2020年广东省深圳市中考数学试卷(含解析）

2020年广东省深圳市中考数学试卷(含解析）

‎2020年广东省深圳市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）‎ ‎1．（3分）（2020•深圳）2020的相反数是（　　）‎ A．2020 B．‎1‎‎2020‎ C．﹣2020 D．‎‎-‎‎1‎‎2020‎ ‎2．（3分）（2020•深圳）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•深圳）2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.15×108 B．1.5×107 C．15×107 D．1.5×108‎ ‎4．（3分）（2020•深圳）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）‎ A．圆锥 B．圆柱 ‎ C．三棱柱 D．正方体 ‎5．（3分）（2020•深圳）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247‎ 第25页（共25页）‎ ‎6．（3分）（2020•深圳）下列运算正确的是（　　）‎ A．a+2a＝3a2 B．a2•a3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6‎ ‎7．（3分）（2020•深圳）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的大小是（　　）‎ A．40° B．60° C．70° D．80°‎ ‎8．（3分）（2020•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于‎1‎‎2‎PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．（3分）（2020•深圳）以下说法正确的是（　　）‎ A．平行四边形的对边相等 ‎ B．圆周角等于圆心角的一半 ‎ C．分式方程‎1‎x-2‎‎=x-1‎x-2‎-‎2的解为x＝2 ‎ D．三角形的一个外角等于两个内角的和 ‎10．（3分）（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．200tan70°米 B．‎200‎tan70°‎米 ‎ C．200sin 70°米 D．‎200‎sin70°‎米 ‎11．（3分）（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　）‎ A．abc＞0 ‎ B．4ac﹣b2＜0 ‎ C．3a+c＞0 ‎ D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根 ‎12．（3分）（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：‎ ‎①EF⊥BG；‎ ‎②GE＝GF；‎ ‎③△GDK和△GKH的面积相等；‎ ‎④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，‎ 其中正确的结论共有（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）（2020•深圳）分解因式：m3﹣m＝　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•深圳）一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是　 　．‎ ‎15．（3分）（2020•深圳）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝　 　．‎ ‎16．（3分）（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB‎=‎‎1‎‎2‎，BOOD‎=‎‎4‎‎3‎，则S‎△ABDS‎△CBD‎=‎　 　．‎ 三、解答题（本题共7小题，共52分）‎ ‎17．（5分）（2020•深圳）计算：（‎1‎‎3‎）﹣1﹣2cos30°+|‎-‎‎3‎|﹣（4﹣π）0．‎ 第25页（共25页）‎ ‎18．（6分）（2020•深圳）先化简，再求值：a+1‎a‎2‎‎-2a+1‎‎÷‎（2‎+‎‎3-aa-1‎），其中a＝2．‎ ‎19．（7分）（2020•深圳）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题．‎ ‎（1）m＝　 　，n＝　 　．‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是　 　度；‎ ‎（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　 　名．‎ ‎20．（8分）（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：AE＝AB；‎ ‎（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．‎ ‎21．（8分）（2020•深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．‎ ‎（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？‎ ‎22．（9分）（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．‎ 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：‎ ‎（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；‎ ‎（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；‎ ‎（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG‎=ABAD=‎‎2‎‎3‎，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．‎ ‎23．（9分）（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△‎ 第25页（共25页）‎ O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y‎=‎‎9‎‎2‎作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF‎=‎‎1‎‎4‎？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分）‎ ‎1．（3分）（2020•深圳）2020的相反数是（　　）‎ A．2020 B．‎1‎‎2020‎ C．﹣2020 D．‎‎-‎‎1‎‎2020‎ ‎【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）（2020•深圳）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；‎ B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；‎ C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；‎ D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）（2020•深圳）2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约150000000元．将150000000用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.15×108 B．1.5×107 C．15×107 D．1.5×108‎ ‎【解答】解：将150000000用科学记数法表示为1.5×108．‎ 故选：D．‎ ‎4．（3分）（2020•深圳）分别观察下列几何体，其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．圆锥 B．圆柱 ‎ C．三棱柱 D．正方体 ‎【解答】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；‎ 圆柱体的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；‎ 三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；‎ 正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•深圳）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．253，253 B．255，253 C．253，247 D．255，247‎ ‎【解答】解：x‎=‎（247+253+247+255+263）÷5＝253，‎ 这5个数从小到大，处在中间位置的一个数是253，因此中位数是253；‎ 故选：A．‎ ‎6．（3分）（2020•深圳）下列运算正确的是（　　）‎ A．a+2a＝3a2 B．a2•a3＝a5 C．（ab）3＝ab3 D．（﹣a3）2＝﹣a6‎ ‎【解答】解：a+2a＝3a，因此选项A不符合题意；‎ a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项B符合题意；‎ ‎（ab）3＝a3b3，因此选项C不符合题意；‎ ‎（﹣a3）2＝a6，因此选项D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•深圳）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的大小是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．40° B．60° C．70° D．80°‎ ‎【解答】解：由题意得，∠4＝60°，‎ ‎∵∠1＝40°，‎ ‎∴∠3＝180°﹣60°﹣40°＝80°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3＝∠2＝80°，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）（2020•深圳）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于‎1‎‎2‎PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：由题可得，AR平分∠BAC，‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴AD是三角形ABC的中线，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴BD‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎1‎‎2‎×‎6＝3，‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）（2020•深圳）以下说法正确的是（　　）‎ A．平行四边形的对边相等 ‎ B．圆周角等于圆心角的一半 ‎ C．分式方程‎1‎x-2‎‎=x-1‎x-2‎-‎2的解为x＝2 ‎ D．三角形的一个外角等于两个内角的和 ‎【解答】解：A、平行四边形的对边相等，所以A选项正确；‎ B、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以B选项错误；‎ C、去分母得1＝x﹣1﹣2（x﹣2），解得x＝2，经检验原方程无解，所以C选项错误；‎ D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以D选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎10．（3分）（2020•深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）‎ A．200tan70°米 B．‎200‎tan70°‎米 ‎ C．200sin 70°米 D．‎200‎sin70°‎米 ‎【解答】解：在Rt△PQT中，‎ ‎∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，‎ ‎∴∠PTQ＝70°，‎ ‎∴tan70°‎=‎PQPT，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴PT‎=PQtan70°‎=‎‎200‎tan70°‎，‎ 即河宽‎200‎tan70°‎米，‎ 故选：B．‎ ‎11．（3分）（2020•深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　）‎ A．abc＞0 ‎ B．4ac﹣b2＜0 ‎ C．3a+c＞0 ‎ D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根 ‎【解答】解：A．∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵对称轴为直线x‎=-b‎2a=-‎1，‎ ‎∴b＝2a＜0，‎ ‎∵抛物线与y轴交于正半轴，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＞0，‎ 故A正确；‎ B．∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，‎ 故B正确；‎ C．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴x＝1时，y＜0，‎ 即a+b+c＜0，‎ ‎∵b＝2a，‎ ‎∴3a+c＜0，‎ 故C错误；‎ D．∵抛物线开口向下，顶点为（﹣1，n），‎ ‎∴函数有最大值n，‎ ‎∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，‎ ‎∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1无实数根，‎ 故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎12．（3分）（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：‎ ‎①EF⊥BG；‎ ‎②GE＝GF；‎ ‎③△GDK和△GKH的面积相等；‎ ‎④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，‎ 其中正确的结论共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，‎ ‎∴EF垂直平分BG，‎ ‎∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EGO＝∠FBO，‎ 又∵∠EOG＝∠BOF，‎ ‎∴△BOF≌△GOE（ASA），‎ ‎∴BF＝EG，‎ ‎∴BF＝EG＝GF，故②正确，‎ ‎∵BE＝EG＝BF＝FG，‎ ‎∴四边形BEGF是菱形，‎ ‎∴∠BEF＝∠GEF，‎ 当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，‎ ‎∵sin∠AEB‎=ABBE=‎6‎‎12‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴∠AEB＝30°，‎ ‎∴∠DEF＝75°，故④正确，‎ 由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）（2020•深圳）分解因式：m3﹣m＝　m（m+1）（m﹣1）　．‎ ‎【解答】解：m3﹣m，‎ ‎＝m（m2﹣1），‎ ‎＝m（m+1）（m﹣1）．‎ ‎14．（3分）（2020•深圳）一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7‎ 第25页（共25页）‎ 的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是　‎3‎‎7‎　．‎ ‎【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，‎ ‎∴摸出编号为偶数的球的概率为‎3‎‎7‎，‎ 故答案为：‎3‎‎7‎．‎ ‎15．（3分）（2020•深圳）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（3，1），B（1，2）．反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝　﹣2　．‎ ‎【解答】解：连接OB，AC，交点为P，‎ ‎∵四边形OABC是平行四边形，‎ ‎∴AP＝CP，OP＝BP，‎ ‎∵O（0，0），B（1，2），‎ ‎∴P的坐标（‎1‎‎2‎，1），‎ ‎∵A（3，1），‎ ‎∴C的坐标为（﹣2，1），‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象经过点C，‎ ‎∴k＝﹣2×1＝﹣2，‎ 故答案为﹣2．‎ 第25页（共25页）‎ ‎16．（3分）（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB‎=‎‎1‎‎2‎，BOOD‎=‎‎4‎‎3‎，则S‎△ABDS‎△CBD‎=‎　‎3‎‎32‎　．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，‎ ‎∵DM∥BC，‎ ‎∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，‎ ‎∴ABBC‎=ANNM=‎tan∠ACB‎=‎‎1‎‎2‎，BCDM‎=OBOD=‎‎4‎‎3‎，‎ 又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，‎ ‎∴∠BAC+∠NAD＝90°，‎ ‎∵∠BAC+∠BCA＝90°，‎ ‎∴∠NAD＝∠BCA，‎ ‎∴△ABC∽△DAN，‎ ‎∴ABBC‎=DNNA=‎‎1‎‎2‎，‎ 设AB＝a，DN＝b，则BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，‎ 由BCDM‎=OBOD=‎‎4‎‎3‎得，DM‎=‎‎3‎‎2‎a，‎ ‎∴4b+b‎=‎‎3‎‎2‎a，‎ 第25页（共25页）‎ 即，b‎=‎‎3‎‎10‎a，‎ ‎∴S‎△ABDS‎△BCD‎=‎1‎‎2‎AB⋅DN‎1‎‎2‎BC⋅NB=ab‎2a⋅(a+2b)‎=‎3‎‎10‎a‎2‎‎2a⋅‎16‎‎10‎a=‎‎3‎‎32‎．‎ 故答案为：‎3‎‎32‎．‎ 三、解答题（本题共7小题，共52分）‎ ‎17．（5分）（2020•深圳）计算：（‎1‎‎3‎）﹣1﹣2cos30°+|‎-‎‎3‎|﹣（4﹣π）0．‎ ‎【解答】解：原式＝3﹣2‎×‎3‎‎2‎+‎3﹣1‎ ‎3‎-‎3‎+‎3‎-‎1‎ ‎＝2．‎ ‎18．（6分）（2020•深圳）先化简，再求值：a+1‎a‎2‎‎-2a+1‎‎÷‎（2‎+‎‎3-aa-1‎），其中a＝2．‎ ‎【解答】解：原式‎=a+1‎‎(a-1‎‎)‎‎2‎÷‎‎2a-2+3-aa-1‎ ‎=a+1‎‎(a-1‎‎)‎‎2‎÷‎a+1‎a-1‎‎ ‎ ‎=a+1‎‎(a-1‎‎)‎‎2‎×‎a-1‎a+1‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎a-1‎‎ ‎ 当a＝2时，原式‎=‎1‎‎2-1‎=‎1．‎ ‎19．（7分）（2020•深圳）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ 第25页（共25页）‎ 请根据统计图提供的信息，解答下列问题．‎ ‎（1）m＝　50　，n＝　10　．‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是　72　度；‎ ‎（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　180　名．‎ ‎【解答】解：（1）m＝15÷30%＝50，‎ n%＝5÷50×100%＝10%，‎ 故答案为：50，10；‎ ‎（2）硬件专业的毕业生有：50×40%＝20（人），‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°‎×‎10‎‎50‎=‎72°，‎ 故答案为：72；‎ ‎（4）600×30%＝180（名），‎ 即“总线”专业的毕业生有180名，‎ 故答案为：180．‎ ‎20．（8分）（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）求证：AE＝AB；‎ ‎（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AC、OC，如图，‎ ‎∵CD为切线，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠OCB＝∠E，‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴∠OCB＝∠B，‎ ‎∴∠B＝∠E，‎ ‎∴AE＝AB；‎ ‎（2）解：∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎8，‎ ‎∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，‎ ‎∴CE＝BC＝6，‎ ‎∵‎1‎‎2‎CD•AE‎=‎‎1‎‎2‎AC•CE，‎ ‎∴CD‎=‎6×8‎‎10‎=‎‎24‎‎5‎．‎ 第25页（共25页）‎ ‎21．（8分）（2020•深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．‎ ‎（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？‎ ‎（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？‎ ‎【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，‎ 由题意得：50（x+6）+30x＝620，‎ 解得：x＝4，‎ ‎∴6+4＝10，‎ 答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；‎ ‎（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，‎ 由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600，‎ ‎∵2＞0，‎ ‎∴w随y的增大而增大，‎ ‎∵y≤2（300﹣y），‎ ‎∴0＜y≤200，‎ ‎∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，‎ 答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．‎ ‎22．（9分）（2020•深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．‎ 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；‎ ‎（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；‎ ‎（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG‎=ABAD=‎‎2‎‎3‎，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形，‎ ‎∴AE＝AF，∠EAG＝90°，‎ 又∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB＝AD，∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠EAB＝∠GAD，‎ ‎∴△AEB≌△AGD（SAS），‎ ‎∴BE＝DG；‎ ‎（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，‎ 理由如下：‎ ‎∵∠EAG＝∠BAD，‎ ‎∴∠EAB＝∠GAD，‎ 第25页（共25页）‎ 又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AE＝AG，AB＝AD，‎ ‎∴△AEB≌△AGD（SAS），‎ ‎∴BE＝DG；‎ ‎（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，‎ 过点G作GN⊥AB交AB于点N，‎ 由题意知，AE＝4，AB＝8，‎ ‎∵AEAG‎=ABAD=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴AG＝6，AD＝12，‎ ‎∵∠EMA＝∠ANG，∠MAE＝∠GAN，‎ ‎∴△AME∽△ANG，‎ 设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，‎ ‎∴ED2＝（2a）2+（12+2b）2＝4a2+144+48b+4b2，‎ GB2＝（3a）2+（8﹣3b）2＝9a2+64﹣48b+9b2，‎ ‎∴ED2+GB2＝13（a2+b2）+208＝13×4+208＝260．‎ 方法二：如图2，设BE与DG交于Q，‎ ‎∵AEAG‎=ABAD=‎‎2‎‎3‎，AE＝4，AB＝8‎ ‎∴AG＝6，AD＝12．‎ ‎∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠EAG＝∠BAD，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠EAB＝∠GAD，‎ ‎∵EAAG‎=‎ABAD，‎ ‎∴△EAB∽△GAD，‎ ‎∴∠BEA＝∠AGD，‎ ‎∴A，E，G，Q四点共圆，‎ ‎∴∠GQP＝∠PAE＝90°，‎ ‎∴GD⊥EB，‎ 连接EG，BD，‎ ‎∴ED2+GB2＝EQ2+QD2+GQ2+QB2＝EG2+BD2，‎ ‎∴EG2+BD2＝42+62+82+122＝260．‎ ‎23．（9分）（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y‎=‎‎9‎‎2‎作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF‎=‎‎1‎‎4‎？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴‎9a-3b+3=0‎a+b+3=0‎，解得a=-1‎b=-2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）①0＜t＜1时，如图1，若B'C'与y轴交于点F，‎ ‎∵OO'＝t，OB'＝1﹣t，‎ ‎∴OF＝3OB'＝3﹣3t，‎ ‎∴S‎=‎1‎‎2‎×‎（C'O'+OF）×OO'‎=‎1‎‎2‎×‎（3+3﹣3t）×t‎=-‎3‎‎2‎t‎2‎+‎3t，‎ ‎②1≤t‎＜‎‎3‎‎2‎时，S‎=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎③‎3‎‎2‎‎≤‎t≤3时，如图2，C′O′与AD交于点Q，B′C′与AD交于点P，过点P作PH⊥C′O′于H，‎ ‎∵AO＝3，O'O＝t，‎ ‎∴AO'＝3﹣t，O'Q＝6﹣2t，‎ ‎∴C'Q＝2t﹣3，‎ ‎∵QH＝2PH，C'H＝3PH，‎ ‎∴PH‎=‎‎1‎‎5‎C'Q‎=‎‎1‎‎5‎（2t﹣3），‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴S‎=‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎(2t-3)×‎‎1‎‎5‎（2t﹣3），‎ ‎∴S‎=-‎2‎‎5‎t‎2‎+‎6‎‎5‎t+‎‎3‎‎5‎，‎ 综合以上可得：S‎=‎‎-‎3‎‎2‎t‎2‎+3t(0＜t＜1)‎‎3‎‎2‎‎(1≤t＜‎3‎‎2‎)‎‎-‎2‎‎5‎t‎2‎+‎6‎‎5‎t+‎3‎‎5‎(‎3‎‎2‎≤t≤3)‎．‎ ‎（3）令F（﹣1，t），则MF‎=‎‎(m+1‎)‎‎2‎+(n-t‎)‎‎2‎，ME‎=‎9‎‎2‎-‎n，‎ ‎∵ME﹣MF‎=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴MF＝ME‎-‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴‎(m+1‎)‎‎2‎+(n-t‎)‎‎2‎=(‎17‎‎4‎-n‎)‎‎2‎，‎ ‎∴m2+2m+1+t2﹣2nt‎=-‎17‎‎2‎n+‎‎289‎‎16‎．‎ ‎∵n＝﹣m2﹣2m+3，‎ ‎∴‎(1+2n-‎17‎‎2‎)m‎2‎+‎（2+4n﹣17）m+1+t2﹣6t‎+‎51‎‎2‎-‎289‎‎16‎=‎0．‎ 当t‎=‎‎15‎‎4‎时，上式对于任意m恒成立，‎ ‎∴存在F（﹣1，‎15‎‎4‎）．‎ 第25页（共25页）‎