中考压轴题分类专题五抛物线中的四边形

中考压轴题分类专题五抛物线中的四边形

中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：‎ 一、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为平行四边形，求点坐标。‎ 分两大类进行讨论：‎ ‎（1）为边时 ‎（2）为对角线时 二、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为距形，求点坐标。‎ 在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：‎ ‎（1）邻边互相垂直 ‎（2）对角线相等 三、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为菱形，求点坐标。‎ 在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：‎ ‎（1）邻边相等 ‎（2）对角线互相垂直 四、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为正方形，求点坐标。‎ 在四边形为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：‎ ‎（1）邻边相等 ‎（2）对角线互相垂直 在四边形为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：‎ ‎（1）邻边互相垂直 ‎（2）对角线相等 五、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为梯形，求点坐标。‎ 分三大类进行讨论：‎ ‎（1）为底时 ‎（2）为腰时 ‎（3）为对角线时 所需知识点：‎ 一、 两点之间距离公式：‎ 已知两点，‎ 则由勾股定理可得：。‎ 二、 圆的方程：‎ 点在⊙M上，⊙M中的圆心M为，半径为R。‎ 则，得到方程☆：。‎ ‎∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。‎ 三、 中点公式：‎ 已知两点，则线段PQ的中点M为。‎ 四、 任意两点的斜率公式：‎ 已知两点，则直线PQ的斜率： 。‎ 五、 平面内两直线之间的位置关系：‎ 两直线分别为：，。‎ ‎（一）∥。（二）与相交。特别是。‎ 典型例题：‎ 例一（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式．‎ ‎（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．‎ ‎（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.‎ ‎ ‎ 例二、如图，反比例函数y＝的图象与二次函数的图象在第一象限内相交于A、B两点，A、B两点的纵坐标分别为1，3，且AB=．‎ （１） 求反比例函数的解析式；‎ （２） 求二次函数的解析式．‎ ‎（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．‎ 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且－=5．‎ ‎（1）求、的值；（4分）‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）‎ ‎（第25题图）‎ A x y B C O ‎ ‎ ‎ ‎ 例4、（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ x y M C D P Q O A B 同步训练：‎ ‎1、如图，抛物线y=ax2+bx+c交坐标轴于点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3）。‎ ‎（1）求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标。‎ ‎（2）若直线CM与x轴交于点D, E是C关于此抛物线对称轴的对称点，试判断四边形ADCE的形状并说明理由。‎ ‎（3）若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点，连接BP交y轴正半轴于点N，是否存在点P使△AOC与△BON相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由。‎ x y O A B C x y O A B C E D M x l Q C P A O B H R y ‎2如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．‎ ‎（1）求证：点为线段的中点；‎ ‎（2）求证：①四边形为平行四边形；‎ ‎②平行四边形为菱形；‎ ‎（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．‎ ‎3、（2009年广东广州）如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎4、（2009年烟台市）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．‎ （1） 求抛物线对应的函数表达式；‎ （2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ （3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎（第26题图）‎ （4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．‎ ‎5、（2009年浙江省湖州市）已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； ‎ ‎(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；‎ ‎(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎（第24题）‎ ‎6、（2009年河池市）如图12，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（，0）．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ O D B C A E 图12‎ ‎（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．‎ ‎7、（江苏省2009年）如图，已知二次函数的图象的顶点为．二次函数的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上．‎ ‎（1）求点与点的坐标；‎ x y O ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ A ‎（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式．‎ ‎8、（2009年柳州）如图11，已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．‎ ‎（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；‎ ‎（2）以AD为直径的圆经过点C．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ O x y A B C D 图11‎ ‎②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． ‎