中考数学一轮复习讲义因式分解

中考数学一轮复习讲义因式分解

‎2018届中考数学一轮复习讲义 第4讲因式分解 ‎【知识巩固】‎ ‎1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。‎ ‎2、因式分解的常用方法 ‎（1）提公因式法：‎ ‎（2）运用公式法：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）分组分解法：‎ ‎（4）十字相乘法：‎ ‎3、因式分解的一般步骤：‎ ‎（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。‎ ‎（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 ‎（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。‎ ‎【典例解析】‎ 典例一、提取公因式 下列多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+‎2a2b，它们的公因式是　a+2b　．‎ 考点： 公因式．‎ 分析： 根据完全平方公式，平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，然后即可确定公因式．‎ 解答： 解：①a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）；‎ ‎②a2+4ab+4b2=（a+2b）2；‎ ‎③a2b+2ab2=ab（a+2b）；‎ ‎④a3+‎2a2b=a2（a+2b），‎ 它故多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+‎2a2b的公因式是a+2b．‎ 故答案为：a+2b．‎ 点评： 本题主要考查公因式的确定，先分解因式是确定公因式是解题的关键．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（2016·江西·3分）分解因式：ax2﹣ay2=　a（x+y）（x﹣y）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：ax2﹣ay2，‎ ‎=a（x2﹣y2），‎ ‎=a（x+y）（x﹣y）．‎ 故答案为：a（x+y）（x﹣y）．‎ 典例二、平方差公式 ‎（2017广西河池）分解因式：x2﹣25=　（x+5）（x﹣5）　．‎ ‎【考点】：因式分解﹣运用公式法．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．‎ 故答案为：（x+5）（x﹣5）．‎ ‎【变式训练】‎ 化简：（x+1）（x2+1）（x4+1）…（x2015+1）（x﹣1）‎ 考点：平方差公式．‎ 分析：根据平方差公式，可得答案．‎ 解答：解：原式=（x2﹣1）（x2+1）（x4+1）…（x2015+1）‎ ‎=（x4﹣1）（x4+1）…（x2015+1）‎ ‎=（x2015﹣1）（x2015+1）‎ ‎=x4030﹣1．‎ 点评： 本题考查了平方差公式，多次利用了平方差公式．‎ 典例三、完全平方式 下列各式中，计算正确的是（ ）‎ A． （a﹣b）2=a2﹣b2 B． （2x﹣y）2=4x2﹣2xy+y2‎ C． （﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2 D． ﹣（x﹣y）2=2xy﹣x2﹣y2‎ ‎【考点】完全平方公式．‎ ‎【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．依此计算即可求解．‎ ‎【解答】解：A、应为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；‎ B、应为（2x﹣y）2=4x2﹣4xy+y2，故本选项错误；‎ C、应为（﹣a﹣b）（a+b）=﹣a2﹣2ab﹣b2，故本选项错误；‎ D、﹣（x﹣y）2=2xy﹣x2﹣y2，正确．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．‎ ‎【变式训练】‎ 在单项式x2，﹣4xy，y2，2xy.4y2，4xy，﹣2xy，4x2中，可以组成不同完全平方式的个数是（　　）‎ A． 4 B． 5 C． 6 D． 7‎ ‎【考点】完全平方式．‎ ‎【分析】根据完全平方公式的公式结构解答即可．‎ ‎【解答】解：x2+2xy+y2=（x+y）2，‎ x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2，‎ ‎4x2+4xy+y2=（2x+y）2，‎ x2+4xy+4y2=（x+2y）2，‎ ‎4x2﹣4xy+y2=（2x﹣y）2，‎ x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2，‎ 所以，共可以组成6个不同的完全平方式．‎ 故选C．‎ 点评： 本题考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．‎ 典例四、提取公因式与公式法的综合应用 ‎（2017毕节）分解因式：2x2﹣8xy+8y2=　2（x﹣2y）2　．‎ ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．‎ ‎【解答】解：2x2﹣8xy+8y2‎ ‎=2（x2﹣4xy+4y2）‎ ‎=2（x﹣2y）2．‎ 故答案为：2（x﹣2y）2．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（2017广东）分解因式：a2+a=　a（a+1）　．‎ ‎【考点】53：因式分解﹣提公因式法．‎ ‎【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：a2+a=a（a+1）．‎ 故答案为：a（a+1）．‎ 典例五、因式分解的应用 ‎（2017贵州安顺）已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为　3　．‎ ‎【考点】59：因式分解的应用．‎ ‎【分析】根据x+y=，xy=，可以求得x2y+xy2的值．‎ ‎【解答】解：∵x+y=，xy=，‎ ‎∴x2y+xy2‎ ‎=xy（x+y）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=3，‎ 故答案为：．‎ ‎【变式训练】‎ 因式分解a2b﹣b的正确结果是（　　）‎ A．b（a+1）（a﹣1） B．a（b+1）（b﹣1） C．b（a2﹣1） D．b（a﹣1）2‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【专题】因式分解．‎ ‎【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：a2b﹣b ‎=b（a2﹣1）‎ ‎=b（a+1）（a﹣1）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎【能力检测】‎ ‎1.‎ ‎2. （2017浙江湖州）把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是　x（x﹣3）　．‎ ‎【考点】53：因式分解﹣提公因式法．‎ ‎【分析】直接提公因式x即可．‎ ‎【解答】解：原式=x（x﹣3），‎ 故答案为：x（x﹣3）．‎ ‎3. （2017贵州安顺）分解因式：x3﹣9x=　x（x+3）（x﹣3）　．‎ ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．‎ ‎【解答】解：原式=x（x2﹣9）‎ ‎=x（x+3）（x﹣3），‎ 故答案为：x（x+3）（x﹣3）．‎ ‎4. 已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则ab的值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 考点：完全平方公式．‎ 分析：两个式子相减，根据完全平方公式展开，合并同类项，再系数化为1即可求解．‎ 解答：解：（a+b）2﹣（a﹣b）2‎ ‎=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2‎ ‎=4ab ‎=7﹣4‎ ‎=3，‎ ab=．‎ 故选：C．‎ 点评：本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．‎ ‎5. 已知=　6　．‎ 考点： 完全平方公式．‎ 分析： 把a﹣=2两边平方，然后整理即可得到a2+的值．‎ 解答： 解：∵（a﹣）2=a2﹣2+=4，‎ ‎∴a2+=4+2=6．‎ 点评： 本题主要考查了完全平方式的运用，利用好乘积二倍项不含字母是个常数，是解题的关键．‎ ‎6. 若（﹣‎7m+A）（4n+B）=16n2﹣‎49m2‎，则A=　4n　，B=　‎7m　．‎ 考点：因式分解-运用公式法．‎ 分析：直接利用平方差公式因式分解，进而得出A，B的值．‎ 解答：解：∵（﹣‎7m+A）（4n+B）=16n2﹣‎49m2‎，‎ ‎∴16n2﹣‎49m2‎=（4n+‎7m）（4n﹣‎7m），‎ ‎∴A=4n，B=‎7m，‎ 故答案为：4n，‎7m．‎ 点评： 此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的形式是解题关键．‎ ‎7. （2017哈尔滨）把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是　a（2x+3y）（2x﹣3y）　．‎ ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=a（4x2﹣9y2）=a（2x+3y）（2x﹣3y），‎ 故答案为：a（2x+3y）（2x﹣3y）‎ ‎8. 因式分解：x3﹣4xy2=　x（x+2y）（x﹣2y）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．‎ ‎【解答】解：x3﹣4xy2，‎ ‎=x（x2﹣4y2），‎ ‎=x（x+2y）（x﹣2y）．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后继续进行二次因式分解是关键，注意分解因式要彻底．‎ ‎9. 分解因式：2x3﹣4x2+2x=　2x（x﹣1）2　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．‎ ‎【解答】解：2x3﹣4x2+2x，‎ ‎=2x（x2﹣2x+1），‎ ‎=2x（x﹣1）2．‎ 故答案为：2x（x﹣1）2．‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎10. （2017山东聊城）因式分解：2x2﹣32x4=　2x2（1+4x）（1﹣4x）　．‎ ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：2x2﹣32x4‎ ‎=2x2（1﹣16x2）‎ ‎=2x2（1+4x）（1﹣4x）．‎ 故答案为：2x2（1+4x）（1﹣4x）．‎ ‎11. ①一个多项式除以‎2m得1﹣m+m2，这个多项式为　‎2m﹣‎2m2‎+‎2m3‎　．‎ ‎②　6x2+5x﹣6　÷（2x+3）=（3x﹣2）．‎ ‎③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是‎3a2b﹣ab2，则小丽报的是　a﹣b　；若小丽报的是‎9a2b，则小玉报的整式是　‎27a3b2　．‎ ‎④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为　a+c　 m．‎ 考点： 整式的混合运算．‎ 分析： ①利用‎2m乘1﹣m+m2计算即可；‎ ‎②把除式和商相乘即可；‎ ‎③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；‎ ‎④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．‎ 解答： 解：①‎2m（1﹣m+m2）=‎2m﹣‎2m2‎+‎2m3‎；‎ ‎②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；‎ ‎③（‎3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，‎ ‎3ab•‎9a2b=‎27a3b2；‎ ‎④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，‎ ‎∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，‎ 而此块地的宽为（a+b）米，‎ ‎∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）‎ ‎=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）‎ ‎=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]‎ ‎=（a+b）（a+c）÷（a+b）‎ ‎=a+c．‎ 故答案为：‎2m﹣‎2m2‎+‎2m3‎；6x2+5x﹣6；a﹣b，‎27a3b2；a+c．‎ 点评： 此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．‎