3．‎ ‎ ∴ A=G．‎ ‎ ∵ AB=CD，AB=A，‎ ‎ ∴ G=CD． ------------------------------------------------------------------------------------- 3分 ‎ ‎ ∵ G∥CD，‎ ‎ ∴ ∠4=∠D．----------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ‎ ∵ ∠FG=∠CFD，‎ ‎ ∴ △FG ≌ △CFD（AAS）.‎ ‎ ∴ F=FC．‎ ‎ ∴ F是C的中点． ---------------------------------------------------------------------------- 5分 方法2：连接交直线AD于H点，‎ ‎ ∵ B，关于AD对称，‎ ‎∴ AD是线段B的垂直平分线．‎ ‎∴ H=HB．----------------------------- 3分 ‎ ‎∵ AD∥BC，‎ ‎∴ ．-------------------- 4分 ‎ ‎∴ F=FC．‎ ‎ ∴ F是C的中点． --------------------------------------------------------------------------- 5分 ‎ 方法3：连接，，‎ ‎∵ B，关于AD对称，‎ ‎∴ AD是线段B的垂直平分线．‎ ‎∴ F=FB．----------------------------- 3分 ‎∴ ∠1=∠2．‎ ‎∵ AD∥BC，‎ ‎∴ B⊥BC．‎ ‎∴ ∠BC=90°．‎ ‎∴ ∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°．‎ ‎∴ ∠3=∠4．‎ ‎∴ FB=FC．------------------------------------------------------------------------------------------- 4分 ‎∴ F=FB=FC．‎ ‎∴ F是C的中点． --------------------------------------------------------------------------- 5分 ‎（3）解：取E的中点G，连结GF.‎ ‎ ∵ 由（2）得，F为C的中点，‎ ‎ ∴ FG∥CE，．…①‎ ‎ ∵ ∠ABC=135°，□ABCD中，AD∥BC，‎ ‎ ∴ ∠BAD=180°-∠ABC=45°．‎ ‎ ∴ 由对称性，∠EAD=∠BAD=45°.‎ ‎ ∵ FG∥CE，AB∥CD，‎ ‎ ∴ FG∥AB．‎ ‎∴ ∠GFA=∠FAB=45°. ----------------------------------------------------------------------------- 6分 ‎ ∴ ∠FGA=90°，GA=GF．‎ ‎ ∴ ．…②‎ ‎ ∴ 由①，②可得． ------------------------------------------------------------------ 7分 丰台28. 解：（1）∵正方形ABCD的边长为5， BE=2，‎ ‎ ∴EC=3. ‎ F A D C B E ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎ ∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎ ∴∠B=∠C= 90°，‎ ‎ ∴∠1+∠3=90°，‎ ‎∵AE⊥EF，‎ ‎ ∴∠2+∠3=90°，‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ ∴△ABE∽△ECF，‎ ‎∴，即 ‎∴FC=. ………………………………………………………………………2分 ‎（2）①依题意补全图形. ……………………………………………………………3分 B C E D A F P G ‎1‎ ‎2‎ ‎②法1：‎ ‎ 证明：在AB上截取AG=EC，连接EG.‎ ‎ ∵AB= BC，∴GB=EB.‎ ‎ ∵∠B=90°，∴∠BGE=45°，∴∠AGE=135°.‎ ‎ ∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分线，‎ ‎ ∴∠ECP=135°.‎ ‎ ∴∠AGE=∠ECP.‎ ‎ 又∵∠1=∠2，∴△AGE≌△ECP.‎ ‎ ∴AE=PE. ………………………………………………………………7分 ‎1‎ ‎2‎ B C E D A F P H ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ 法2：‎ ‎ 证明：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH.‎ ‎ ∴AB=BH=BC，∠1=∠4，∠ABE=∠HBE=90°.‎ ‎ ∴∠BHC=∠BCH =45°，∠4+∠5=45°. ‎ ‎∵∠1=∠2，‎ ‎ ∴∠2+∠5=45°.‎ ‎ ∵∠ECP=135°，‎ ‎∴∠HCP=180°，点H，C，P在同一条直线上.‎ ‎ ∵∠6=∠2+∠P=45°， ‎ ‎∴∠5 =∠P.‎ ‎∴AE=PE. ………………………………………………………………7分 ‎ 法3：‎ ‎ 证明：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM.‎ ‎ ∴MB=EB，∴∠MEB=45°，∠MEC=135°.‎ B C E D A F P M ‎1‎ ‎ 由法1∠ECP=135°，∴∠MEC=∠ECP.‎ ‎ ∴ME∥PC.‎ ‎ 又∵AB=BC，∠ABC=∠MBC=90°.‎ ‎ ∴△ABE≌△CBF.‎ ‎∴∠1=∠BCM，MC=AE.‎ ‎ ∴MC∥EP.‎ ‎∴四边形MCPE为平行四边形. ‎ ‎∴MC=PE.‎ ‎∴AE=PE. ………………………………………………………………7分 石景山28．（1）①依题意补全图形，如图1．…………………… 1分 ‎ ②线段，，的数量关系为：． ……… 2分 ‎ ‎ 图2‎ 图1‎ ‎ 证法一：‎ ‎ 过点作于点且，‎ ‎ 连接，，如图2．‎ ‎ ∵四边形是正方形，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴． ………………………………… 3分 ‎ ∴．‎ ‎ ∵，，‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴． ………………………………… 4分 ‎ ∴，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 在中，．‎ ‎ ∴． ………………………………… 5分 ‎ 证法二：‎ ‎ 作，且，连接，，如图3．‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴． ………………………………… 3分 ‎ ∴．‎ ‎ ∵四边形是正方形，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ 图3‎ ‎ ∵，‎ ‎ ，‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴． ………………………………… 4分 ‎ ∴，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴在中，．‎ ‎ ∴． ………………………………… 5分 ‎ （2）用等式表示这三条线段的数量关系：． …………… 7分 通州 ‎28.解：（1）……………………..(1分)‎ ‎ …………..(2分)‎ ‎（2）AE=BD ……..(3分)‎ 证明思路1：利用等边三角形的性质，‎ 证明△BDE与EC所在的三角形全等；‎ 证明思路2：利用等腰三角形的轴对称性，‎ 作出△BDE的轴对称图形；‎ 证明思路3:将△BDE绕BE边的中点旋转180°，‎ 构造平行四边形； ……………………..(6分)‎ ‎……‎ ‎（3）图形正确 ……………………..(7分)‎ 怀柔28． 解：（1）31°. ……………………………2分 ‎（2）①过点E作EH∥AD交CB于H点. ……………………3分 ‎∵CE⊥AB于点E，AC=BC，‎ ‎∴点E是AB中点.∴BH=DH. ‎ ‎∵点F是CE中点，∴HD=DC.‎ ‎∴BD=2CD. ……………………………4分 ②∵CE⊥AB于点E，∴∠CEA=90°.‎ ‎∵CG⊥AD于点G，∴∠CGA=90°.∴AC为圆的直径. ‎ ‎∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAE =45°.‎ ‎∵CE⊥AB于点E，∴∠ACE =45°.∴∠AGE=45°. ……………………………5分 方法1：解斜三角形法 在Rt△DCA中，因为∠C =90°, CG⊥AD于点G，DC=1.‎ 所以可以求出CG的长. ……………………………6分 又因为∠CGE==135°,CE=.‎ 解△ECG可求出EG的长.（此题解△AEG也可行）…………………7分 方法2：证明等腰直角三角形法.‎ 延长CG交EH于M点.‎ 因为EH∥AD交CB于H点，点F是CE中点，‎ 所以点G为MC的中点. ‎ 因为AD=.‎ ‎∴CG=.∴MG=.……………………6分 因为∠EGA=∠ACE=45°,所以∠CGE==135°.‎ 所以∠MGE=∠GEM=45°,所以GE可解.‎ ‎∵ME=MG=.，∴EG=.………………………7分 方法3：相似法 ‎∵AC=BC=3，∴AB=.∴AE=.‎ ‎∵CD=1，∴BD=2，AD. ‎ ‎∵∠AGE=∠B= 45°, ∠DAB=∠EAD.∴△AGE△ABD. …………………6分 ‎∴.∴.∴EG=.………………………7分 方法4：旋转法：过E 作EK⊥GE交AD于点K，‎ 可证△AKE△CGE（ASA）. …………………6分 ‎∴AK=CG=.∵CD=1，AD,∴DG=.‎ ‎∴KG=.∴EG=.……………………………7分