中考复习几何模型中的最值问题

中考复习几何模型中的最值问题

几何模型中的最值问题 一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况： ‎ ‎1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。‎ ‎ 凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 ‎ 2. 归于“三角形两边之差小于第三边”。‎ ‎ 凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 ‎ 3. 利用轴对称知识（结合平移）。‎ ‎4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。”性质。‎ ‎5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。‎ ‎（一）“将军饮马”问题：分散化为集中的数学化归思想 1. 如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？‎ 2. 如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短? ‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎3. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，‎ ‎ 连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝ ‎4.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，‎ ‎ 若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________.‎ ‎5.如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=1,ON=3,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是  　. ‎ ‎（第6题）‎ ‎6.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？‎ ‎6.如图，抛物线和y轴的交点为A（0，3），M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴直线x=3上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。‎ ‎ ‎ ‎（二）三角形三边关系问题：三角形两边之差小于第三边，变动的两线段之差的最大值，即当三点共线时最大，同样体现分散化集中的思想 ‎1.如图，在直线a上找一点P，使最大 ‎2.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,‎ ‎（1）请在Y轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。‎ ‎（2）请在Y轴上找到一点P，使最大，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。‎ ‎3.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A，与y轴交于B点C为劣弧AO的中点， BD为⊙M的切线； 在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大． ‎ ‎4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则（1）B′C= ‎ ‎（2）B′A长度的最小值是　　．‎ ‎5.如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C. 则A′C的最小值是 ‎ ‎ ‎ ‎6.已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y 轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ‎ ‎7.如图1，，矩形的顶点、分别在边上.当分在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为 ‎ ‎（三）“造桥选址”问题 ‎1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直）‎ ‎ ‎ ‎2. 如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=______时，四边形ABDC的周长最短．‎ ‎（三）垂线段最短问题 ‎1如图，点Q在直线y=﹣x上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q的坐标为   ．‎ 菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为8、6，点P是对角线上AC的一个动点，点M、N分别是的AB、CB中点，则PM+PN的最小值是 .‎ ‎3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为______．‎ ‎4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点E、F分别在AB、BC上，沿EF将∠EBF翻折，使顶点B落在AC上，则AE的最大值为 ‎ ‎5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC 上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是　　　　.  ‎ ‎（四）涉圆的问题 ‎1.如图：圆外一点P到圆上的所有点中， PB 最短， PA 最长 A BA C DA EA OA 第3题 B C D P A 第2题图 ‎2.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为 . ‎ ‎3.如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=，点D，E分别是 BC，AB的中点，则（1）⊙O 直径为 （2）DE长的最大值是 　　‎ ‎4.如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是________．‎ ‎5.如图，在平面直角坐标系中，A(-3，-2),⊙A的半径为1，P为X轴上一点，PQ切⊙A 于Q，则当PQ最小时，P点坐标为________.‎ ‎6.在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点（13，0），直线与⊙O交于、两点，则（1）直线必过定点D坐标为： ‎ ‎（2）弦的长的最小值为　　．‎