中考数学100份试卷分类汇编圆的垂径定理

中考数学100份试卷分类汇编圆的垂径定理

‎2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的垂径定理 ‎1、（2013年潍坊市）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案：D．‎ 考点:垂径定理与勾股定理.‎ 点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.‎ ‎2、(2013年黄石)如右图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为 C A D B A. B. C. D. ‎ 答案：C 解析：由勾股定理得AB＝5，则sinA＝，作CE⊥AD于E，则AE＝DE，在Rt△AEC中，sinA＝，即，所以，CE＝，AE＝，所以，AD＝‎ ‎3、(2013河南省)如图，CD是的直径，弦于点G，直线与相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】‎ ‎（A） （B）∥ ‎ ‎（C）AD∥BC （D）‎ ‎【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：，又因为，所以∥，即（B）一定正确。因为所对的弧是劣弧，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。‎ ‎【答案】C ‎4、（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=‎10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=‎8cm，则AC的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm B．‎ cm C．‎ cm或cm D．‎ cm或cm 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．‎ 解答：‎ 解：连接AC，AO，‎ ‎∵⊙O的直径CD=‎10cm，AB⊥CD，AB=‎8cm，‎ ‎∴AM=AB=×8=‎4cm，OD=OC=‎5cm，‎ 当C点位置如图1所示时，‎ ‎∵OA=‎5cm，AM=‎4cm，CD⊥AB，‎ ‎∴OM===‎3cm，‎ ‎∴CM=OC+OM=5+3=‎8cm，‎ ‎∴AC===‎4cm；‎ 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=‎3cm，‎ ‎∵OC=‎5cm，‎ ‎∴MC=5﹣3=‎2cm，‎ 在Rt△AMC中，AC===‎2cm．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm B．‎ ‎5cm C．‎ ‎4cm D．‎ cm 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．3718684‎ 分析：‎ 连接AO，根据垂径定理可知AC=AB=4cm，设半径为x，则OC=x﹣3，根据勾股定理即可求得x的值．‎ 解答：‎ 解：连接AO，‎ ‎∵半径OD与弦AB互相垂直，‎ ‎∴AC=AB=4cm，‎ 设半径为x，则OC=x﹣3，‎ 在Rt△ACO中，AO2=AC2+OC2，‎ 即x2=42+（x﹣3）2，‎ 解得：x=，‎ 故半径为cm．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般．‎ ‎　‎ ‎6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4m B．‎ ‎5m C．‎ ‎6m D．‎ ‎8m 考点：‎ 垂径定理的应用；勾股定理．3718684‎ 分析：‎ 连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：连接OA，‎ ‎∵桥拱半径OC为5m，‎ ‎∴OA=5m，‎ ‎∵CD=8m，‎ ‎∴OD=8﹣5=3m，‎ ‎∴AD===4m，‎ ‎∴AB=2AD=2×4=8（m）；‎ 故选；D．‎ 点评：‎ 此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．‎ ‎7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理 分析：‎ 根据垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△OBC中可求出OB．‎ 解答：‎ 解：∵OC⊥弦AB于点C，‎ ‎∴AC=BC=AB，‎ 在Rt△OBC中，OB==．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．‎ ‎8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．‎ 解答：‎ 解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，‎ ‎∴AC=AB=4，‎ 设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，‎ 在Rt△AOC中，‎ ‎∵AC=4，OC=r﹣2，‎ ‎∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，‎ ‎∴AE=2r=10，‎ 连接BE，‎ ‎∵AE是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ 在Rt△ABE中，‎ ‎∵AE=10，AB=8，‎ ‎∴BE===6，‎ 在Rt△BCE中，‎ ‎∵BE=6，BC=4，‎ ‎∴CE===2．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎9、（2013•莱芜）将半径为‎3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．‎ 分析：‎ 过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．‎ 解答：‎ 解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，‎ 由折叠的性质可知，OD=OC=OA，‎ 由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，‎ 同理可得∠B=30°，‎ 在△AOB中，由内角和定理，‎ 得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°‎ ‎∴弧AB的长为=2π 设围成的圆锥的底面半径为r，‎ 则2πr=2π ‎∴r=‎‎1cm ‎∴圆锥的高为=2‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．‎ ‎10、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长．‎ 解答：‎ 解：连接OC，‎ ‎∵CD⊥AB，CD=8，‎ ‎∴PC=CD=×8=4，‎ 在Rt△OCP中，‎ ‎∵PC=4，OP=3，‎ ‎∴OC===5．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8‎ ‎12、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ AF=BF C．‎ OF=CF D．‎ ‎∠DBC=90°‎ 考点：‎ 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．‎ 分析：‎ 根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，‎ ‎∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，‎ A、=，正确，故本选项错误；‎ B、AF=BF，正确，故本选项错误；‎ C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项错误；‎ D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般．‎ ‎13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎10‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎6‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 连接OB，先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度．‎ 解答：‎ 解：连接OB，‎ ‎∵OC⊥AB，AB=8，‎ ‎∴BC=AB=×8=4，‎ 在Rt△OBC中，OB===．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理；圆周角定理．3718684‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 先根据∠BAC=∠BOD可得出=，故可得出AB⊥CD，由垂径定理即可求出DE的长，再根据勾股定理即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵∠BAC=∠BOD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ ‎∵AE=CD=8，‎ ‎∴DE=CD=4，‎ 设OD=r，则OE=AE﹣r=8﹣r，‎ 在RtODE中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r，‎ ‎∵OD2=DE2+OE2，即r2=42+（8﹣r）2，解得r=5．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．‎ ‎15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（　　）‎ A.3　　　B‎.4　‎　　C.　　　D.‎ 分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．‎ 解：如图所示：‎ 过点O作OD⊥AB于点D，‎ ‎∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，‎ ‎∴BD=AB=×4=2，‎ 在Rt△BOD中，OD===．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键 ‎16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为‎8cm，水面最深地方的高度为‎2cm，则该输水管的半径为（　　）‎ ‎　 A．‎3cm B．‎4cm C．‎5cm D．‎‎6cm 考点：垂径定理的应用；勾股定理．‎ 分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．‎ 解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，‎ ‎∵OD⊥AB，‎ ‎∴AD=AB=×8=‎4cm，‎ 设OA=r，则OD=r﹣2，‎ 在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，‎ 解得r=‎5cm．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．　‎ ‎17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为　24　．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．‎ 分析：‎ 根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），‎ ‎∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，‎ ‎∵点D的坐标是（3，4），‎ ‎∴OD=5，‎ ‎∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），‎ ‎∴圆的半径为13，‎ ‎∴OB=13，‎ ‎∴BD=12，‎ ‎∴BC的长的最小值为24；‎ 故答案为：24．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．‎ ‎18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）‎ A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 ‎ B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。‎ C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. ‎ D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形。‎ ‎19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为　10π　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ 根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵弦AB=BC，弦CD=DE，‎ ‎∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，‎ ‎∴∠BOD=90°，‎ 过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，‎ 则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，‎ 在四边形OFCG中，∠FCD=135°，‎ 过点C作CN∥OF，交OG于点N，‎ 则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，‎ ‎∴△CNG为等腰三角形，‎ ‎∴CG=NG=2，‎ 过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，‎ 在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，‎ ‎∴OG=ON+NG=6，‎ 在Rt△OGD中，OD===2，‎ 即圆O的半径为2，‎ 故S阴影=S扇形OBD==10π．‎ 故答案为：10π．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．‎ ‎20、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　cm．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．3718684‎ 分析：‎ 通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．‎ 解答：‎ 解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，‎ ‎∵OA=2OD=2cm，‎ ‎∴AD===cm，‎ ‎∵OD⊥AB，‎ ‎∴AB=2AD=cm．‎ 点评：‎ 本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．‎ ‎21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=　28　度．‎ 考点：‎ 圆周角定理；垂径定理．3718684‎ 分析：‎ 根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC，继而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵OB⊥AC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠ADB=∠BOC=28°．‎ 故答案为：28．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎22、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是　48　度．‎ 考点：‎ 垂径定理．‎ 分析：‎ 根据点D是弦AC的中点，得到OD⊥AC，然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴OA=OC ‎∵∠A=42°‎ ‎∴∠ACO=∠A=42°‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴OD⊥AC，‎ ‎∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．‎ 故答案为：48．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线．‎ ‎23、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为　　．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．3481324‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：连接OC，‎ ‎∵M是CD的中点，EM⊥CD，‎ ‎∴EM过⊙O的圆心点O，‎ 设半径为x，‎ ‎∵CD=4，EM=8，‎ ‎∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，‎ 在Rt△OEM中，OM2+CM2=OC2，‎ 即（8﹣x）2+22=x2，‎ 解得：x=．‎ ‎∴所在圆的半径为：．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．‎ ‎24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为　2　．‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．‎ 解答：‎ 解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴D为AB的中点，‎ 则AB=2AD=2=2=2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．‎ ‎25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥‎ AB，若⊙O 的半径为，CD=4，则弦AC的长为 ．‎ 考点：垂径定理；勾股定理。切线的性质。‎ 分析：：本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。‎ 解答：连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2，由于CD∥AB得EOA三点共线，连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4，再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=‎ ‎26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=　80°　．‎ 考点：‎ 圆周角定理；垂径定理．3718684‎ 分析：‎ 根据垂径定理可得点B是中点，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC，继而得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠BOD=2∠BAC=80°．‎ 故答案为：80°．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=　52°　度．‎ 考点：‎ 圆周角定理；垂径定理．3718684‎ 分析：‎ 由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得：=，又由圆周角定理，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．‎ 故答案为：52°．‎ 点评：‎ 此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎28 C A B C G H E F 第16题图 、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，‎ 且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，‎ 直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，‎ 则GE+FH的最大值为 ．‎ 考点：此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。‎ 解析：本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接OA，OB，‎ 因为∠ACB=30°，所以∠AOB=60°，所以OA=OB=AB=7，因为E、F中AC、BC的中点，‎ 所以EF==3.5，因为GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5‎ ‎29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），的半径为，则点P的坐标为 ____________.‎ 分析：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．‎ 解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，‎ ‎∵A（6，0），PD⊥OA，‎ ‎∴OD=OA=3，‎ 在Rt△OPD中，‎ ‎∵OP=，OD=3，‎ ‎∴PD===2，‎ ‎∴P（3，2）．‎ 故答案为：（3，2）．‎ 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 ‎30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现‎8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高‎1.6米，测得其影长为‎2.4米，同时测得EG的长为‎3米，HF的长为‎1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为‎2米，求小桥所在圆的半径。‎ 解析：‎ ‎（2013•白银）如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．‎ ‎（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；‎ ‎（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．‎ 考点：‎ 切线的判定；勾股定理；垂径定理．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根据勾股定理计算出OE=3，则EC=2，然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值；‎ ‎（2）根据垂径定理得到AC弧=BC弧，再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线．‎ 解答：‎ 解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，‎ ‎∴AE=BE=AB=4，‎ 在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，‎ ‎∴OE==3，‎ ‎∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，‎ 在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，‎ ‎∴tan∠BAC===；‎ ‎（2）AD与⊙O相切．理由如下：‎ ‎∵半径OC垂直于弦AB，‎ ‎∵AC弧=BC弧，‎ ‎∴∠AOC=2∠BAC，‎ ‎∵∠DAC=∠BAC，‎ ‎∴∠AOC=∠BAD，‎ ‎∵∠AOC+∠OAE=90°，‎ ‎∴∠BAD+∠OAE=90°，‎ ‎∴OA⊥AD，‎ ‎∴AD为⊙O的切线．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理．‎ ‎31、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，‎ ‎（1）求证：CB∥PD；‎ ‎（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．‎ 考点：‎ 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义．‎ 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据=‎ 可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；‎ ‎（2）根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=，即=，所以可以求得圆的直径．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ‎∴∠1=∠P ‎∴CB∥PD；‎ ‎（2）解：连接AC ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°‎ 又∵CD⊥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠P=∠CAB，‎ ‎∴sin∠CAB=，‎ 即=，‎ 又知，BC=3，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴直径为5．‎ 点评：‎ 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质，解题时细心是解答好本题的关键．‎ ‎32、（2013•恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：CG是⊙O的切线．‎ ‎（2）求证：AF=CF．‎ ‎（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．‎ 考点：‎ 切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．3718684‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；‎ ‎（3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF 然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OC，如图，‎ ‎∵C是劣弧AE的中点，‎ ‎∴OC⊥AE，‎ ‎∵CG∥AE，‎ ‎∴CG⊥OC，‎ ‎∴CG是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：连结AC、BC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠2+∠BCD=90°，‎ 而CD⊥AB，‎ ‎∴∠B+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠B=∠2，‎ ‎∵AC弧=CE弧，‎ ‎∴∠1=∠B，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴AF=CF；‎ ‎（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，‎ ‎∴DF=AF=1，‎ ‎∴AD=DF=，‎ ‎∵AF∥CG，‎ ‎∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，‎ ‎∴AG=2．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．‎ ‎33、（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．‎ ‎（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；‎ ‎（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．‎ 考点：‎ 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．‎ 分析：‎ ‎（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；‎ ‎（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，‎ 则AE=AC=×2=1，‎ ‎∵翻折后点D与圆心O重合，‎ ‎∴OE=r，‎ 在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，‎ 即r2=12+（r）2，‎ 解得r=；‎ ‎（2）连接BC，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠BAC=25°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，‎ 根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，‎ ‎∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．‎