中考数学真题解析汇编操作探究

中考数学真题解析汇编操作探究

操作探究 一.选择题 ‎1. (2014•黑龙江牡丹江, 第7题3分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（　　）‎ 第1题图 ‎　 A．30° B． 40° C． 50° D． 60°‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）．‎ 分析： 根据折叠的性质可知，折叠前后的两个三角形全等，则∠D=∠A，∠MCD=∠MCA，从而求得答案．‎ 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，‎ ‎∴AM=MC=BM，‎ ‎∴∠A=∠MCA，‎ ‎∵将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，‎ ‎∴CM平分∠ACD，∠A=∠D，‎ ‎∴∠ACM=∠MCD，‎ ‎∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°‎ ‎∴∠A=∠BCD ‎∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°‎ ‎∴∠A=30°．‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．‎ ‎0.‎ ‎2．（2014•四川绵阳,第12题3分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎=‎ B．‎ ‎=‎ C．‎ ‎=‎ D．‎ ‎=‎ 考点：‎ 切线的性质；平行线的判定与性质；三角形中位线定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）连接AQ，易证△OQB∽△OBP，得到，也就有，可得△OAQ∽OPA，从而有∠OAQ=∠APO．易证∠CAP=∠APO，从而有∠CAP=∠OAQ，则有∠CAQ=∠BAP，从而可证△ACQ∽△ABP，可得，所以A正确．‎ ‎（2）由△OBP∽△OQB得，即，由AQ≠OP得，故C不正确．‎ ‎（3）连接OR，易得=，=2，得到，故B不正确．‎ ‎（4）由及AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR可得，由AB≠AP得，故D不正确．‎ 解答：‎ 解：（1）连接AQ，如图1，‎ ‎∵BP与半圆O于点B，AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ABP=∠ACB=90°．‎ ‎∵OQ⊥BC，‎ ‎∴∠OQB=90°．‎ ‎∴∠OQB=∠OBP=90°．‎ 又∵∠BOQ=∠POB，‎ ‎∴△OQB∽△OBP．‎ ‎∴．‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴．‎ 又∵∠AOQ=∠POA，‎ ‎∴△OAQ∽△OPA．‎ ‎∴∠OAQ=∠APO．‎ ‎∵∠OQB=∠ACB=90°，‎ ‎∴AC∥OP．‎ ‎∴∠CAP=∠APO．‎ ‎∴∠CAP=∠OAQ．‎ ‎∴∠CAQ=∠BAP．‎ ‎∵∠ACQ=∠ABP=90°，‎ ‎∴△ACQ∽△ABP．‎ ‎∴．‎ 故A正确．‎ ‎（2）如图1，‎ ‎∵△OBP∽△OQB，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵AQ≠OP，‎ ‎∴．‎ 故C不正确．‎ ‎（3）连接OR，如图2所示．‎ ‎∵OQ⊥BC，‎ ‎∴BQ=CQ．‎ ‎∵AO=BO，‎ ‎∴OQ=AC．‎ ‎∵OR=AB．‎ ‎∴=，=2．‎ ‎∴≠．‎ ‎∴．‎ 故B不正确．‎ ‎（4）如图2，‎ ‎∵，‎ 且AC=2OQ，AB=2OB，OB=OR，‎ ‎∴．‎ ‎∵AB≠AP，‎ ‎∴．‎ 故D不正确．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎3．（2014•浙江绍兴,第9题4分）将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对着两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 剪纸问题．‎ 分析：‎ 按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．‎ 解答：‎ 解：由题意要求知，展开铺平后的图形是B．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪看看，可以培养空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•江西，第5题3分）如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐奢压扁，剪去上面一截后，正好合适。以下裁剪示意图中，正确的是（ ）．‎ ‎【答案】 A.‎ ‎【考点】 图形与变换．‎ ‎【分析】 可用排除法，B、D两选项肯定是错误的，正确答案为A.‎ ‎【解答】 答案为A。‎ ‎5．‎ 二.填空题 ‎1.（2014•贵州黔西南州, 第19题3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=　45　°．‎ 第1题图 考点：‎ 角的计算；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：‎ 根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ 根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，‎ ‎∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，‎ ‎∴∠EBD+∠DBF=45°，‎ 即∠EBF=45°，‎ 故答案为：45°．‎ 点评：‎ 此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题．‎ 三.解答题 ‎1. (2014•陕西,第26题12分)问题探究 ‎（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；[中国教@育出&版%网#~]‎ 问题解决 ‎（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=‎270m，AE=‎400m，ED=‎285m，CD=‎340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎[中国~@^教#&育出版网]‎ 考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网 专题： 压轴题；存在型．‎ 分析： （1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．‎ ‎（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．‎ ‎（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．‎ 解答： 解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，‎ 则PA=PD．‎ ‎∴△PAD是等腰三角形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形 ‎∴AB=DC，∠B=∠C=90°．‎ ‎∵PA=PD，AB=DC ‎∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．‎ ‎∴BP=CP．‎ ‎∵BC=4，‎ ‎∴BP=CP=2．‎ ‎②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，．‎ 则DA=DP′．‎ ‎∴△P′AD是等腰三角形．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．‎ ‎∵AB=3，BC=4，‎ ‎∴DC=3，DP′=4．‎ ‎∴CP′==．‎ ‎∴BP′=4﹣．‎ ‎③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，‎ 则AD=AP″．‎ ‎∴△P″AD是等腰三角形．‎ 同理可得：BP″=．‎ 综上所述：在等腰三角形△ADP中，‎ 若PA=PD，则BP=2；‎ 若DP=DA，则BP=4﹣；‎ 若AP=AD，则BP=．‎ ‎（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC，EF=BC．‎ ‎∵BC=12，‎ ‎∴EF=6．‎ 以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．‎ ‎∵AD⊥BC，AD=6，‎ ‎∴EF与BC之间的距离为3．‎ ‎∴OQ=3‎ ‎∴OQ=OE=3．‎ ‎∴⊙O与BC相切，切点为Q．‎ ‎∵EF为⊙O的直径，‎ ‎∴∠EQF=90°‎ 过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．‎ ‎∵EG⊥BC，OQ⊥BC，‎ ‎∴EG∥OQ．‎ ‎∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，‎ ‎∴四边形OEGQ是正方形．‎ ‎∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．‎ ‎∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，‎ ‎∴BG=．‎ ‎∴BQ=GQ+BG=3+．‎ ‎∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．‎ ‎（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°‎ 理由如下：‎ 以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，‎ 作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．‎ 设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，‎ 过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．‎ 则⊙O是△ABG的外接圆，‎ ‎∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，‎ ‎∴AP=PB=AB．‎ ‎∵AB=270，‎ ‎∴AP=135．‎ ‎∵ED=285‎ ‎∴OH=285﹣135=150．‎ ‎∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，‎ ‎∴∠BAK=∠GAK=30°．‎ ‎∴OP=AP•tan30°‎ ‎=135×‎ ‎=45．‎ ‎∴OA=2OP=90．‎ ‎∴OH＜OA．‎ ‎∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．‎ ‎∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．‎ ‎∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，‎ ‎∴HM=‎ ‎=‎ ‎=30．‎ ‎∵AE=400，OP=45，‎ ‎∴DH=400﹣45．‎ 若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．‎ ‎∵400﹣45+30＞340，‎ ‎∴DM＞CD．‎ ‎∴点M不在线段CD上，应舍去．‎ 若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．‎ ‎∵400﹣45﹣30＜340，‎ ‎∴DM＜CD．‎ ‎∴点M在线段CD上]‎ 综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，‎ 此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．‎ 点评： 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．‎ ‎　‎