中考数学压轴题二次函数与圆

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中考数学压轴题二次函数与圆

第四讲:二次函数与圆综合 中考要求 板块 考试要求 A级要求 B级要求 C级要求 二次函数 ‎1.能根据实际情境了解二次函数的意义;‎ ‎2.会利用描点法画出二次函数的图像;‎ ‎1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式;‎ ‎2.能从函数图像上认识函数的性质;‎ ‎3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向;‎ ‎4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解;‎ ‎1.能用二次函数解决简单的实际问题; ‎ ‎2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题;‎ 例题精讲 一、二次函数与圆综合 【例1】 已知:抛物线与轴相交于两点,‎ 且.‎ ‎(Ⅰ)若,且为正整数,求抛物线的解析式;‎ ‎(Ⅱ)若,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)试判断是否存在,使经过点和点的圆与轴相切于点,若存在,求出的值;若不存在,试说明理由;‎ ‎(Ⅳ)若直线过点,与(Ⅰ)中的抛物线相交于两点,且使,求直线的解析式.‎ ‎【解析】(Ⅰ)解法一:由题意得,.‎ 解得,.‎ 为正整数,∴.∴.‎ 解法二:由题意知,当时,.‎ ‎(以下同解法一)‎ 解法三:,‎ ‎.‎ 又.∴.(以下同解法一.)‎ 解法四:令,即,‎ ‎∴.(以下同解法三.)‎ ‎(Ⅱ)解法一:.‎ ‎,即. ‎ ‎,‎ ‎∴.解得:.‎ ‎∴的取值范围是.‎ 解法二:由题意知,当时,‎ ‎. ‎ 解得:.‎ ‎∴的取值范围是.‎ 解法三:由(Ⅰ)的解法三、四知,.‎ ‎∴‎ ‎∴.∴的取值范围是.‎ ‎(Ⅲ)存在.‎ 解法一:因为过两点的圆与轴相切于点,所以两点在轴的同侧,‎ ‎∴. ‎ 由切割线定理知,,‎ 即.∴,‎ ‎∴∴.‎ 解法二:连接.圆心所在直线, ‎ 设直线与轴交于点,圆心为,‎ 则.‎ ‎,‎ ‎∴‎ 在中, .‎ 即.解得 .‎ ‎(Ⅳ)设,则.‎ 过分别向轴引垂线,垂足分别为. 则.‎ 所以由平行线分线段成比例定理知,.‎ 因此,,即.‎ 过分别向轴引垂线,垂足分别为,‎ 则.所以..‎ ‎.. ‎ ‎,或. ‎ 当时,点.直线过,‎ ‎ 解得 当时,点.直线过,‎ ‎ 解得 故所求直线的解析式为:,或. ‎ 【例1】 已知抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式 ‎ 并且线段CM的长为 ‎(1)求抛物线的解析式。‎ ‎(2)设抛物线与x轴有两个交点A(X1 ,0)、B(X2 ,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长。‎ ‎(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由。‎ ‎【解析】(1)解法一:由已知,直线CM:y=-x+2与y轴交于点C(0,2)抛物线.过点C(0,2),‎ 所以c=2,抛物线的顶点M在直线CM上,‎ 所以,解得或 若,点C、M重合,不合题意,舍去,所以.即M 过M点作y轴的垂线,垂足为Q,在 所以,,解得,。‎ ‎∴所求抛物线为:或以下同下。‎ 解法二:由题意得,设点M的坐标为 ‎∵点M在直线上,∴‎ 由勾股定理得,∵‎ ‎∴=,即 解方程组,得,‎ ‎∴或 当时,设抛物线解析式为,∵抛物线过点,‎ ‎∴,∴‎ 当时,设抛物线解析式为 ‎∵抛物线过点,∴,∴‎ ‎∴所求抛物线为: 或 ‎(2)∵抛物线与x轴有两个交点,‎ ‎∴不合题意,舍去。‎ ‎∴抛物线应为:‎ 抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧,∴,得 ‎(3)∵AB是⊙N的直径,∴r = , N(-2,0),又∵M(-2,4),∴MN = 4‎ 设直线与x轴交于点D,则D(2,0),∴DN = 4,可得MN = DN,∴‎ ‎,作NG⊥CM于G,在= r ‎ 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径.∴直线CM与⊙N相切 【例1】 已知:在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴交于点,抛物线经过,两点.‎ ‎⑴试用含的代数式表示;‎ ‎⑵设抛物线的顶点为,以为圆心,为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分.若将劣弧沿轴翻折,翻折后的劣弧落在⊙内,它所在的圆恰与相切,求⊙半径的长及抛物线的解析式;‎ ‎⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点,抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】⑴解法一:∵一次函数的图象与轴交于点 ‎∴点的坐标为(,)‎ ‎∵抛物线经过、两点 ‎∴,,∴ ‎ 解法二:∵一次函数的图象与轴交于点 ‎∴点的坐标为()‎ ‎∵抛物线经过、两点 ‎∴抛物线的对称轴为直线 ‎∴,∴‎ ‎⑵由抛物线的对称性可知,‎ ‎∴点在⊙上,且 又由()知抛物线的解析式为 ‎∴点的坐标为()‎ ‎①当时,‎ 如图,设⊙被轴分得的劣弧为,它沿轴翻折后所得劣弧为,显然 所在的圆与⊙关于轴对称,设它的圆心为 ‎∴点与点也关于轴对称 ‎∵点在⊙上,且与⊙相切 ‎∴点为切点,∴‎ ‎∴‎ ‎∴为等腰直角三角形,∴‎ ‎∴点的纵坐标为,∴‎ ‎∴‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎②当时,‎ 同理可得:‎ 抛物线的解析式为 综上,⊙半径的长为,抛物线的解析式为或 ‎⑶ 抛物线在轴上方的部分上存在点,使得 设点的坐标为(),且 ‎①当点在抛物线上时(如图)‎ ‎∵点是⊙的优弧上的一点 ‎∴,∴‎ 过点作轴于点,∴,‎ ‎∴,∴‎ 由解得:(舍去)‎ ‎∴点的坐标为 ‎ ‎②当点在抛物线上时(如图),同理可得,‎ 由解得:(舍去)‎ ‎∴点的坐标为 ‎ 综上,存在满足条件的点,点的坐标为:或 点评:本题是一道二次函数与圆的综合题,解决本题的关键是:作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙,并充分利用轴对称的性质.本题考点:1.直线与圆的位置关系(切线的性质);2.轴对称;3.等腰直角三角形的性质,4.三角函数;5.二次函数解析式的确定.‎ 【例1】 如图,在平面直角坐标系中,以点为圆心,半径为的圆交轴正半轴于点, ‎ 是的切线.动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动,点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动,且动点、从点和点同时出发,设运动时间为(秒).‎ ‎⑴当时,得到、两点,求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴;‎ ‎⑵当为何值时,直线与相切?并写出此时点和点的坐标;‎ ‎⑶在⑵的条件下,抛物线对称轴上存在一点,使最小,求出点N的坐标并说明理由.‎ ‎【解析】⑴ 由题意得,,的坐标分别为,,.‎ 设抛物线解析式为,则 ‎∴,,.‎ ‎∴所求抛物线为.‎ 对称轴为直线:.‎ ‎⑵ 设时,与⊙切于点.‎ 连结,,,则,.‎ 又,分别平分和 而,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴∽‎ ‎∴即,∴‎ 由于时间只能取正数,所以 即当运动时间时,与⊙相切 此时:,,,‎ ‎⑶ 点关于直线的对称点为,‎ 则直线的解析式为:‎ ‎∴直线交直线于,,此时最小,∴,‎ 【例1】 如图,点,以点为圆心、为半径的圆与轴交于点.已知抛物过点和,与轴交于点. ⑴ 求点的坐标,并画出抛物线的大致图象.‎ ‎⑵ 点在抛物线上,点为此抛物线对称轴上一个动点,求 最小值.‎ ‎⑶ 是过点的的切线,点是切点,求所在直线的解析式.‎ ‎【解析】⑴由已知,得,,‎ ‎∵抛物线过点和,‎ 则,解得 ‎ 则抛物线的解析式为,故.‎ ‎(说明:抛物线的大致图象要过点、、,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)‎ ‎⑵如图①,抛物线对称轴是 .‎ ‎∵,抛物线上,∴.‎ 过点作轴于点,则,,‎ ‎∴. ‎ 又∵与关于对称轴l对称,‎ ‎∴的最小值.‎ C A M B x y O D E Q P K 图①‎ l ‎  ‎C A M B x y O D E 图②‎ ‎⑵当在第四象限时,如图②,连结和.‎ 由已知,得 .‎ 是的切线,∴,则.‎ 又∵,∴.‎ ‎∴.‎ 又在和中,‎ ‎,则. ‎ 设所在直线的解析式为,过点,,‎ ‎∴,解得 直线的解析式为.‎ 又∵直线过原点,且,则的解析式为.‎ 当在第一象限时,易得四边形为矩形,此时,‎ ‎∴直线的解析式为 点评:本题难度不大,第⑵问中,求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题;第⑶问需注意,过圆外一点引圆的切线有两条.考点:1.二次函数解析式的确定;2.轴对称;3.切线的性质;4.一次函数解析式的确定.‎ 【例1】 在平面直角坐标系中,已知直线经过点和点,直线的函数表达式为,与相交于点.是一个动圆,圆心在直线上运动,设圆心的横坐标是.过点作轴,垂足是点.‎ ‎⑴ 填空:直线的函数表达式是 ,交点的坐标是 ,的度数是 ;‎ ‎⑵ 当和直线相切时,请证明点到直线的距离等于的半径,并写出 时的值.‎ ‎⑶ 当和直线不相离时,已知的半径,记四边形的面积为(其中点是直线与的交点).是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】⑴ ,,‎ ‎⑵ 设和直线相切时的一种情况如图甲所示,是切点,连接,则.‎ 过点作的垂线,垂足为,‎ 则, 所以. ‎ 当点在射线上,和直线相切时,同理可证.‎ 取时,,或.‎ ‎⑶ 当和直线不相离时,则,由⑵知,分两种情况讨论:‎ ‎① 如图乙,当时,‎ ‎, ‎ 当时,(满足),有最大值.‎ 此时(或).‎ ‎② 当时,‎ 显然和直线相切,即时,最大.‎ 此时. ‎ 综合以上①和②,当或时,存在S的最大值,其最大面积为 ‎ 点评:本题共3问,这3问之间难度递增,且环环相扣,解决后面的问题时要注意应用前面的结论,解决第⑶问时要先确定的取值范围,然后分类讨论.考点:1.一次函数解析式的确定;2.等边三角形的判定及性质;3.直线与圆的位置关系;4.全等三角形;5.两函数图象交点坐标的确定;6.二次函数的最值.‎ ‎【答案】(1),,;(2)或;(3)当或时,存在S的最大值,其最大面积为 【例1】 已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与 ‎ 二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.‎ ‎⑴ 求一次函数与二次函数的解析式;‎ ‎⑵ 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;‎ ‎⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过三点的圆的面积最小?最小面积是多少?‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,直线与圆位置关系的确定,切线的性质及判定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2006年,山东潍坊 ‎【解析】⑴ 把代入得,‎ ‎∴一次函数的解析式为; ‎ ‎∵二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴,‎ ‎∴设二次函数解析式为,‎ ‎∴把代入得,∴二次函数解析式为.‎ ‎⑵ 由,解得或,∴,,‎ 过点分别作直线的垂线,垂足为,,‎ 则,‎ ‎∴直角梯形的中位线长为,‎ 过作垂直于直线于点,则,,‎ ‎∴,‎ ‎∴的长等于中点到直线的距离的2倍,‎ ‎∴以为直径的圆与直线相切.‎ ‎⑶ 平移后二次函数解析式为,‎ 令,得,,,‎ ‎∵过三点的圆的圆心一定在直线上,点为定点,‎ ‎∴要使圆面积最小,圆半径应等于点到直线的距离,‎ 此时,半径为2,面积为,‎ 设圆心为中点为,连,则,‎ 在三角形中,,‎ ‎∴,而,∴‎ ‎∴当时,过三点的圆面积最小,最小面积为 点评:本题综合了函数与圆的有关知识,题目设计比较新颖,本题亮点在第(2)(3)问,这两问都需要确定圆心位置,要求学生较好的掌握圆的有关性质,并能灵活运用.考点:1.一次函数,二次函数解析式的确定;2.直线与圆的位置关系,3.二次函数图象的平移;4.圆心的性质;5.点到直线垂线段最短.‎ ‎【答案】(1)一次函数的解析式为;二次函数解析式为.(2)以为直径的圆与直线相切.(3)当时,过三点的圆面积最小,最小面积为 【例1】 如图1,的半径为,正方形顶点坐标为,顶点在上运动.‎ ‎⑴ 当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与相切;‎ ‎⑵ 当直线与相切时,求所在直线对应的函数关系式;‎ ‎⑶ 设点的横坐标为,正方形的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值与最小值.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,切线的性质及判定,坐标与面积 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年,江苏宿迁 ‎【解析】⑴ ∵四边形为正方形,∴‎ ‎∵、、在同一条直线上,∴,∴直线与相切;‎ ‎⑵ 直线与相切分两种情况:‎ ‎①如图2, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去).‎ 由得 ‎∴,,∴,‎ 故直线的函数关系式为;‎ ‎②如图3,设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去).‎ 由得 ‎∴,,‎ ‎∴,故直线的函数关系式为.‎ ‎⑶ 设,则,由得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎【答案】(1)直线与相切;(2)或;(3),‎ 【例1】 如图,已知点从出发,以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动,以为顶点作菱形,使点在第一象限内,且;以为圆心,为半径作圆.设点运动了秒,求:‎ ‎⑴ 点的坐标(用含的代数式表示);‎ ‎⑵ 当点在运动过程中,所有使与菱形的边所在直线相切的的值.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,动点与几何,切线的性质及判定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年,江苏无锡 ‎【解析】⑴ 过作轴于,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴点的坐标为. ‎ ‎⑵ ①当与相切时(如图1),切点为,此时,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴. (4分)‎ ‎②当与,即与轴相切时(如图2),则切点为,,‎ 过作于,则,‎ ‎∴,∴. ‎ ‎③当与所在直线相切时(如图3),设切点为,交于,‎ 则,∴,‎ ‎∴. ‎ 过作轴于,则,‎ ‎∴,‎ 化简,得,‎ 解得,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴所求的值是,和. ‎ ‎【答案】(1)点的坐标为;(2)所求的值是,和.‎ 【例1】 已知:抛物线,顶点,与轴交于、两点,.‎ ‎⑴ 求这条抛物线的解析式.‎ ‎⑵ 如图,以为直径作圆,与抛物线交于点,与抛物线对称轴交于点,依次连接、、、,点为线段上一个动点(与、两点不重合),过点作于,于,请判断是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.‎ ‎⑶ 在⑵的条件下,若点是线段上一点,过点作,分别与边、相交于点、(与、不重合,与、不重合),请判断是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年,山东济南 ‎【解析】⑴ 设抛物线的解析式为 将代入:,∴‎ ‎∴抛物线的解析式为,即:‎ ‎⑵ 是定值,‎ ‎∵为直径,∴,∵,∴‎ ‎∴,∴ ①‎ 同理: ② ‎ ‎① + ②: ‎ ‎⑶ ∵直线为抛物线对称轴,∴ 垂直平分 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴为等腰直角三角形.‎ ‎∴ 7分 如图,过点作于,‎ 由已知及作法可知,四边形是矩形,‎ ‎∴且 在和中 ‎∵,‎ ‎∴‎ 且 ‎∴‎ ‎∴ ① 8分 在和中,‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴     ②‎ 由①、②知:‎ ‎【答案】(1);(2)是定值,;(3)成立 【例1】 如图,已知点的坐标是,点的坐标是,以为直径作,交轴的负半轴于点,连接、,过、、三点作抛物线.‎ ‎⑴ 求抛物线的解析式;‎ ‎⑵ 点是延长线上一点,的平分线交于点,连结,求直线的解析式;‎ ‎⑶ 在⑵的条件下,抛物线上是否存在点,使得?如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年,四川资阳 ‎【解析】⑴ ∵以为直径作,交轴的负半轴于点,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴, ‎ ‎∴.‎ 又∵,,‎ ‎∴,解得 (负值舍去).‎ ‎∴, 3分 设抛物线解析式为,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴二次函数的解析式为,即. ‎ ‎⑵ ∵为的直径,且,,‎ ‎∴,, ‎ ‎∵点是延长线上一点,的平分线交于点,‎ ‎∴,‎ 连结交于点,则,,.‎ ‎∴. ‎ ‎∴设直线的解析式为 ‎ ‎∴ ‎ 解得 ‎∴直线的解析式为. ‎ ‎⑶ 假设在抛物线上存在点,使得,‎ 方法一:设射线交于点,则.‎ 分两种情况(如答案图1所示):‎ ‎①∵,,,.‎ ‎∴把点、绕点逆时针旋转,使点与点重合,则点与点重合,‎ 因此,点符合,‎ ‎∵,,‎ ‎∴用待定系数法可求出直线解析式为. ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为,[坐标为不符合题意,舍去].‎ ‎②∵,‎ ‎∴点关于轴对称的点的坐标为也符合.‎ ‎∵,.‎ ‎∴用待定系数法可求出直线解析式为. ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为,[坐标为不符合题意,舍去]. ‎ ‎∴符合条件的点有两个:,.‎ 方法二:分两种情况(如答案图2所示):‎ ‎①当时,能使.‎ ‎∵,.‎ ‎∴用待定系数法可求出直线解析式为.‎ 又∵,∴设直线的解析式为.‎ 把代入可求,‎ ‎∴直线解析式为. ‎ 解方程组 得 ‎ ‎∴点坐标为,[坐标为不符合题意,舍去].‎ ‎②在线段上取一点,使时,得,∴.‎ 由①知,直线解析式为.‎ 取,得,∴,∴,∴,‎ 又∵,‎ ‎∴直线解析式为. ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为,[坐标为不符合题意,舍去].‎ ‎∴符合条件的点有两个:,.‎ 方法三:分两种情况(如答案图3所示):‎ ‎①求点坐标同解法二. ‎ ‎②过点作的平行线,交圆于,‎ 此时,.‎ 由⑵题知直线的解析式为,‎ 又∵ ‎ ‎∴可求得的解析式为,‎ 设,作轴交与轴与,‎ 连结,在中,利用勾股定理可得,,‎ 由与可得,‎ 的解析式为, ‎ 解方程组得 ‎ ‎∴点坐标为,[坐标为不符合题意,舍去].‎ ‎∴符合条件的点有两个:,.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)符合条件的点有两个:,‎ 【例1】 已知:如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,‎ ‎⑴ 求的值及抛物线顶点坐标;‎ ‎⑵ 过的三点的交轴于另一点,连结并延长交于点,过点的的切线分别交轴、轴于点,求直线的解析式;‎ ‎⑶ 在条件⑵下,设为上的动点(不与重合),连结交轴于点,问是否存在一个常数,始终满足,如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,‎ ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2005年,荆门 ‎【解析】⑴ 由抛物线可知,点的坐标为,且.‎ 设,,,.则有 又是的斜边上的高,∴ ∴ ‎ ‎∴,即 ‎∴,解得或,而,故只能取 这时,‎ 故抛物线的顶点坐标为 ‎⑵ 解法一:由已知得:‎ ‎∵抛物线的对称轴是,也是的对称轴,连结 ‎∵是的直径,∴‎ ‎∴直线,垂直平分,‎ ‎∴点的坐标为 ‎∵‎ 且,‎ ‎∴,∴‎ ‎∵,∴‎ 又,∴‎ 由两点的坐标易求直线的解析式为:‎ 可设直线的解析式为,把代入求得 故直线的解析式为 解法二:令,解得 即,‎ 根据圆的对称性,易知:半径为,‎ 在中,‎ ‎∴,同理,.‎ 而,∴‎ ‎∵, ∴‎ ‎∴‎ 在中,,,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴点的坐标为 在中,‎ ‎∴点的坐标为 ‎∴直线的解析式为 ‎⑶ 解法一:‎ 存在常数,满足 连结 由垂径定理可知,∴‎ ‎(或利用) ‎ 又∵,∴‎ ‎∴ 即 在中,‎ ‎(或利用 ‎∴‎ 解法二:‎ 存在常数,满足 设 由相交弦定理得,即 化简得:,即 ‎【答案】(1),;(2);(3)存在常数,满足 【例1】 已知二次函数的图象经过点,并与轴交于点和点,顶点为.‎ ‎⑴ 求这个二次函数的解析式,并在直角坐标系中画出该二次函数的图象;‎ ‎⑵ 设为线段上的一点,满足,求点的坐标;‎ ‎⑶ 在轴上是否存在一点,使以为圆心的圆与所在的直线及轴都相切?如果存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,切线的性质及判定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2004年,山西 ‎【解析】⑴ ∵二次函数的图象过点,‎ 得 ,解得 ‎∴这个二次函数的解析式为:‎ 由解析式可求,‎ 画出二次函数的图象 ‎⑵ 解法一:易证:‎ 又已知:‎ ‎∴,∴‎ 易求 ‎∴,∴,∴‎ ‎ 解法二:过作轴,垂足为.‎ 设抛物线的对称轴交轴于.‎ 亦可证,∴.‎ 易求:‎ ‎∴,∴,∴,‎ ‎⑶ 存在.‎ ‎①过作,垂足分别为,‎ 设交轴于,的延长线交轴于 ‎∵是等腰直角三角形,是的内切圆圆心,‎ ‎∴‎ 又∵且 ‎∴,得,∴‎ ‎②在轴的负半轴上,存在一点M′‎ 同理,,得 ‎ ‎∴‎ 即在轴上存在满足条件的两个点.‎ 点评:本题综合了二次函数,圆与相似等知识,解决第(2)问时需注意为等腰直角三角形,于是,从而利用相似可以求解;第(3)问需注意分类讨论.考点:1.二次函数解析式的确定;2.抛物线顶点坐标;3.直线与圆的位置关系;4.三角形内心.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)在轴上存在满足条件的两个点.,‎ 【例1】 已知⊙的半径为,以为原点,建立如图所示的直角坐标系.有一个正方形,顶点的坐标为,顶点在轴上方,顶点在⊙上运动.‎ ‎⑴ 当点运动到与点、在一条直线上时,与⊙相切吗?如果相切,请说明理由,并求出所在直线对应的函数表达式;如果不相切,也请说明理由;‎ ‎⑵ 设点的横坐标为,正方形的面积为,求出与的函数关系式,并求出的最大值和最小值.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,坐标与面积 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2005年,常州 ‎【解析】⑴ 与相切.‎ ‎∵在一直线上,,‎ ‎∴,所以是的切线 与相切时,有两种情况:‎ ‎①切点在第二象限时(如图①),‎ 设正方形的边长为,则,‎ 解得,或(舍去)‎ 过点作于,则,‎ ‎∴,∴,‎ ‎,所以点的坐标是(,) ‎ ‎∴所在直线对应的函数表达式为.‎ ‎②切点在第四象限时(如图②),‎ 设正方形的边长为,则,‎ 解得 (舍去),或 ‎ 过点作于,则,‎ ‎∴,∴,,‎ ‎∴点的坐标是(,)‎ ‎∴所在直线对应的函数表达式为 ‎⑵ 如图③,‎ 过点作于,连接,‎ 则 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∵,∴的最大值为,的最小值为 点评:本题是一道正方形,圆,函数的综合题,难度不大,第(1)问注意分类讨论,第(2)问应注意利用正方形的面积等于对角线平方的一半这个性质.考点:1.正方形的性质;2.切线的判定;3.相似三角形;4.一次函数解析式的确定;5.一次函数的最值;6.勾股定理.‎ ‎【答案】(1)与相切.(2),的最大值为,的最小值为 【例1】 如图,将置于平面直角坐标系中,其中点为坐标原点,点的坐标为,.‎ ‎⑴ 若的外接圆与轴交于点,求点坐标.‎ ‎⑵ 若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系,并加以说明.‎ ‎⑶ 二次函数的图象经过点和且顶点在圆上,求此函数的解析式.‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,三角形的外接圆及外心,直线与圆位置关系的确定 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008年,四川达州 ‎【解析】⑴ 连结,则 在中,‎ 所以 ‎ 所以点的坐标是 ‎⑵ 猜想是与圆相切 ‎∵是直角,所以是圆的直径 又∵,‎ ‎∴即 ‎∴切外接圆于点 ‎⑶ 依题意可设二次函数的解析式为: ‎ 由此得顶点坐标的横坐标为:;‎ 即顶点在的垂直平分线上,作的垂直平分线,‎ 则得 得到,可得一个顶点坐标为 同理可得另一个顶点坐标为 分别将两顶点代入可解得的值分别为,‎ 则得到二次函数的解析式是或 ‎【答案】(1);(2)切外接圆于点;(3)或 【例1】 如图,直角坐标系中,已知两点,,点在第一象限且为正三角形,的外接圆交轴的正半轴于点,过点的圆的切线交轴于点.‎ ‎⑴ 求两点的坐标;‎ ‎⑵ 求直线的函数解析式;‎ ‎⑶ 设分别是线段上的两个动点,且平分四边形的周长.试探究:的最大面积?‎ ‎【考点】二次函数与圆综合,坐标与面积 ‎【难度】5星 ‎【题型】解答 ‎【关键词】2008,浙江嘉兴 ‎【解析】⑴ ∵,∴.‎ 作于,‎ ‎∵为正三角形,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ 连,∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎⑵ ∵,∴是圆的直径,‎ 又∵是圆的切线,∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ 设直线的函数解析式为,‎ 则,解得.‎ ‎∴直线的函数解析式为.‎ ‎⑶ ∵,,,,‎ ‎∴四边形的周长.‎ 设,的面积为,‎ 则,.‎ ‎∵.‎ ‎∴当时,.‎ ‎∵点分别在线段上,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∵满足,∴的最大面积为.‎ ‎【答案】(1),;(2);(3)当时,的最大面积为
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