中考数学100份试卷分类汇编圆的垂径定理

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中考数学100份试卷分类汇编圆的垂径定理

‎2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的垂径定理 ‎1、(2013年潍坊市)如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5,则CD的长为( ).‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案:D.‎ 考点:垂径定理与勾股定理.‎ 点评:连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决.‎ ‎2、(2013年黄石)如右图,在中,,,,以点为圆心,为半径的圆与交于点,则的长为 C A D B A. B. C. D. ‎ 答案:C 解析:由勾股定理得AB=5,则sinA=,作CE⊥AD于E,则AE=DE,在Rt△AEC中,sinA=,即,所以,CE=,AE=,所以,AD=‎ ‎3、(2013河南省)如图,CD是的直径,弦于点G,直线与相切与点D,则下列结论中不一定正确的是【】‎ ‎(A) (B)∥ ‎ ‎(C)AD∥BC (D)‎ ‎【解析】由垂径定理可知:(A)一定正确。由题可知:,又因为,所以∥,即(B)一定正确。因为所对的弧是劣弧,根据同弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。‎ ‎【答案】C ‎4、(2013•泸州)已知⊙O的直径CD=‎10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=‎8cm,则AC的长为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ cm B.‎ cm C.‎ cm或cm D.‎ cm或cm 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.‎ 专题:‎ 分类讨论.‎ 分析:‎ 先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.‎ 解答:‎ 解:连接AC,AO,‎ ‎∵⊙O的直径CD=‎10cm,AB⊥CD,AB=‎8cm,‎ ‎∴AM=AB=×8=‎4cm,OD=OC=‎5cm,‎ 当C点位置如图1所示时,‎ ‎∵OA=‎5cm,AM=‎4cm,CD⊥AB,‎ ‎∴OM===‎3cm,‎ ‎∴CM=OC+OM=5+3=‎8cm,‎ ‎∴AC===‎4cm;‎ 当C点位置如图2所示时,同理可得OM=‎3cm,‎ ‎∵OC=‎5cm,‎ ‎∴MC=5﹣3=‎2cm,‎ 在Rt△AMC中,AC===‎2cm.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.‎ ‎5、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cm,CD=3cm,则圆O的半径为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ cm B.‎ ‎5cm C.‎ ‎4cm D.‎ cm 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.3718684‎ 分析:‎ 连接AO,根据垂径定理可知AC=AB=4cm,设半径为x,则OC=x﹣3,根据勾股定理即可求得x的值.‎ 解答:‎ 解:连接AO,‎ ‎∵半径OD与弦AB互相垂直,‎ ‎∴AC=AB=4cm,‎ 设半径为x,则OC=x﹣3,‎ 在Rt△ACO中,AO2=AC2+OC2,‎ 即x2=42+(x﹣3)2,‎ 解得:x=,‎ 故半径为cm.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一般.‎ ‎ ‎ ‎6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4m B.‎ ‎5m C.‎ ‎6m D.‎ ‎8m 考点:‎ 垂径定理的应用;勾股定理.3718684‎ 分析:‎ 连接OA,根据桥拱半径OC为5m,求出OA=5m,根据CD=8m,求出OD=3m,根据AD=求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:连接OA,‎ ‎∵桥拱半径OC为5m,‎ ‎∴OA=5m,‎ ‎∵CD=8m,‎ ‎∴OD=8﹣5=3m,‎ ‎∴AD===4m,‎ ‎∴AB=2AD=2×4=8(m);‎ 故选;D.‎ 点评:‎ 此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理.‎ ‎7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理 分析:‎ 根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出OB.‎ 解答:‎ 解:∵OC⊥弦AB于点C,‎ ‎∴AC=BC=AB,‎ 在Rt△OBC中,OB==.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.‎ ‎8、(2013•嘉兴)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎8‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎2‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理;圆周角定理.‎ 专题:‎ 探究型.‎ 分析:‎ 先根据垂径定理求出AC的长,设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长.‎ 解答:‎ 解:∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,‎ ‎∴AC=AB=4,‎ 设⊙O的半径为r,则OC=r﹣2,‎ 在Rt△AOC中,‎ ‎∵AC=4,OC=r﹣2,‎ ‎∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r﹣2)2,解得r=5,‎ ‎∴AE=2r=10,‎ 连接BE,‎ ‎∵AE是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ABE=90°,‎ 在Rt△ABE中,‎ ‎∵AE=10,AB=8,‎ ‎∴BE===6,‎ 在Rt△BCE中,‎ ‎∵BE=6,BC=4,‎ ‎∴CE===2.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.‎ ‎9、(2013•莱芜)将半径为‎3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 圆锥的计算.‎ 分析:‎ 过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求∠A=30°,同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角和定理求∠AOB,然后求得弧AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾股定理求得其高即可.‎ 解答:‎ 解:过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,‎ 由折叠的性质可知,OD=OC=OA,‎ 由此可得,在Rt△AOD中,∠A=30°,‎ 同理可得∠B=30°,‎ 在△AOB中,由内角和定理,‎ 得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°‎ ‎∴弧AB的长为=2π 设围成的圆锥的底面半径为r,‎ 则2πr=2π ‎∴r=‎‎1cm ‎∴圆锥的高为=2‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形.‎ ‎10、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎10‎ B.‎ ‎8‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.‎ 专题:‎ 探究型.‎ 分析:‎ 连接OC,先根据垂径定理求出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的长.‎ 解答:‎ 解:连接OC,‎ ‎∵CD⊥AB,CD=8,‎ ‎∴PC=CD=×8=4,‎ 在Rt△OCP中,‎ ‎∵PC=4,OP=3,‎ ‎∴OC===5.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.‎ ‎11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8‎ ‎12、(2013•宜昌)如图,DC 是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ AF=BF C.‎ OF=CF D.‎ ‎∠DBC=90°‎ 考点:‎ 垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.‎ 分析:‎ 根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,‎ ‎∴点D是优弧AB的中点,点C是劣弧AB的中点,‎ A、=,正确,故本选项错误;‎ B、AF=BF,正确,故本选项错误;‎ C、OF=CF,不能得出,错误,故本选项错误;‎ D、∠DBC=90°,正确,故本选项错误;‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容,难度一般.‎ ‎13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ ‎10‎ C.‎ ‎8‎ D.‎ ‎6‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.‎ 专题:‎ 探究型.‎ 分析:‎ 连接OB,先根据垂径定理求出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度.‎ 解答:‎ 解:连接OB,‎ ‎∵OC⊥AB,AB=8,‎ ‎∴BC=AB=×8=4,‎ 在Rt△OBC中,OB===.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.‎ ‎14、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4‎ B.‎ ‎5‎ C.‎ ‎4‎ D.‎ ‎3‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理;圆周角定理.3718684‎ 专题:‎ 探究型.‎ 分析:‎ 先根据∠BAC=∠BOD可得出=,故可得出AB⊥CD,由垂径定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得出结论.‎ 解答:‎ 解:∵∠BAC=∠BOD,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB⊥CD,‎ ‎∵AE=CD=8,‎ ‎∴DE=CD=4,‎ 设OD=r,则OE=AE﹣r=8﹣r,‎ 在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8﹣r,‎ ‎∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+(8﹣r)2,解得r=5.‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.‎ ‎15、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是(  )‎ A.3   B‎.4 ‎  C.   D.‎ 分析:过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,利用勾股定理即可得出OD的长.‎ 解:如图所示:‎ 过点O作OD⊥AB于点D,‎ ‎∵OB=3,AB=3,OD⊥AB,‎ ‎∴BD=AB=×4=2,‎ 在Rt△BOD中,OD===.‎ 故选C.‎ 点评:本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键 ‎16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为‎8cm,水面最深地方的高度为‎2cm,则该输水管的半径为(  )‎ ‎  A.‎3cm B.‎4cm C.‎5cm D.‎‎6cm 考点:垂径定理的应用;勾股定理.‎ 分析:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD=AB,设OA=r,则OD=r﹣2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.‎ 解答:解:如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,‎ ‎∵OD⊥AB,‎ ‎∴AD=AB=×8=‎4cm,‎ 设OA=r,则OD=r﹣2,‎ 在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r﹣2)2+42,‎ 解得r=‎5cm.‎ 故选C.‎ 点评:本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键. ‎ ‎17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 24 .‎ 考点:‎ 一次函数综合题.‎ 分析:‎ 根据直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵直线y=kx﹣3k+4必过点D(3,4),‎ ‎∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,‎ ‎∵点D的坐标是(3,4),‎ ‎∴OD=5,‎ ‎∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),‎ ‎∴圆的半径为13,‎ ‎∴OB=13,‎ ‎∴BD=12,‎ ‎∴BC的长的最小值为24;‎ 故答案为:24.‎ 点评:‎ 此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.‎ ‎18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是( )‎ A、当弦PB最长时,ΔAPC是等腰三角形。 ‎ B、当ΔAPC是等腰三角形时,PO⊥AC。‎ C、当PO⊥AC时,∠ACP=300. ‎ D、当∠ACP=300,ΔPBC是直角三角形。‎ ‎19、(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π .‎ 考点:‎ 扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.‎ 专题:‎ 综合题.‎ 分析:‎ 根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,在四边形OFCG中可得∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可.‎ 解答:‎ 解:‎ ‎∵弦AB=BC,弦CD=DE,‎ ‎∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点,‎ ‎∴∠BOD=90°,‎ 过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,‎ 则BF=FG=2,CG=GD=2,∠FOG=45°,‎ 在四边形OFCG中,∠FCD=135°,‎ 过点C作CN∥OF,交OG于点N,‎ 则∠FCN=90°,∠NCG=135°﹣90°=45°,‎ ‎∴△CNG为等腰三角形,‎ ‎∴CG=NG=2,‎ 过点N作NM⊥OF于点M,则MN=FC=2,‎ 在等腰三角形MNO中,NO=MN=4,‎ ‎∴OG=ON+NG=6,‎ 在Rt△OGD中,OD===2,‎ 即圆O的半径为2,‎ 故S阴影=S扇形OBD==10π.‎ 故答案为:10π.‎ 点评:‎ 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大.‎ ‎20、(2013•宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 2 cm.‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.3718684‎ 分析:‎ 通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.‎ 解答:‎ 解:过点O作OD⊥AB交AB于点D,‎ ‎∵OA=2OD=2cm,‎ ‎∴AD===cm,‎ ‎∵OD⊥AB,‎ ‎∴AB=2AD=cm.‎ 点评:‎ 本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用.‎ ‎21、(2013•包头)如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB= 28 度.‎ 考点:‎ 圆周角定理;垂径定理.3718684‎ 分析:‎ 根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC,继而得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵OB⊥AC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠ADB=∠BOC=28°.‎ 故答案为:28.‎ 点评:‎ 此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎22、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 48 度.‎ 考点:‎ 垂径定理.‎ 分析:‎ 根据点D是弦AC的中点,得到OD⊥AC,然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴OA=OC ‎∵∠A=42°‎ ‎∴∠ACO=∠A=42°‎ ‎∵D为AC的中点,‎ ‎∴OD⊥AC,‎ ‎∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°.‎ 故答案为:48.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.‎ ‎23、(2013•黄冈)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为  .‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.3481324‎ 专题:‎ 探究型.‎ 分析:‎ 首先连接OC,由M是CD的中点,EM⊥CD,可得EM过⊙O的圆心点O,然后设半径为x,由勾股定理即可求得:(8﹣x)2+22=x2,解此方程即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:连接OC,‎ ‎∵M是CD的中点,EM⊥CD,‎ ‎∴EM过⊙O的圆心点O,‎ 设半径为x,‎ ‎∵CD=4,EM=8,‎ ‎∴CM=CD=2,OM=8﹣OE=8﹣x,‎ 在Rt△OEM中,OM2+CM2=OC2,‎ 即(8﹣x)2+22=x2,‎ 解得:x=.‎ ‎∴所在圆的半径为:.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.‎ ‎24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为 2 .‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长.‎ 解答:‎ 解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=1,‎ ‎∵OC⊥AB,‎ ‎∴D为AB的中点,‎ 则AB=2AD=2=2=2.‎ 故答案为:2.‎ 点评:‎ 此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.‎ ‎25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥‎ AB,若⊙O 的半径为,CD=4,则弦AC的长为 .‎ 考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。‎ 分析::本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。‎ 解答:连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD∥AB得EOA三点共线,连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=‎ ‎26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80° .‎ 考点:‎ 圆周角定理;垂径定理.3718684‎ 分析:‎ 根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得出答案.‎ 解答:‎ 解:∵,⊙O的直径AB与弦CD垂直,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠BOD=2∠BAC=80°.‎ 故答案为:80°.‎ 点评:‎ 此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC= 52° 度.‎ 考点:‎ 圆周角定理;垂径定理.3718684‎ 分析:‎ 由OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,根据垂径定理的即可求得:=,又由圆周角定理,即可求得答案.‎ 解答:‎ 解:∵OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°.‎ 故答案为:52°.‎ 点评:‎ 此题考查了垂径定理与圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.‎ ‎28 C A B C G H E F 第16题图 、(2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,‎ 且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,‎ 直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7,‎ 则GE+FH的最大值为 .‎ 考点:此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。‎ 解析:本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。连接OA,OB,‎ 因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以OA=OB=AB=7,因为E、F中AC、BC的中点,‎ 所以EF==3.5,因为GE+FH=GH-EF,要使GE+FH最大,而EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,所以当GH为直径时,GE+FH的最大值为14-3.5=10.5‎ ‎29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,与轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),的半径为,则点P的坐标为 ____________.‎ 分析:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案.‎ 解:过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,‎ ‎∵A(6,0),PD⊥OA,‎ ‎∴OD=OA=3,‎ 在Rt△OPD中,‎ ‎∵OP=,OD=3,‎ ‎∴PD===2,‎ ‎∴P(3,2).‎ 故答案为:(3,2).‎ 点评:本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键 ‎30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现‎8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高‎1.6米,测得其影长为‎2.4米,同时测得EG的长为‎3米,HF的长为‎1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为‎2米,求小桥所在圆的半径。‎ 解析:‎ ‎(2013•白银)如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E.‎ ‎(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAC;‎ ‎(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,并加以证明.‎ 考点:‎ 切线的判定;勾股定理;垂径定理.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB,AE=AB=4,再根据勾股定理计算出OE=3,则EC=2,然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值;‎ ‎(2)根据垂径定理得到AC弧=BC弧,再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC,由于∠DAC=∠BAC,所以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°,然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线.‎ 解答:‎ 解:(1)∵半径OC垂直于弦AB,‎ ‎∴AE=BE=AB=4,‎ 在Rt△OAE中,OA=5,AE=4,‎ ‎∴OE==3,‎ ‎∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2,‎ 在Rt△AEC中,AE=4,EC=2,‎ ‎∴tan∠BAC===;‎ ‎(2)AD与⊙O相切.理由如下:‎ ‎∵半径OC垂直于弦AB,‎ ‎∵AC弧=BC弧,‎ ‎∴∠AOC=2∠BAC,‎ ‎∵∠DAC=∠BAC,‎ ‎∴∠AOC=∠BAD,‎ ‎∵∠AOC+∠OAE=90°,‎ ‎∴∠BAD+∠OAE=90°,‎ ‎∴OA⊥AD,‎ ‎∴AD为⊙O的切线.‎ 点评:‎ 本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理.‎ ‎31、(2013•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,‎ ‎(1)求证:CB∥PD;‎ ‎(2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径.‎ 考点:‎ 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义.‎ 专题:‎ 几何综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)要证明CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据=‎ 可以确定∠C=∠P,又知∠1=∠C,即可得∠1=∠P;‎ ‎(2)根据题意可知∠P=∠CAB,则sin∠CAB=,即=,所以可以求得圆的直径.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ‎∴∠1=∠P ‎∴CB∥PD;‎ ‎(2)解:连接AC ‎∵AB为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°‎ 又∵CD⊥AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴∠P=∠CAB,‎ ‎∴sin∠CAB=,‎ 即=,‎ 又知,BC=3,‎ ‎∴AB=5,‎ ‎∴直径为5.‎ 点评:‎ 本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键.‎ ‎32、(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:CG是⊙O的切线.‎ ‎(2)求证:AF=CF.‎ ‎(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.‎ 考点:‎ 切线的判定;等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.3718684‎ 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ ‎(1)连结OC,由C是劣弧AE的中点,根据垂径定理得OC⊥AE,而CG∥AE,所以CG⊥OC,然后根据切线的判定定理即可得到结论;‎ ‎(2)连结AC、BC,根据圆周角定理得∠ACB=90°,∠B=∠1,而CD⊥AB,则∠CDB=90°,根据等角的余角相等得到∠B=∠2,所以∠1=∠2,于是得到AF=CF;‎ ‎(3)在Rt△ADF中,由于∠DAF=30°,FA=FC=2,根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1,AD=,再由AF∥CG,根据平行线分线段成比例得到DA:AG=DF:CF 然后把DF=1,AD=,CF=2代入计算即可.‎ 解答:‎ ‎(1)证明:连结OC,如图,‎ ‎∵C是劣弧AE的中点,‎ ‎∴OC⊥AE,‎ ‎∵CG∥AE,‎ ‎∴CG⊥OC,‎ ‎∴CG是⊙O的切线;‎ ‎(2)证明:连结AC、BC,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠2+∠BCD=90°,‎ 而CD⊥AB,‎ ‎∴∠B+∠BCD=90°,‎ ‎∴∠B=∠2,‎ ‎∵AC弧=CE弧,‎ ‎∴∠1=∠B,‎ ‎∴∠1=∠2,‎ ‎∴AF=CF;‎ ‎(3)解:在Rt△ADF中,∠DAF=30°,FA=FC=2,‎ ‎∴DF=AF=1,‎ ‎∴AD=DF=,‎ ‎∵AF∥CG,‎ ‎∴DA:AG=DF:CF,即:AG=1:2,‎ ‎∴AG=2.‎ 点评:‎ 本题考查了圆的切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定.‎ ‎33、(2013•资阳)在⊙O中,AB为直径,点C为圆上一点,将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.‎ ‎(1)如图1,若点D与圆心O重合,AC=2,求⊙O的半径r;‎ ‎(2)如图2,若点D与圆心O不重合,∠BAC=25°,请直接写出∠DCA的度数.‎ 考点:‎ 垂径定理;含30度角的直角三角形;圆周角定理;翻折变换(折叠问题).‎ 分析:‎ ‎(1)过点O作OE⊥AC于E,根据垂径定理可得AE=AC,再根据翻折的性质可得OE=r,然后在Rt△AOE中,利用勾股定理列式计算即可得解;‎ ‎(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB,根据直角三角形两锐角互余求出∠B,再根据翻折的性质得到所对的圆周角,然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角,计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:(1)如图,过点O作OE⊥AC于E,‎ 则AE=AC=×2=1,‎ ‎∵翻折后点D与圆心O重合,‎ ‎∴OE=r,‎ 在Rt△AOE中,AO2=AE2+OE2,‎ 即r2=12+(r)2,‎ 解得r=;‎ ‎(2)连接BC,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∵∠BAC=25°,‎ ‎∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°,‎ 根据翻折的性质,所对的圆周角等于所对的圆周角,‎ ‎∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理,勾股定理的应用,翻折的变换的性质,以及圆周角定理,(1)作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键,(2)根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键.‎
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