中考数学真题分类汇编150套专题三十四矩形菱形正方形

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中考数学真题分类汇编150套专题三十四矩形菱形正方形

一、选择题 ‎1.(2010江苏苏州)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,,BE=2,则tan∠DBE的值是 A. B.‎2 C. D.‎ ‎【答案】B ‎2.(2010湖南怀化)如图2,在菱形ABCD中,‎ 对角线AC=4,∠BAD=120°,‎ 则菱形ABCD的周长为( )‎ A.20 B.18 ‎ C.16 D.15‎ ‎【答案】C ‎3.(2010安徽芜湖)下列命题中是真命题的是()‎ A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.两边相等的平行四边形是菱形 ‎【答案】C ‎4.(2010甘肃兰州)如图所示,菱形ABCD的周长为20,DE⊥AB,垂足为E,A=,则下列结论正确的个数有 ‎ ① ② ③菱形的面积为 ④‎ ‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎5.(2010江苏南通) 如图,菱形ABCD中,AB = 5,∠BCD = 120°,则对角线 AC的长是 B A C D ‎(第8题)‎ A.20 B.15‎ C.10 D.5‎ ‎【答案】D ‎6.(2010江苏盐城)如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线AC=6,BD=8,则此菱形 的边长为 A.5 B.‎6 ‎ C.8 D.10‎ A B C D ‎(第6题)‎ ‎【答案】A ‎7.(2010 浙江省温州)下列命题中,属于假命题的是(▲)‎ ‎ A.三角形三个内角的和等于l80° B.两直线平行,同位角相等 ‎ C.矩形的对角线相等 D.相等的角是对顶角.‎ ‎【答案】D ‎ ‎8.(2010 浙江省温州)如图,AC;BD是矩形ABCD的对角线,过点D作DE//AC交BC的延长线于E,则图中-与AABC全等的 三角形共有(.▲)‎ ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】D ‎ ‎9.(2010 浙江义乌)下列说法不正确的是( ▲ )‎ A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 ‎【答案】D ‎ ‎10.(2010 重庆)已知:如图,在正方形外取一点,连接 ‎,,.过点作的垂线交于点.‎ 若, .下列结论:‎ ‎①△≌△;②点到直线的距离为;‎ ‎③;④;⑤.‎ ‎10题图 其中正确结论的序号是( )‎ A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤ ‎ ‎【答案】D ‎11.(2010山东聊城)如图,点P是矩形ABCD的边AD的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )‎ A.   B.  C.   D.不确定 ‎【答案】A ‎ ‎12.(2010 福建晋江)如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作;然后,将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二次操作;再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到10个小正方形,称为第三次操作;...,根据以上操作,若要得到2011个小正方形,则需要操作的次数是( ) .‎ 第7题图 A. 669 B. ‎670  ‎C.671 D. 672‎ ‎【答案】B ‎ ‎13.(2010 山东济南) 如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动,行走2010厘米后停下,则这只蚂蚁停在 点.‎ C A F D E B G ‎【答案】C ‎ ‎14.(2010 江苏连云港)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )‎ A B C D 第7题 A.BA=BC B.AC、BD互相平分 C.AC=BD D.AB∥CD ‎【答案】B ‎ ‎15.(2010福建宁德)如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个 直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是( ).‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎10‎ A.2+ B.2+‎2‎ C.12 D.18‎ ‎【答案】B ‎16.(2010江西)如图,已知矩形纸片ABCD,点E 是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为( )‎ A.4 B.‎3 C.2 D.1‎ B A G C D H E ‎(第8题图)‎ ‎【答案】B ‎ ‎17.(2010 山东滨州) 如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为( ) ‎ A.60° B.30° C.45° D.90°‎ ‎【答案】C ‎ ‎18.(2010山东潍坊)如图,已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形(含三角形),若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N不可能是( ).‎ ‎【答案】D ‎ ‎19.(2010北京) 若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为( )‎ A.20 B.‎16 ‎ C.12 D. 10‎ ‎【答案】A ‎ ‎20.(2010 浙江省温州)下列命题中,属于假命题的是(▲)‎ ‎ A.三角形三个内角的和等于l80° B.两直线平行,同位角相等 ‎ C.矩形的对角线相等 D.相等的角是对顶角.‎ ‎【答案】D ‎21.(2010 浙江义乌)下列说法不正确的是( ▲ )‎ A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 ‎【答案】D ‎ ‎22.(2010陕西西安)若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线长的平方和为 ‎ A.16 B.‎8 ‎C.4 D.1‎ ‎【答案】A ‎ ‎23.(2010江西省南昌)如图,已知矩形纸片,点是的中点,点是上的一点,‎ ‎,现沿直线将纸片折叠,使点落在约片上的点处,‎ 连接,则与相等的角的个数为 ( )‎ A.4 B. ‎3 C.2 D.1‎ ‎ (第10题)‎ ‎【答案】B ‎24.(2010湖北襄樊)下列命题中,真命题有( )‎ ‎ (1)邻补角的平分线互相垂直 (2)对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎ (3)四边形的外角和等于360° (4)矩形的两条对角线相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】C ‎ ‎25.(2010湖北襄樊)菱形的周长为‎8cm,高为‎1cm,则菱形两邻角度数比为( )‎ A.3:1 B.4:‎1 ‎ C.5:1 D.6:1 ‎ ‎【答案】C ‎ ‎26.(2010 四川泸州)如图1,四边形ABCD是正方形,E是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合,则θ的取值可能为( )‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎【答案】A ‎ ‎27.(2010 山东淄博)如图所示,把一长方形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠AMD′=36°,则∠NFD′等于 ‎(A)144° A B C D D′‎ C′‎ N M F ‎(第10题)‎ (B)126° ‎ ‎(C)108° (D)72°‎ ‎【答案】B ‎ ‎28.(2010 天津)下列命题中正确的是 ‎(A)对角线相等的四边形是菱形 ‎ ‎(B)对角线互相垂直的四边形是菱形 ‎(C)对角线相等的平行四边形是菱形 ‎(D)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ‎【答案】D ‎29.(2010 湖南湘潭)下列说法中,你认为正确的是 A.四边形具有稳定性 B.等边三角形是中心对称图形 C.任意多边形的外角和是360o D.矩形的对角线一定互相垂直 ‎【答案】C ‎30.(2010 福建泉州南安)已知四边形中,,如果添加 一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎31.(2010 四川自贡)边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′,两图叠成一个“蝶形风筝”(如图所示阴影部分),则这个风筝的面积是( )。‎ A.2- B.‎ C.2- D.2 ‎ ‎【答案】A ‎ ‎32.(2010 山东荷泽)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,记与点A重合点为A',则△A'BG的面积与该矩形的面积比为 A. B. C. D.‎ A B C D G A'‎ ‎【答案】C ‎ ‎33.(2010 山东荷泽) 如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2㎝,E、F分别是BC、CD的中点,连结AE、EF、AF,则△AEF的周长为 A.㎝ B.㎝ C.㎝ D.3㎝ ‎8题图 A B C D E F ‎【答案】B ‎ ‎34.(2010青海西宁) 矩形ABCD中,E、F、M为AB、BC、CD边上的点,且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM的长为 A.5 B. C.6 D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎35.(2010广西南宁)正方形、正方形和正方形的位置如图所示,点在线段上,正方形的边长为4,则 的面积为:‎ ‎(A)10 (B)12 (C)14 (D)16‎ ‎【答案】D ‎ ‎36.(2010广东茂名)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形,边与DC交于点O,则四边形的周长是 A. B. C. D.‎ ‎(第10题图)‎ ‎【答案】A ‎ ‎37.(2010广西柳州)如图4,在正方形ABCD的外侧作等边△ADE,则∠AEB的度数为 ‎ A.10° B.12.5° C.15° D.20°‎ ‎【答案】C ‎ ‎38.(2010广西柳州)如图6,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的处,点A对应点为,且=3,则AM的长是 ‎ A.1.5 B.‎2 C.2.25 D.2.5‎ A BA CA D]‎ CA MA NA 图6‎ ‎【答案】B ‎ ‎39.(2010湖北宜昌)如图,菱形ABCD中,AB=15,°,则B、D两点之间的距离为( )。‎ ‎40.(2010广西河池)如图5是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的 正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用 ‎,表示直角三角形的两直角边(),下列四个说法:‎ ‎①,②,③,④.‎ 其中说法正确的是 【 】‎ A.①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④‎ 图5‎ ‎【答案】B ‎ ‎41.(2010广东肇庆)菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为( )‎ A.2 B. C.1 D. ‎【答案】C ‎ ‎42.(2010吉林)如图,在矩形ABCD中,AB=‎12cm,BC=‎6cm,点E、F分别在AB、CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’,D’处,则整个阴影部分图形的周长为( )‎ A.‎18cm B.‎36cm C.‎40cm D.‎‎72cm ‎【答案】B ‎ ‎ (第13题)‎ ‎ ‎ A.15‎ B.‎ C.7.5‎ D.15‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ‎1.(2010江苏盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图②);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(‎ 如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为 ▲ .‎ A B C D A B C D E F ‎①‎ ‎②‎ A B C D E G M N ‎③‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎2.(2010山东威海)从边长为a的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后,将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚,可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚. ‎ 现有一平行四边形纸片ABCD﹙如图③﹚,已知∠A=45°,AB=6,AD=4.若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形,然后按图①方式拼图,则得到的大正方形的面积为 . ‎ 图 ②‎ 图 ①‎ a b A 图 ③‎ B C D ‎(第18题图)‎ ‎【答案】.‎ ‎3.(2010浙江嘉兴)如图,已知菱形ABCD的一个内角,对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上,且,则=  ▲  度.‎ ‎(第15题)‎ ‎【答案】25‎ ‎4.(2010年上海)已知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE = 2,EC = 1(如图4所示) 把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F、C两点的距离为___________.‎ 图4‎ ‎【答案】CF=1或5‎ ‎5.(2010山东青岛)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF.若AB = ‎3 cm,BC = ‎5 cm,则重叠部分△DEF的面积是 cm2.‎ A B C F E ‎′‎ 第13题图 ‎()‎ D ‎ ‎ ‎【答案】5.1‎ ‎6.(2010 福建德化)已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝,则菱形的面积为 ㎝2.‎ ‎【答案】24‎ ‎7.(2010湖南邵阳)如图(九)在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=CD,点E为AB上一点,连结CE,请添加一个你认为合适的条件 ,使四边形AECD为菱形.‎ ‎ 图(九)‎ ‎【答案】AE=CD或AD∥CE或CE=BC或∠CEB=∠B的任意一个都可 ‎8.(2010山东临沂) 正方形的边长为,点、分别是对角线上的两点,过点、分别作、的平行线,如图所示,则图中阴影部分的面积之和等于 .‎ ‎(第18题图)‎ ‎【答案】‎ ‎9.(2010四川宜宾)如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF给出下列五个结论:①AP =EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;‎ ‎④∠PFE=∠BAP;⑤PD= EC.其中正确结论的序号是 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】①、②、④、⑤.‎ ‎10.(2010 江苏连云港)矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=4,将纸片折叠,使点B落在边CD上的B’处,折痕为AE.在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等,则此相等距离为________.‎ 第18题 AD BAD CFEBAD B’‎ D E P ‎【答案】‎ ‎11.(2010 黄冈)如图矩形纸片ABCD,AB=‎5cm,BC=‎10cm,CD上有一点E,ED=‎2cm,AD上有一点P,PD=‎3cm,过P作PF⊥AD交BC于F,将纸片折叠,使P点与E点重合,折痕与PF交于Q点,则PQ的长是____________cm.‎ ‎【答案】‎ ‎12.(2010 河北)把三张大小相同的正方形卡片A,B,C叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图10-1摆放时,阴影部分的面积为S1;若按图10-2摆放时,阴影部分的面积为S2,则S1 S2‎ ‎(填“>”、“<”或“=”).‎ 图10-1‎ A C B C B A 图10-2‎ ‎【答案】=‎ ‎13.(2010 山东省德州)在四边形中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,如果四边形EFGH为菱形,那么四边形ABCD是 (只要写出一种即可).‎ ‎【答案】答案不唯一:只要是对角线相等的四边形均符合要求.如:正方形、矩形、等腰梯形等. ‎ ‎14.2010 广东珠海)如图,P是菱形ABCD对角线BD上一点,PE⊥AB于点E,PE=‎4cm,‎ 则点P到BC的距离是_____cm. ‎ ‎【答案】4‎ ‎15.(2010 四川巴中)如图5所示,已知□ABCD,下列条件:①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB⊥BC中,能说明□ABCD是矩形的有 (填写番号)。‎ 图5‎ ‎【答案】①④‎ ‎16.(2010江苏淮安)已知菱形ABCD中,对角线AC=‎8cm,BD=‎6cm,在菱形内部(包括边界)任取一点P,使△ACP的面积大于‎6 cm2的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎17.(2010 湖南株洲)如图,四边形是菱形,对角线和相交于点,‎ ‎,,则这个菱形的面积是 .‎ 第14题图 ‎【答案】16‎ ‎18.(2010广东中山)如图(1),已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形;把正方形边长按原法延长一倍得到正方形(如图(2));以此下去,则正方形的面积为 .‎ ‎【答案】625‎ ‎19.(2010江苏苏州)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到E,‎ ‎ 使AE=AC,则∠BCE的度数是 ▲ °.‎ ‎【答案】22.5‎ ‎20.(2010湖北恩施自治州)如图,在矩形ABCD中,AD =4,DC =3,将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A、B、E在同一直线上),连结CF,则CF = .‎ ‎【答案】5‎ ‎21.(2010山东泰安)如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D点与BC边的中点D/重合,若BC=8,CD=6,则CF= .‎ ‎【答案】‎ ‎22.(2010云南楚雄)如图,在□ABCD中,对角线与相交于点,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请添加一个条件,使得□ABCD变为矩形,需要添加的条件是 .(写出一个即可)‎ ‎【答案】AC=BD或∠ABC=90°等.‎ ‎23.(2010湖北随州)如图矩形纸片ABCD,AB=‎5cm,BC=‎10cm,CD上有一点E,ED=‎2cm,AD上有一点P,PD=‎3cm,过P作PF⊥AD交BC于F,将纸片折叠,使P点与E点重合,折痕与PF交于Q点,则PQ的长是____________cm.‎ ‎【答案】‎ ‎24.(2010黑龙江哈尔滨)如图,将矩形纸片ABC(D)折叠,使点(D)与点B重合,点C落在点处,折痕为EF,若,那么的度数为 度。‎ ‎【答案】125‎ ‎25.(2010广东东莞)如图⑴,已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B‎1C1D1;把正方形A1B‎1C1D1边长按原法延长一倍后得到正方形A2B‎2C2D2(如图⑵);以此下去…,则正方形A4B‎4C4D4的面积为 .‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ 第10题图(1)‎ C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B A2‎ B2‎ C2‎ D2‎ 第10题图(2)‎ ‎【答案】625‎ ‎26.(2010 四川绵阳)已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AB = 6,∠BDC = 30°,则菱形的面积为 .‎ ‎【答案】18‎ ‎27.(2010 广东汕头)如图(1),已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B‎1C1D1;把正方形A1B‎1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B‎2C2D2(如图(2));以此下去···,则正方形A4B‎4C4D4的面积为__________‎ 第13题图(1)‎ A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ A B C D D2‎ A2‎ B2‎ C2‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ A B C D 第13题图(2)‎ ‎【答案】625‎ ‎28.(2010 山东淄博)在一块长为8、宽为的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上.其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是       .‎ ‎【答案】2‎ ‎29.(2010 天津)如图,已知正方形的边长为3,为边上一点, ‎ ‎.以点为中心,把△顺时针旋转,得 ‎△,连接,则的长等于 .‎ 第(14)题 E A D B C ‎【答案】‎ ‎30.(2010 甘肃)如图,在中,点D、E、F分别在边、、上,且,.下列四种说法:‎ ‎ ①四边形是平行四边形;‎ ‎②如果,那么四边形是矩形;‎ ‎③如果平分,那么四边形是菱形;‎ ‎④如果且,那么四边形是菱形.‎ 其中,正确的有 .(只填写序号)‎ A F C D B E 第18题图 ‎【答案】①②③④‎ ‎31.(2010 福建泉州南安)如图,大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成,‎ 把图中阴影部分剪下来,用剪下来的阴影部分拼成一个正方形,‎ 那么新正方形的边长是 .‎ ‎(第16题图)‎ ‎【答案】‎ ‎32.(2010广西梧州)如图3,边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转30°后得到正方形EBGF,EF交CD于点H,则FH的长为______(结果保留根号)。‎ 图3‎ A B C D F E H G ‎ 全品中考网 ‎【答案】6-2‎ ‎33.(2010广西河池)如图2,矩形ABCD中,AB=‎8cm,BC=‎4cm,E是DC的 中点,BF=BC,则四边形DBFE的面积为 .‎ C D E F B A 图2‎ ‎【答案】10‎ ‎34.(2010贵州铜仁)已知菱形的两条对角线的长分别为5和6,则它的面积是________. ‎ ‎【答案】15‎ ‎35.(2010云南曲靖)如图,活动衣帽架由三个菱形组成,利用四边形的不稳定性,调整菱形的内角,使衣帽架拉伸或收缩,当菱形的边长为‎18cm,=1200时,A、B两点的距离为 cm.‎ ‎【答案】54‎ ‎36.(2010黑龙江绥化)如图所示,E、F是矩形ABCD对角线AC 上的两点,试添加一个条件: ,使得△ADF≌△CBE.‎ ‎【答案】AF=CE或AE=CF或DF∥BE或∠ABE=∠CDF等 ‎37.(2010黑龙江绥化)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B‎1C的对角线 A‎1C和OB1交于点M1;以M‎1A1为对角线作第二个正方形A‎2A1B‎2M1,对角线A‎1M1和A2B2交于点M2;以M‎2A1为对角线作第三个正方形A‎3A1B‎3M2‎,对角线A‎1M2‎和A3B3交于点M3;……依此类推,这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎38.(2010内蒙呼和浩特)如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在处,交AD于点E,AD = 8,AB = 4,则DE的长为 .‎ ‎【答案】5‎ 三、解答题 ‎1.(2010安徽省中中考)如图,AD∥FE,点B、C在AD上,∠1=∠2,BF=BC ‎⑴求证:四边形BCEF是菱形 ‎⑵若AB=BC=CD,求证:△ACF≌△BDE ‎【答案】‎ ‎2.(10湖南益阳)如图7,在菱形ABCD中,∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.‎ ‎(1) 求∠ABD 的度数;‎ ‎ (2)求线段的长.‎ ‎【答案】解:⑴ 在菱形中,,‎ ‎∴为等边三角形 ‎ ‎∴ ……………………………4分 ‎⑵由(1)可知  ‎ 又∵为的中点 ‎∴ ……………………………6分 又∵,及 ‎∴‎ ‎∴ ……………………………8分 ‎3.(10湖南益阳)我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.‎ 一条直线l与方形环的边线有四个交点、、、.小明在探究线段与 的数量关系时,从点、向对边作垂线段、,利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题:‎ ‎⑴当直线l与方形环的对边相交时(如图),直线l分别交、、、于、、、,小明发现与相等,请你帮他说明理由;‎ ‎⑵当直线l与方形环的邻边相交时(如图),l分别交、、、于、、、,l与的夹角为,你认为与还相等吗?若 相等,说明理由;若不相等,求出的值(用含的三角函数表示).‎ ‎【答案】‎ ‎⑴解: 在方形环中,‎ ‎ ∵∥‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴△≌△‎ ‎ ∴         ……………………………5分 ‎ ⑵解法一:∵‎ ‎   ∴∽ ……………………………8分 ‎ ∴‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴ (或)……………………………10分 ‎①当时,tan=1,则 ‎ ②当时,‎ ‎ 则 (或)    ……………………………12分 解法二:在方形环中,‎ ‎ 又∵‎ ‎ ∴∥‎ ‎ ∴‎ ‎ 在与中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 (或)   ……………………………10分 ‎ ①当时,‎ ‎ ②当时,‎ ‎ 则 (或)      ……………………………12分 ‎4.(2010江苏南京)(8分)如图,正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点,点E从点A出发,沿AB运动到点B停止,连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FG。‎ ‎(1)设AE=时,△EGF的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;‎ ‎(2)P是MG的中点,请直接写出点P的运动路线的长。‎ ‎【答案】‎ ‎5.(2010辽宁丹东市) 如图,已知矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=‎4cm,矩形ABCD的周长为‎32cm,求AE的长.‎ 第20题图 B C A E D F ‎【答案】解:在Rt△AEF和Rt△DEC中, ∵EF⊥CE, ∴∠FEC=90°, ‎ ‎∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,‎ ‎∴∠AEF=∠ECD. 3分 又∠FAE=∠EDC=90°.EF=EC ‎∴Rt△AEF≌Rt△DCE. 5分 AE=CD. 6分 AD=AE+4.‎ ‎∵矩形ABCD的周长为‎32 cm, ‎ ‎∴2(AE+AE+4)=32. 8分 解得, AE=6 (cm). 10分 ‎6.(2010山东济宁)‎(第22题)‎ 数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,与的比值是多少?‎ 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:,因为,所以.可求出和的值,进而可求得与的比值.‎ ‎(1) 请按照小明的思路写出求解过程.‎ ‎(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)解:过作直线平行于交,分别于点,, ‎ 则,,.‎ ‎∵,∴. 2分 ‎∴,.‎ ‎∴. 4分 ‎(2)证明:作∥交于点, 5分 则,.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.∴. 7分 ‎∴. 8分‎(第22题)‎ ‎7.(2010山东青岛)已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.‎ ‎(1)求证:BE = DF;‎ ‎(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.‎ ‎【答案】‎ 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=AD,∠B = ∠D = 90°.‎ ‎∵AE = AF,‎ ‎∴.‎ ‎∴BE=DF. 4分 A D B E F O C M 第21题图 ‎(2)四边形AEMF是菱形.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BCA = ∠DCA = 45°,BC = DC.‎ ‎∵BE=DF,‎ ‎∴BC-BE = DC-DF. 即.‎ ‎∴.‎ ‎∵OM = OA,‎ ‎∴四边形AEMF是平行四边形.‎ ‎∵AE = AF,‎ ‎∴平行四边形AEMF是菱形. 8分 ‎8.(2010山东日照)如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.‎ ‎ (1)证明:∠BAE=∠FEC;‎ ‎(2)证明:△AGE≌△ECF;‎ ‎(3)求△AEF的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)证明:∵∠AEF=90o, ‎ ‎∴∠FEC+∠AEB=90o.………………………………………1分 在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90o,‎ ‎∴∠BAE=∠FEC;……………………………………………3分 ‎(2)证明:∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,‎ ‎∴AG=GB=BE=EC,且∠AGE=180o-45o=135o.‎ 又∵CF是∠DCH的平分线,‎ ‎ ∠ECF=90o+45o=135o.………………………………………4分 在△AGE和△ECF中,‎ ‎ ‎ ‎ ∴△AGE≌△ECF; …………………………………………6分 ‎ (3)解:由△AGE≌△ECF,得AE=EF.‎ 又∵∠AEF=90o,‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形.………………………………7分 由AB=a,BE=a,知AE=a,‎ ‎∴S△AEF=a2.…………………………………………………9分 ‎9.(2010四川眉山)如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.‎ ‎(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;‎ ‎(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.‎ ‎【答案】‎ 解:(1)四边形OCED是菱形.…………(2分)‎ ‎∵DE∥AC,CE∥BD,‎ ‎∴四边形OCED是平行四边形,…………(3分)‎ 又 在矩形ABCD中,OC=OD,‎ ‎∴四边形OCED是菱形.…………………(4分) ‎ ‎(2)连结OE.由菱形OCED得:CD⊥OE, …………(5分)‎ ‎ ∴OE∥BC ‎ 又 CE∥BD ‎∴四边形BCEO是平行四边形 ‎∴OE=BC=8……………………………………………(7分)‎ ‎∴S四边形OCED=……………(8分)‎ ‎10.(2010浙江宁波)如图1,有一张菱形纸片ABCD,AC=8, BD=6.‎ ‎ (1)请沿着AC剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一 ‎ 个平行四边形,在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形;若 ‎ 沿着BD剪开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 ‎ 写出这两个平行四边形的周长. ‎ ‎(图1)‎ ‎ (2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,‎ ‎ 请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.‎ ‎ (注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)‎ ‎(图4)‎ ‎(图3)‎ ‎(图2)‎ 周长为 ▲ ‎ 周长为 ▲ ‎ ‎(第21题)‎ ‎【答案】‎ 解:(1)‎ ‎ 1分 ‎ ‎ 周长为26 2分 ‎ ‎ ‎ 3分 ‎ 周长为22 4分 ‎ (2)‎ ‎ 6分 ‎ 注:画法不唯一.‎ ‎11.(2010浙江绍兴) (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,‎ CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.‎ 求证:BE=CF.‎ 第23题图1‎ ‎(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,‎ BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°, EF ‎=4.求GH的长.‎ 第23题图2‎ ‎(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,‎ ‎∠FOH=90°,EF=4. 直接写出下列两题的答案:‎ ‎①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;‎ ‎ ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).‎ 第23题图4‎ 第23题图3‎ ‎【答案】‎ 第23题图1‎ ‎(1) 证明:如图1,∵ 四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°, ‎ ‎∴ ∠EAB+∠AEB=90°.‎ ‎∵ ∠EOB=∠AOF=90°,‎ ‎∴ ∠FBC+∠AEB=90°,∴ ∠EAB=∠FBC, ‎ ‎∴ △ABE≌△BCF , ∴ BE=CF. ‎ 第23题图2‎ O′‎ N M ‎(2) 解:如图2,过点A作AM//GH交BC于M,‎ 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/,‎ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形, ‎ ‎∴ EF=BN,GH=AM, ‎ ‎∵ ∠FOH=90°, AM//GH,EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,‎ 故由(1)得, △ABM≌△BCN, ∴ AM=BN,‎ ‎∴ GH=EF=4. ‎ ‎(3) ① 8.② 4n. ‎ ‎12.(2010 浙江省温州市)(本题10分)如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E.F.已知BE=BP.‎ ‎ 求证:(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形.‎ ‎【答案】‎ ‎13.(2010重庆市潼南县)(10分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2 , ∠3=∠4.‎ ‎(1)证明:△ABE≌△DAF;‎ ‎(2)若∠AGB=30°,求EF的长.‎ ‎【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形 ‎ ‎ ∴AB=AD 在△ABE和△DAF中 ‎∴△ABE≌△DAF-----------------------4分 ‎(2)∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠1+∠4=900‎ ‎∵∠3=∠4‎ ‎∴∠1+∠3=900‎ ‎∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD中, AD∥BC ‎∴∠1=∠AGB=300‎ 在Rt△ADF中,∠AFD=900 AD=2 ‎ ‎∴AF= DF =1----------------------------------------8分 由(1)得△ABE≌△ADF ‎∴AE=DF=1‎ ‎∴EF=AF-AE= -----------------------------------------10分 ‎14.(2010山东聊城)如图,在等边△ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.‎ ‎(1)求∠CAE的度数;‎ ‎(2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.‎ 第22题图 ‎【答案】(1)在等边△ABC中,∵点D是BC边的中点,∴∠DAC=30º,又∵等边△ADE,∴∠DAE=60º,∴∠CAE=30º ‎(2)在等边△ABC中,∵F是AB边的中点,D是BC边的中点,∴CF=AD,∠CFA=90º,又∵AD=AE,∴AE=CF,由(1)知∠CAE=30º,∴∠EAF=60º+30º=90º,∴∠CFA=∠EAF,∴CF∥AE,∵AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,又∵∠CFA=90º,∴四边形AFCE是矩形.‎ ‎15.(2010湖南长沙)在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED ‎(1)求证:△BEC≌△DEC;‎ ‎(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求的度数.‎ ‎【答案】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴BC=DC 又∵AC为对角线,E为AC上一点,‎ ‎∴∠BCE=∠DCE=45°.‎ ‎∵EC=EC,‎ ‎∴△BEC≌△DEC(SAS);‎ ‎(2)∵△BEC≌△DEC, ∠BED=120°,‎ ‎∴∠BEC=∠DEC=60°.‎ ‎∵∠DAC=45°,‎ ‎∴∠ADE=15°‎ ‎∴∠EFD=∠BED-∠ADE=120°-15°=105°‎ ‎16.(2010浙江金华(本题12分)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为 ‎(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,‎ BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开 始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,‎ AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线 AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.‎ 请解答下列问题:‎ ‎ (1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;‎ ‎(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合; ‎ ‎ (3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F 为 ‎ 菱形,则t的值是多少?‎ ‎② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ 解:(1); (2)(0,),;‎ ‎(3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1)‎ ‎ ‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△,∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ ‎ 而,∴,‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎(图2)‎ ‎ 由得 ;‎ ‎ 当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形;‎ ‎ 当点P在线段上时,‎ 过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2)‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴, 又∵‎ ‎ 在Rt△中,‎ ‎ 即,解得.‎ B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ y ‎②存在﹒理由如下:‎ ‎ ∵,∴,,‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°,得到 ‎△(如图3)‎ ‎ ∵⊥,∴点在直线上,‎ ‎ C点坐标为(,-1)‎ ‎ 过作∥,交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由,可得Q的坐标为(-,)‎ 根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件。‎ ‎17.(2010江苏泰州)如图,四边形ABCD是矩形,∠EDC=∠CAB,∠DEC=90°.‎ ‎(1)求证:AC∥DE;‎ ‎(2)过点B作BF⊥AC于点F,连结EF,试判断四边形BCEF的形状,并说明理由.‎ ‎【答案】⑴在矩形ABCD中,AC∥DE,∴∠DCA=∠CAB,∵∠EDC=∠CAB,‎ ‎∴∠DCA=∠EDC,∴AC∥DE;‎ ‎⑵四边形BCEF是平行四边形.‎ 理由:由∠DEC=90°,BF⊥AC,可得∠AFB=∠DEC=90°,‎ 又∠EDC=∠CAB,AB=CD,‎ ‎∴△DEC≌△AFB,∴DE=AF,由⑴得AC∥DE,‎ ‎∴四边形AFED是平行四边形,∴AD∥EF且AD=EF,‎ ‎∵在矩形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,‎ ‎∴EF∥BC且EF=BC,‎ ‎∴四边形BCEF是平行四边形.‎ ‎18.(2010江苏无锡)‎ ‎(1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°,求证:AM=MN.‎ 下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明.‎ 证明:在边AB上截取AE=MC,连ME.正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.‎ ‎∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE.‎ ‎(下面请你完成余下的证明过程)‎ 图1‎ 图2‎ ‎(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2),N是∠ACP的平分线上一点,则当∠AMN=60°时,结论AM=MN是否还成立?请说明理由.‎ ‎(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”,请你作出猜想:当∠AMN= °时,结论AM=MN仍然成立.(直接写出答案,不需要证明)‎ ‎【答案】解:(1)∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=135°, ‎ ‎ ∵CN平分∠DCP,∴∠PCN=45°,∴∠AEM=∠MCN=135°‎ ‎ 在△AEM和△MCN中:∵∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN ‎ (2)仍然成立.‎ ‎ 在边AB上截取AE=MC,连接ME ‎ ∵△ABC是等边三角形,‎ ‎ ∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,‎ ‎ ∴∠ACP=120°.‎ ‎ ∵AE=MC,∴BE=BM ‎ ∴∠BEM=∠EMB=60°‎ ‎ ∴∠AEM=120°.‎ ‎ ∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,‎ ‎ ∴∠AEM=∠MCN=120°‎ ‎ ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM ‎ ∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN ‎ (3)‎ ‎19.(2010山东临沂)如图1,已知矩形,点是边的中点,且.‎ ‎(1)判断的形状,并说明理由;‎ ‎(2)保持图1中的固定不变,绕点旋转所在的直线到图2中的位置(当垂线段、在直线的同侧).试探究线段、、长度之间有什么关系?并给予证明;‎ ‎(第25题图)‎ ‎(3)保持图2 中的固定不变,继续绕点旋转所在的直线到图3中的位置(当垂线段、在直线的异侧).试探究线段、、长度之间有什么关系?并给予证明.‎ ‎【答案】解:(1)△ABC是等腰直角三角形。‎ 如图(1)在矩形ABED中,‎ 因为点C是边DE的中点,且AB=2AD,‎ 所以AD=DC=CE=EB,‎ ‎∠D=∠E=90°.‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△BEC.‎ ‎∴AC=BC, ∠1=∠2=45°.‎ ‎∴∠ACB=90°.‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形。‎ ‎(2)DE=AD+BE.‎ 如图(2),在Rt△ADC和Rt△BEC中,‎ ‎∵∠1=∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°.‎ ‎∴∠CAD=∠2.‎ 又∵AC=BC, ∠ADC=∠CEB=90°,‎ ‎∴Rt△ADC≌Rt△CEB.‎ ‎∴DC=BE,CE=AD.‎ ‎∴DC+CE= BE+AD,‎ 即DE=AD+BE.‎ ‎(3)DE=BE-AD.‎ 如图(3),在Rt△ADC和Rt△CEB中,∵∠1+∠CAD=90°, ∠1+∠2=90°,‎ ‎∴∠CAD=∠2.‎ 又∵∠ADC=∠CBE=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC≌Rt△CBE.‎ ‎∴DC=BE,CE=AD.∴DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD.‎ ‎ ‎ ‎20.(2010四川宜宾)‎ 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,过点B作BD∥AC,且BD=‎2AC,连接AD.‎ ‎21题图 试判断△ABD的形状,并说明理由.‎ ‎【答案】过点A作AE垂直BD与点E,则四边形ACBE为矩形,所以CB=EA,AC=BE,且BD=‎2AC,所以BE=ED=AC,在Rt⊿ACB和Rt⊿AED中,‎ ED=AC,CB=EA,∠ACB=∠AED= 90°,所以Rt⊿ACB≌ Rt⊿AED(SAS).‎ 所以AB=AD,所以三角形ABD为等腰三角形.‎ ‎21.(2010湖南衡阳)如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:‎ ‎(1)∠EAF的大小是否有变化?请说明理由.‎ ‎(2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.‎ ‎【答案】不变,理由是:在Rt△ABE和Rt△AHE中,AB=AH,AE=AE,所以Rt△ABE∽‎ Rt△AHE,所以HE=BE,同理HF=DF.所以△ECF的周长=EF+CE+CF=BC+DC.可见△ECF的周长等于正方形边长的两倍.‎ ‎22.(2010 黄冈)(6分)如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。‎ ‎ 第18题图 ‎【答案】提示:由∠H=∠FCE,AH=CE,∠HAE=∠FCE可证△HAE≌△CEF,从而得到 全品中考网 AE=EF.‎ ‎23.(2010 山东莱芜)在平行四边形ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE.‎ ‎(1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由;‎ ‎(2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是 ;‎ ‎(3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是 ;‎ ‎(4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.‎ H G F E O D C B A 图①‎ H G F E O D C B A 图②‎ A B C D O E F G H 图③‎ A B C D O E F G H 图④‎ ‎(第23题图)‎ ‎【答案】解:(1)四边形EGFH是平行四边形. ‎ 证明:∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O.‎ ‎∴点O是 ABCD的对称中心.‎ ‎∴EO=FO,GO=HO.‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形. ‎ ‎(2)菱形. ‎ ‎(3)菱形. ‎ ‎(4)四边形EGFH是正方形. ‎ 证明:∵AC=BD,∴ ABCD是矩形. 又∵AC⊥BD, ∴ ABCD是菱形.‎ ‎∴ ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC.‎ ‎∵EF⊥GH ,∴∠GOF=90°.∴∠BOG=∠COF.‎ ‎∴△BOG≌△COF.∴OG=OF,∴GH=EF. ‎ 由(1)知四边形EGFH是平行四边形,又∵EF⊥GH,EF=GH.‎ ‎∴四边形EGFH是正方形. ‎ ‎24.(2010福建宁德)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证:△AMB≌△ENB;‎ ‎⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;‎ ‎②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;‎ ‎⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.‎ E A D B C N M ‎【答案】解:⑴∵△ABE是等边三角形,‎ ‎∴BA=BE,∠ABE=60°.‎ ‎∵∠MBN=60°,‎ ‎∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.‎ 即∠BMA=∠NBE.‎ 又∵MB=NB,‎ ‎∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………5分 ‎⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小. ‎ F E A D B C N M ‎②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,‎ AM+BM+CM的值最小. ‎ 理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,‎ ‎∴AM=EN.‎ ‎∵∠MBN=60°,MB=NB,‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM=MN.‎ ‎∴AM+BM+CM=EN+MN+CM. ‎ 根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短 ‎∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.‎ ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,‎ ‎∴∠EBF=90°-60°=30°.‎ 设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.‎ 在Rt△EFC中,‎ ‎∵EF2+FC2=EC2,‎ ‎∴()2+(x+x)2=. ‎ 解得,x=(舍去负值).‎ ‎∴正方形的边长为.‎ ‎25.(2010浙江湖州)如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点A,D),连接PC,过点P作PE⊥PC交AB于E.‎‎(第25题)‎ ‎(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC⊥QE?若存在,‎ 求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围.‎ ‎【答案】(1)存在,理由如下:假设存在这样的点Q,∵FE⊥PC,∴∠APE+∠DPC=90°,∵∠D=90°,‎ ‎∴∠DPC+∠DCP=90°,∴△PAE∽△PDC,∴,∴,同理可得,∴,即,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴‎ ‎∵AP≠AQ,∴AP+AQ=3.∵AP≠AQ,∴AP≠,即P不能是AD的中点,∴当P是AD的中点时,满足条件的Q点不存在,故,当P不是AD的中点时,总存在这样的点Q满足条件,此时AP+AQ=3.‎ ‎(2)设AP=x,BE=y,则DP=3-x,AE=2-y,又PE⊥PC,∴△PAE∽△PDC,∴,即,∴,当时,y有最小值,y 的最小值为,又E在AB上运动,且AB=2,∴BE的取值范围是≤BE<2.‎ ‎26.(2010江苏常州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形。求证:四边形ADCE是矩形。‎ ‎【答案】‎ ‎27.(2010 四川成都)已知:在菱形中,是对角线上的一动点.‎ ‎(1)如图甲,为线段上一点,连接并延长交于点,当是的中点时,求证:;‎ ‎(2)如图乙,连结并延长,与交于点,与的延长线交于点.若,求和的长.‎ ‎【答案】(1)证明:∵ABCD为菱形,∴AD∥BC。‎ ‎ ∴∠OBP=∠ODQ ‎ ∵O是是的中点,‎ ‎ ∴OB=OD ‎ 在△BOP和△DOQ中,‎ ‎ ∵∠OBP=∠ODQ,OB=OD,∠BOP=∠DOQ ‎∴△BOP≌△DOQ(ASA)‎ ‎∴OP=OQ。‎ ‎(2)解:如图,过A作AT⊥BC,与CB的延长线交于T.‎ ‎∵ABCD是菱形,∠DCB=60°‎ ‎∴AB=AD=4,∠ABT=60°‎ ‎∴AT=ABsin60°=‎ TB=ABcos60°=2‎ ‎∵BS=10,∴TS=TB+BS=12,‎ ‎∴AS=。‎ ‎∵AD∥BS,∴△AOD∽△SOB。‎ ‎∴,‎ 则,∴‎ ‎∵AS=,∴。‎ 同理可得△ARD∽△SRC。‎ ‎∴,‎ 则,∴,‎ ‎∴。‎ ‎∴OR=OS-RS=。‎ ‎28.(2010湖南常德)如图5, 已知四边形ABCD是菱形, DE⊥AB,DF⊥BC. 求证:△ADE≌△CDF.‎ A B C D E F 图5‎ ‎【答案】证明:在△ADE和△CDF中,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎ ∴∠A=∠C,AD=CD. ‎ ‎ 又DE⊥AB,DF⊥BC,‎ ‎ ∴∠AED=∠CFD=900. ‎ ‎ ∴△ADE≌△CDF. ‎ ‎29.(2010湖南常德)如图10,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形,显然图中有AG=CE,AG⊥CE.‎ ‎(1)当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时,AG=CE是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎(2)当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时,延长CE交AG于H,交AD于M.‎ ‎ ① 求证:AG⊥CH;‎ B A C D E F G H ‎ 图12‎ A B C D E F G 图11‎ ‎②当AD=4,DG=时,求CH的长.‎ A B C D E F G 图10‎ M ‎【答案】解:(1)成立.‎ ‎      四边形、四边形是正方形,‎ ‎      ∴ ‎ ‎∠∠.‎ ‎ ∴∠90°-∠∠. ‎ ‎      ∴△△.‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ‎ A B C D E F G 图11‎ B A C D E F G ‎1‎ ‎2‎ 图12‎ H P M ‎(2)①类似(1)可得△△,‎ ‎      ∴∠1=∠2 ‎ ‎  又∵∠=∠. ‎ ‎      ∴∠∠=.‎ ‎      即 ‎ ‎       ② 解法一: 过作于,‎ ‎      由题意有,‎ ‎      ∴,则∠1=. ‎ ‎      而∠1=∠2,∴∠2==∠1=.‎ ‎      ∴ ,即. ‎ ‎      在Rt中,==,‎ ‎  而∽,∴,  即,    ‎ ‎∴.  ‎ 再连接,显然有,‎ ‎      ∴.‎ ‎ 所求的长为. ‎ B A C D E F G ‎1‎ ‎2‎ 图12‎ H P M 解法二:研究四边形ACDG的面积 过作于,‎ ‎     由题意有,‎ ‎∴,. ‎ 而以CD为底边的三角形CDG的高=PD=1,‎ ‎,‎ ‎∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.‎ ‎∴=. ‎ ‎30.(2010江苏扬州)如图,四边形ABCD是菱形,点G是BC延长线上一点,连接AG ‎,分别交BD、CD于点E、F,连接CE.‎ ‎(1)求证:∠DAE=∠DCE;‎ ‎(2)当AE=2EF时,判断FG与EF有何等量关系?并证明你的结论?‎ A B C D E F G ‎【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形 ‎∴∠ADE=∠CDE,AD=CD ‎∵DE是公共边 ‎∴△ADE≌△CDE(SAS)‎ ‎∴∠DAE=∠DCE ‎(2)FG=3EF 解法一:∵四边形ABCD是菱形 ‎∴AD∥BC,∠DAE=∠G ‎∵∠DAE=∠DCE ‎∴∠DCE=∠G ‎∵∠CEF=∠GEC ‎∴△ECF∽△EGC ‎∴‎ ‎∵△ADE≌△CDE ‎∴EA=EC ‎∴‎ ‎∵AE=2EF ‎∴EG=2EC=4EF ‎∴FG=3EF ‎ 解法二:∵四边形ABCD是菱形 ‎∴AB∥CD ‎∴△ABE∽△FDE ‎∴‎ 同理△BEG∽△DEA ‎∴‎ ‎∴EG=2AE=4EF ‎∴FG=3EF ‎31. (2010北京)阅读下列材料:‎ 小贝遇到一个有趣的问题:在矩形ABCD中,AD=‎8cm,AB=‎6cm.现有一动点P 按下列方式在矩形内运动:它从A点出发,沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即当点P碰到BC边,沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动,当点P碰到CD边,再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动,…,如图1所示.问P点第一次与D点重合前与边相碰几次,P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少.‎ 小贝的思考是这样开始的:如图2,将矩形ABCD沿直线CD折叠,得到矩形A1B1CD.由轴对称的知识,发现P2P3=P2E,P‎1A=P1E.‎ 图1 图2‎ 请你参考小贝的思路解决下列问题:‎ ‎(1)P点第一次与D点重合前与边相碰______次;P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm;‎ ‎(2)进一步探究:改变矩形ABCD中AD、AB的长,且满足AD>AB.动点P从A点出发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上.若P点第一次与B点重合前与边相碰7次,则AB∶AD的值为________.‎ ‎【答案】解:(1)5,24 ‎ (2)4∶5‎ 解题思路示意图:‎ ‎32. 如图 ,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90o,点P、Q分别是AB、AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点. ‎ (1) 求证:△PDQ是等腰直角三角形;‎ (2) 当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由.‎ ‎ ‎ 解:(1)证明:连结AD ‎   ∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点 ‎   ∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B ‎ 又∵BP=AQ ‎ ∴△BPD≌△AQD ‎ ∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP ‎ ∵∠BDP+∠ADP=90o ‎ ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90o ‎ ∴△PDQ为等腰直角三角形. ‎ ‎ (2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形.‎ ‎   由(1)知△ABD为等腰直角三角形.‎ 当P点运动到AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90o 又∵∠A=90o,∠PDQ=90o ‎∴四边形APDQ为矩形 又∵DP=AP=AB ‎∴四边形APDQ是正方形.‎ ‎33. (2010云南红河哈尼族彝族自治州)如图6,在正方形ABCD中,G是BC上的任意一点,(G与B、C两点不重合),E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合),若AF=BF+EF,∠1=∠2,请判断线段DE与BF有怎样的位置关系,并证明你的结论.‎ ‎【答案】解:根据题目条件可判断DE//BF.‎ 证明如下:‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AB=AD,∠BAF+∠2=90°.‎ ‎∵AF=AE+EF,又AF=BF+EF ‎∴AE=BF ‎∵∠1=∠2,∴△ABF≌△DAE(SAS).‎ ‎∴∠AFB=∠DEA,∠BAF=∠ADE.‎ ‎∴∠ADE+∠2=90°,‎ ‎∴∠AED=∠BFA=90°.‎ ‎∴DE//BF. ‎ ‎34. (2010湖北随州)如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。‎ ‎ 第18题图 ‎【答案】提示:由∠H=∠FCE,AH=CE,∠HAE=∠FCE可证△HAE≌△CEF,从而得到AE=EF.‎ ‎35. (2010江苏徐州)如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上, CE∥BF,连接BE、CF.‎ ‎ (1)求证:△BDF≌△CDE;‎ ‎ (2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.‎ ‎【答案】‎ ‎36. (2010江苏徐州)如图①,将边长为‎4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.‎ ‎ (1)如图②,若M为AD边的中点,‎ ‎ ①,△AEM的周长=_____cm;‎ ‎ ②求证:EP=AE+DP;‎ ‎ (2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎37. (2010陕西西安)如图,A、B、C三点在同一条直线上,AB=2BC。分别以 AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,‎ EC。‎ ‎ 求证:FN=EC。‎ ‎【答案】证明:FN=EC。‎ 证明:在正方形ABEF和正方形BCMN中,‎ AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°‎ ‎∵AB=2BC ‎∴EN=BC ‎ ‎∴△FEN≌△EBC ‎ ‎∴FN=EC。 ‎ ‎38. (2010广东东莞)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、MN、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PQW.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:‎ ‎⑴说明△FMN ∽ △QWP;‎ ‎⑵设0≤≤4(即M从D到A运动的时间段).试问为何值时,△PQW为直角三角形?当在何范围时,△PQW不为直角三角形?‎ ‎⑶问当为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.‎ ‎【答案】⑴∵P、Q、W分别为△FMN三边的中点 ‎∴PQ∥FN,PW∥MN ‎∴∠MNF=∠PQM=∠QPW 同理:∠NFM=∠PQW ‎∴△FMN ∽ △QWP ‎⑵‎ 由⑴得△FMN ∽ △QWP,所以△FMN为直角三角形时,△QWP也为直角三角形.如图,过点N作NECD于E,根据题意,得DM=BM=,∴AM=4-,AN=DE=6-‎ ‎∵DF=2,∴EF=4-‎ ‎∴MF2=22+x2=x2+4,MN2=(4-x)2+(6-x)2=2x2-20x+52,NF2=(4-x)2+42=x2-8x+32,‎ ① 如果∠MNF=90°,则有2x2-20x+52+x2-8x+32=x2+4,解得x1=4,x2=10(舍去);‎ ‎②如果∠NMF=90°,则有2x2-20x+52+x2+4=x2-8x+32,化简,得:x2-6x+12=0,△=-12<0,方程无实数根;‎ ‎③如果∠MFN=90°,则有2x2-20x+52=x2+4+x2-8x+32,解得x=.‎ ‎∴当为4或时,△PQW为直角三角形,当0≤<或<<4时,△PQW不为直角三角形 ‎⑶∵点M在射线DA上,点N在线段AB上,且AB⊥AD,∴当M点运动到与A点重合时,NM⊥AD,根据垂线段最短原理,此时线段MN最短,DM=4,则BN=4.‎ ‎∴当=4时,线段MN最短,MN=2.‎ ‎39. (2010 福建三明)正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P为对角线AC 上一动点,过点P作PF⊥DC于点F,如图1,当点P与点O 重合时,显然有DF=CF。‎ ‎ (1)如图2,若点P在线段AO上(不与A、O重合0,PE⊥PB且PE交CD点E。‎ ‎ ①求证:DF=EF;②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式,并证明 你的结论;‎ ‎ (2)若点P在线段CA的延长线上,PE⊥PB且PE交直线CD 于点E。请完成图3并判断(1)中的结论①、②是否成立?‎ 若不成立,写出相应的结论(所写结论均不必证明)‎ ‎【答案】(1)证明:延长FP交AB于点Q,证明≌即可得出…………4分 ‎ (2)解:PC-PA=‎ 理由如下……8分 ‎ (3)正确完成图3得1分,结论①仍成立,②不成立 …………11分 此时②中三条线段的数量关系是 …………‎ ‎40.(2010 广东汕头)如图(1),(2)所示,矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上,DF=2.动点M、N分别从点D、B同时出发,沿射线DA、线段BA向点A的方向运动(点M可运动到DA的延长线上),当动点N运动到点A时,M、N两点同时停止运动.连接FM、FN,当F、N、M不在同一直线时,可得△FMN,过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点M、N的速度都是1个单位/秒,M、N运动的时间为x秒.试解答下列问题:‎ ‎(1)说明△FMN∽△QWP;‎ ‎(2)设0≤x≤4(即M从D到A运动的时间段).试问x为何值时,△PWQ为直角三角形?当x在何范围时,△PQW不为直角三角形?‎ ‎(3)问当x为何值时,线段MN最短?求此时MN的值.‎ 第22题图(2)‎ A B C D F 第22题图(1)‎ A B M C F D N W P Q M N W P Q ‎【答案】解:(1)∵P、Q、W分别是△FMN的中点 ‎∴PQ∥NF,QW∥MF,PW∥MN ‎∴四边形PQWF、MQWP、PQNW都是平行四边形,‎ ‎∴∠F=∠PQW,∠M=∠PWQ ‎∴△FMN∽△QWP.‎ ‎ (2)∵△FMN∽△QWP,△PWQ为直角三角形 ‎ ∴△FMN也是直角三角形 ‎ ∵MF2=4+x2,MN2=(4-x)2+(6-x)2,MF2=42+(4-x)2,‎ ‎∴①若MF为斜边,则4+x2=(4-x)2+(6-x)2+42+(4-x)2‎ ‎ 解得,因0≤x≤4得,;‎ ‎②若MN为斜边,则(4-x)2+(6-x)2=4+x2+42+(4-x)2‎ ‎ 解得;‎ ‎③若NF为斜边,则42+(4-x)2=(4-x)2+(6-x)2+4+x2‎ ‎ 此方程无实数解.‎ 综上,当或时,△PWQ为直角三角形;而当 ‎ 或或时,△PQW不为直角三角形.‎ ‎(3)①当0≤x≤4时,易知当x=4时,MN有最小值为2.‎ ‎②4<x≤6时,MN2=(x-4)2+(6-x)2, 故 ,此时,当 x=5时,MN有最小值为.‎ 综上,x=5时,MN有最小值为.‎ ‎41.(2010 山东淄博)已知:如图,E为正方形ABCD的边BC延长线上的点,F是CD边上一点,且CE=CF,连接DE,BF.求证:DE=BF.‎ F E D C B A ‎(第19题)‎ ‎【答案】证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCD=90º ‎ ∵E为BC延长线上的点,∴∠DCE=90º,∴∠BCD=∠DCE.‎ ‎∵CE=CF,∴△BCF≌△DCE,∴DE=BF. ‎ ‎42.(2010 天津) 在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在轴、‎ 轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.‎ 温馨提示:如图,可以作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,此时△的周长是最小的.这样,你只需求出的长,就可以确定点的坐标了.‎ ‎(Ⅰ)若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;‎ 第(25)题 y B O D C A x E y B O D C A x ‎ 全品中考网 ‎(Ⅱ)若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)如图,作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,连接.‎ 若在边上任取点(与点E不重合),连接、、.‎ y B O D C A x E 由,‎ 可知△的周长最小.‎ ‎∵ 在矩形中,,,为的中点,‎ ‎∴ ,,.‎ ‎∵ OE∥BC,‎ ‎∴ Rt△∽Rt△,有.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为(1,0). ................................6分 y B O D C A x E G F ‎(Ⅱ)如图,作点关于轴的对称点,在边上截取,连接与轴交于点,在上截取.‎ ‎∵ GC∥EF,,‎ ‎∴ 四边形为平行四边形,有.‎ 又 、的长为定值,‎ ‎∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. ‎ ‎∵ OE∥BC,‎ ‎∴ Rt△∽Rt△, 有 .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为(,0),点的坐标为(,0). ...............10分 ‎43.(2010 湖南湘潭)Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30o、60o角的三角板,按如图(一)所示拼在一起,CB与DE重合.‎ ‎(1)求证:四边形ABFC为平行四边形;‎ ‎(2)取BC中点O,将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图(二)中△位置,直线与AB、CF分别相交于P、Q两点,猜想OQ、OP长度的大小关系,并证明你的猜想.‎ ‎ (3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明).‎ ‎23题图 ‎【答案】证:(1)   ……………………1分 ‎ ∴AB=CF,AC=BF ……………………2分 ‎ ∴四边形ABCF为平行四边形 ……………………3分 ‎ (用其它判定方法也可)‎ ‎(2)OP=OQ ……………………4分 理由如下:‎ ‎ ……………………6分 ‎ ∴OP=OQ ……………………7分 ‎(用平行四边形对称性证明也可) ‎ ‎ (3)90o ……………………8分 ‎44.(2010广西桂林)求证:矩形的对角线相等.‎ ‎【答案】已知:四边形ABCD是矩形, AC与BD是对角线 ……………2分 求证:AC=BD ………………………………………3分 证明: ∵四边形ABCD是矩形 ‎ ‎∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°…………4分 又∵BC=CB …………………………5分 ‎∴△ABC≌△DCB …………6分 ‎∴AC=BD ……………………7分 所以矩形的对角线相等. …………8分 ‎45.(2010 四川自贡)如图,在□ABCD中,BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F,AC与BE、BF分别交于点G,H。‎ ‎(1)求证:△BAE∽△BCF ‎(2)若BG=BH,求证四边形ABCD是菱形 ‎【答案】‎ ‎46.(2010宁夏回族自治区)已知:正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点,且CE=DF,AE与BF交于点M.‎ ‎(1)求证:△ABF≌△DAE;‎ ‎(2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线).‎ ‎【答案】(1)证明:在正方形ABCD中:‎ AB=AD=CD, 且∠BAD=∠ADC=‎ ‎∵CE=DF ‎∴AD-DF=CD-CE 即:AF=DE 在△ABF与△DAE中 ‎∴△ABF≌△DAE(SAS)‎ (2) 与△ABM相似的三角形有:△FAM; △FBA; △EAD ‎ ‎47.(2010宁夏回族自治区)在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.‎ ‎(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明.‎ ‎(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.‎ ‎【答案】解:(1)∵ADBC ‎△AEB是由△ADB折叠所得 ‎∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=,BE=BD, AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ‎∴∠2=∠4,∠F=∠ADC=,FC=CD,AF=AD ‎∴AE=AF---------------------------------------------2分 ‎ 又∵∠1+∠2=, ‎ ‎ ∴∠3+∠4=‎ ‎∴∠EAF=--------------------------------------3分 ‎∴四边形AEMF是正方形。---------------------5分 ‎(2)方法一:设正方形AEMF的边长为x 根据题意知:BE=BD, CF=CD ‎∴BM=x-1; CM=x-2-------------------------------------------------------------------7分 在Rt△BMC中,由勾股定理得:‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ 解之得: (舍去)‎ ‎∴------------------------------------------10分 方法二:设:AD=x ‎∴= ‎ ‎ ∴-----------------------------------------------------------7分 ‎∵ ‎ 且 ‎∴ 即 解之得: (舍去)‎ ‎∴---------------------------------------------10分 ‎48.(2010 广西钦州市)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,‎ CE∥AD交AB于点E.求证:四边形AECD是菱形.‎ ‎【答案】证明:‎ ‎ ∵AB∥CD,CE∥AD, ‎ ‎ ∴四边形AECD是平行四边形.………3分 ‎ ‎ ∵AC平分∠BAD,‎ ‎ ∴∠BAC=∠DAC.…………4分 ‎ 又∵AB∥CD,‎ ‎ ∴∠ACD=∠BAC=∠DAC.…………5分 ‎ ∴AD=DC.…………6分 ‎ ∴四边形AECD是菱形.…………8分 ‎49.(2010 广西钦州市)如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.‎ ‎ (1)点B的坐标为 ▲ ;用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ;(3分)‎ ‎(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)‎ ‎(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3分) ‎ ‎(备用图)‎ ‎【答案】解:(1)(6,4);().(其中写对B点得1分) 3分 ‎(2)∵S△OMP =×OM×, 4分 ‎∴S =×(6 -t)×=+2t.‎ ‎ =(0 < t <6). 6分 ‎∴当时,S有最大值. 7分 ‎ (3)存在.‎ ‎ 由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),‎ 则直线ON的函数关系式为:.‎ ‎(备用图)‎ R2‎ T1‎ T2‎ R1‎ D2‎ D1‎ ‎ 设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为.‎ ‎∵S△OCN =×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. 8分 ‎① 当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=••••RD1•OT =••b=2.‎ ‎∴, b =.‎ ‎∴b1 =,b2 =(不合题意,舍去)‎ 此时点T1的坐标为(0,). 9分 ‎② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则 S△R2NE=•EN•R2D2 =••=2.‎ ‎∴,b=.‎ ‎∴b1=,b2=(不合题意,舍去).‎ ‎∴此时点T2的坐标为(0,).‎ 综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件.‎ ‎50.(2010吉林长春)(1)在图①中。以线段m为一边画菱形,要求菱形的顶点均在格点上。(画一个即可)(3分)‎ ‎(2)在图②中,平移a、b、c中的两条线段,使它们与线段n构成以n为一边的等腰直角三角形。(画一个即可)(3分)‎ ‎【答案】‎ ‎51.(2010吉林长春)如图,四边形ABCD与四边形DEFG都是矩形,顶点F在BA的延长线上,边DG与AF交于点H,AD=4,DH=5,EF=6,求FG的长.‎ ‎【答案】‎ ‎52.(2010新疆乌鲁木齐)如图5,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交 AD于点E,DF平分∠ADC交BC于点DF。‎ ‎ 求证:(1)△ABE≌△CDF ‎ (2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊 四边形,请证明你的结论。‎ ‎【答案】证明:(1)四边形ABCD是平行四边形 ‎ BE平分,DF平分 …………2分 ‎ (ASA) …………4分 ‎ (2)由,得AE=CF …………5分 ‎ 在平行四边形ABCD中,AD//BC,AD=BC ‎ 四边形EBFD是平行四边形 …………6分 ‎ 若,则四边形EBFD是菱形 …………8分 ‎53.(2010新疆乌鲁木齐)如图9,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E是OA边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P。‎ ‎ (1)当点E坐标为(3,0)时,试证明CE=EP;‎ ‎ (2)如果将上述条件“点E坐标为(3,0)”改为“点E坐标 为”,结论CE=EP是否仍然成立,请说明理由;‎ ‎ (3)在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边 形?若存在,用t表示点M的坐标;若不存在,说明理由。‎ ‎【答案】解:(1)过点P作轴,垂足为H ‎ ‎ ‎ ∴△COE∽△EHP ‎ ………………2分 由题意知:CO=5 OE=3 EH=EA+AH=2+HP ‎ ………………3分 故CE=EP ………………5分 ‎ (2)CE=EP仍成立。‎ 同理△COE∽△EHP ………………6分 由题意知:CO=5 OE=t ‎ ‎ …………8分 ‎ (3)y轴上存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形 …………9分 过点B作BM//EP交y轴于点M 在△BCM和△COE中 ‎∴△BCM≌△COE ∴BM=CE 而CE=EP ∴BM=EP 由于BM//EP ∴四边形BMEP是平行四边形 …………11分 由△BCM≌△COE可得CM=OE=t ∴OM=CO—CM=5—t 故点M的坐标为 ………………12分 ‎54.(2010年山西)如图1,已知正方形ABCD是边CD的正方形DEFG的边DE上,连接AE,GC。‎ ‎ (1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系,并证明你的结论。‎ ‎ (2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使点E落在BC边上,如图2,连接AE和GC,你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明:若不成立,请说明理由。‎ ‎【答案】(1)答:…………(1分)‎ ‎ 证明:延长GC交AE于点H ‎ 在正方形ABCD与正方形DEFG中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………(3分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………(5分)‎ ‎ (2)答:成立…………(6分)‎ ‎ 证明:延长AE和GC相交于点H。‎ ‎ 在正方形ABCD和正方形DEFG中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………(8分)‎ ‎ 又 ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ …………(10分)‎ ‎55.(2010广东茂名)如图,已知OA⊥OB,OA=4,OB=3,以AB为边作矩形ABCD,使AD=,过点D作DE垂直OA的延长线交于点E.‎ ‎(1)证明:△OAB∽△EDA; (3分)‎ ‎(2)当为何值时,△OAB与△EDA全等?请说明理由;并求出此时点C到OE的距离. ‎ ‎(第22题图)‎ ‎(第22题备用图)‎ ‎【答案】(1)证明:如图示,‎ ‎∵OA⊥OB ,∴∠1与∠2互余,‎ 又∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90o,‎ ‎∴∠2与∠3互余,∴∠1=∠3,·········1分 ‎∵OA⊥OB,DE⊥OA,∴∠BOA=∠DEA=90o··2分 ‎∴△OAB∽△EDA.···························3分 ‎(2) 解:在Rt△OAB中,AB=,········· 4分 由(1)可知∠1=∠3,∠BOA=∠DEA=90o,‎ ‎∴当=AD=AB=5时,△OAB与△EDA全等.···5分 当=AD=AB=5时,可知矩形ABCD为正方形,‎ ‎∴BC=AB,如图,过点C作CH⊥OE交OE于点H,‎ 则CH就是点C到OE的距离,过点B作BF⊥CH交CH于点F,‎ 则∠4与∠5互余,∠1与∠5互余,∴∠1=∠4,·························6分 又∵∠BFC=∠BOA,BC=AB,∴△OAB≌△FCB(AAS),···············7分 ‎∴CF=OA=4,BO=BF,∴四边形OHFB为正方形,‎ ‎∴HF=OB=3,∴点C到OE的距离CH=CF+HF=4+3=7.················8分 ‎56.(2010辽宁大连)如图15,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,动点P从点A出发沿AB向点B移动,(点P与点A、B不重合),作PD//BC交AC于点D,在DC上取点E,以DE、DP为邻边作平行四边形PFED,使点F到PD的距离,连接BF,设 ‎(1)△ABC的面积等于 ‎ ‎(2)设△PBF的面积为,求与的函数关系,并求的最大值;‎ ‎(3)当BP=BF时,求的值 F H P A C B E D 图15‎ ‎【答案】‎ ‎57.(2010贵州遵义)如图(1),在⊿ABC和⊿EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠‎ ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.‎ ‎(1)求证:CF=CH;‎ ‎(2)如图(2),⊿ABC不动,将⊿EDC绕点C旋转到∠BCE=45° 时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论。‎ ‎【答案】解:(1)(5分)证明:△ ACB和△ECD中 ‎∵∠ACB=∠ECD=90°‎ ‎∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB ‎∴∠1=∠2‎ 又∵AC=CE=CB=CD ‎∴∠A=∠D=45°‎ ‎∴△ACF≌△DCH ‎∴CF=CH ‎(2)(5分)答:四边形ACDM是菱形 证法一:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,‎ ‎∴∠1=45°,∠2=45°‎ 又∵∠E=∠B=45°,∴∠1=∠E,∠2=∠B ‎∴AC//MD,CD//AM 又∵AC=CD ‎∴ACDM是菱形 证法二:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,‎ ‎∴∠1=45°,∠2=45°‎ ‎∴∠ACD=∠1+∠BCE+∠2=135°‎ 又∵∠A=45°,∠D=45°‎ ‎∴∠A+∠ACD=180°,∠D+∠ACD=180°‎ ‎∴AC//MD,CD//AM 又∵AC=CD ‎∴ACDM是菱形 ‎58.(2010辽宁沈阳)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E、F分别为边AB、AD的中点,连接EF、OE、OF.求证:四边形AEOF是菱形.‎ ‎【答案】证明:‎ ‎∵点E、F分别为AB、AD的中点 ‎∴AE=AB,AF=AD 又∵四边形ABCD是菱形 ‎∴AB=AD,‎ ‎∴AE=AF,………………………4分 又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ‎∴O为BD的中点,‎ ‎∴OE、OF是⊿ABD的中位线………………………6分 ‎∴OE∥AD,OF∥AB ‎∴四边形AEOF是平行四边形………………………8分 ‎∵AE=AF 四边形AEOF是菱形。………………………10分 ‎59.(2010辽宁沈阳)如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN。‎ ‎(1)延长MP交CN于点E(如图2)。①求证:△BPM≌△CPE;②PM=PN;‎ ‎(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN成立吗?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由;‎ ‎(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明:①如图2‎ ‎∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N ‎∴∠BMN=∠CNM=90°‎ ‎∴BM∥CN ‎∴∠MBP=∠ECP 又∵P为BC边中点 ‎∴BP=CP 又∵∠BPM=∠CPE ‎∴△BPM≌△CPE………………………………3分 ②∵△BPM≌△CPE ‎∴PM=PE ‎∴PM=ME ‎∴在Rt△MNE中,PN=ME ‎∴PM=PN……………………………………5分 ‎(2)成立。如图3…………………………………6分 证明:延长MP与NC的延长线相交于点E ‎∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N ‎∴∠BMN=∠CNM=90°‎ ‎∴∠BMN+∠CNM=180°‎ ‎∴BM∥CN ‎∴∠MBP=∠ECP…………………………………7分 又∵∠BPM=∠CPE ‎∴△BPM≌△CPE ‎∴PM=PE ‎∴PM=ME 则在直角三角形中,PM=ME ‎∴PM=PN……………………………………10分 ‎(3)四边形MBCN是矩形……………………………………11分 PM=PN成立……………………………………12分 ‎60.(2010福建南平)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作□APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).‎ ‎(1)求证:∠EAP=∠EPA;‎ ‎(2)□APCD是否为矩形?请说明理由;‎ ‎(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.‎ 图1‎ A B D C E P 图2‎ A B D C E P M N F ‎【答案】(1)证明:在ΔABC和ΔAEP中 ‎∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP ‎∴ ∠ACB=∠APE 在ΔABC中,AB=BC ‎∴∠ACB=∠BAC ‎∴ ∠EPA=∠EAP (2) 答:□ APCD是矩形 ‎∵四边形APCD是平行四边形 ‎∴ AC=2EA, PD=2EP ‎∵ 由(1)知 ∠EPA=∠EAP ‎∴ EA=EP 则 AC=PD ‎∴□APCD是矩形 (3) 答: EM=EN ‎ ∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°- α ‎∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α 由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,∴ FP=FB ‎∴∠FPB=∠ABC=α ‎∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α ‎∴ ∠EAM=∠EPN ‎∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN ‎ ‎∴ ∠AEP=∠MEN ‎ ‎∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP ‎∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN ‎61.(2010天门、潜江、仙桃)正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.‎ ‎ (1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;‎ ‎ (2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图②),探究(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由;‎ ‎ (3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.‎ ‎【答案】(1)AP=EF,理由是:连接PC,易知△ABP≌△CBP,所以AP=PC,因为四边形PE=CF是正方形,所以PC=EF,所以AP=EF.‎ ‎(2)AP=EF,理由是:连接PC,易知△ABP≌△CBP,所以AP=PC,因为四边形PE=CF是矩形,所以PC=EF,所以AP=EF.‎ ‎(3)AP=EF,图形如图.‎ ‎62.(2010年福建省泉州)如图, 正方形中, 是上一点, 在的延长线上,且。‎ ‎ (1)求证:≌;‎ ‎(2)问:将顺时针旋转多少度后与重合,旋转中心是什么? ‎ ‎【答案】(1)证明:在正方形ABCD中 ‎,…………(1分)‎ ‎, ………(3分)‎ 又 ……………………………(4分)‎ ‎∴≌…………………………(5分)‎ ‎(2)将顺时针旋转 90 后与重合, …………………………………(7分)‎ 旋转中心是点 A .…………………………………(9分)‎ ‎63.(2010广东肇庆)如图4,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD交于点O,∠1=∠2.‎ (1) 求证:四边形ABCD是矩形;‎ (2) 若∠BOC=120o,AB=‎4 cm,求四边形ABCD的面积.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行加边形,AC、BD交于点O ‎ ∴OA=OC,OB=OD ‎ 又∵∠1=∠2‎ ‎∴OB=OC ‎∴OA=OB=OC=OD ‎∴AC=BD ‎∴四边形ABCD是矩形 ‎ (2)∵四边形ABCD是矩形,∠BOC=120o,AB=4‎ ‎∴∠1=∠2=30o,BC=4 ‎ ‎∴S四边形ABCD=ABBC=‎16 cm2‎ ‎64.(2010四川广安)已知:如右图,在矩形ABCD中,BE=CF,求证:AF=DE.‎ ‎【答案】在矩形ABCD中,AB=AC,∠B=∠C=90°,又∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE∴△ABF≌△DCE,∴AF=DE。‎ ‎65.(2010吉林)正方形ABCD与正方形CEFG的位置如图所示,点G在线段CD或CD的延长线上,分别连接BD、BF、FD,得到△BFD。‎ ‎(1)在图①~图③中,若正方形CEFG的国长分别为1、3、4,且正方形ABCD的边长均为3,请通过计算填写下表:‎ 正方形CEFG的边长 ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎△BFD的面积 ‎(2)若正方形CEFG的边长为a,正方形ABCD的边长为b,猜出S△BFD的大小,并结合图③证明你的猜想。‎ ‎【答案】‎ ‎66.(2010四川达州)如图8,将一矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点E处,折痕为MN,图中有全等三角形吗?若有,请找出并证明.‎ 图8‎ ‎【答案】解:有,△ABN≌△AEM.‎ 证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB=DC,∠B=∠C=∠DAB=90°‎ ‎∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM,‎ ‎∴AE=CD,∠E=∠D=90°,∠EAN=∠C=90°‎ ‎∴AB=AE,∠B=∠E,‎ ‎∠DAB=∠EAN,‎ 即:∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM,‎ ‎∴∠BAN=∠EAM.‎ 在△ABN与△AEM中,‎ ‎∴△ABN≌△AEM.‎ ‎67.(2010广东清远)如图6,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AD、CD上的两点,且AE=DF.‎ 求证:△ABE≌△DBF.‎ 图6‎ ‎ ‎ 证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=CD=DA.‎ 又∵∠A=60°,‎ ‎∴△ABD和△BCD都是等边三角形.‎ ‎∴AB=DB,∠A=∠BDF = 60°.‎ 又∵AE=DF,‎ ‎∴△ABE≌△DBF.‎ ‎68.(2010内蒙赤峰)两块完全相同的三角板I(△ABC)和Ⅱ(△A’B’C’)如图(1)所示放置在同一平面上 ‎(∠C=∠C’=90o,∠ABC=∠A’B’C’ =60 o),斜边重合,若三角板Ⅱ不动,三角板I在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动,图(2)是滑动过程中的一个位置。‎ ‎(1)连结BC’、B’C,(图(2)),求证△A’BC’≌△AB’C。‎ ‎(2)三角板I滑动到什么位置(点B’落在AB边的什么位置)时,四边形BCB’C’是菱形?‎ 说明理由。‎ ‎【答案】‎ ‎69.(2010广西百色)已知矩形中,对角线、相交于点,、是对角线上的两点,且.‎ ‎(1)按边分类,是 三角形;‎ ‎(2)猜想线段、的大小关系,并证明你的猜想.‎ 第22题 ‎【答案】(1)等腰 …………………………………………2′‎ ‎ (2)猜想: …………………………1′‎ 证法一:∵四边形是矩形 ‎ ∴∥且=………………1′‎ ‎ ∴∠=∠ …………………1′‎ ‎ ∵=‎ ‎ ∴≌ () ………2‎ ‎ ∴ ……………1′‎ ‎ 证法二:∵四边形是矩形 ‎ ∴‎ ‎ ∵= ∴‎ ‎ 又∠=∠‎ ‎ ∴≌ ()‎ ‎ ∴‎ ‎ 证法三:如图,连结、‎ ‎ 由是矩形得 ‎ ∵= ∴‎ ‎ ∴四边形是平行四边形. ∴‎ ‎70.(2010湖北黄石)如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC边上的点,且AE=BF,求证AF⊥DE.‎ ‎【答案】‎
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