福建莆田中考数学试卷及答案word解析

福建莆田中考数学试卷及答案word解析

2013 年莆田市中考试题 数 学 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 注意：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时请按答题卡中的“注意事项”要求认真作答，答案写 在答题卡上的相应位置， 一、精心选一选：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题 目要求的．答对的得 4 分，答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分． 1．（2013 年福建莆田，1，3 分）2013 的相反数是 A．2013 B．－2013 C．. 2013 1 D． 2013 1 【答案】B 2．（2013 年福建莆田，2，3 分）下列运算正确的是 A．（a＋b)2＝a2＋b2 B．3a2－2a2＝a2 C．－2(a －1)＝－2a－1 D． a6÷a3＝a2 【答案】B 3．（2013 年福建莆田，3，3 分）对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9．下列说法错误．．的是 A．众数是 4 B．中位数是 5 C．极差是 7 D．平均数是 5 【答案】B 4．（2013 年福建莆田，4，3 分）如图，一次函数 y＝(m－2)x－1 的图象经过二、三、四象限，则 m 的取值范围 是 A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D． m＜2 y O （第 4 题图） x 【答案】D 5．（2013 年福建莆田，5，3 分）如图是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，圆柱的下底面紧贴在长方体的上 底面上，那么这个几何体的俯视图可能是 （第 5 题图） A C DB 【答案】C 6．（2013 年福建莆田，6，3 分）如图，将 Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点 A 按顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C、A、B1 在同一条直线上，那么旋转角等于 A．55° B．. 70° C．125° D． 145° A B1C B C1 （第 4 题图） 【答案】C 7．（2013 年福建莆田，7，3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝50°，则∠OBC 的度数为 A．400 B． 500 C．800 D． 1000 A B O C （第 7 题图） 【答案】A 8．（2013 年福建莆田，8，3 分）下列四组图形中，一定相似的是 A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形 【答案】D 二、细心填一填：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分． 9．（2013 年福建莆田，9，4 分）不等式 2x－4＜0 的解集是____ 【答案】x＜2 10．（2013 年福建莆田，10，4 分）小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为 8650000，将这个数用科学记数法表示为___________ 【答案】8.65×106 11．（2013 年福建莆田，11，4 分）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DF，BE＝ CF，请添加一个条件 _____________________________________，使△ABC≌△DEF(写出一个即可) A D B E C F （第11题图） 【答案】∠A＝∠D 或 AB＝DE 或∠ACB＝∠DFE 或 AC∥DF 12．（2013 年福建莆田，12，4 分）已知在 Rt△ABC 中，∠C＝900，sinA＝ 13 5 ，则 tanB 的值为______________ 【答案】 5 12 13．（2013 年福建莆田，13，4 分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2．则最大的正方形 E 的面积是____ B A C D E （第 13 题图） 【答案】10 14．（2013 年福建莆田，14，4 分）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同， 则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为__________． 【答案】 4 1 15．（2013 年福建莆田，15，4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 DC 边上且 DP＝1，点 Q 是 AC 上 一动点，则 DQ +PQ 的最小值为_____________ A B C D PQ （第 15 题图） 【答案】5 16．（2013 年福建莆田，16，4 分）统计学规定：某次测量得到 n 个结果 x1，x2...xn，当函数 y＝(x －x1)2+(x－x2)2+…+（x –xn）2 取最小值时，对应 x 的值称为这次测量的“最佳近似值”若某次测量得到 5 个结果 9.8，10.1，10. 5，10.3，9.8 则这次测量的“最佳近似值”为__________________ 【答案】10.1 三、耐心做一做：本大题共 9 小题，共 86 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17．（2013 年福建莆田，17，8 分）计算： 0)2013(34   【答案】解：原式＝2＋3－1 ＝4 18．（2013 年福建莆田，18，8 分）先化简，再求值： 2 12)2 1 2( 22   a aa aa a ，其中 a＝3 【答案】解：原式＝ 2 2 )1( 2 2 1    a a a a ＝ 2)1( 2 2 )1)(1(    a a a aa ＝ 1 1   a a 当 3a 时，原式＝ 213 13   19．（2013 年福建莆田，19，8 分）莆田素有“文献名邦”之称，某校就同学们对“莆仙历史文化”的了解程度 进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图： 根据统计图的信息，解答下列问题： (1)（2 分）本次共凋查____名学生； (2)（3 分）条形统计图中 m＝____； (3)（3 分）若该校共有学生 1000 名，则该校约有____名学生不了解“莆仙历史文化”； 【答案】 （1）60 （2）18 （3）200 20．（2013 年福建莆田，20，8 分）定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2＝ BC·AB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分割点如图 2，△ABC 中，AB＝AC＝l，∠4＝360，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D （1）（5 分）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）（3 分）求出线段 AD 的长 A C B （图 1） （图 2） （第 20 题图） A B C D 【答案】 （1） 证明：∵AB＝AC，∠A＝36°∴∠ABC＝∠C＝72° ∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36° ∴∠BDC＝72°，∴BC＝BD＝AD ∴△BCD∽△ACB ∴ BC CD AC BC  即 BC2＝AC·CD ∴AD2＝AC·CD ∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点 （2） （第 20 题图） A B C D 设 AD＝x 则 CD＝1－x 由（1）得 x2＝1－x 解得 2 51 1 x （舍去）， 2 51 2 x ∴AD＝ 2 51 21．（2013 年福建莆田，21，8 分）如图，□ABCD 中，AB＝2，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交边 BC 于点 E， 连接 DE、AC、AE． (1)（4 分）求证：△AED≌△DCA； (2)（4 分）若 DE 平分∠ADC 且与 OA 相切于点 E，求图中阴影部分（扇形）的面积 A B E C D （第 21 题图） 【答案】 （1）证明：在□ABCD 中 AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠CDA ∴∠DAE＝∠AEB ∵AB＝AE ∴AE＝DC，∠B＝∠AEB ∴∠EAD＝∠CDA ∵AD＝DA ∴△AED≌△DCA （2） 解：∵DE 与⊙A 相切 ∴∠AED＝90° ∵DE 平分∠ADC ∴∠EAD＝∠ADC＝2∠ADE ∴∠AEB＝∠EAD＝60° ∴△ABE 是等边三角形 ∴∠BAE＝60° ∴S 阴影＝  3 2 360 2360 2  22. （2013 年福建莆田，22，10 分）如图，直线: y＝x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 与原点 O 关于 直线 l 对称．反比例函数 y＝ x k 的图象经过点 C，点 P 在反比例函数图象上且位于点 C 左侧．过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线分别交直线 l 于 M、N 两点． ()（4 分）求反比例函数的解析式； (2)（6 分）求 AN·BM 的值． x y A B O C P M N l （第 22 题图） 【答案】 解：（1）∵直线 l：y＝x＋1 ∴A（－1,0），B（0,1） ∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝45° ∵点 O、C 关于直线 l 对称，连接 AC， 则∠CAB＝∠OAB＝45°，AC＝OA＝1 ∴AC⊥OA，C（－1,1） ∴反比例函数的解析式为 y＝ x 1 （2）设 P（a，b），则 ab＝－1 过点 M、N 分别作 ME⊥y 轴于点 E，NF⊥x 轴于点 F 易证△MEB，△AFN 为等腰直角三角形 ∴BM＝－ 2 a AN＝ 2 b ∴AN·BM＝－2ab＝2 x y A B O C P M N l （第 22 题图） F E 23．（2013 年福建莆田，23，10 分）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长 AB＝4 米，∠ABC＝60°．设 AE＝x 米(0＜x＜4)，矩形的面积 为米 2． (1)（5 分）求 S 与 x 的函数关系式； (2)（5 分）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草已知红色花草的价格为 20 元／米 2，黄 色花草的价格为 40 元／米 2．当 x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？ B F C G D H A E （第 23 题图） 【答案】 解： B F C G D H A E （第 23 题图） M （1）过点 A 作 AM⊥EH 于点 M 由轴对称性的性质得：AE＝AH，BE＝BF，∠EAM＝60° ∴EM＝AE·sin60°＝ x2 3 ∴EH＝ x3 ∵∠B＝60° ∴△BEF 为等边三角形 ∴EF＝BE＝4－x ∴S＝ )4(3 xx  即 S＝ xx 343 2  （2）解法一：∵红色花草价格比黄色花草便宜． ∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低． S＝ 34)2(3 2  x ∴当 x＝2 时，S 最大＝ 34 易得 S 四边形 ABCD＝ 38 此时四个三角形的面积为 343438  ∴最低总费用为： 324034403420  （元） 解法二：设购买花草所需的总费用为 W 元，易得 S 四边形 ABCD＝ 38 则＝40（ S38 ）＋20S ＝ S203320  ∴W＝ 3320380320 2  xx ＝ 3240)2(320 2 x ∴当 x＝2 时，W＝ 3240 答：当 x＝2 时，购买花草所得的总费用最低，最低总费用是 3240 元 24．（2013 年福建莆田，24，12 分）如图抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下与 x 轴交于点 A(－3,0)和点 B（1,0）与 y 轴交于点 C,顶点为 D （1）（2 分）求顶点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示） （2）若△ACD 的面积为 3 （3）①(4 分）求抛物线的解析式 （4）②（6 分）将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线相交于点 P，且  PAB=  DAC,求平移后 抛物线的解析式 A O B C D y x （第 24 题图） 【答案】 解：（1）∵抛物线经过点 A（－3，0）和 B（1，0） ∴y＝a（x＋3）（x－1） ＝a(x＋1)2－4a ∴顶点 D（－1，－4a） （2）解法一：由（1）得 C（0，－3a） ∴S＝ aa 2 9)3(32 1  连接 OD，则 S 四边形 ADCO＝S△ADO＋S△DCO ＝ aaa 2 15)3(12 1)4(32 1  ∴S＝ 3)2 9(2 15  aa 解得 a＝－1 ∴y＝－x2－2x＋3 解法二： A O B C D y x （第 24 题图） E 过点 D 作 DE∥y 轴交 AC 于点 E ∵A（－3,0），C（0，－3a） 设直线 AC：y＝kx＋m 则      am mk 3 03 解得      am ak 3 ∴y＝－ax－3a ∴E（－1，－2a）∴DE＝－2a ∴S△ACD＝S△ADE＋S△CDE ＝ 33)2(2 1  a 解得 a＝－1 ∴y＝－x2－2x＋3 ② A O B C D y x （第 24 题图） E F M1 P1 M2 P2 过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F 设平移后的抛物线解析式为 y＝－（x－h）2＋4 ∵a＝－1，则 C（0,3），D（－1,4） ∴△CDF 和△AOC 都是等腰直角三角形 ∴∠ACD＝90°，CD＝ 2 ，AC＝ 23 ∴tan∠DAC＝ 3 1 AC CD 分两种情况讨论： （1）当点 P 在 x 轴上方时设为 P1，若直线 AP1 交 y 轴于点 M，n ∵tan∠M1AO＝tan∠DAC＝ 3 1 ∴M1（0,1） 则直线 AP1：y＝ 13 1 x 令 3213 1 2  xxx 解得 3,3 2 21  xx （舍去） ∴Ｐ1（ 3 2 ， 9 11 ） 解法一：带入得： 4)3 2(9 11 2  h 解得 1,3 7 21  hh （舍去） ∴ 4)3 7( 2  xy 解法二：∵平移后的抛物线与原抛物线关于直线 x＝ 3 2 对称 ∴应向右平移 3 10 个单位，∴ 4)3 7( 2  xy （2）当点 P 在 x 轴下方时设为 P2，同理可得 M2（0，－1） 则直线 AP2： 13 1  xy 令 3213 1 2  xxx 解得 3,3 4 21  xx （舍去） ∴P2（ 3 4 ， 9 13 ） 解法一：代入得： 4)3 4(9 13 2  h 解得 1,3 11 21  hh （舍去） ∴ 4)3 11( 2  xy 解法二：∵平移后的抛物线与原抛物线关于直线 x＝ 3 4 对称 ∴应向右平移 3 14 个单位，∴ 4)3 11( 2  xy 综所述：平移后的抛物线解析式 4)3 7( 2  xy 或 4)3 11( 2  xy 25．（2013 年福建莆田，25，14 分）在 Rt△ABC 中，  C=90°，D 为 AB 边上一点，点 M、N 分别在 BC、AC 边上，且 DM⊥DN.作 MF⊥AB 于点 F,NE 垂直 AB 于点 E (1)特殊验证：4 分）如图 1，若 AC=BC,且 D 为 AB 中点，求证：DM=DN,AE=DF (2)拓展研究：若 AC≠BC ①（6 分）如图 2，若 D 为 AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明 ②（4 分）如图 3 若 BD＝kAD,条件中“点 M 在 BC 边上”改为“点 M 在线段 CB 的延长线上”，其它条件不变， 请探究 AD 与 DF 的数量关系并加以证明． A E D F B A E D F B A D E B F M C NM C N C M N （第 25 题图） （图 1） （图 2） （图 3） 【答案】 A E D F B C M N （图 1） 13 2 4 5 6 （1）证明：连接 CD ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD＝BD ∴∠4＝∠A，CD＝AD,∠2＋∠3＝90° 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2 ∴△DMC≌△DNA ∴DM＝DN 又∠DEN＝∠DFM＝90° ∴∠2＋∠5＝∠6＋∠5 ∴∠2＝∠6 ∴△DMF≌△NDE ∴NE＝DF 又∵NE＝AE ∴AE＝DF （2） A E D F B MC N （图 2） Q P ①答：AE＝DF 解法一：由（1）证明可知：△DEN∽△MFD ∴ DF EN MF DE  即 MF·EN＝DE·DF 同理△AEN∽△MFB ∴ BF EN MF AE  即 MF·EN＝AE·BF ∴DE·DF＝AE·BF ∴（AD－AE）·DF＝AE·（BD－DF） AD·DE＝AE·BD ∴DF＝A 解法二：作 DP⊥BC 于点 P，DQ⊥AC 于点 Q ∵D 为 AB 中点 ∴DQ＝PC＝PB 易证△DMF∽△NDE ∴ DN DM NE DF  易证△DMP∽△DNQ ∴ PB DP DQ DP DN DM  ∴ PB DP NE DF  易证△AEN∽△DPB ∴ BP DP NE AE  ∴ NE DF NE AE  ∴AE＝DF ②DF＝kAE（或＝ DFk 1 ） 解法一：由①同理可得：DE·DF＝AE·BF ∴（AE－AD）·DE＝AE·（DF－BD） AD·DF＝AE·BD kAD BD AE DF  即 DF＝kAE 解法二： A D E B F M C N （图 3） P Q 作 DP⊥BC 于点 P，DQ⊥AC 于点 Q. 易证△AQD∽△DPB 得 KBD AD PB DQ 1 即 PB＝kDQ 由①同理可得： NE DF DQ DP DN DM  ∴ PB kDP NE DF  又∵ PB DP NE AE  ∴ NE kAE NE DF  ∴DF＝kAE