中考规律探索型问题及答案

中考规律探索型问题及答案

规律探索型问题 1. 如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，……，照此 规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）‎ ‎ A.28 B.56 C.60 D. 124‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）‎ 第1个图形 第 2 个图形 第3个图形 第 4 个图形 ‎【答案】或 ‎3. 观察下列算式：‎ ‎① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ‎ ‎② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1‎ ‎③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ‎ ‎④ ‎ ‎……‎ ‎（1）请你按以上规律写出第4个算式；‎ ‎（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；‎ ‎（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．‎ ‎【答案】解：⑴； ‎ ‎⑵答案不唯一.如； ‎ ‎ ⑶ .‎ ‎4. 观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。‎ ‎【答案】15‎ ‎5. 先找规律，再填数：‎ ‎【答案】‎ ‎6. 观察下面的变形规律：‎ ‎ ＝1－； ＝－；＝－；……‎ 解答下面的问题：‎ ‎（1）若n为正整数，请你猜想＝ ；‎ ‎（2）证明你猜想的结论；‎ ‎（3）求和：＋＋＋…＋ .‎ ‎【答案】‎ ‎（1）‎ ‎（2）证明：－＝－＝＝.‎ ‎（3）原式＝1－＋－＋－＋…＋－ ＝. ‎ ‎7. 设,,,…, ‎ 设，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．‎ ‎【答案】．‎ ‎==‎ ‎=‎ ‎∴S=+++…+.‎ 接下去利用拆项法即可求和．‎ ‎8. 如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.‎ ‎（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；‎ ‎（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；‎ ‎（3）求第n行各数之和．‎ ‎【解】（1）64，8，15；‎ ‎ （2），，；‎ ‎ （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.‎ ‎9.求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（ 　　）‎ A．52012﹣1　　B．52013﹣1　　C．　　D．‎ ‎【解析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，因此，5S﹣S=52013﹣1，S=【答案】选C．‎ 10. 观察下列一组数：，，，，，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是 ． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎11. 观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________‎ ‎【答案】-2012‎ ‎12.在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形。‎ ‎【答案】100．‎ ‎13、如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（）个图有 个相同的小正方形。‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎　‎ （1） ‎ （2） （3） （4）‎ 解析：因为 ‎，故第（）个图有个小正方形 .【答案】或n（n+1）‎ ‎14．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．‎ 故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1））‎ ‎【答案】4n﹣2（或2+4（n﹣1））‎ ‎15．在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线 y x y=kx+b O B ‎3‎ B ‎2‎ B ‎1‎ A ‎3‎ A ‎2‎ A ‎1‎ 和轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点的纵坐标是_ 　_____．‎ ‎【答案】‎ ‎16．观察下列等式：‎ 第1个等式：a1==×（1﹣）；‎ 第2个等式：a2==×（﹣）；‎ 第3个等式：a3==×（﹣）；‎ 第4个等式：a4==×（﹣）；‎ ‎…‎ 请解答下列问题：‎ ‎（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　 　=　 　；‎ ‎（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　 　=　 　（n为正整数）；‎ ‎（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．‎ 解答：‎ 解：根据观察知答案分别为：‎ ‎（1）； ；（2）； ‎ ‎；（3）．‎ ‎17.右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：‎ ‎ = .‎ 解答：当时：‎ 当时：‎ 当时：‎ 猜想：=‎ ‎18．一组数据为：观察其规律，推断第n个数据应为 .‎ ‎【答案】‎ ‎19. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，···成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）‎ A.2010 B.2012 C.2014 D.2016‎ ‎【答案】：D ‎20.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )‎ 解析：都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.【答案】D ‎21．根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，-3x2，5x3， -7x4 ，9x5，… ,表示第n代数式 ．‎ ‎22．如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中平行四边形的个数是（ ）‎ ‎10题图 ‎ ‎ A.54 　　 　　 B.110 　　　　　 C.19 D.109‎ ‎【解析】图形①中1=1×1+0，图形②中5=2×2+1，图形③中11=3×3+2，……，依次类推，∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109‎ ‎【解答】D.‎ ‎23．如图12，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝(x＞0)的图象于点B1，B2，B3，…Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2……，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝　　　　　.‎ y x O A1‎ A2‎ A3‎ B1‎ B2‎ B3‎ P1‎ P2‎ 图12‎ ‎【解析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An-1An…＝1，可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝PnBn+1＝1，以及B1（1，1），B2（2，），B3（3，），…，Bn（n，），Bn+1（n＋1，），所以S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝B1P1·P1B2＋B2P2·P2B3＋…BnPn·PnBn+1＝( B1P1＋B2P2＋…‎ BnPn)＝( 1－＋－＋…＋－)＝( 1－)＝．‎ ‎【答案】‎ ‎24. 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：‎ 第4个 第3个 第2个 第1个 ① 第5个图形有多少颗黑色棋子？‎ ② 第几个图形有2013颗棋子？说明理由。‎ ‎【解析】第一个图需棋子6，第二个图需棋子9，第三个图需棋子12，第四个图需棋子15，第五个图需棋子18，…第n个图需棋子3（n+1）枚．‎ ‎【答案】(1)18；(2)第670个图形 ‎25、如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 （ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．5 ‎ 答案：D ‎26、将1、、、按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（4，2）与（21，2）表示的两数之积是（ )．‎ ‎ A．1 B．2 C．2 D．6‎ 答案：D ‎……‎ ‎27、‎ 下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个正方形，第②个图形中一共有5个正方形，第③个图形中一共有14个正方形，……则第⑦个图形中正方形的个数为 A、49 B、 100 C、140 D、91 ‎ 答案：C ‎28、如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（　　）‎ ‎ ‎ A、（0，64） B、（0，128）‎ ‎ C、（0，256） D、（0，512）‎ 答案： C ‎29、如图，直线，点坐标为（1，0），过点作轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交轴于点，…，按此做法进行 第29题图 下去，点的横坐标为（ ）‎ A． B．C． D． ‎ 答案：A ‎30.如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，S2012=‎ C A D E B E1‎ D1‎ F F1‎ 第7题图 A． B． C． D. ‎ 答案：D ‎31.观察下列图形：若图形（1）中阴影部分的面积为1，图形（2）中阴影部分的面积为，图形（3）中阴影部分的面积为，图形（4）中阴影部分的面积为，…，则第个图形中阴影部分的面积用字母表示为（ 　　）‎ ‎（第31题）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎32．下列图形都是由同样大小的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有根小棒，第②个图形中一共有根小棒，第③个图形中一共有根小棒，……，则第⑥个图形中小棒的根数为 ‎ ‎ ‎……‎ ‎ ① ② ③‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案B 33. 已知a≠0，，，，…，，‎ 则　 (用含a的代数式表示)．‎ 答案： ‎ ‎34、如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形PnMnNnNn+1的面积记为Sn，则Sn= ▲ ‎ 答案： ‎ ‎35、设,,,…, ，若，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．‎ 答案： ‎ ‎36、如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2……，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5=_________. 第n次操作得到△AnBnCn，则△AnBnCn的面积Sn= .‎ 答案：195 19n ‎37、在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A1A2为第1条线段．‎ 设AA1=A1A2=A2A3=1，则∠A = ；若记线段A2n-1A2n的长度为an（n为正整数），如A1A2=a1,A3A4=a2，则此时a2= ，an= （用含n的式子表示）．‎ 答案：22．5；，‎ ‎38. 下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，若按此规律继续下去，则第5个五角形数是 ． ‎ ‎（第38题）‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎22‎ 答案：35‎ ‎39.如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、En，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3···△BCEn的面积为S1、S2、S3、…Sn. 则Sn＝ S△ABC（用含n的代数式表示）．‎ ‎（第39题）‎ 答案：‎ ‎40. 一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第个数是 .（用含字母的代数式表示，为正整数）． ‎ 答案：8，‎ ‎41、人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中，从左下角开始，相邻的黑折线围成的面积分别是1，3，5，7，9，11，13，15，17…，它们有下面的规律：‎ ‎1+3=22；‎ ‎1+3+5=32；‎ ‎1+3+5+7=42；‎ ‎1+3+5+7+9=52；…‎ ‎ 第1题 ‎（1）请你按照上述规律，计算1+3+5+7+9+11+13的值，并在图1中画出能表示该算式的图形；‎ ‎（2）请你按照上述规律，计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；‎ ‎（3）请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形 ‎1+8=32；‎ ‎1+8+16=52；‎ ‎1+8+16+24=72；‎ ‎1+8+16+24+32=92．‎ 解答：解：（1）1+3+5+7+9+11+13=72．‎ 算式表示的意义如图（1）．‎ ‎（2）第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．‎ ‎（3）算式表示的意义如图（2），（3）等．‎