中考复习圆综合题

中考复习圆综合题

‎2017中考复习圆综合题 ‎1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；‎ ‎（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．‎ ‎2．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．‎ ‎（1）求证：∠BME=∠MAB；‎ ‎（2）求证：BM2=BE•AB；‎ ‎（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．‎ ‎3．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：‎ 如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．‎ ‎（1）比较与的大小；‎ ‎（2）若OH=2，求证：OP∥CD；‎ ‎（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．‎ ‎4．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．‎ ‎5．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．‎ ‎（1）求圆的半径及圆心P的坐标；‎ ‎（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；‎ ‎（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．‎ ‎6．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：OC2=OE•OP；‎ ‎（3）求线段EG的长．‎ ‎7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线．‎ ‎（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．‎ ‎8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．‎ ‎（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．‎ ‎9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．‎ ‎（1）求证：MH为⊙O的切线．‎ ‎（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．‎ ‎（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．‎ ‎10．已知：△ABC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H．‎ ‎（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；‎ ‎（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5，BN=3，tan∠ABC=，求BF的长．‎ ‎11．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．‎ ‎（1）求证：AE为⊙O的切线．‎ ‎（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．‎ ‎（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．‎ ‎12．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：CE2=EH•EA；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．‎ ‎13．已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．‎ ‎（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；‎ ‎（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．‎ ‎①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；‎ ‎②求线段PQ的长．‎ ‎14．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．‎ ‎（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；‎ ‎（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；‎ ‎（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．‎ ‎15．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．‎ ‎（1）求⊙M的半径；‎ ‎（2）求证：BD平分∠ABO；‎ ‎（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．‎ ‎16．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若，求∠E的度数．‎ ‎（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．‎ ‎17．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．‎ ‎（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．‎ ‎（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．‎ ‎（3）在点P的整个运动过程中，‎ ‎①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？‎ ‎②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．‎ ‎18．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．‎ ‎（1）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AD=3，求△ABC的面积．‎ ‎19．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．‎ ‎（1）求证：GC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．‎ ‎ ‎ ‎20．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．‎ ‎（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；‎ ‎（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；‎ ‎（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．‎ ‎21．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．‎ ‎（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；‎ ‎（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；‎ ‎（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．‎ ‎22．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．‎ ‎（1）试说明CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；‎ ‎（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．‎ ‎ ‎ ‎23．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．‎ ‎（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；‎ ‎（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；‎ ‎（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．‎ ‎24．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．‎ ‎（1）求证：BD平分∠ABC；‎ ‎（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．‎ ‎ ‎ ‎25．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．‎ ‎（1）求∠FDE的度数；‎ ‎（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；‎ ‎（3）当G为线段DC的中点时，‎ ‎①求证：FD=FI；‎ ‎②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．‎ ‎26．已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．‎ ‎（1）求证：AP=OQ；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．‎ ‎27．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．‎ ‎（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；‎ ‎（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．‎ ‎①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；‎ ‎②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）‎ ‎28．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；‎ ‎（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．‎ ‎29．在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣‎ 点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：△BCD≌△AFD；‎ ‎（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．‎ ‎30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．‎ ‎（1）如图1，求⊙O的半径；‎ ‎（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；‎ ‎（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．‎ ‎　‎ 答案 ‎1．（2016•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F．‎ ‎（1）求证：AE=BF；‎ ‎（2）连接GB，EF，求证：GB∥EF；‎ ‎（3）若AE=1，EB=2，求DG的长．‎ ‎【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；‎ ‎（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；‎ ‎（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BD，‎ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，‎ ‎∴∠A=∠C=45°，‎ ‎∵AB为圆O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，‎ ‎∴AD=DC=BD=AC，∠CBD=∠C=45°，‎ ‎∴∠A=∠FBD，‎ ‎∵DF⊥DG，‎ ‎∴∠FDG=90°，‎ ‎∴∠FDB+∠BDG=90°，‎ ‎∵∠EDA+∠BDG=90°，‎ ‎∴∠EDA=∠FDB，‎ 在△AED和△BFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AED≌△BFD（ASA），‎ ‎∴AE=BF；‎ ‎（2）证明：连接EF，BG，‎ ‎∵△AED≌△BFD，‎ ‎∴DE=DF，‎ ‎∵∠EDF=90°，‎ ‎∴△EDF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DEF=45°，‎ ‎∵∠G=∠A=45°，‎ ‎∴∠G=∠DEF，‎ ‎∴GB∥EF；‎ ‎（3）∵AE=BF，AE=1，‎ ‎∴BF=1，‎ 在Rt△EBF中，∠EBF=90°，‎ ‎∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2，‎ ‎∵EB=2，BF=1，‎ ‎∴EF==，‎ ‎∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，‎ ‎∴cos∠DEF=，‎ ‎∵EF=，‎ ‎∴DE=×=，‎ ‎∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，‎ ‎∴△GEB∽△AED，‎ ‎∴=，即GE•ED=AE•EB，‎ ‎∴•GE=2，即GE=，‎ 则GD=GE+ED=．‎ ‎【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•青海）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．‎ ‎（1）求证：∠BME=∠MAB；‎ ‎（2）求证：BM2=BE•AB；‎ ‎（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．‎ ‎【分析】（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；‎ ‎（2）由（1）得出的结论和直角，判断出△BME∽△BAM，即可得出结论，‎ ‎（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OM，‎ ‎∵直线CD切⊙O于点M，‎ ‎∴∠OMD=90°，‎ ‎∴∠BME+∠OMB=90°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AMB=90°．‎ ‎∴∠AMO+∠OMB=90°，‎ ‎∴∠BME=∠AMO，‎ ‎∵OA=OM，‎ ‎∴∠MAB=∠AMO，‎ ‎∴∠BME=∠MAB；‎ ‎（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，‎ ‎∵BE⊥CD，‎ ‎∴∠BEM=∠AMB=90°，‎ ‎∴△BME∽△BAM，‎ ‎∴，‎ ‎∴BM2=BE•AB；‎ ‎（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，‎ ‎∵sin∠BAM=，‎ ‎∴sin∠BME=，‎ 在Rt△BEM中，BE=，‎ ‎∴sin∠BME==，‎ ‎∴BM=6，‎ 在Rt△ABM中，sin∠BAM=，‎ ‎∴sin∠BAM==，‎ ‎∴AB=BM=10，‎ 根据勾股定理得，AM=8．‎ ‎【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，△BME∽△BAM．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•泉州）我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：‎ 如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．‎ ‎（1）比较与的大小；‎ ‎（2）若OH=2，求证：OP∥CD；‎ ‎（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=时，点P的位置．‎ ‎【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH⊥EF可判断PH平分∠FPE，然后根据圆周角定理得到=；‎ ‎（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2，则可判断△OPH为等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径的推理由=得到OQ⊥CD，‎ 则根据平行线的判定方法得OP∥CD；‎ ‎（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定义计算出PH即可．‎ ‎【解答】（1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，‎ ‎∴PH平分∠FPE，‎ ‎∴∠DPQ=∠CPQ，‎ ‎∴=；‎ ‎（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，‎ ‎∵OH=2，OP=4，‎ ‎∴PH==2，‎ ‎∴△OPH为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OPQ=45°，‎ 而OP=OQ，‎ ‎∴△OPQ为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠POQ=90°，‎ ‎∴OP⊥OQ，‎ ‎∵=，‎ ‎∴OQ⊥CD，‎ ‎∴OP∥CD；‎ ‎（3）解：直线CD交MN于A，如图，‎ ‎∵cosα=，‎ ‎∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，‎ 而OB⊥CD，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∵OH⊥PQ，‎ ‎∴∠POH=60°，‎ 在Rt△POH中，∵sin∠POH=，‎ ‎∴PH=4sin60°=2，‎ 即点P到MN的距离为2．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．‎ ‎　‎ ‎4．（2016•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．‎ ‎【分析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．‎ ‎（2）由△ABC∽△CBG，得=求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：连接CD，‎ ‎∵BD是直径，‎ ‎∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，‎ ‎∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，‎ ‎∴∠CBD+∠EBC=90°，‎ ‎∴BE⊥BD，‎ ‎∴BE是⊙O切线．‎ ‎（2）解：∵CG∥EB，‎ ‎∴∠BCG=∠EBC，‎ ‎∴∠A=∠BCG，‎ ‎∵∠CBG=∠ABC ‎∴△ABC∽△CBG，‎ ‎∴=，即BC2=BG•BA=48，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∵CG∥EB，‎ ‎∴CF⊥BD，‎ ‎∴△BFC∽△BCD，‎ ‎∴BC2=BF•BD，‎ ‎∵DF=2BF，‎ ‎∴BF=4，‎ 在RT△BCF中，CF==4，‎ ‎∴CG=CF+FG=5，‎ 在RT△BFG中，BG==3，‎ ‎∵BG•BA=48，‎ ‎∴即AG=5，‎ ‎∴CG=AG，‎ ‎∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，‎ ‎∴∠CHF=∠CBF，‎ ‎∴CH=CB=4，‎ ‎∵△ABC∽△CBG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC==，‎ ‎∴AH=AC﹣CH=．‎ ‎【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎　‎ ‎5．（2016•赤峰）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．‎ ‎（1）求圆的半径及圆心P的坐标；‎ ‎（2）M为劣弧的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；‎ ‎（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．‎ ‎【分析】（1）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断AB为⊙P的直径，则得到⊙P的半径是5，然后利用线段的中点坐标公式得到P点坐标；‎ ‎（2）根据圆周角定理由=，∠OAM=∠MAB，于是可判断AM为∠OAB的平分线；‎ ‎（3）连接PM交OB于点Q，如图，先利用垂径定理的推论得到PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，再利用勾股定理计算出PQ=3，则MQ=2，于是可写出M点坐标，接着证明MQ为△BON的中位线得到ON=2MQ=4，然后写出N点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0），‎ ‎∴OA=6，OB=8，‎ ‎∴AB==10，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴AB为⊙P的直径，‎ ‎∴⊙P的半径是5‎ ‎∵点P为AB的中点，‎ ‎∴P（4，﹣3）；‎ ‎（2）∵M点是劣弧OB的中点，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠OAM=∠MAB，‎ ‎∴AM为∠OAB的平分线；‎ ‎（3）连接PM交OB于点Q，如图，‎ ‎∵=，‎ ‎∴PM⊥OB，BQ=OQ=OB=4，‎ 在Rt△PBQ中，PQ===3，‎ ‎∴MQ=2，‎ ‎∴M点的坐标为（4，2）；‎ ‎∵MQ∥ON，‎ 而OQ=BQ，‎ ‎∴MQ为△BON的中位线，‎ ‎∴ON=2MQ=4，‎ ‎∴N点的坐标为（0，4）．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；理解坐标与图形的性质，记住线段的中点坐标公式，会利用勾股定理计算线段的长．此类题目通常解由半径、弦心距和弦的一半所组成的直角三角形．‎ ‎6．（2016•恩施州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：OC2=OE•OP；‎ ‎（3）求线段EG的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；‎ ‎（2）由射影定理得出OD2=OE•OP，由OC=OD，即可得出OC2=OE•OP；‎ ‎（3）由垂径定理得出DE=CE=4，∠OEC=90°，由相交弦定理得出DE2=AE×BE，求出BE=2，得出直径CG=AB=AE+BE=10，半径OC=CG=5，由三角函数的定义得出cosC==，在△CEG中，由余弦定理求出EG2，即可得出EG的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠DAB=∠ADO，‎ ‎∵∠DAF=∠DAB，‎ ‎∴∠ADO=∠DAF，‎ ‎∴OD∥AF，‎ 又∵DF⊥AF，‎ ‎∴DF⊥OD，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：由（1）得：DF⊥OD，‎ ‎∴∠ODF=90°，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴由射影定理得：OD2=OE•OP，‎ ‎∵OC=OD，‎ ‎∴OC2=OE•OP；‎ ‎（3）解：∵AB⊥CD，‎ ‎∴DE=CE=4，∠OEC=90°，‎ 由相交弦定理得：DE2=AE×BE，‎ 即42=8×BE，‎ 解得：BE=2，‎ ‎∴CG=AB=AE+BE=8+2=10，‎ ‎∴OC=CG=5，‎ ‎∴cosC==，‎ 在△CEG中，由余弦定理得：EG2=CG2+CE2﹣2×CG×CE×cosC=102+42﹣2×10×4×=52，‎ ‎∴EG==2．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果．‎ ‎7．（2016•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．‎ ‎（1）求证：AB是⊙O的切线．‎ ‎（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．‎ ‎（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．‎ ‎【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；‎ ‎（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D==；‎ ‎（3）由（2）可知，AC2=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．‎ ‎【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，‎ ‎∵AO平分∠CAB，‎ OC⊥AC，OF⊥AB，‎ ‎∴OC=OF，‎ ‎∴AB是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图，连接CE，‎ ‎∵ED是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ECD=90°，‎ ‎∴∠ECO+∠OCD=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACE+∠ECO=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠OCD，‎ ‎∵OC=OD，‎ ‎∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，‎ ‎∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，‎ ‎∴，‎ ‎∵tan∠D=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=；‎ ‎（3）由（2）可知：=，‎ ‎∴设AE=x，AC=2x，‎ ‎∵△ACE∽△ADC，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC2=AE•AD，‎ ‎∴（2x）2=x（x+6），‎ 解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），‎ ‎∴AE=2，AC=4，‎ 由（1）可知：AC=AF=4，‎ ‎∠OFB=∠ACB=90°，‎ ‎∵∠B=∠B，‎ ‎∴△OFB∽△ACB，‎ ‎∴=，‎ 设BF=a，∴BC=，‎ ‎∴BO=BC﹣OC=﹣3，‎ 在Rt△BOF中，‎ BO2=OF2+BF2，‎ ‎∴（﹣3）2=32+a2，‎ ‎∴解得：a=或a=0（不合题意，舍去），‎ ‎∴AB=AF+BF=．‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•德州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．‎ ‎（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OE、OB、OC．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与⊙O相切；‎ ‎（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF，然后再证明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；‎ ‎（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．‎ ‎【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．‎ 理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．‎ ‎∵AE平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE．‎ ‎∴．‎ ‎∴∠BOE=∠COE．‎ 又∵OB=OC，‎ ‎∴OE⊥BC．‎ ‎∵l∥BC，‎ ‎∴OE⊥l．‎ ‎∴直线l与⊙O相切．‎ ‎（2）∵BF平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABF=∠CBF．‎ 又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，‎ ‎∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．‎ 又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，‎ ‎∴∠EBF=∠EFB．‎ ‎∴BE=EF．‎ ‎（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．‎ ‎∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，‎ ‎∴△BED∽△AEB．‎ ‎∴，即，解得；AE=．‎ ‎∴AF=AE﹣EF=﹣7=．‎ ‎【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得∠EBF=∠EFB是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•大庆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．‎ ‎（1）求证：MH为⊙O的切线．‎ ‎（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．‎ ‎（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．‎ ‎【分析】（1）连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线；‎ ‎（2）由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC=，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2；‎ ‎（3）连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ．‎ ‎【解答】解：（1）连接OH、OM，‎ ‎∵H是AC的中点，O是BC的中点，‎ ‎∴OH是△ABC的中位线，‎ ‎∴OH∥AB，‎ ‎∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，‎ 又∵OB=OM，‎ ‎∴∠OMB=∠MBO，‎ ‎∴∠COH=∠MOH，‎ 在△COH与△MOH中，‎ ‎，‎ ‎∴△COH≌△MOH（SAS），‎ ‎∴∠HCO=∠HMO=90°，‎ ‎∴MH是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵MH、AC是⊙O的切线，‎ ‎∴HC=MH=，‎ ‎∴AC=2HC=3，‎ ‎∵tan∠ABC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∴⊙O的半径为2；‎ ‎（3）连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，‎ ‎∵AC与AN都是⊙O的切线，‎ ‎∴AC=AN，AO平分∠CAD，‎ ‎∴AO⊥CN，‎ ‎∵AC=3，OC=2，‎ ‎∴由勾股定理可求得：AO=，‎ ‎∵AC•OC=AO•CI，‎ ‎∴CI=，‎ ‎∴由垂径定理可求得：CN=，‎ 设OE=x，‎ 由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，‎ ‎∴﹣（2+x）2=4﹣x2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴OE=，‎ 由勾股定理可求得：EN=，‎ ‎∴由垂径定理可知：NQ=2EN=．‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．‎ ‎　‎ ‎10．（2016•哈尔滨）已知：△ABC内接于⊙O，D是上一点，OD⊥BC，垂足为H．‎ ‎（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；‎ ‎（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5，BN=3，tan∠ABC=，求BF的长．‎ ‎【分析】（1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；‎ ‎（2）由垂径定理可知：，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；‎ ‎（3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC=可知NQ和BQ的长度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，连接AO并延长交⊙O于点I，连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．‎ ‎【解答】解：（1）∵OD⊥BC，‎ ‎∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，‎ ‎∵点O是AB的中点，‎ ‎∴OH是△ABC的中位线，‎ ‎∴AC=2OH；‎ ‎（2）∵OD⊥BC，‎ ‎∴由垂径定理可知：，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠ABC=∠ADC，‎ ‎∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，‎ ‎∴∠ACD=∠APB，‎ ‎（3）连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，‎ ‎∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，‎ ‎∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，‎ ‎∵∠ABD+∠BDN=∠AND，‎ ‎∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，‎ ‎∵∠ACD+∠ABD=180°，‎ ‎∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND，‎ ‎∴∠AND=180°﹣∠AND，‎ ‎∴∠AND=90°，‎ ‎∵tan∠ABC=，BN=3，‎ ‎∴NQ=，‎ ‎∴由勾股定理可求得：BQ=，‎ ‎∵∠BNQ=∠QHD=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠QDH，‎ ‎∵OE=OD，‎ ‎∴∠OED=∠QDH，‎ ‎∵∠ERG=90°，‎ ‎∴∠OED=∠GBN，‎ ‎∴∠GBN=∠ABC，‎ ‎∵AB⊥ED，‎ ‎∴BG=BQ=，GN=NQ=，‎ ‎∵AI是⊙O直径，‎ ‎∴∠ACI=90°，‎ ‎∵tan∠AIC=tan∠ABC=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴IC=10，‎ ‎∴由勾股定理可求得：AI=25，‎ 连接OB，‎ 设QH=x，‎ ‎∵tan∠ABC=tan∠ODE=，‎ ‎∴，‎ ‎∴HD=2x，‎ ‎∴OH=OD﹣HD=﹣2x，‎ BH=BQ+QH=+x，‎ 由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，‎ ‎∴（）2=（+x）2+（﹣2x）2，‎ 解得：x=或x=，‎ 当QH=时，‎ ‎∴QD=QH=，‎ ‎∴ND=QD+NQ=6，‎ ‎∴MN=3，MD=15‎ ‎∵MD＞，‎ ‎∴QH=不符合题意，舍去，‎ 当QH=时，‎ ‎∴QD=QH=‎ ‎∴ND=NQ+QD=4，‎ 由垂径定理可求得：ED=10，‎ ‎∴GD=GN+ND=‎ ‎∴EG=ED﹣GD=，‎ ‎∵tan∠OED=，‎ ‎∴，‎ ‎∴EG=RG，‎ ‎∴RG=，‎ ‎∴BR=RG+BG=12‎ ‎∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．‎ ‎11．（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．‎ ‎（1）求证：AE为⊙O的切线．‎ ‎（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．‎ ‎（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．‎ ‎【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；‎ ‎（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OM．‎ ‎∵AC=AB，AE平分∠BAC，‎ ‎∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，‎ ‎∵OB=OM，‎ ‎∴∠OBM=∠OMB，‎ ‎∵BM平分∠ABC，‎ ‎∴∠OBM=∠CBM，‎ ‎∴∠OMB=∠CBM，‎ ‎∴OM∥BC 又∵AE⊥BC，‎ ‎∴AE⊥OM，‎ ‎∴AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O的半径为R，‎ ‎∵OM∥BE，‎ ‎∴△OMA∽△BEA，‎ ‎∴=即=，‎ 解得R=3，‎ ‎∴⊙O的半径为3；‎ ‎（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，‎ ‎∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，‎ ‎∴四边形OMEH是矩形，‎ ‎∴HE=OM=3，‎ ‎∴BH=1，‎ ‎∴BG=2BH=2．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．‎ ‎12．（2015•荆门）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．‎ ‎（1）求证：BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：CE2=EH•EA；‎ ‎（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．‎ ‎【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；‎ ‎（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，‎ ‎∴∠ODB=∠ABC，‎ ‎∵OF⊥BC，‎ ‎∴∠BFD=90°，‎ ‎∴∠ODB+∠DBF=90°，‎ ‎∴∠ABC+∠DBF=90°，‎ 即∠OBD=90°，‎ ‎∴BD⊥OB，‎ ‎∴BD是⊙O的切线；‎ ‎（2）证明：连接AC，如图1所示：‎ ‎∵OF⊥BC，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠CAE=∠ECB，‎ ‎∵∠CEA=∠HEC，‎ ‎∴△CEH∽△AEC，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE2=EH•EA；‎ ‎（3）解：连接BE，如图2所示：‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°，‎ ‎∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，‎ ‎∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，‎ ‎∴EA===8，‎ ‎∵，‎ ‎∴BE=CE=6，‎ ‎∵CE2=EH•EA，‎ ‎∴EH==，‎ 在Rt△BEH中，BH===．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•福建）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．‎ ‎（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；‎ ‎（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．‎ ‎①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；‎ ‎②求线段PQ的长．‎ ‎【分析】（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．‎ ‎（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．‎ ‎（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，连接OQ．‎ ‎∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，‎ ‎∴OQ⊥OP．‎ 又∵BP=OB=OQ=2，‎ ‎∴PQ===2，即PQ=2；‎ ‎（2）OQ⊥AC．理由如下：‎ 如图②，连接BC．‎ ‎∵BP=OB，‎ ‎∴点B是OP的中点，‎ 又∵PC=CQ，‎ ‎∴点C是PQ的中点，‎ ‎∴BC是△PQO的中位线，‎ ‎∴BC∥OQ．‎ 又∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，‎ ‎∴OQ⊥AC．‎ ‎（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ2=2×6，‎ 解得PQ=2．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算．‎ ‎14．（2015•宿迁）已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．‎ ‎（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；‎ ‎（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；‎ ‎（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．‎ ‎【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；‎ ‎（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；‎ ‎（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，‎ ‎∴△AED∽△BEC，‎ ‎∴，‎ ‎∴EA•EC=EB•ED；‎ ‎（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F ‎∵B是弧AC的中点，‎ ‎∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．‎ 又∵AD为⊙O直径，‎ ‎∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．‎ ‎∴△CBF∽△ABD．‎ ‎∴，故CF•AD=BD•BC．‎ ‎∴AC•AD=2BD•BC；‎ ‎（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，‎ ‎∴AF为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADF=90°，‎ 过O作OH⊥AD于H，‎ ‎∴AH=DH，OH∥DF，‎ ‎∵AO=OF，‎ ‎∴DF=2OH=4，‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠AEB=∠ADF=90°，‎ ‎∵∠ABD=∠F，‎ ‎∴△ABE∽△ADF，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∴，‎ ‎∴BC=DF=4．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．‎ ‎（1）求⊙M的半径；‎ ‎（2）求证：BD平分∠ABO；‎ ‎（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．‎ ‎【分析】（1）由点A（，0）与点B（0，﹣），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得AB是直径，继而求得⊙M的半径；‎ ‎（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；‎ ‎（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），‎ ‎∴OA=，OB=，‎ ‎∴AB==2，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴AB是直径，‎ ‎∴⊙M的半径为：；‎ ‎（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，‎ ‎∴∠CBO=∠CBA，‎ 即BD平分∠ABO；‎ ‎（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，‎ ‎∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，‎ ‎∴∠OAB=30°，‎ ‎∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，‎ ‎∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，‎ ‎∴OC=OB•tan30°=×=，‎ ‎∴AC=OA﹣OC=，‎ ‎∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，‎ ‎∴∠EAC=60°，‎ ‎∴△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AE=AC=，‎ ‎∴AF=AE=，EF=AE=，‎ ‎∴OF=OA﹣AF=，‎ ‎∴点E的坐标为：（，）．‎ ‎【点评】此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•南宁）如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若，求∠E的度数．‎ ‎（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长．‎ ‎【分析】（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；‎ ‎（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，‎ ‎∵AC=CG，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠ABC=∠CBG，‎ ‎∵OC=OB，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC，‎ ‎∴∠OCB=∠CBG，‎ ‎∴OC∥BG，‎ ‎∵CD⊥BG，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OC∥BD，‎ ‎∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴AE=OA=OB，‎ ‎∴OC=OE，‎ ‎∵∠ECO=90°，‎ ‎∴∠E=30°；‎ ‎（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，‎ ‎∵∠E=30°‎ ‎∴∠EBD=60°，‎ ‎∴∠CBD=EBD=30°，‎ ‎∵CD=，‎ ‎∴BD=3，DE=3，BE=6，‎ ‎∴AE=BE=2，‎ ‎∴AH=1，‎ ‎∴EH=，‎ ‎∴DH=2，‎ 在Rt△DAH中，AD===．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎17．（2015•温州）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．‎ ‎（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．‎ ‎（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．‎ ‎（3）在点P的整个运动过程中，‎ ‎①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？‎ ‎②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．‎ ‎【分析】（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH=BH=AB，求得CD，FD；‎ ‎（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定理得QM=AM=x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；‎ ‎（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），4﹣7x=3x，解得x，易得AP；当时（如图3），7﹣4x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），同理得AP；‎ ‎②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ=，利用（1）（2）中结论得AI=16x，QI=19x，‎ 解得x，得AP．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，‎ ‎∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，‎ ‎∴AB=4x，‎ ‎∴BQ=5x，‎ ‎∵OD⊥m，m⊥l，‎ ‎∴OD∥l，‎ ‎∵OB=OQ，‎ ‎∴=2x，‎ ‎∴CD=2x，‎ ‎∴FD==3x；‎ ‎（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，‎ ‎∴CQ=6x+4，‎ 作OM⊥AQ于点M（如图1），‎ ‎∴OM∥AB，‎ ‎∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，‎ ‎∴点O是BQ的中点，‎ ‎∴QM=AM=x ‎∴OD=MC=，‎ ‎∴OE=BQ=，‎ ‎∴ED=2x+4，‎ S矩形DEGF=DF•DE=3x（2x+4）=90，‎ 解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，‎ ‎∴AP=3x=9；‎ ‎（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，‎ I．点P在A点的右侧时（如图1）‎ ‎∴2x+4=3x，解得：x=4，‎ ‎∴AP=3x=12；‎ II．点P在A点的左侧时，‎ 当点C在Q右侧，‎ ‎0＜x＜时（如图2），‎ ‎∵ED=4﹣7x，DF=3x，‎ ‎∴4﹣7x=3x，解得：x=，‎ ‎∴AP=；‎ 当≤x＜时（如图3），‎ ‎∵ED=4﹣7x，DF=3x，‎ ‎∴4﹣7x=3x，解得：x=（舍去），‎ 当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），‎ DE=7x﹣4，DF=3x，‎ ‎∴7x﹣4=3x，解得：x=1，‎ ‎∴AP=3，‎ 综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形；‎ ‎②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，‎ 当点N在AB的左侧时（如图5），‎ 过点B作BM⊥EG于点M，‎ ‎∵GM=x，BM=x，‎ ‎∴∠GBM=45°，‎ ‎∴BM∥AQ，‎ ‎∴AI=AB=4x，‎ ‎∴IQ=x，‎ ‎∴NQ==2，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴AP=6；‎ 当点N在AB的右侧时（如图6），‎ 过点B作BJ⊥GE于点J，‎ ‎∵GJ=x，BJ=4x，‎ ‎∴tan∠GBJ=，‎ ‎∴AI=16x，∴QI=19x，‎ ‎∴NQ==2，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴AP=，‎ 综上所述：AP的长为6或．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．‎ ‎18．（2015•湖北）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．‎ ‎（1）求证：AC平分∠BAD；‎ ‎（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AD=3，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；‎ ‎（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；‎ ‎（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵PE是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥PE，‎ ‎∵AE⊥PE，‎ ‎∴OC∥AE，‎ ‎∴∠DAC=∠OCA，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OCA=∠OAC，‎ ‎∴∠DAC=∠OAC，‎ ‎∴AC平分∠BAD；‎ ‎（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．‎ 理由：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠BAC+∠ABC=90°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=∠ABC，‎ ‎∵∠PCB+∠OCB=90°，‎ ‎∴∠PCB=∠PAC，‎ ‎∵∠P是公共角，‎ ‎∴△PCB∽△PAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴PC2=PB•PA，‎ ‎∵PB：PC=1：2，‎ ‎∴PC=2PB，‎ ‎∴PA=4PB，‎ ‎∴AB=3PB；‎ ‎（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，‎ ‎∴OC=HE，‎ ‎∴AE=+OC，‎ ‎∵OC∥AE，‎ ‎∴△PCO∽△PEA，‎ ‎∴，‎ ‎∵AB=3PB，AB=2OB，‎ ‎∴OB=PB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OC=，∴AB=5，‎ ‎∵△PBC∽△PCA，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC=2BC，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴（2BC）2+BC2=52，‎ ‎∴BC=， ∴AC=2，‎ ‎∴S△ABC=AC•BC=5．‎ ‎【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．‎ ‎19．（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED．‎ ‎（1）求证：GC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求DE的长；‎ ‎（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．‎ ‎【分析】（1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论；‎ ‎（2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出结果；‎ ‎（3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：‎ ‎∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，‎ ‎∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，‎ ‎∴四边形ODCE是矩形，‎ ‎∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，‎ ‎∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，‎ ‎∵∠GCD=∠CED，‎ ‎∴∠GCD+∠MCD=90°，‎ 即GC⊥OC，‎ ‎∴GC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3；‎ ‎（3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°，‎ ‎∴CE=DE•cos∠CED=3×=，‎ ‎∴CF=CE=．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•深圳）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．‎ ‎（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；‎ ‎（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；‎ ‎（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．‎ ‎【分析】（1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间；‎ ‎（2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案；‎ ‎（3）利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，进而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可得：BO=4cm，t==2（s）；‎ ‎（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，‎ 又∵∠A=45°，‎ ‎∴AO=OH=3cm，‎ ‎∴AD=AO﹣DO=（3﹣3）cm；‎ ‎（3）证明：如图3，连接EF，‎ ‎∵OD=OF，‎ ‎∴∠ODF=∠OFD，‎ ‎∵DE为直径，‎ ‎∴∠ODF+∠DEF=90°，‎ ‎∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，‎ ‎∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，‎ 又∵∠FCG=∠ECF，‎ ‎∴△CFG∽△CEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CF2=CG•CE．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出△CFG∽△CEF是解题关键．‎ ‎21．（2015•东莞）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．‎ ‎（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；‎ ‎（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；‎ ‎（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．‎ ‎【分析】（1）由垂径定理得出PG⊥BC，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC∥PG，得出同位角相等即可；‎ ‎（2）先由SAS证明△PDB≌△CDK，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD，证出AG=CK，再证明AG∥CK，即可得出结论；‎ ‎（3）先证出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再证OD=OH，由SAS证明△OBD≌△HOP，得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵点P为的中点，AB为⊙O直径，‎ ‎∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，‎ ‎∴∠ODB=90°，‎ ‎∵D为OP的中点，‎ ‎∴OD=OP=OB，‎ ‎∴cos∠BOD==，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ ‎∵AB为⊙O直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠ODB，‎ ‎∴AC∥PG，‎ ‎∴∠BAC=∠BOD=60°；‎ ‎（2）证明：由（1）知，CD=BD，‎ 在△PDB和△CDK中，，‎ ‎∴△PDB≌△CDK（SAS），‎ ‎∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，‎ ‎∵∠AOG=∠BOP，‎ ‎∴AG=BP，‎ ‎∴AG=CK，‎ ‎∵OP=OB，‎ ‎∴∠OPB=∠OBP，‎ 又∵∠G=∠OBP，‎ ‎∴AG∥CK，‎ ‎∴四边形AGCK是平行四边形；‎ ‎（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，‎ ‎∴DE∥PB，‎ 即DH∥PB ‎∵∠G=∠OPB，‎ ‎∴PB∥AG，‎ ‎∴DH∥AG，‎ ‎∴∠OAG=∠OHD，‎ ‎∵OA=OG，‎ ‎∴∠OAG=∠G，‎ ‎∴∠ODH=∠OHD，‎ ‎∴OD=OH，‎ 在△OBD和△HOP中，，‎ ‎∴△OBD≌△HOP（SAS），‎ ‎∴∠OHP=∠ODB=90°，‎ ‎∴PH⊥AB．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•内江）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．‎ ‎（1）试说明CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；‎ ‎（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．‎ ‎【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可；‎ ‎（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；‎ ‎（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，如图1，‎ ‎∵CA=CE，∠CAE=30°，‎ ‎∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，‎ ‎∴∠OCE=90°，‎ ‎∴CE是⊙O的切线；‎ ‎（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，‎ 由题可得CH=h．‎ 在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，‎ ‎∴h=OC•sin60°=OC，‎ ‎∴OC==h，‎ ‎∴AB=2OC=h；‎ ‎（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，‎ 则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．‎ ‎∵OA=OF=OC，‎ ‎∴△AOF、△COF是等边三角形，‎ ‎∴AF=AO=OC=FC，‎ ‎∴四边形AOCF是菱形，‎ ‎∴根据对称性可得DF=DO．‎ 过点D作DH⊥OC于H，‎ ‎∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，‎ ‎∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，‎ ‎∴CD+OD=DH+FD．‎ 根据两点之间线段最短可得：‎ 当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，‎ 此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，‎ 则OF=4，AB=2OF=8．‎ ‎∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（2015•哈尔滨）AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．‎ ‎（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；‎ ‎（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；‎ ‎（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．‎ ‎【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；‎ ‎（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；‎ ‎（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠D+∠ABC=180°，‎ ‎∵∠ABC+∠EBC=180°，‎ ‎∴∠D=∠EBC，‎ ‎∵GF⊥AD，AE⊥DG，‎ ‎∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠D，‎ ‎∵∠ABF=∠GBE，‎ ‎∴∠GBE=∠EBC，‎ 即BE平分∠GBC；‎ ‎（2）证明：如图2，连接CB，‎ ‎∵AB⊥CD，BF⊥AD，‎ ‎∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，‎ ‎∴∠D=∠ABG，‎ ‎∵∠D=∠ABC，‎ ‎∴∠ABC=∠ABG，‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴∠CEB=∠GEB=90°，‎ 在△BCE和△BGE中 ‎，‎ ‎∴△BCE≌△BGE（ASA），‎ ‎∴CE=EG，‎ ‎∵AE⊥CG，‎ ‎∴AC=AG；‎ ‎（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，‎ ‎∵CM是⊙O的直径，‎ ‎∴∠MAC=90°，‎ ‎∵∠M=∠D，tanD=，‎ ‎∴tanM=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AG=4，AC=AG，‎ ‎∴AC=4，AM=3，‎ ‎∴MC==5，‎ ‎∴CO=，‎ 过点H作HN⊥AB，垂足为点N，‎ ‎∵tanD=，AE⊥DE，‎ ‎∴tan∠BAD=，‎ ‎∴=，‎ 设NH=3a，则AN=4a，‎ ‎∴AH==5a，‎ ‎∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，‎ ‎∴HF=NH=3a，‎ ‎∴AF=8a，‎ cos∠BAF===，‎ ‎∴AB==10a，‎ ‎∴NB=6a，‎ ‎∴tan∠ABH===，‎ 过点O作OP⊥AB垂足为点P，‎ ‎∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，‎ ‎∴OP=a，‎ ‎∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，‎ ‎∴25a2+a2=，‎ ‎∴解得：a=，‎ ‎∴AH=5a=．‎ ‎【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．‎ ‎24．（2015•广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．‎ ‎（1）求证：BD平分∠ABC；‎ ‎（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．‎ ‎【分析】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；‎ ‎（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；‎ ‎（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°‎ ‎，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．‎ ‎【解答】（1）证明：∵OD∥BC，‎ ‎∴∠D=∠CBD，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠D=∠OBD，‎ ‎∴∠CBD=∠OBD，‎ ‎∴BD平分∠ABC；‎ ‎（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CFB+∠CBF=90°．‎ ‎∵PF=PB，‎ ‎∴∠PBF=∠CFB，‎ 由（1）知∠OBD=∠CBF，‎ ‎∴∠PBF+∠OBD=90°，‎ ‎∴∠OBP=90°，‎ ‎∴PB是⊙O的切线；‎ ‎（3）解：连结AD．‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，‎ ‎∴cos∠ABC===，‎ ‎∴BC=6，AC==8．‎ ‎∵OD∥BC，‎ ‎∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，‎ ‎∴==，==，‎ ‎∴AE=4，OE=3，‎ ‎∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，‎ ‎∴AD===2．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•宜昌）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．‎ ‎（1）求∠FDE的度数；‎ ‎（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；‎ ‎（3）当G为线段DC的中点时，‎ ‎①求证：FD=FI；‎ ‎②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．‎ ‎【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到∠FDE=90°；‎ ‎（2）由四边形ABCD是菱形可得AB∥CD，要证四边形FACD是平行四边形，只需证明DF∥AC，只需证明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需证明∠AEB=90°，根据四边形ABCD是菱形即可得到结论；‎ ‎（3）①连接GE，如图，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有=，根据圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠3=∠4，根据等角对等边可得FD=DI；②易知S⊙O=π（）2=πm2，S菱形ABCD=•2m•2n=2mn，要求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比，只需得到m与n的关系，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；‎ ‎（2）四边形FACD是平行四边形．‎ 理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，‎ ‎∴∠AEB=90°．‎ 又∵∠FDE=90°，‎ ‎∴∠AEB=∠FDE，‎ ‎∴AC∥DF，‎ ‎∴四边形FACD是平行四边形；‎ ‎（3）①连接GE，如图．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．‎ ‎∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，‎ ‎∴∠FHI=∠FGE．‎ ‎∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，‎ ‎∴∠FHI=90°．‎ ‎∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，‎ ‎∴DG=GE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∴FD=FI；‎ ‎②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．‎ ‎∵∠4=∠5，∠3=∠4，‎ ‎∴∠5=∠6，∴EI=EA．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，‎ ‎∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，‎ ‎∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．‎ 在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：‎ n2+（2m）2=（3m）2，‎ 即n=m，‎ ‎∴S⊙O=π（）2=πm2，S菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2m2，‎ ‎∴S⊙O：S菱形ABCD=．‎ ‎【点评】本题主要考查了菱形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、等角的余角相等、等角对等边、平行线的性质、勾股定理、圆及菱形的面积公式等知识，综合性强，证到IE=EA，进而得到EF=3m是解决第3（2）小题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•上海）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．‎ ‎（1）求证：AP=OQ；‎ ‎（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；‎ ‎（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；‎ ‎（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=得到OH=PO=x，从而得到S△AOP=AO•PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式；‎ ‎（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时，当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OD，‎ 在△AOP和△ODQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOP≌△ODQ，‎ ‎∴AP=OQ；‎ ‎（2）作PH⊥OA，‎ ‎∵cos∠AOC=，‎ ‎∴OH=PO=x，‎ ‎∴S△AOP=AO•PH=3x，‎ 又∵△PFC∽△PAO，‎ ‎∴==（）2，‎ 整理得：y=，‎ ‎∵AP延长线与CD相交于点F，‎ ‎∴CF≤CD=16，易知△CPF∽△OPA，‎ ‎∴，‎ ‎∴x的定义域为：＜x＜10；‎ ‎（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；‎ 当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；‎ 当∠OEP=90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，‎ ‎∴∠APO=∠OQD，‎ ‎∴∠AOQ=∠OQD=∠APO，‎ ‎∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），‎ ‎∴此种情况不存在，‎ ‎∴线段OP的长为8．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎27．（2015•乐山）已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．‎ ‎（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；‎ ‎（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．‎ ‎①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；‎ ‎②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）‎ ‎【分析】（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；‎ ‎（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得AE2=AD•AF．①当CF=CD时，可得AE2=3CD2，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED==，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）AE=CE．‎ 理由：连接AE、DE，如图1，‎ ‎∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠ABE=90°．‎ ‎∵AD=DC，‎ ‎∴AE=CE；‎ ‎（2）连接AE、ED，如图2，‎ ‎∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径．‎ ‎∵EF是⊙OO的切线，‎ ‎∴∠AEF=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠AEF=90°．‎ 又∵∠DAE=∠EAF，‎ ‎∴△ADE∽△AEF，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE2=AD•AF．‎ ‎①当CF=CD时，‎ AD=DC=CF，AF=3DC，‎ ‎∴AE2=DC•3DC=3DC2，‎ ‎∴AE=DC．‎ ‎∵EC=AE，‎ ‎∴EC=DC．‎ ‎∴sin∠CAB=sin∠CED===；‎ ‎②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．‎ 提示：∵CF=aCD，AD=DC，‎ ‎∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，‎ ‎∴AE2=DC•（a+2）DC=（a+2）DC2，‎ ‎∴AE=DC．‎ ‎∵EC=AE，‎ ‎∴EC=DC．‎ ‎∴sin∠CAB=sin∠CED===．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数、垂直平分线的性质的性质等知识，利用∠CAB=∠CED及AE=EC是解决（2）、（3）两小题的关键．‎ ‎28．（2015•十堰）如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；‎ ‎（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．‎ ‎【分析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△DBP中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt△DEP中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE∽△AFD ‎，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）进行计算；‎ ‎（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由=得到CD=BD=2，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．‎ ‎【解答】证明：（1）连结OD，如图1，‎ ‎∵AD平分∠BAC交⊙O于D，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∵BC∥EF，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，‎ ‎∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=30°，‎ ‎∴∠BOD=2∠BAD=60°，‎ ‎∴△OBD为等边三角形，‎ ‎∴∠ODB=60°，OB=BD=2，‎ ‎∴∠BDF=30°，‎ ‎∵BC∥DF，‎ ‎∴∠DBP=30°，‎ 在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，‎ 在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，‎ ‎∴PE==2，‎ ‎∵OP⊥BC，‎ ‎∴BP=CP=3，‎ ‎∴CE=3﹣2=1，‎ 易证得△BDE∽△ACE，‎ ‎∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，‎ ‎∴AE=‎ ‎∵BE∥DF，‎ ‎∴△ABE∽△AFD，‎ ‎∴=，即=，解得DF=12，‎ 在Rt△BDH中，BH=BD=，‎ ‎∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD ‎=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）‎ ‎=•12•﹣+•（2）2‎ ‎=9﹣2π；‎ ‎（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，‎ AC=3x，设BF=y，‎ ‎∵=，‎ ‎∴CD=BD=2，‎ ‎∵∠F=∠ABC=∠ADC，‎ ‎∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，‎ ‎∴△BFD∽△CDA，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴xy=4，‎ ‎∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，‎ 而∠DFB=∠AFD，‎ ‎∴△FDB∽△FAD，‎ ‎∴=，即=，‎ 整理得16﹣4y=xy，‎ ‎∴16﹣4y=4，解得y=3，‎ 即BF的长为3．‎ ‎【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣‎ 点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：△BCD≌△AFD；‎ ‎（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．‎ ‎【分析】（1）由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；‎ ‎（2）由DB=DA，可得=，即可得=，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；‎ ‎（3）首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD是等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．‎ ‎【解答】解：（1）DB=DA．‎ 理由：∵CD是△ABC的外角平分线，‎ ‎∴∠MCD=∠ACD，‎ ‎∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，‎ ‎∴∠MCD=∠BAD，‎ ‎∴∠ACD=∠BAD，‎ ‎∵∠ACD=∠ABD，‎ ‎∴∠ABD=∠BAD，‎ ‎∴DB=DA；‎ ‎（2）证明：∵DB=DA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴AF=BC，=，‎ ‎∴CD=FD，‎ 在△BCD和△AFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△AFD（SSS）；‎ ‎（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，‎ ‎∵DB=DA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DN⊥AB，‎ ‎∵∠ACM=120°，‎ ‎∴∠ABD=∠ACD=60°，‎ ‎∵DB=DA，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠OBA=30°，‎ ‎∴ON=OB=×5=2.5，‎ ‎∴DN=ON+OD=7.5，‎ ‎∴BD==5，‎ ‎∴AD=BD=5，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠ADC=∠BDF，‎ ‎∵∠ABD=∠ACD，‎ ‎∴△ACD∽△EBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=12.5．‎ ‎【点评】此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎30．（2015•桂林）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．‎ ‎（1）如图1，求⊙O的半径；‎ ‎（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；‎ ‎（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．‎ ‎【分析】（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；‎ ‎（2）利用垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，进而利用勾股定理得出即可；‎ ‎（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接OD，OC，‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，‎ ‎∴∠ODP=∠OCP=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，‎ ‎∴∠DOC=90°，OD=OC，‎ ‎∴四边形DOCP是正方形，‎ ‎∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，‎ ‎∴DO=CO=DC•sin45°=×4=2；‎ ‎（2）如图1，连接EO，OP，‎ ‎∵点E是BC的中点，‎ ‎∴OE⊥BC，∠OCE=45°，‎ 则∠E0P=90°，‎ ‎∴EO=EC=2，OP=CO=4，‎ ‎∴PE==2；‎ ‎（3）证明：如图2，在AB上截取BF=BM，‎ ‎∵AB=BC，BF=BM，‎ ‎∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，‎ ‎∵∠AMN=90°，‎ ‎∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，‎ ‎∴∠FAM=∠NMC，‎ ‎∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，‎ ‎∴∠DCP=45°，‎ ‎∴∠MCN=135°，‎ ‎∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，‎ 在△AFM和△CMN中 ‎，‎ ‎∴△AFM≌△CMN（ASA），‎ ‎∴AM=MN．‎ ‎【点评】此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出∠MCN=135°是解题关键．‎ ‎　‎