2012中考数学专题复习 最短距离问题分析

2012中考数学专题复习 最短距离问题分析

‎2012中考数学专题复习 最短距离问题分析 ‎ 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。‎ 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：‎ Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：‎ ‎（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。‎ ‎（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 ‎ A B ‎′‎ P l 几何模型：‎ 条件：如图，、是直线同旁的两个定点．‎ 问题：在直线上确定一点，使的值最小．‎ 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，‎ 则的值最小（不必证明）．‎ A B E C B D 图1‎ 模型应用：‎ ‎（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，‎ 是上一动点．连结，由正方形对称性可知，‎ 与关于直线对称．连结交于，则 的最小值是___________；‎ O A B C 图2‎ P ‎（2）如图2，的半径为2，点在上，‎ ‎，，是上一动点，‎ 求的最小值；‎ O A B P R Q 图3‎ ‎（3）如图3，，是内一点，，‎ 分别是上的动点，求周长的最小值．‎ 解：（1）的最小值是 ‎ （2）的最小值是 ‎（3）周长的最小值是 ‎【典型例题分析】‎ A D E P B C ‎1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） ‎ A． B． C．3 D．‎ B O A ‎·‎ x y ‎2．如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．‎ ‎(1)求点A、点B的坐标；‎ ‎(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；‎ ‎(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.‎ 解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2)‎ ‎∵ ‎ ‎∴ A(-2，3)‎ ‎(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；‎ ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，‎ B O A ‎·‎ x y P H 在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.‎ ‎∴ 综合上述：PA-PB≤AB.‎ ‎(3)作直线AB交x轴于点P 由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点 作AH⊥OP于H ∵ BO⊥OP ‎∴ ∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠APH ‎∴ △BOP∽△AHP ∴ ‎ 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 ∴ OP=4，∴ P(4，0)‎ y O x P D B ‎3.如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为，为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．‎ ‎（1）试证明：无论点运动到何处，总造桥与相等；‎ ‎（2）当点运动到与点的距离最小时，试确定过三点的抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点是（2）中所确定抛物线的顶点，当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长；‎ ‎（4）设点是矩形的对称中心，是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标． ‎ y O x D B P E F M 解：（1）∵点是的中点，∴，∴．‎ 又∵是的角平分线，∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）过点作的平分线的垂线，垂足为，点即为所求．‎ 易知点的坐标为（2，2），故，作，‎ ‎∵是等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴点的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为．‎ 又∵抛物线经过点和点， ∴有 解得 ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于的平分线的对称点即为点．‎ 连接，它与的平分线的交点即为所求的点（因为，而两点之间线段最短），此时的周长最小．∵抛物线的顶点的坐标，点的坐标， 设所在直线的解析式为，则有，解得．‎ ‎∴所在直线的解析式为．点满足，解得，故点的坐标为． 的周长即是．‎ ‎ 第4题 ‎（4）存在点，使．其坐标是或．‎ ‎4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．‎ ‎（1）求该函数的解析式；‎ ‎（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，‎ 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．‎ 解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．‎ ‎∴解析式为：y＝－2x＋4；‎ ‎(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．‎ ‎∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．‎ 连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．‎ ‎(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)‎ ‎5.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ ‎（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．‎ A C x y B O ‎5题图 A C x y B O 解：（1）此抛物线的解析式为 ‎（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ ‎（第24题图）‎ O A C x y B E P D 设直线的表达式为 则解得∴此直线的表达式为 把代入得∴点的坐标为 ‎（3）存在最大值 理由：∵即∴‎ ‎∴即　　　∴‎ 方法一：连结 ‎ ‎==　　　‎ ‎∵　　∴当时，‎ 方法二：‎ ‎ =‎ ‎=∵ ∴当时，‎ ‎6.如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．‎ D O x y B E P A C ‎（1）求抛物线的表达式．‎ ‎（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．‎ 判断四边形ADBC的形状，并说明理由．‎ ‎（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，‎ 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意知 D O x y B E P C P 解得， ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎（2）设点A（，0），B（，0），则，‎ 解得 ∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝‎ ‎∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° 由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD ‎ ‎∴四边形ADBC是平行四边形 又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形 ‎ ‎（3）延长BC至N，使．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．即最小．‎ ‎∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN ∴FD+FB＝FD+FN．‎ ‎∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 ． 又∵C为BN的中点， ∴（即F为AC的中点）． 又∵A（－1，0），C（0，－） ∴ 点F的坐标为F（，）‎ ‎∴ 存在这样的点F（，），使得△FBD的周长最小． ‎ ‎7.如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。‎ A F E M 解：如图（1`），由题意可得（0，3），，抛物线的对称点 为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线 对称轴的对称点为（6，3）。连结。‎ ‎ ‎ 根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中 最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。‎ A F E M B ‎3‎ ‎3‎ 设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线 的交点为所求的F点。‎ 可得点的坐标为（2，0），F点的坐标为）。‎ 由勾股定理可求出（过程略）‎ 所以点运动的总路程（）最短时间为。‎ 不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”‎ ‎8.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．‎ ‎（1）求、，并比较它们的大小；‎ ‎（2）请你说明的值为最小；‎ ‎（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．‎ B A P X 图（1）‎ Y X B A Q P O 图（3）‎ B A P X 图（2）‎ 解：⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10, ∴AC＝30 ‎ 在Rt△ABC 中，AB＝‎50 AC＝30 ∴BC＝40 ‎ ‎∴ BP＝ S1＝ ‎ ‎⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，‎ 又BC＝40 ∴BA'＝‎ 由轴对称知：PA＝PA' 　∴S2＝BA'＝　∴﹥ ‎ ‎(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA'‎ ‎∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B　　∴S2＝BA'为最小 ‎（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,‎ A'B'＝ ∴所求四边形的周长为 A C B P Q ‎9.如图，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合），为边上一动点，设的长为，请写出最小值，并说明理由。‎ ‎【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在 直线上求一点，使它到同侧的两个定点和的距离之和 最小”。因此，可由图（1`）（连结关于的对称点与所成线段， ‎ 交于。或图（1``）（连结关于的对称点与所成线段，‎ A C B P A C B P Q A C B P Q 交于，都同样可得最小值。‎ ‎（1`） （1``） （1```）‎ 解：如图（1```），作点关于的对称点，连结交于点，易知，‎ ‎。在中，，‎ 又，在上任意取一异于的点，连结，则 ‎ 对边上的动点，最小值为。‎ ‎10.如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.‎ E D C B A 图8‎ ‎(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；‎ ‎(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?‎ ‎(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.‎ 解: (1) ‎ ‎ (2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小 F E D C B A ‎ (3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式的最小值. ‎ 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,‎ 则AB=DF=2,AF=BD=8.‎ 所以AE==13‎ 即的最小值为13. ‎