四中中考数学专练总复习实数提高知识讲解

四中中考数学专练总复习实数提高知识讲解

实数（提高）‎ ‎【学习目标】‎ ‎1. 了解无理数和实数的意义；‎ ‎2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .‎ ‎【要点梳理】‎ ‎【高清课堂：389317 立方根、实数，知识要点】‎ 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.‎ 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.‎ ‎ （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.‎ 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.‎ ‎1.实数的分类 按定义分：‎ ‎ 实数 按与0的大小关系分：‎ ‎ 实数 ‎ 2.实数与数轴上的点一一对应.‎ 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.‎ 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.‎ 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.‎ 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.‎ 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、实数概念 ‎ ‎1、把下列各数分别填入相应的集合内：‎ ‎，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）‎ ‎ …‎ 有理数集合 ‎ …‎ 无理数集合 ‎【答案与解析】‎ 有理数有：， ，，，0，‎ 无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……‎ ‎【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.‎ 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例1】‎ ‎【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由. 　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　) 　　(2)无理数都是无限小数.(　　) 　　(3)无限小数都是无理数.(　　) 　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　) 　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　) 　　(6)带根号的数都是无理数.(　　) 　　(7)有理数都是有限小数.(　　) 　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　) 【答案】‎ ‎(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.‎ ‎(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.‎ ‎(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.‎ ‎(4)(×)0是有理数.‎ ‎(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.‎ ‎(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.‎ ‎(7)(×)有理数还包括无限循环小数.‎ ‎(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.‎ 类型二、实数大小的比较 ‎2、比较与的大小．‎ ‎【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：因为，．‎ 所以＜‎ ‎【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例2】‎ ‎【变式】已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，试化简：‎ ‎．‎ ‎【答案】由图知，，．‎ ‎ ∴ ，，，．‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ．‎ 类型三、实数的运算 ‎3、求的值．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）当≥0时，，，‎ 所以．‎ ‎（2）当＜0时，，，‎ 所以．‎ 即值为0或2．‎ ‎【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．‎ 举一反三：‎ ‎【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例3】‎ ‎【变式】若的两个平方根是方程的一组解．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求的算术平方根．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，‎ 则根据题意得：解得 ‎ ∴ 为．‎ ‎ （2）∵ ．‎ ‎∴ 的算术平方根为4．‎ 类型四、实数的综合运用 ‎【高清课堂：389317 立方根 实数 ，例4】‎ ‎4、已知，且，求的值．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：∵ ，且，．‎ ‎∴ ，即，．‎ 解得 ＝3，＝5，得＝64．‎ ‎∴ ．‎ ‎【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知，求的值．‎ ‎【答案】‎ 解：知条件得，‎ 由②得，，∵ ，∴ ，则．‎ 把代入①得，＝1．‎ ‎∴ ．‎ ‎5、如图所示：在平行四边形ABCO中，点A、C的坐标分别是，．‎ ‎（1）写出点B的坐标；‎ ‎（2）将平行四边形ABCO向左平移个单位长度，求所得平行四边形四个顶点的坐标；‎ ‎（3）求平行四边形ABCO的面积．‎ ‎【思路点拨】（1）由C点坐标可知，由于AB＝OC，所以B点坐标是纵坐标与A点坐标相同，横坐标即将A点坐标右移．（2）平行四边形向左平移个单位后，四个顶点的纵坐标不变，横坐标分别减去．（3）平行四边形的面积用OC为底边，A点或B点的纵坐标为高来求的．‎ ‎【答案与解析】‎ 解：（1）．‎ ‎（2）将四个顶点、、、的横坐标分别减去得：，、、．‎ ‎（3）． ‎ ‎【总结升华】有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用，在实数范围内，加、减、乘、除、乘方五种运算同有理数一样.‎