2017年河南省中考数学试卷

2017年河南省中考数学试卷

‎2017年河南省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列各数中比1大的数是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎2．（3分）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（　　）‎ A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015‎ ‎3．（3分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）解分式方程﹣2=，去分母得（　　）‎ A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3‎ ‎5．（3分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分 ‎6．（3分）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）‎ A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2‎ ‎8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）‎ A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）‎ ‎10．（3分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）计算：23﹣=　 　．‎ ‎12．（3分）不等式组的解集是　 　．‎ ‎13．（3分）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小关系为　 　．‎ ‎14．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8个小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．‎ ‎17．（9分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．‎ ‎ 调查结果统计表 组别 分组（单位：元）‎ 人数 A ‎0≤x＜30‎ ‎4‎ B ‎30≤x＜60‎ ‎16‎ C ‎60≤x＜90‎ a D ‎90≤x＜120‎ b E x≥120‎ ‎2‎ 请根据以上图表，解答下列问题：‎ ‎（1）填空：这次被调查的同学共有　 　人，a+b=　 　，m=　 　；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；‎ ‎（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．‎ ‎18．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD=BF；‎ ‎（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．‎ ‎19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈‎ ‎，≈1.41）‎ ‎20．（9分）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．‎ ‎（1）填空：一次函数的解析式为　 　，反比例函数的解析式为　 　；‎ ‎（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．‎ ‎21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．‎ ‎（1）求这两种魔方的单价；‎ ‎（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．‎ ‎22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想 ‎ 图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；‎ ‎（2）探究证明 ‎ 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸 ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎23．（11分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎　‎ ‎2017年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）下列各数中比1大的数是（　　）‎ A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元，数据“74.4万亿”用科学记数法表示（　　）‎ A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015‎ ‎【解答】解：将74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2，1，‎ D不符合，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）解分式方程﹣2=，去分母得（　　）‎ A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3‎ ‎【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，‎ 去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3，‎ 故选A ‎　‎ ‎5．（3分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）‎ A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分 ‎【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，‎ 故中位数为95分，‎ 数据95出现了3次，最多，‎ 故这组数据的众数是95分，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）‎ A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2‎ ‎【解答】解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．‎ B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．‎ C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．‎ D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：画树状图得：‎ ‎∵共有16种等可能的结果，两个数字都是正数的有4种情况，‎ ‎∴两个数字都是正数的概率是：=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　）‎ A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，）‎ ‎【解答】解：∵AD′=AD=2，‎ AO=AB=1，‎ ‎∴OD′==，‎ ‎∵C′D′=2，C′D′∥AB，‎ ‎∴C′（2，），‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣‎ ‎【解答】解：连接OO′，BO′，‎ ‎∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，‎ ‎∴∠OAO′=60°，‎ ‎∴△OAO′是等边三角形，‎ ‎∴∠AOO′=60°，‎ ‎∵∠AOB=120°，‎ ‎∴∠O′OB=60°，‎ ‎∴△OO′B是等边三角形，‎ ‎∴∠AO′B=120°，‎ ‎∵∠AO′B′=120°，‎ ‎∴∠B′O′B=120°，‎ ‎∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）‎ ‎11．（3分）计算：23﹣=　6　．‎ ‎【解答】解：23﹣=8﹣2=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．‎ ‎【解答】解：‎ 解不等式①得：x≤2，‎ 解不等式②得：x＞﹣1，‎ ‎∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，‎ 故答案为﹣1＜x≤2．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=﹣的图象上，则m与n的大小关系为　m＜n　．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，‎ ‎∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，‎ ‎∵0＜1＜2，‎ ‎∴A、B两点均在第四象限，‎ ‎∴m＜n．‎ 故答案为m＜n．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是　12　．‎ ‎【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，‎ 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，‎ 即BC=5，‎ 由于M是曲线部分的最低点，‎ ‎∴此时BP最小，‎ 即BP⊥AC，BP=4，‎ ‎∴由勾股定理可知：PC=3，‎ 由于图象的曲线部分是轴对称图形，‎ ‎∴PA=3，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∴△ABC的面积为：×4×6=12‎ 故答案为：12‎ ‎　‎ ‎15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为　+或1　．‎ ‎【解答】解：①如图1，‎ 当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，‎ ‎∴BM=BC=+；‎ ‎②如图2，当∠MB′C=90°，‎ ‎∵∠A=90°，AB=AC，‎ ‎∴∠C=45°，‎ ‎∴△CMB′是等腰直角三角形，‎ ‎∴CM=MB′，‎ ‎∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，‎ ‎∴BM=B′M，‎ ‎∴CM=BM，‎ ‎∵BC=+1，‎ ‎∴CM+BM=BM+BM=+1，‎ ‎∴BM=1，‎ 综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，‎ 故答案为：+或1．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8个小题，满分75分）‎ ‎16．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x=+1，y=﹣1．‎ ‎【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）‎ ‎=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy ‎=9xy 当x=+1，y=﹣1时，‎ 原式=9（+1）（﹣1）‎ ‎=9×（2﹣1）‎ ‎=9×1‎ ‎=9‎ ‎　‎ ‎17．（9分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．‎ ‎ 调查结果统计表 组别 分组（单位：元）‎ 人数 A ‎0≤x＜30‎ ‎4‎ B ‎30≤x＜60‎ ‎16‎ C ‎60≤x＜90‎ a D ‎90≤x＜120‎ b E x≥120‎ ‎2‎ 请根据以上图表，解答下列问题：‎ ‎（1）填空：这次被调查的同学共有　50　人，a+b=　28　，m=　8　；‎ ‎（2）求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；‎ ‎（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数．‎ ‎【解答】解：（1）调查的总人数是16÷32%=50（人），‎ 则b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，‎ A组所占的百分比是=8%，则m=8．‎ a+b=8+20=28．‎ 故答案是：50，28，8；‎ ‎（2）扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×=144°；‎ ‎（3）每月零花钱的数额x在60≤x＜120范围的人数是1000×=560（人）．‎ ‎　‎ ‎18．（9分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．‎ ‎（1）求证：BD=BF；‎ ‎（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDA=90°，‎ ‎∴BD⊥AC，∠BDC=90°，‎ ‎∵BF切⊙O于B，‎ ‎∴AB⊥BF，‎ ‎∵CF∥AB，‎ ‎∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC，‎ ‎∴∠ACB=∠FCB，‎ ‎∵BD⊥AC，BF⊥CF，‎ ‎∴BD=BF；‎ ‎（2）解：∵AB=10，AB=AC，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∵CD=4，‎ ‎∴AD=10﹣4=6，‎ 在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，‎ 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41）‎ ‎【解答】解：如图作CE⊥AB于E．‎ 在Rt△ACE中，∵∠A=45°，‎ ‎∴AE=EC，设AE=EC=x，则BE=x﹣5，‎ 在Rt△BCE中，‎ ‎∵tan53°=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=20，‎ ‎∴AE=EC=20，‎ ‎∴AC=20=28.2，‎ BC==25，‎ ‎∴A船到C的时间≈=0.94小时，B船到C的时间==1小时，‎ ‎∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．‎ ‎（1）填空：一次函数的解析式为　y=﹣x+4　，反比例函数的解析式为　y=　；‎ ‎（2）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）将B（3，1）代入y=，‎ ‎∴k=3，‎ 将A（m，3）代入y=，‎ ‎∴m=1，‎ ‎∴A（1，3），‎ 将A（1，3）代入代入y=﹣x+b，‎ ‎∴b=4，‎ ‎∴y=﹣x+4‎ ‎（2）设P（x，y），‎ 由（1）可知：1≤x≤3，‎ ‎∴PD=y=﹣x+4，OD=x，‎ ‎∴S=x（﹣x+4），‎ ‎∴由二次函数的图象可知：‎ S的取值范围为：≤S≤2‎ 故答案为：（1）y=﹣x+4；y=．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同．‎ ‎（1）求这两种魔方的单价；‎ ‎（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠．‎ ‎【解答】（按买3个A种魔方和买4个B种魔方钱数相同解答）‎ 解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个．‎ ‎（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，‎ 根据题意得：w活动一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600；‎ w活动二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500．‎ 当w活动一＜w活动二时，有10m+600＜﹣10m+1500，‎ 解得：m＜45；‎ 当w活动一=w活动二时，有10m+600=﹣10m+1500，‎ 解得：m=45；‎ 当w活动一＞w活动二时，有10m+600＞﹣10m+1500，‎ 解得：45＜m≤50．‎ 综上所述：当m＜45时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=45时，选择两种活动费用相同；当m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠．‎ ‎（按购买3个A种魔方和4个B种魔方需要130元解答）‎ 解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A种魔方的单价为26元/个，B种魔方的单价为13元/个．‎ ‎（2）设购进A种魔方m个（0＜m≤50），总价格为w元，则购进B种魔方（100﹣m）个，‎ 根据题意得：w活动一=26m×0.8+13（100﹣m）×0.4=15.6m+520；‎ w活动二=26m+13（100﹣m﹣m）=1300．‎ 当w活动一＜w活动二时，有15.6m+520＜1300，‎ 解得：m＜50；‎ 当w活动一=w活动二时，有15.6m+520=1300，‎ 解得：m=50；‎ 当w活动一＞w活动二时，有15.6m+520＞1300，‎ 不等式无解．‎ 综上所述：当0＜m＜50时，选择活动一购买魔方更实惠；当m=50时，选择两种活动费用相同．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．‎ ‎（1）观察猜想 ‎ 图1中，线段PM与PN的数量关系是　PM=PN　，位置关系是　PM⊥PN　；‎ ‎（2）探究证明 ‎ 把△‎ ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸 ‎ 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，‎ ‎∴PN∥BD，PN=BD，‎ ‎∵点P，M是CD，DE的中点，‎ ‎∴PM∥CE，PM=CE，‎ ‎∵AB=AC，AD=AE，‎ ‎∴BD=CE，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∵PN∥BD，‎ ‎∴∠DPN=∠ADC，‎ ‎∵PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM=∠DCA，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ADC+∠ACD=90°，‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，‎ ‎∴PM⊥PN，‎ 故答案为：PM=PN，PM⊥PN，‎ ‎（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，‎ ‎∵AB=AC，AD=AE，‎ ‎∴△ABD≌△ACE（SAS），‎ ‎∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，‎ 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，‎ ‎∴PM=PN，‎ ‎∴△PMN是等腰三角形，‎ 同（1）的方法得，PM∥CE，‎ ‎∴∠DPM=∠DCE，‎ 同（1）的方法得，PN∥BD，‎ ‎∴∠PNC=∠DBC，‎ ‎∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，‎ ‎∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC ‎=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC ‎=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ACB+∠ABC=90°，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∴△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴MN最大时，△PMN的面积最大，‎ ‎∴DE∥BC且DE在顶点A上面，‎ ‎∴MN最大=AM+AN，‎ 连接AM，AN，‎ 在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，‎ ‎∴AM=2，‎ 在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，‎ ‎∴MN最大=2+5=7，‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．‎ 方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，‎ ‎∴PM最大时，△PMN面积最大，‎ ‎∴点D在BA的延长线上，‎ ‎∴BD=AB+AD=14，‎ ‎∴PM=7，‎ ‎∴S△PMN最大=PM2=×72=‎ ‎　‎ ‎23．（11分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．‎ ‎（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；‎ ‎（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．‎ ‎①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；‎ ‎②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，‎ ‎∴0=﹣2+c，解得c=2，‎ ‎∴B（0，2），‎ ‎∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，‎ ‎∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，‎ ‎∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，‎ ‎∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，‎ ‎∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，‎ 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，‎ ‎∴N点的纵坐标为2，‎ ‎∴﹣m2+m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，‎ ‎∴M（2.5，0）；‎ 当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，‎ 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，‎ ‎∵∠NBP=90°，‎ ‎∴∠NBC+∠ABO=90°，‎ ‎∴∠ABO=∠BNC，‎ ‎∴Rt△NCB∽Rt△BOA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，解得m=0（舍去）或m=，‎ ‎∴M（，0）；‎ 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；‎ ‎②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），‎ ‎∵M，P，N三点为“共谐点”，‎ ‎∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，‎ 当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；‎ 当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；‎ 当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；‎ 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．‎ ‎　‎