反比例函数在中考中的常见题型

反比例函数在中考中的常见题型

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 反比例函数在中考中的常见题型 ‎◆知识讲解 ‎ 1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k≠0）．‎ ‎ 2．反比例函数y=（k≠0）的性质 ‎ （1）当k>0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小．‎ ‎ （2）当k<0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大．‎ ‎ （3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．‎ ‎ （4）若双曲线y=图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=．‎ ‎ （5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．‎ ‎◆例题解析 ‎ 例1 如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=的图像经过点A，‎ ‎ （1）求点A的坐标；‎ ‎（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，求这个一次函数的解析式．‎ ‎ 【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=可求得a的值，从而得出点A的坐标．‎ ‎ （2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．‎ ‎ 【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．‎ ‎ ∵点A在反比例函数y=的图像上，得3a=，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．‎ ‎ ∴点A的坐标为（2，6）．‎ ‎ （2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．‎ ‎ ∵m>0，∴m=．‎ ‎ 解得m=，经检验m=是原方程的根，‎ ‎ ∴点B的坐标为（0，）．‎ ‎ 设一次函数的解析式为y=kx+．‎ ‎ 由于这个一次函数图像过点A（2，6），‎ ‎ ∴6=2k+，得k=．‎ ‎ ∴所求一次函数的解析式为y=x+．‎ ‎ 例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．‎ ‎ （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ （2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？‎ ‎（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．‎ ‎ 【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的，而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．‎ ‎ 由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．‎ ‎ 【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，），其中0>0，m>0．‎ ‎ 在Rt△ABO中，AB=，OB=x0．‎ ‎ 则S△ABO =·x0·=3，即m=6．‎ ‎ 所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=．‎ ‎ （2）由得x2+6x－6=0，‎ ‎ 解得x1=－3+，x2=－3－．‎ ‎ ∴A（－3+，3+），D（－3－，3－）．‎ ‎ 由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有 ‎ y=．即xy=6．‎ ‎ ∴S△DEO =│xDyD│=3，即S△DEO =S△ABO．‎ ‎ （3）由A（－3+，3+）和D（－3－，3－）可得AO=4，DO=4，即AO=DO．‎ ‎ 由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．‎ ‎ 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．‎ ‎◆强化训练 一、填空题 ‎1．如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．‎ ‎3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______．‎ ‎4．若y=中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．‎ ‎5．反比例函数y=的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．‎ ‎6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+无交点，则b的取值范围是______．‎ ‎7．反比例函数y=的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．‎ ‎8．两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图像如图3所示，点P在y=的图像上，PC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图像于点B，当点P在y=的图像上运动时，以下结论：‎ ‎ ①△ODB与△OCA的面积相等；‎ ‎ ②四边形PAOB的面积不会发生变化；‎ ‎ ③PA与PB始终相等 ‎ ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．‎ ‎ 其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．‎ 二、选择题 ‎9．如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）‎ ‎ A．10）的第一象限内的图像如图5所示，P为该图像上任意一点，PQ垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（ ）‎ ‎ A．S= B．S= C．S=k D．S>k ‎11．如图6，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=‎ 的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．2‎ ‎12．函数y=与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）‎ ‎13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n）在双曲线y=上，那么函数y=（n－1）x+2m的图像不经过（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎14．正比例函数y=2kx与反比例函数y=在同一坐标系中的图像不可能是（ ）‎ ‎15．已知P为函数y=的图像上一点，且P到原点的距离为，则符合条件的P点数为（ ）‎ ‎ A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 ‎16．如图，A，B是函数y=的图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（ ）‎ A．S=1 B．12‎ 三、解答题 ‎17．已知：如图，反比例函数y=－与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：‎ ‎（1）A，B两点的坐标； （2）△AOB的面积．‎ ‎18．如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－的图像交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：‎ ‎（1）一次函数的解析式； （2）△AOB的面积．‎ ‎19．已知函数y=的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=的解析式．‎ ‎20．在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90°得到直线L．直线L与反比例函数y=的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．‎ ‎21．如图所示，已知双曲线y=与直线y=x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y=上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y=于点E，交BD于点C．‎ ‎ （1）若点D的坐标是（－8，0），求A，B两点的坐标及k的值；‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；‎ ‎（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．‎ ‎22．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上的一个动点，可以与B重合但不与A重合，DP交弓形弧于Q．‎ ‎ （1）求证：△CDQ∽△DPA；‎ ‎ （2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎ （3）当DP之长是方程x2－8x－20=0的一根时，求四边形PBCQ的面积．‎ 答案:‎ ‎1．20 2．y=－ 3．y= 4．2或－1；－1 ‎ ‎5．－2；2 6．0≤b<4 7．（－2，－2）‎ ‎8．①②④ 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C ‎17．（1）由，解得，‎ ‎ ∴A（－2，4），B（4，－2）．‎ ‎ （2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x轴交于M（2，0），∴OM=2．‎ ‎∴S△AOB=S△AOM +S△BOM =OM·│yA│+OM·│yB│=·2·4+·2·2=4+2=6．‎ ‎18．（1）y=－x+2 （2）S△AOB =6‎ ‎19．由△=（－4a）2－4（4a2－6a－8）≥0得a≥－，‎ ‎ 又∵a是最小整数，‎ ‎ ∴a=－1．‎ ‎ ∴二次方程即为x2+4x+2=0，又mn=2，而（m，n）在y=的图像上，∴n=，∴mn=k，∴k=2，∴y=．‎ ‎20．依题意得，直线L的解析式为y=x．‎ ‎ ∵A（a，3）在直线y=x上，‎ ‎ 则a=3．即A（3，3）．‎ ‎ 又∵A（3，3）在y=的图像上，‎ ‎ 可求得k=9．‎ ‎ ∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎21．（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入y=x中，得y=－2．‎ ‎ ∴B点坐标为（－8，－2），而A，B两点关于原点对称，∴A（8，2）．‎ ‎ 从而k=8×2=16．‎ ‎ （2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A，B，M，E四点均在双曲线上，‎ ‎ ∴mn=k，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．‎ ‎ S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=mn=k，S△OEN =mn=k，‎ ‎ ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO－S△DBO －S△OEN =k．‎ ‎ ∴k=4．‎ ‎ 由直线y=x及双曲线y=，得A（4，1），B（－4，－1），‎ ‎ ∴C（－4，－2），M（2，2）．‎ ‎ 设直线CM的解析式是y=ax+b，由C，M两点在这条直线上，得 ‎ 解得a=b=．‎ ‎ ∴直线CM的解析式是y=x+．‎ ‎（3）如图所示，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1，M1．‎ ‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a，于是p=．‎ ‎ 同理q==，‎ ‎ ∴p－q=－=－2．‎ ‎22．（1）证∠CDQ=∠DPA，∠DCQ=∠PDA．‎ ‎ （2）y=（8≤x≤）．‎ ‎ （3）S四边形PBCQ=48－9．‎