中考数学第一轮复习资料106页
中考数学第一轮复习资料
目 录
第一章 实数
课时1．实数的有关概念…………………………………………( 1 )
课时2．实数的运算与大小比较……………………………( 4 )
第二章 代数式
课时3．整式及运算 ……………………………………………( 7 )
课时4．因式分解…………………………………………………( 10 )
课时5．分式 ……………………………………………………( 13 )
课时6．二次根式…………………………………………………( 16 )
第三章 方程（组）与不等式
课时7．一元一次方程及其应用 ……………………………( 19 )
课时8．二元一次方程及其应用 ……………………………( 22 )
课时9．一元二次方程及其应用………………………………( 25 )
课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 …( 28 )
课时11．分式方程及其应用……………………………………( 31 )
课时12．一元一次不等式（组）………………………………( 34 )
课时13．一元一次不等式（组）及其应用……………………( 37 )
第四章 函数
课时14．平面直角坐标系与函数的概念……………………( 40 )
课时15．一次函数…………………………………………………( 43 )
课时16．一次函数的应用 ………………………………………( 46 )
课时17．反比例函数 ……………………………………………( 49 )
课时18．二次函数及其图像 …………………………………( 52 )
课时19．二次函数的应用 ……………………………………( 55 )
课时20．函数的综合应用（1） ………………………………( 58 )
课时21．函数的综合应用（2） ………………………………( 61 )
第五章 统计与概率
课时22．数据的收集与整理（统计1） ……………………( 64 )
课时23．数据的分析（统计2）………………………………( 67 )
课时24．概率的简要计算（概率1）…………………………( 70 )
课时25．频率与概率（概率2）…………………………………( 73 )
第六章 三角形
课时26．几何初步及平行线、相交线 ………………………( 76 )
课时27．三角形的有关概念 …………………………………( 79 )
课时28．等腰三角形与直角三角形 …………………………( 82 )
课时29．全等三角形 ……………………………………………( 85 )
课时30．相似三角形 ……………………………………………( 88 )
课时31．锐角三角函数 …………………………………………( 91 )
课时32．解直角三角形及其应用 ……………………………( 94 )
第七章 四边形
课时33．多边形与平面图形的镶嵌 …………………………( 97 )
课时34．平行四边形 ……………………………………………( 100 )
课时35．矩形、菱形、正方形…………………………………(103)
课时36．梯形 ……………………………………………………(106)
第八章 圆
课时37．圆的有关概念与性质 ………………………………(109)
课时38．与圆有关的位置关系…………………………………(112)
课时39．与圆有关的计算………………………………………(115)
第九章 图形与变换
课时40．视图与投影 ……………………………………………(118)
课时41．轴对称与中心对称……………………………………(121)
课时42．平移与旋转 ……………………………………………(124)
第一章 实数
课时1．实数的有关概念
【课前热身】
1.（08重庆）2的倒数是 ．
2.（08白银）若向南走记作，则向北走记作 ．
3.（08乌鲁木齐）的相反数是 ．
4.（08南京）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
5．（08宜昌）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2），这个数用科学记数法表示为（ ）
A.7×10－6 B. 0.7×10－6 C. 7×10－7 D. 70×10－8
【考点链接】
1．有理数的意义
⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应.
⑵ 实数的相反数为________. 若，互为相反数，则= .
⑶ 非零实数的倒数为______. 若，互为倒数，则= .
⑷ 绝对值．
⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤＜10的数，n是整数.
⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．
2.数的开方
⑴ 任何正数都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根叫
_______________. 没有平方根，0的算术平方根为______.
⑵ 任何一个实数都有立方根，记为 .
⑶ .
3. 实数的分类 和 统称实数.
4．易错知识辨析
（1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．
（2）绝对值 的解为；而，但少部分同学写成 ．
（3）在已知中，以非负数a2、|a|、(a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
【典例精析】
例1 在“，3.14 ，，，cos 600 sin 450 ”这6个数中，无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例2 ⑴（06成都）的倒数是（ ）
A．2 B. C. D.－2
⑵（08芜湖）若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．4
⑶（07扬州）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
P
例3 下列说法正确的是（ ）
A．近似数3．9×103精确到十分位
B．按科学计数法表示的数8．04×105其原数是80400
C．把数50430保留2个有效数字得5．0×104.
D．用四舍五入得到的近似数8．1780精确到0．001
【中考演练】
1.（08常州）-3的相反数是______,-的绝对值是_____,2-1=______, ．
2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件 .（填“合格” 或“不合格”）
3. 下列各数中：－3，，0，，，0.31，，2，2.161 161 161…，
（－2 005）0是无理数的是___________________________．
4．(08湘潭)全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）
5．（06北京）若，则的值为 ．
6. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.
7.（06泸州）的倒数是 ( )
A． B． C． D．5
8．（06荆门）点A在数轴上表示+2，从A点沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的实数是（ ）
A．3 B．-1 C．5 D．-1或3
9．(08扬州)如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是（ ）
A． B． C． D．2
10．（08梅州）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和 B．-2和－ C．-2和|-2| D．和
11．（08无锡）16的算术平方根是（ ）
A.4 B.－4 C.±4 D.16
12.（08郴州）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则a与b 的大小关系是（ ）
A．a > b B． a = b C． a < b D．不能判断
13．若x的相反数是3，│y│＝5，则x＋y的值为（ ）
A．－8 B．2 C．8或－2 D．－8或2
14．(08湘潭) 如图，数轴上A、B两点所表示的两数的（ ）
A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数
A
B
O
-3
课时2. 实数的运算与大小比较
【课前热身】
1.（08大连）某天的最高气温为6°C，最低气温为－2°C，同这天的最高气温比最低气温高__________°C．
2.（07晋江）计算：_______.
3.（07贵阳）比较大小： .（填“，或”符号）
4. 计算的结果是（ ）
A. －9 B. 9 C.－6 D.6
5.（08巴中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，
4！＝4×3×2×1，…，则的值为（ ）
A. B. 99! C. 9900 D. 2！
【考点链接】
1. 数的乘方 ，其中叫做 ，n叫做 .
2. （其中 0 且是 ） （其中 0）
3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算
里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行.
4. 实数大小的比较
⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大.
⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的
绝对值小的．
5．易错知识辨析
在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.
如5÷×5.
【典例精析】
例1 计算：
⑴（08龙岩）20080＋|-1|-cos30°＋ ()3；
⑵ .
例2 计算：.
﹡例3 已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，
求的值．
输入x
输出y
平方
乘以2
减去4
若结果大于0
否则
【中考演练】
1. (07盐城)根据如图所示的程序计算，
若输入x的值为1，则输出y的值为 .
2. 比较大小：.
3.（08江西）计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ ）
A. －4 B. 2 C. 4 D. 12
4. (08宁夏)下列各式运算正确的是（ ）
A．2-1＝- B．23＝6 C．22·23＝26 D．(23)2＝26
5. －2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）
A. 10 B．20 C．－30 D．18
6. 计算：
⑴（08南宁）；
⑵（08年郴州）；
⑶ (08东莞) .
﹡7. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子 （是正整数）来表示．有规律排列的一列数：，…
（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
（2）它的第100个数是多少？
（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
﹡8．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的自然数四个，将这个四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于2 4．例如：对1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）×4＝24．（注意上述运算与4 ×(2＋3＋1）应视作相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题：四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，
（1）_______________________，（2）_______________________，
（3）_______________________．
另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其结果等于24．
第二章 代数式
课时3．整式及其运算
【课前热身】
1. x2y的系数是 ，次数是 .
2.（08遵义）计算： ．
3.（08双柏）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. (08湖州)计算所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
5. a，b两数的平方和用代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
6．某工厂一月份产值为万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为（ ）
A.·5％万元 B. 5％万元 C.(1+5％) 万元 D.(1+5％)
【考点链接】
1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 连接而成的式子叫做代数式.
2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值.
3. 整式
（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.
(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .
(3) 整式： 与 统称整式.
4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___.
5. 幂的运算性质: am·an= ； (am)n= ； am÷an＝_____； (ab)n= .
6. 乘法公式：
(1) ； （2）（a＋b）(a－b)＝ ；
(3) (a＋b)2＝ ；(4)(a－b)2＝ .
7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．
【典例精析】
例1 （08乌鲁木齐）若且，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
例2 （06 广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：
n
平方
+n
n
-n
答案
⑴ 填写表格：
输入n
3
—2
—3
…
输出答案
1
1
…
⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
例3 先化简，再求值：
(1) （08江西）x (x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中x＝－；
(2) ，其中．
【中考演练】
1. 计算(-3a3)2÷a2的结果是( )
A. -9a4 B. 6a4 C. 9a2 D. 9a4
2.（06泉州）下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D．
﹡3.（08枣庄）已知代数式的值为9，则的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
4. 若 是同类项，则m + n ＝____________.
5．观察下面的单项式：x，-2x，4x3，-8x4，…….根据你发现的规律，写出第7个式子是 .
6. 先化简，再求值：
⑴ ，其中，；
⑵ ，其中．
﹡7．（08巴中）大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
Ⅰ
Ⅱ
根据前面各式规律，则 ．
课时4．因式分解
【课前热身】
1.（06 温州）若x－y＝3，则2x－2y＝ ．
2.（08茂名）分解因式：3－27= ．
3．若．
4. 简便计算： ＝ .
5. (08东莞) 下列式子中是完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，
⑶ ，⑷ .
3. 提公因式法：__________ _________.
4. 公式法: ⑴ ⑵ ，
⑶ .
5. 十字相乘法： ．
6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
7．易错知识辨析
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.
【典例精析】
例1 分解因式：
⑴（08聊城）__________________.
⑵（08宜宾）3y2－27＝___________________.
⑶（08福州）_________________.
⑷ (08宁波) ．
例2 已知，求代数式的值.
【中考演练】
1．简便计算：.
2．分解因式：____________________.
3．分解因式：____________________.
4．分解因式：____________________.
5.（08凉山）分解因式 ．
6．（08泰安）将分解因式的结果是 ．
7.（08中山）分解因式=_____ _____；
8．(08安徽) 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2
9．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
﹡10. 如图所示，边长为的矩形，它的周长为14，面积为10，求的值．
11．计算：
（1）；
（2）．
﹡12．已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的
形状.阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即 ③
∴△ABC为Rt△。 ④
试问：以上解题过程是否正确： ；
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；
错误原因是 ；
本题的结论应为 .
课时5．分式
【课前热身】
1．当x＝______时，分式有意义；当x＝______时，分式的值为0．
2．填写出未知的分子或分母：
（1）.
3．计算：+＝________．
4．代数式 中，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（08无锡）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有 ，那么称 为分式．若 ，则 有意义；若 ，则 无意义；若 ，则 ＝0.
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 .
3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
5．分式的运算
⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .
② 异分母的分式相加减： .
⑵ 乘法法则： .乘方法则： .
⑶ 除法法则： .
【典例精析】
例1 （1） 当x 时，分式无意义；
（2）当x 时，分式的值为零.
例2 ⑴ 已知 ，则 ＝ .
⑵（08芜湖）已知，则代数式的值为 .
例3 先化简，再求值：
(1)（08资阳）（－）÷，其中x＝1．
⑵（08乌鲁木齐），其中.
【中考演练】
1．化简分式：=________．
2．计算：＋＝ .
3．分式的最简公分母是_______．
4．把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍 C. 改变原来的 D. 不改变
5．如果=3，则=（ ） A． B．xy C．4 D．
6．（08苏州）若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．或
7. 已知两个分式：A＝，B＝，其中x≠±2．下面有三个结论：
①A＝B； ②A、B互为倒数； ③A、B互为相反数．
请问哪个正确?为什么?
8. 先化简，再取一个你认为合理的值，代入求原式的值.
课时6．二次根式
【课前热身】
1.（07福州）当___________时，二次根式在实数范围内有意义．
2.（07上海）计算：__________．
3. 若无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数_____________.
4.（06长春）计算：= _____________.
5．下面与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
1．二次根式的有关概念
⑴ 式子 叫做二次根式．注意被开方数只能是 ．并且根式.
⑵ 简二次根式
被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质 ⑴ 0；
⑵ （≥0） ⑶ ；
⑶ （）；
⑷ （）.
3．二次根式的运算
(1) 二次根式的加减：
①先把各个二次根式化成 ；
②再把 分别合并，合并时，仅合并 ，
不变.
【典例精析】
例1 ⑴ 二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A． B．a≤1 C．a≥1 D．
⑵（08芜湖）估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
例2 （08荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
例3 计算：⑴（ 07台州） ；
⑵（07嘉兴） ＋－2×．
【中考演练】
1．（06南昌）计算： ．
2.（06南通）式子有意义的x取值范围是________．
3.（06海淀）下列根式中能与合并的二次根式为（ ）
A． B． C． D．
﹡4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
A．代人法 B．换元法
C．数形结合 D．分类讨论
5．（08大连）若，则xy的值为 ( )
A． B． C． D．
6．在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．
7．（1）（06无锡）计算：º；
（2）（08宜宾）计算：.
﹡8．（08广州）如图，实数、在数轴上的位置，化简 .
第三章 方程（组）和不等式
课时7．一元一次方程及其应用
【课前热身】
1．在等式的两边同时 ，得到.
2．方程的根是 .
3．的5倍比的2倍大12可列方程为 .
4．写一个以为解的方程 .
5．如果是方程的根，则的值是 .
6．如果方程是一元一次方程，则 .
【考点链接】
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式.
⑵ 性质：① 如果，那么 ；
② 如果，那么 ；如果，那么 .
2. 方程、一元一次方程的概念
⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 .
3. 解一元一次方程的步骤：
①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1.
4．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像，等不是一元一次方程.
（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.
【典例精析】
例1 解方程
（1）； （2）.
例2 当取什么整数时，关于的方程的解是正整数？
例3 （08福州）今年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：
班级
（1）班
（2）班
（3）班
金额（元）
2000
吴
老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；
信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；
信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于48元，小于51元．
请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；
（2）求出（1）班的学生人数．
【中考演练】
1．若5x－5的值与2x－9的值互为相反数,则x＝_____．
2． 关于的方程的解是3，则的值为________________.
3. 某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为元，则得到方程( )
A. B. C. D.
4．解方程时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）
A. B.
C. D.
5．解下列方程：
； （2）.
6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台．改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10 % ，乙种机器产量要比第一季度增产20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
7. 苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；
④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；
(1) 若租用水面 亩，则年租金共需__________元；
(2) 水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润(利润=收益－成本)；
(3) 李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？
课时8．二元一次方程组及其应用
【课前热身】
1. 在方程＝5中，用含的代数式表示为＝ ；当＝3时，＝ .
2．如果＝3，＝2是方程的解，则＝ .
3. 请写出一个适合方程的一组解： .
4. 如果是同类项，则、的值是（ ）
A.＝－3，＝2 B.＝2，＝－3
C.＝－2，＝3 D.＝3，＝－2
【考点链接】
1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.
2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.
3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.
4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解.
5. 解二元一次方程的方法步骤：
消元
转化
二元一次方程组 方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.
6．易错知识辨析：
（1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；
（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；
（3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.
【典例精析】
例1 解下列方程组：
（1） （2）
例2 （08泰安）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；
信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：
生产甲产品件数（件）
生产乙产品件数（件）
所用总时间（分）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
例3 若方程组与方程组的解相同，求、的值.
【中考演练】
1． 若是方程组的解，则．
2. 在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=___；若x、y都是正整数，这个方程的解为_____．
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
4. 关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m=（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．-2
5．某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款(元)
1
2
3
4
人 数
6
7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有名同学，捐款3元的有名同学，根据题意，可得方程组
A．B．C． D．
6．解方程组：
① ②
7. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度.求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
8. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元.
① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
课时9．一元二次方程及其应用
【课前热身】
1．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 .
3．一元二次方程的根是 .
4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .
5. 关于的一元二次方程的一个根为1，则实数=（ ）
A． B．或 C． D．
【考点链接】
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
【典例精析】
例1 选用合适的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
例2 已知一元二次方程有一个根为零，求的值.
例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
【中考演练】
1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________.
2．已知2是关于x的方程x2－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________.
3．关于的方程有一个根是，则关于的方程的解为_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0
⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为
（ ）
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2
C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
7．解方程
(1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；
(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）xx+1=0．
8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．
﹡课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】
1．（07巴中）一元二次方程的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则 ，.x12＋x22＝ .
4．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝ 时，两根互为倒数；
当m＝ 时，两根互为相反数.
5．若x1 =是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝ ，该方程的另一个根x2 = .
【考点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为 .
（1）>0一元二次方程有两个 实数根，即 .
（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程 实数根.
2． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， .
3．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.
（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式；
② 二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【典例精析】
例1 当为何值时，方程，
（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.
例2 （08武汉）下列命题：
① 若，则；
② 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③ 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（ ）
Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．
例3 （06泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .
【中考演练】
1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________， ＝__________，(x1－x2)2＝_______.
2．当__________时，关于的方程有实数根．（填一个符合要求的数即可）
3. 已知关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为 ．
4. 已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是 ．
5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
Ａ．3或 Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．或1
6．一元二次方程的两个根分别是，则的值是（ ）
Ａ．3 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．（07泸州）若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m
－1 C．m>l D．m<－1
8．设关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋k＝0的两实数根为x1、x2，，若
求k的值.
9．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
课时11．分式方程及其应用
【课前热身】
1．（08泰州）方程的解是x= ．
2. 已知与的和等于，则 ， .
3．解方程会出现的增根是（ ）
A． B. C. 或 D.
4．（06泸州）如果分式与的值相等,则的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
5．（06临沂）如果，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（08宜宾）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
【考点链接】
1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②
解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
5．易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
【典例精析】
例1 （08沈阳）解分式方程：．
例2 (08东莞)在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.
例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元．
（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套．
（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择：
① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理．
你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明．
【中考演练】
1．（07江西）方程的解是 ．
2．(08福建)若关于方程无解，则的值是 ．
3. (08黄冈)分式方程的解是 ．
4. 以下是方程去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）
A． B. C. D.
5．（08泰安）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6. (06重庆)分式方程 的解是（ ）
A., B. ,
C. , D.
7．(08内江) 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？
8.（07玉林）今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
课时12．一元一次不等式(组)
【课前热身】
1．的3倍与2的差不小于5，用不等式表示为 .
2．不等式的解集是 .
3．代数式值为正数，的范围是 .
4．(06肇庆) 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5. 不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
6．不等式组的整数解的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点链接】
1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.
2．不等式的基本性质：
（1）若＜，则+ ；
（2）若＞，＞0则 （或 ）；
（3）若＞，＜0则 （或 ）.
3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.
4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.
一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.
5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；
的解集是，即“大小小大中间找”；
的解集是空集，即“大大小小取不了”.
6．易错知识辨析：
（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.
（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.
如不等式（或）（）的形式的解集：
当时，（或）
当时，（或）
当时，（或）
【典例精析】
例1 (07德宁）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
例2 (06荆门) 解不等式组, 并将它的解集在数轴上表示出来．
x
y
0
2
例3 （08乌鲁木齐）一次函数（是常
数，）的图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【中考演练】
1．不等式的解集是 ．
2．(08荆州）关于的方程两实根之和为m，，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是_________________．
3．(06岳阳) 不等式3 ( x－1 ) + 4≥2x的解集在数轴上表示为（ ）
4． (06益阳) 不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，
则这个不等式组为（ ）
A． B. C． D.
5．（08义乌）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
1
0
2
A．
1
0
2
B．
1
0
2
C．
1
0
2
D．
6．(08宁波)解不等式组
7．(08安徽)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上．
课时13．一元一次不等式(组)及其应用
【课前热身】
1．（07乐山）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了斤，价格为每斤元；下午，他又买了斤，价格为每斤元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）
A. B. C. D.
2．某电脑用户计划使用不超过530元的资金购买单价为70元的单片软件和80元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，不相同的选购方式共存( )
A.4种 B.5种 C.6种 D.7种
3．已知一个矩形的相邻两边长分别是和，若它的周长小于，面积大于
，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
4． 若方程组的解是负数，那么a的取值范围是 ．
【考点链接】
1．求不等式（组）的特殊解：
不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.
２．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
3．易错知识辨析：
判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.
【典例精析】
例1 （08咸宁）直线与直线在
同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的
不等式的解集为 ．
例2（07绵阳）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
例3 （07南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：
类 别
电视机
洗衣机
进价（元/台）
1800
1500
售价（元/台）
2000
1600
计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）
（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）
【中考演练】
1．（08泰州）
用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的
深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够
时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲
击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入
木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 ．
2．海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元．2005年5月20日，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表：
品 名
规格（米）
销售价（元/条）
羽绒被
2×2.3
415
羊毛被
2×2.3
150
现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元．问最多可购买羽绒被____条．
3．（08苏州）6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市 元．
4．（08福州）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
5． 若a＞0，b＜－2，则点(a，b＋2)应在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6. （07成都) 某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
(1)如果他们一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？
(2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢笔的数量的，但又不少于红梅牌钢笔的数量的.如果他们买了锦江牌钢笔支，买这两种笔共花了元，
① 请写出 (元)关于 (支)的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
② 请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？
8. （06贵阳）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？
第四章 函数
课时14. 平面直角坐标系与函数的概念
【课前热身】
1.（08龙岩）函数的自变量x的取值范围是 .
2.（08黄冈）若点P(2，k-1)在第一象限，则k 的取值范围是 .
3.（08常州）点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为___________；关于原点对称的点的坐标为________.
4. 如图，葡萄熟了，从葡萄架上落下来，下面图象可以大致反映葡萄下落过程中的速度随时间变化情况是（ ）
5.（06南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点
A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，3），则C点
的坐标是（ ）
A．（3，7） B.（5，3）
C.（7，3） D.（8，2）
【考点链接】
1. 坐标平面内的点与______________一一对应．
2. 根据点所在位置填表（图）
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
3. 轴上的点______坐标为0, 轴上的点______坐标为0.
4. P(x,y)关于轴对称的点坐标为__________，关于轴对称的点坐标为________，
关于原点对称的点坐标为___________.
5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．
6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．
7. 有意义，则自变量x的取值范围是 . 有意义，则自变量的取值范围是 .
【典例精析】
例1 ⑴ 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-2，1），B（-3，-1），
C（1，-1）．若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_______．
（2）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B的坐标是_____．
例2 ⑴ 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体
温基本正常,但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫
了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
⑵ 汽车由长沙驶往相距400km 的广州. 如果汽车的平均速度是100km/h,那么汽车距广州的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为( )
例3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便， 他带了一些零钱备用，
按市场价售出一些后，又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题:
(1) 农民自带的零钱是多少?
(2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少?
(3) 降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元，问他一共带了多少千克土豆.
【中考演练】
1．函数中,自变量的取值范围是 .
2．（07天津）已知点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P 的坐标为 .
3.（08乌鲁木齐）．将点向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ．
4.（08甘肃）点P（－2，3）关于x轴的对称点的坐标是________．
5．(08扬州)在平面直角坐标系中，点P（－1，2）的位置在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.（06十堰）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（ ）
7．（07北京）点A（—3，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A.（－3，－2） B.（3，2） C.（3，－2） D.（2，－3）
8．（07常州）若点P（1－m，m）在第二象限，则下列关系式正确的是（ ）
A. 00 D. m>l
9. (08武汉)小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长为x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
10. 如图,点A坐标为(-1,1),将此小船ABCD向左平移2个单位，再向上平移3个单位得A′B′C′D′．
（1）画出平面直角坐标系；
（2）画出平移后的小船A′B′C′D′，写出A′，B′，C′，D′各点的坐标.
课时15. 一次函数
【课前热身】
1.（07福建）若正比例函数（≠）经过点（，），则该正比例函数的解析式为___________.
2.（07湖北）如图，一次函数的图象经过A、B两点，
则关于x的不等式的解集是 ．
3. 一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的解析式可以是 .（任写出一个符合题意即可）
Ａ．
B．
C．
Ｄ．
4．（08福建）一次函数的图象大致是（ ）
5.（08郴州）如果点M在直线上，则M点的坐标可以是（ ）
A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1）
【考点链接】
1．正比例函数的一般形式是__________．一次函数的一般形式是__________________.
2. 一次函数的图象是经过 和 两点的 .
3. 求一次函数的解析式的方法是 ，其基本步骤是：⑴ ；
⑵ ； ⑶ ；⑷ .
4.一次函数的图象与性质
k、b的符号
k＞0b＞0
k＞0 b＜0
k＜0 b＞0
k＜0b＜0
图像的大致位置
经过象限
第 象限
第 象限
第 象限
第 象限
性质
y随x的增大
而
y随x的增大而
y随x的增大而
y随x的增大而
【典例精析】
例1 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.
⑴ 求这个一次函数的解析式.
⑵ 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.
⑶ 求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积.
例2 （08广东）某农户种植一种经济作物，总用水量（米）与种植时间（天）
之间的函数关系式如图所示．
⑴ 第天的总用水量为多少米？
⑵ 当时，求与之间的函数关系式．
O
(天)
y（米）
4000
1000
30
20
⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米？
【中考演练】
1.（08黄冈）直线y＝2x＋b经过点(1，3)，则b＝ _________．
2. 已知直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______；与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________．
3. 如果直线经过第一、二、三象限,那么____0．
( 填“>”、“<”、“=”)
4．（08上海）如图，将直线向上平移1个单位，得到一个
一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．
5. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ）
A．（2，3） B．（3，1） C．（0，－7） D．（－1，9）
6. 直线与轴的交点是(1，0)，则的值是( )
A.3 B.2 C.－2 D.－3
x
y
O
3
7.（07浙江）一次函数与的图象
如图，则下列结论：①；②；③当
时，中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8. 一次函数中，的值随的增小而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9. 某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示.
⑴ 填空，月用电量为100度时，应交电费 元；
⑵ 当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；
⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？
10. 如图，在边长为2的正方形ABCD的一边BC上，一点P从B点运动到C点，设BP＝x，四边形APCD的面积为y.
⑴ 写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
⑵ 说明是否存在点P，使四边形APCD的面积为1.5？
课时16．一次函数的应用
【课前热身】：
1．为了加强公民的节约用水的意识，某市制定了如下节约用水的收费标准:每户每月的用水不超过10吨时，水价为1．2元，超过10吨时，超过部分按每吨1．8元收费．该市某户居民5月份用水x吨(x>10)，应交水费y元，则y关于x的关系式是_______．
2．弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图
所示，则不挂物体时弹簧的长度是 .
3．蜡烛在空气中燃烧的速度与时间成正比，如果一支原长
15cm的蜡烛4分钟后，其长度变为13cm，请写出剩余长
度y（cm）与燃烧时间x（分钟）的关系式为_________．
（不写x的范围）
4. 如上右图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）
与托运行李的质量x(千克)的关系，由图中可知行李的质量
只要不超过_________千克，就可以免费托运．
【考点链接】
一次函数的性质
k＞0直线上升y随x的增大而 ；
k＜0直线下降y随x的增大而 .
【典例精析】
例1 某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费.
⑴ 写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式：
① 当用水量小于或等于3000吨时 ；
② 当用水量大于3000吨时 .
⑵ 某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元.
⑶ 若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？
例2 杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
① 买进每份0．2元，卖出每份0．3元；
② 一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③ 一个月内，每天从报社卖进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.1元退回给报纸：
（1）填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数
100
150
当月利润（单位:元）
（2）设每天从报社买进该种晚报x份（120≤x≤200）时，月利润为y元，试求出y于x的函数关系式，并求月利润的最大值．
【中考演练】
1．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t之间的函数关系式是_________．
2. 在一定范围内，某种产品购买量吨与单价元之间满足一次函数关系式，若购买1000
吨，每吨800元，购买2000吨时，每吨700元，一客户购买4000吨单价为
元．
3. 汽车工作时油箱中的燃油量y(升)与汽车工作时间t(小时)之间的函数图象如下中图所示，汽车开始工作时油箱中有燃油 升，经过 小时耗尽燃油，y与x之间的函数关系式为 .
4. 如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y(元)与乘坐路程x(千米)之间的函数关系式图象，当x≥3千米时，该函数的解析式为 ，乘坐2千米时，车费为 元，乘坐8千米时，车费为 元.
(第3题) (第4题)
5. 一根弹簧的原长为12 cm，它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重1kg就伸长cm写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（ ）
A. y = x + 12 （0＜x≤15） B. y = x + 12 （0≤x＜15）
C. y = x + 12 （0≤x≤15） D. y = x + 12 （0＜x＜15）
6．中国电信公司最近推出的无线市话小灵通的通话收费标准为：前3分钟（不足3分钟按3分钟）为0.2元;3分钟后每分钟收0.1元，则一次通话实际那为x分钟（x>3）与这次通话的费用y（元）之间的函数关系是（ ）
A．y＝0.2＋0.1x B．y＝0.1x C．y＝－0.1＋0.1x D．y＝0.5＋0.1x
7. 某学校组织团员举行申奥成功宣传活动，从学校骑车
出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ）
A.45.2分钟 B.48分钟
C.46分钟 D.33分钟
10
30
8. 将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3 cm. 设x张白纸粘合后的总长度为y cm ，写出y与x的函数关系式，并求出当x＝20时y的值.
3
9. 某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨, 该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C、D 两县运化肥到A、B两县的运费(元/吨)如下表所示：
出发地
运费
目的地
C
D
A
35
40
B
30
45
(1) 设C县运到A县的化肥为x吨,求总费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2) 求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
课时17．反比例函数
【课前热身】
1．（07哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式是 ．
2．（07梅州）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为 ．
3．（07孝感）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 （ ）
A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜0
4． （07青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图1所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不小于m3 B．小于m3
C．不小于m3 D．小于m3
5．（08巴中）如图2，若点在反比例函数
的图象上，轴于点，的面积为3，
则 ．
【考点链接】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝
或 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2. 反比例函数的图象和性质
k的符号
k＞0
y
x
o
k＜0
图像的大致位置
o
y
x
经过象限
第 象限
第 象限
性质
在每一象限内y随x的增大而
在每一象限内y随x的增大而
3．的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何
意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴
垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .
【典例精析】
例1 某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示：
（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；
（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？
（3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？
O
y
x
B
A
例2 （07四川）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于
两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积．
【中考演练】
1．（07福建）已知点在反比例函数的
图象上，则 ．
2．（07安徽）在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．
3. (08河南)已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则m的值为 ．
4.（08宜宾）若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝的图像上，则点C的坐标是 .
5. (08广东)如图,某个反比例函数的图象经过点P,
则它的解析式为( )
A.y＝ (x>0) B.y＝－ (x>0)
C.y＝(x<0) D.y＝－(x<0)
6．（08嘉兴）某反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过点（ ）
A． B． C． D．
7．（07江西）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
8.（08乌鲁木齐）反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限
9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调.
（1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位： 台／天）与生产的时间t（单位:天）之间有怎样的函数关系？
（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？
10.（07四川）如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数
的图象与反比例函数的图象的两个交点.
(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值
的x的取值范围.
课时18．二次函数及其图像
【课前热身】
1． （08南昌）将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
2. （07四川） 如图1所示的抛物线是二次函数
的图象，那么的值是 ．
3.（08贵阳）二次函数的最小值是（ ）
A.－2 B.2 C.－1 D.1
4.（08沈阳）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3）
y
x
O
5. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【考点链接】
1. 二次函数的图像和性质
＞0
y
x
O
＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值
当x＝ 时，y有最 值
当x＝ 时，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而
y 随x的增大而
在对称轴右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
2. 二次函数用配方法可化成的形式，其中
＝ ， ＝ .
3. 二次函数的图像和图像的关系.
4. 二次函数中的符号的确定.
【典例精析】
例1 (06遂宁)已知二次函数，
(1) 用配方法把该函数化为
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画
出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称
轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2 （08大连）如图，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)．
⑴ 求m的值和抛物线的解析式；
⑵ 求不等式的解集．
(直接写出答案)
【中考演练】
1. 抛物线的顶点坐标是 .
2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .
3.（07江西）已知二次函数的部分图象如右图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
4. 函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ）
5. (06资阳)已知函数y=x2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使
y≥1成立的x的取值范围是（ ）
A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3
6. (06浙江) 二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：
①＞0； ②＞0； ③ b2-4＞0，其中正确的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
（第5题） （第6题）
7. 已知二次函数的图象经过点（－1，8）.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
x
0
1
2
3
4
y
（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x的取值范围是什么？
课时19．二次函数的应用
【课前热身】
1. 二次函数y＝2x2－4x＋5的对称轴方程是x＝___；当x＝ 时，y有最小值是 .
2. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，
现在它的示意图放在平面直角坐标系中（如右图），则此
抛物线的解析式为 ．
3. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到
了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2
4. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y．则当y最大时，x所取的值是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【考点链接】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；
（3）交点式： .
2. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .
3．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
时，有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
时，有最 （“大”或“小”）值是 ．
【典例精析】
例1 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图2所示.
⑴ 观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
⑵ 当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
例2 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，
才能使喷出的水流不至于落在池外？
【中考演练】
1.（06浙江）二次函数y＝x2＋10x－5的最小值为 ．
2. 某飞机着陆生滑行的路程s米与时间t秒的关系式为：，试问飞机着陆后滑行 米才能停止.
3. 矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x之间函数关系为 ．
4. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足（g是不为0的常数）则s与t的函数图象大致是( )
5.（08恩施）将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大
（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
6. 下列函数关系中，是二次函数的是( )
A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
6.17
6.18
6.19
6.20
7. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8．如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.
⑴ 设矩形的一边为面积为(m2)，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
⑵ 当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？
9. 体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分，根据关系式回答：
⑴ 该同学的出手最大高度是多少？
⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？
⑶ 该同学的成绩是多少？
课时21．函数的综合应用（1）
【课前热身】
1．抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________．
2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________
A
B
C
D
（第3题）
菜园
墙
3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的
长度不限）的矩形菜园，设边长为米，则
菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关
系式为 ．（不要求写出自变量的取值范围）
4．当路程一定时，速度与时间之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
5．函数与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
【考点链接】
1．点A在函数的图像上.则有 .
2. 求函数与轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；
与y轴的交点纵坐标，即令 ，求y值
3. 求一次函数的图像与二次函数的图像的交点，解方程组 .
【典例精析】
例1（06烟台）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．
⑴ 写出y与x的关系式；
⑵ 当x=2，3.5时，y分别是多少？
⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.
例2 如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.
【中考演练】
1． 反比例函数的图像经过A（－，5）点、B（，－3），则＝ ，＝ ．
2．（06旅顺）如图是一次函数y1＝kx＋b和反比例函数
y2＝＝的图象，观察图象写出y1>y2时，x的取值范
围是_________．
3．根据右图所示的程序计算
变量y的值，若输入自变
量x的值为，则输出
的结果是_______.
4.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y＝（k<0）
的图像分别交于A、B两点，若A点的坐标为（a，b），则B点
的坐标为（ ）
A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b）
5. 二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5
6.下列图中阴影部分的面积与算式的结果相同的是（ ）
7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标
为( )
A.(2,-1) B.(2,2)
C.(2,1) D.(3,1)
三、解答题
8. 已知点的坐标为，点的坐标为．
⑴ 写出一个图象经过两点的函数表达式；
⑵ 指出该函数的两个性质．
9. 反比例函数y＝ 的图象在第一象限的分支上有一点A（3，4），P为x轴正半轴上的一个动点，
（1）求反比例函数解析式.
（2）当P在什么位置时，△OPA为直角三角形，求出此时P点的坐标.
10.（08枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．
B′
A
B
C
E
O
x
y
（1）求B′点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
课时21．函数的综合应用（2）
【课前热身】7
1
O
y(cm)
x(小时)
15
1.（08甘肃）如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与
时间之间关系的图像，由图像解答下列问题：
⑴ 此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm；
经过 小时燃烧完毕；
⑵ 这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系
的解析式是 ．
2. 如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图像大致为（ ）
3.（06贵阳） 某商场购进一种单价为元的篮球，如果以单价元售出，那么每月可售出 个．根据销售经验，售价每提高元，销售量相应减少个．
⑴ 假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮球每月的销售量是___________个．（用含的代数式表示）
⑵ 当篮球的售价应定为 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 元.
【考点链接】
1．二次函数通过配方可得，
⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
时，有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当
时，有最 （“大”或“小”）值是 ．
2. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .
【典例精析】
例1 近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y（米）与售价x（元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70．
(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；
(2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．
① 试用含x的代数式表示ｗ；
② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？
例2 （08南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）
⑴ 分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（1） （2）
【中考演练】
1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，截取AE＝BF＝DG＝x.已知AB＝6，CD＝3，AD＝4；求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围.
2. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元；
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.
(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
(2) 如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.
3. 如图，已知矩形OABC的长OA＝，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.
（1）填空：∠PCB＝ 度，P点坐标为 ；
（2）若P、A两点在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，求b、c的值，并说明点C在此抛物线上；
﹡（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.
第五章 统计与概率
课时22. 数据的收集与整理（统计1）
【课前热身】
1. 我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温（）
25
26
27
28
天 数
1
1
2
3
则这组数据的中位数与众数分别是（ ）
A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27
2．我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达8844米，在它周围2千米的附近，耸立的几座著名山峰的高度如下表：
山峰名
珠穆
朗玛
洛子峰
卓穷峰
马卡
鲁峰
章子峰
努子峰
普莫
里峰
海拔高度
8844m
8516m
7589m
8463m
7543m
7855m
7145m
则这七座山峰海拔高度的极差为 米．
3. 甲乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩均为8环，10次射击成绩的方差分别是：，，那么，射击成绩较为稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
4. 某同学在一次月考中的成绩是语文90分，数学95分，英语87分，则这次考试中三科平均成绩是 .
5. 某人在一次应聘中，笔试成绩98分，面试成绩90分，形象分90分，招聘单位按笔试、面试、形象5:3:2的比例统分，他的最后得分是 ．
【考点链接】
1．平均数的计算公式___________________________．
2. 加权平均数公式_____________________________．
3. 中位数是___________________________，众数是__________________________．
4．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________．
标准差的计算公式：_________________________．
【典例精析】
例1 我市部分学生参加了2004年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：
分数段
0－19
20－39
40－59
60－79
80－99
100－119
120－140
人 数
0
37
68
95
56
32
12
请根据以上信息解答下列问题：
(1) 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？
(2) 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；
(3) 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？
(4) 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.
例2 （08南京）我国从2008年6月1日起执行“限塑令”．“限塑令”执行前，某校为了了解本校学生所在家庭使用塑料袋的数量情况，随机调查了10名学生所在家庭月使用塑料袋的数量，结果如下：（单位：只）
65，70，85，75，85，79，74，91，81，95．
（1）计算这10名学生所在家庭平均月使用塑料袋多少只？
（2）“限塑令”执行后，家庭月使用塑料袋数量预计将减少．根据上面的计算结果，估计该校1 000名学生所在家庭月使用塑料袋可减少多少只？
【中考演练】
1．班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查．那么最终决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的 ．（中位数，平均数，众数）
2．在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为______分．
环数
6
7
8
9
人数
1
3
2
3．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：若该小组的
平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数是 ．
4．为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下，（单位：分）：
甲
76
84
90
84
81
87
88
81
85
84
乙
82
86
87
90
79
81
93
90
74
76
请填写下表：
平均数
中位数
众数
方差
85分以上频率
甲
84
84
14.4
0.3
乙
84
84
34
5. 衡量一组数据波动大小的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．某人今年1至5月的电话费数据如下（单位：元）：60，68，78，66，80，这组数据的中位数是（ ）
A．66 B．67 C．68 D．78
7．甲乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们的环数的方差是S甲2=2.4，S乙2=3.2，则射击稳定性是（ ）
A．甲高 B．乙高 C．两人一样多 D．不能确定
8. 李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量（kg）
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
据调查，市场上今年樱桃的批发价是每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃的总收入分别是（ ）
A．200kg，3000元 B．1900kg，28 500元
C．2000kg，30 000元 D．1850kg，27 750元
9．在“心系灾区”自愿捐款活动中，某班30名同学的捐款情况如下表：
捐款（元）
5
10
15
20
25
30
人数
11
9
6
2
1
1
⑴ 问这个班级捐款总数是多少元？ ⑵ 求这30名同学捐款的平均数.
10.
为响应国家要求中小学生每天锻练1小时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的图1和图2，请在图1中将“乒乓球”部分的图形补充完整．
篮球
乒乓球
足球
其他
5
10
15
20
兴趣爱好
图1
足球
篮球40%
其它
乒
乓
球
图2
人数
课时23. 数据的分析（统计2）
【课前热身】
1. 某工厂生产了一批零件共1600件，从中任意抽取了80件进行检查，其中合格产品78件，其余不合格，则可估计这批零件中有 件不合格．
2. 下列调查工作需采用普查方式的是（ ）
A. 环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查
B. 电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查
C. 质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查
D. 企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查
3. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间情况，随机调查了该校九年级20名学生，将所得数据整理并制成下表：
睡眠时间（小时）
6
7
8
9
学生人数（个）
8
6
4
2
据此估计该校九年级学生每天的平均睡眠时间大约是 小时．
4. 一养鱼专业户从鱼塘捕得同时放养的草鱼100条，他从中任选5条，称得它们的质量如下（单位：kg）：1.3， 1.6， 1.3， 1.5， 1.3．则这100条鱼的总质量约为 kg．
【考点链接】
1. 总体是指_________________________，个体是指_____________________，
样本是指________________________，样本的个数叫做___________．
2. 样本方差与标准差是衡量______________的量，其值越大，______越大．
3. 频数是指________________________；频率是___________________________．
4. 得到频数分布直方图的步骤_________________________________________．
5. 数据的统计方法有____________________________________________．
【典例精析】
例1 某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下）
（1）求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；
（2）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；
（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；
（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？
例2 从某市近期卖出的不同面积的商品房中随机
抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图
所示的统计图，请结合图中的信息，解答下列
问题：
（1）卖出面积为110～130㎡的商品房有
套，并在右图中补全统计图；
（2）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部
卖出的商品房的 ；
（3）假如你是房地产开发商，根据以上提供的
信息，你会多建住房面积在什么范围内的
住房？为什么？
【中考演练】
1．小明将2008年北京奥运会中国男子篮球队队员的年龄情况绘制成了如图（1）所示的条形统计图，则中国男子篮球队共有_____队员．
(第1题) (第2题) (第3题)
2．光明中学对图书室的书分成三类：A表示科学类，B表示科技类，C表示艺术类．它们所占总数的百分比如图（2），该校有8 500册图书，则艺术类的书有____册．
3．
菱湖是全国著名的淡水鱼产地，某养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼（假设这个塘里养的是同一种鱼），先捕上100条做标记，然后放回塘里，过了一段
时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼______条．
4. 红星村今年对农田秋季播种作如图（3）的规划，且只种植这三种农作物，则该村种植油菜占种植所有农作物的______%．
5. 如图，是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7 天中，日温差最大的一天是（ ）
A．5月1日 B．5月2日
C．5月3日 D．5月5日
6．在一个扇形统计图中，有一扇形的圆心角为90°，则此扇形占整个圆的（ ）
A．30% B．25% C．15% D．10%
7．如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的
扇形统计图．根据统计图，下面对全年食品
支出费用判断正确的是（ ）
A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多
C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多
8．某市教育部门对今年参加中考学生的视力进行了一次抽样调查，得到如图所示的频数分布直方图．（每组数据含最小值，不含最大值）
（1）抽查的样本容量是多少？
（2）若视力在4.9以上（含 4.9）均属正常，求视力正常的学生占被统计人数的百分比是多少？
（3）根据图中提供的信息，谈谈你的感想．
课时24. 概率的简要计算（概率1）
【课前热身】
1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
2．在一种掷骰子攻城游戏中规定：掷一次骰子几点朝上，攻城者就向城堡走几步．某游戏者掷一次骰子就走六步的槪率是____________．
3．在一个不透明的盒子中装有2个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则 ．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军
C．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖
D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球
5．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，______________________叫做不可能事件.
2．_________________________叫频率，_________________________叫概率.
3．求概率的方法：
（1）利用概率的定义直接求概率；
（2）用树形图和________________求概率；
（3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率．
【典例精析】
例1 小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回．
（1）若小明恰好抽到了黑桃4．
①请在下边框中绘制这种情况的树状图；
②求小华抽出的牌面数字比4大的概率．
（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌面数字比小华的大，则小明胜；反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平？说明你的理由．
例2 (08宁夏)
张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券，他们各自设计了一个方案：
张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券；如果指针停在白色区域，则王伟得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停在边界处，则重新转动转盘）.
王伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块1、2、3，
将它们背面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录
下牌面数字后放回，洗匀后再摸出一张．若摸出两
张牌面数字之和为奇数，则张红得到入场劵；若摸
出两张牌面数字之和为偶数，则王伟得到入场券．
（1）计算张红获得入场券的概率，并说明张红的
方案是否公平？
（2）用树状图（或列表法）列举王伟设计方案的所有情况，计算王伟获得入场券的概率，并说明王伟的方案是否公平？
【中考演练】
1．小明周末到外婆家，走到十字路口处（如图），记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是________．
2．在中考体育达标跳绳项目测试中，1min跳160次为达标，小敏记录了他预测时，1min跳的次数分别为145，155，140，162，164，则他在该次预测中达标的概率是_________．
3．有一道四选一的选择题，某同学完全靠猜测获得结果，则这个同学答对的概率是________．
4．在一所4000人的学校随机调查了100人，其中有76人上学之前吃早饭，在这所学校里随便问一个人，上学之前吃过早餐的概率是________．
5. 书架上有数学书3本，英语书2本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件你认为是必然事件的是（ ）
A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B．明天是晴天
C．打开电视机，正在播广告; D．太阳总是从东方升起
7．下列说法正确的是（ ）
A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是
B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次
C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数
D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖
8．图（2）是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照中国象棋中马的行走规则（马走日字，例如：按图（1）中的箭头方向走），红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？
马
卒
卒
炮
马
卒
马
图（1）
图（2）
9. 某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．电脑单价A型:6000元；A型:6000元；B型:4000元；C型:2500元；D型:4000元；E型:2000元；
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．
课时25．频率与概率（概率2）
【课前热身】
1．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）
A．12 B．9 C．4 D．3
2．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（ ）
A． B. C. D．（第4题）
4．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则
是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖
金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖,
参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再
翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这
位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
求概率的方法
（1）利用概率的定义直接求概率_________________．
（2）用___________________和___________________求概率；
（3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率．
【典例精析】
例1 初三年（1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中①、②两个转盘（每个转盘分别被二等分和三等分），若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数，则这个同学要表演唱歌节目；若数字之和为偶数，则要表演其他节目.试求出这个同学表演唱歌节目的概率．（要求用树状图或列表方法求解）
转盘①
1
2
3
1
2
转盘②
例2 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
（1）请将数据表补充完整；
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
频率
实验次数
20 40 60 80 100 120 140 160
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
【中考演练】
1．在一次抽奖活动中，中奖概率是0.12，则不中奖的概率是 ．
2．四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上．
若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是_______．
3. 小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．
4．（08泰州）有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1、2、3、4、5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ．
5. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A. 从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一
球，取到红球的概率
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率
D. 任意写一个整数，它能被2整除的概率
6．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.（08南昌）小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下：
① 游戏前，每人选一个数字； ② 每次同时掷两枚均匀骰子；
③ 如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜．
第2枚骰子
掷得的点数
第1枚骰子
掷得的点数
（1）在下表中列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
（2）小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由．
第六章 三角形
课时26．几何初步及平行线、相交线
（第1题)
【课前热身】
1. 如图，延长线段到，使，
若，则线段是的 倍．
2．如图，已知直线，，则的度数是 ．
(第3题)
1
2
(第2题)
(第4题)图
70°
31°
3．如图，在不等边中，，，图中等于的角还有______________．
4．经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A．一条或三条 B．三条
C．两条 D．一条
5．如图，直线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【考点链接】
1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.
2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．
3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.
4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
【典例精析】
E
C
D
G
1
2
F
A
B
例1 如图：AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=720，则∠2等于多少度？
例2 如图，中，的平分线相交于点，过作，
若，则等于多少？
【中考演练】
1．(08永州) 如图，直线a、b被直线c所截，若要a∥ b，需增加条件
_____________．（填一个即可）
2．（08义乌） 如图直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是 ．
3．(08河南) 如图, 已知直线, 则（ ） A. B. C. D.
( 第1题) ( 第2题) (第3题)
A
B
C
D
E
4．(08益阳) 如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．
(1) 求∠EDB的度数；
(2) 求DE的长．
5. (08宁夏)如图，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC＝65°，求∠BCD度数．
﹡6. (08东莞) 如图，在ΔABC中，AB＝AC＝10，BC＝8．用尺A
B
C
规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．
课时27．三角形的有关概念
D
B
70°
60°
B
ＡA
C
D
Ａ
【课前热身】
1． 如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，
点D在BC的延长线上，则∠ACD＝ 度.
C
2． 中，分别是的
中点，当时， cm． （第1题）
3． 如图在△ABC中，AD是高线，AE是角平分线，AF中线.
(1) ∠ADC＝ ＝90°； (2) ∠CAE＝ ＝ ；
(3) CF＝ ＝ ； (4) S△ABC＝ ．
（第3题） （第4题）
4． 如图，⊿ABC中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF = 度.
5． 如果两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的度数之比为3:6，那么这两个角分别等于 °和 °．
【考点链接】
一、三角形的分类：
1．三角形按角分为______________，______________，_____________．
2．三角形按边分为_______________,__________________.
二、三角形的性质：
1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边
2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．
三、三角形中的主要线段：
1．___________________________________叫三角形的中位线．
2．中位线的性质：____________________________________________．
3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)
【典例精析】
例1 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．
求∠DAC的度数．
例2 如图，已知D 、E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE、AD，
若S＝24cm,求△DEC的面积.
例3 如图，在等腰三角形中，，，为底边上一动点（不与点重合），，，垂足分别为，求的长．
【中考演练】
1．在△ABC中，若∠A＝∠C＝∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，这个三角形是 .
2． （07深圳）已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）
A. 6个 B. 5个 C. 4 个 D. 3个
3．（07济南）已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为（ ）
A.60° B.75° C.90° D.120°
4．如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．
5. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，
求∠EDC和∠BDC的度数．
﹡6. △ABC中，AD是高，AE、BF是角角平分线相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，
求∠DAC，∠BOA的度数.
课时28．等腰三角形与直角三角形
【课前热身】
1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
2. 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_____°．
3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
（第2题） （第3题） （第4题）
4．（07南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里
【考点链接】
一．等腰三角形的性质与判定：
1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；
3. 有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定：
1. 直角三角形两锐角________．
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．
3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典例精析】
例1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．
例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．
（1）试求该车从A点到B的平均速度；
（2）试说明该车是否超过限速．
【中考演练】
1．(08湖州)已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为____________．度．
2．（08白银）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为____．
A
O
B
东
北
3． (08武汉) 如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前
有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中
点Ａ处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔
所在的位置到公路的距离AB是____________．
（第3题）
4．如图，已知在直角三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
⑴ 若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
⑵ 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．
5．(08义乌) 如图，小明用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小明离
树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）
课时29．全等三角形
【课前热身】
1．如图1所示，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=____．
B
A
E
F
C
D
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图2，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去
3．如图，已知AE∥BF, ∠E=∠F,要使△ADE≌△BCF,可添加的条件是________.
4. 在⊿ABC和⊿A/B/C/中，AB=A/B/，∠A=∠A/，若证⊿ABC≌⊿A/B/C/还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）
A. ∠B=∠B/ B. ∠C=∠C/ C. BC=B/C/， D. AC=A/C/，
【考点链接】
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等.
【典例精析】
例1 已知：在梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE与DC的延长线交于点F. 求证：AB=CF.
例2 （06重庆）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，
且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
【中考演练】
1.（08遵义）如图，，，，，则
等于（ ）
A． B． C． D．
2. ( 08双柏) 如图，点在的平分线上，，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）：
O
E
A
B
D
C
（第1题） （第2题） （第3题）
3. ( 08郴州) 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则 __________度．
A
B
C
D
F
E
4. （08荆州）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC．
5. 如图，AB=AD，BC=DC，AC与BD交于点E，由这些条件你能推出哪些结论？
E
B
C
D
A
（不再添加辅助线，不再标注其它字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论即可）
﹡C
B
O
D
A
E
6. (08东莞) 如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小.
课时30．相似三角形
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．
3．如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
【考点链接】
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________．
三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
【典例精析】
例1 在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，AB=4，AC=3，DE=1，当DF等于多少时，这两个三角形相似．
例2 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
例3 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
【中考演练】
1.（08大连）如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．
2. (08杭州) 在中, 为直角, 于点,,
写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.
（第1题） （第2题） （第3题）
3.( 08常州) 如图，在△ABC中,若DE∥BC,＝,DE＝4cm,则BC的长为 ( )
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
4. （08无锡） 如图，已知是矩形的边上一点，于，
试证明．
课时31．锐角三角函数
【课前热身】
1．（06黑龙江）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
2．RtABC中，∠C=，∠A∶∠B=1∶2，则sinA的值（ ）
B(0,－4)
A(3,0)
0
x
y
A． B． C． D．1
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），
点B（0，－4），则 等于_______．
4．=____________．
【考点链接】
α
a
b
c
1．sinα，cosα，tanα定义
sinα＝____，cosα＝_______，tanα＝______ ．
2．特殊角三角函数值
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
【典例精析】
例1 在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA．
例2 计算:．
例3 等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，求底角∠B的四个三角函数值．
【中考演练】
1．(08威海) 在△ABC中，∠C ＝ 90°，tanA ＝，则sinB ＝( )
A． B． C． D．
2．若，则下列结论正确的为（ ）
A． 0°< ∠A < 30° B．30°< ∠A < 45°
C． 45°< ∠A < 60° D．60°< ∠A < 90°
3. (08连云港) 在中，，，，则 ．
4.（07济宁） 计算的值是 .
5. 已知 ．
6．△ABC中，若（sinA－）2＋|－cosB|＝0，求∠C的大小．
﹡7.（07长春）图中有两个正方形，A，C两点在大正方形的对角线上，△HAC是等边三角形，若AB=2，求EF的长．
_
E
_
A
_
F
_
D
_
C
_
B
_
O
_
H
_
G
﹡8. 矩形ABCD中AB＝10，BC＝8， E为AD边上一点，沿BE将△BDE对折，点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE．
课时32．解直角三角形及其应用
【课前热身】
1．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（结果保留根号）
（第1题）
2. 某坡面的坡度为1：，则坡角是_______度．
3．(07山东)王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地 ( )
A．150m B．m C．100 m D．m
【考点链接】
1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
3．如图（1）解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
4．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．
5．如图（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________．
6．如图（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．
F
A
B
C
D
E
O
A
B
C
（图2） （图3） （图4）
【典例精析】
例1 Rt的斜边AB＝5, ，求中的其他量.
例2 (08十堰) 海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
例3（07辽宁）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米．（如图所示）
求：（1）渠面宽EF；
（2）修200米长的渠道需挖的土方数．
【中考演练】
1．在中，，AB＝5，AC＝4，则 sinA的值是_________.
2．(07乌兰察布)升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到0.1m）
3．（07云南）已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)
﹡4．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）
第七章 四边形
课时33．多边形与平面图形的镶嵌
【课前热身】
1.（07嘉兴）四边形的内角和等于__________．
2．(08黑河）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的
两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．
3. 内角和为1440°的多边形是 ．
4. 一个正多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是_________.
5.（08山东）只用下列图形不能镶嵌的是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
6. 若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
7. (08青海）一个多边形内角和是，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【考点链接】
1. 四边形有关知识
⑴ n边形的内角和为 ．外角和为 ．
⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，
外角和增加 ．
⑶ n边形过每一个顶点的对角线有 条，n边形的对角线有 条．
2. 平面图形的镶嵌
⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.
⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．
3．易错知识辨析
多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 º．
【典例精析】
例1 已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
例2 （08杭州）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．
﹡例３ 请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽
图案.
【中考演练】
1．（08北京）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2. （08哈尔滨）某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3. C
D
A
B
E
（08威海）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，
则∠CAD的度数是 °．
4. 下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ）
A．430° B．4343° C．4320° D．4360°
5. （08凉山）一个多边形的内角和与它的一个外角的和
为，那么这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．
（1）求它的边数； （2）求少的那个内角的度数．
7. 求下图中x的值．
课时34．平行四边形
【课前热身】
1．平行四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝130 o，则∠D的度数是 .
2．ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是_____.
3．平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是 .
A
B
C
D
E
4．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，
∠Ｃ＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝
度．
（第4题）
5．平行四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是（ ）
A．1:2:3:4 B. 3:4:4:3
C. 3:3:4:4 D. 3:4:3:4
6．（08厦门）在平行四边形中，，那么下列各式中，不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点链接】
1．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）
（3）平行四边形的面积公式____________________.
2．平行四边形的判定
（1）定义法：________________________.
（2）边：________________________或_______________________．
（3）角：________________________．
（4）对角线：________________________．
【典例精析】
例1 （08南京）如图，在ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE．
求证：△ABF≌△DCE；
A
B
D
C
E
F
例2 如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
例3 如图，在□ABCD中，E，F分别是CD，AB上的点，且DE＝BF.
求证：AE＝CF
【中考演练】
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 一组对边相等 B. 对角线互相平分
C. 一组对角相等 D. 对角线互相垂直
2．
A
B
E
C
D
1
（08贵州）如图，在平行四边形中，是延
长线上的一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3. □ABCD中，∠A比∠B大20°,则∠C的度数为___ .
4．□ABCD中, AB:BC＝1:2，周长为24cm, 则AB＝_____cm, AD＝_____cm．
5. 如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF, 请你以F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新线段, 猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只需证明一组线段相等即可)
(1) 连结_________,
(2) 猜想______＝________.
(3) 证明:
﹡6． （08西宁）如图，已知：中，的平分线交边于， 的平分线 交于，交于．求证：．
A
B
C
D
E
F
G
课时35．矩形、菱形、正方形
【课前热身】
1. 矩形的两条对角线的一个交角为60 o，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为 cm.
2.（08肇庆）边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .
3. 若正方形的一条对角线的长为2cm，则这个正方形的面积为 ．
4.（08义乌）下列命题中，真命题是 （ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
5. (08宁夏)平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）
A．AB＝BC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD
【考点链接】
1. 特殊的平行四边形的之间的关系
2. 特殊的平行四边形的判别条件
要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；
要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ .
3. 特殊的平行四边形的性质
边
角
对角线
矩形
菱形
正方形
【典例精析】
例1 如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长积．
A
B
C
D
O
例2 （08乌鲁木齐）如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（ 与不重合），分别是的中点．
（1）证明四边形是平行四边形；
B
G
A
E
F
H
D
C
（2）在（1）的条件下，若，且，证明平行四边形 是正方形．
【中考演练】
1.（08恩施）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为 cm2．
2.（08白银）如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，
则=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
D
C
F
B
A
E
3.（08绍兴）如图，沿虚线将ABCD剪开，
则得到的四边形是（ ）
A．梯形 B．平行四边形
C．矩形 D．菱形
4．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，
求∠EBF的度数.
5．（08湘潭）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，
过C作CF⊥DE，垂足为F .
B
A
C
D
ES
F
（1）猜想：AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
6. 已知：如图，Ｄ是⊿ABC的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，求证：
（１）⊿ABC是等腰三角形
（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的判断结论.
B
D
C
E
F
A
﹡A
B
C
E
F
M
N
O
7. (08咸宁）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线
MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是
矩形？并证明你的结论．
课时36． 梯 形
【课前热身】
1．下列结论正确的是( )
A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类
B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类
C．平行四边形是梯形的特殊形式
D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式
2．等腰梯形ABCD对角线交于O点，∠BOC＝120°，∠BDC＝80°，则∠DAB＝__．
3．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作-直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是________．
4．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝50°，∠C＝80°，BC＝5，AC＝3，则CD＝____．
A
B
E
C
D
5．（08大连）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长
为2，则CE的长为 ________．
【考点链接】
1．梯形的面积公式是________________.
2．等腰梯形的性质：边 __________________________________.
角 __________________________________.
对角线 __________________________________.
3． 等腰梯形的判别方法__________________________________.
4． 梯形的中位线长等于__________________________.
【典例精析】
例1（08福州）如图，在等腰梯形中，，是的中点，
求证：．
例2 如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，
试说明四边形BCED是等腰梯形．
A
B
C
D
例3 （08北京）如图，在梯形中，，，，，，求的长．
例4 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.
求梯形两腰AB、CD的长.
A
B
C
D
【中考演练】
1．（08盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ．
2．四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形
是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形
3．（08黄冈）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交
于O点，∠BCD=60°，则下列说法正确的是（ ）
A．梯形ABCD是轴对称图形 B．BC=2AD
C．梯形ABCD是中心对称图形 D．AC平分∠DCB
4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．
3． 如图所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD⊥AC，
且BD＝3cm，AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．
﹡6．（08山东）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．
A
C
B
D
E
﹡7．（08重庆）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
第八章 圆
课时37．圆的有关概念与性质
【课前热身】
1.（08重庆）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2.（08湖州）如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ）
A． B． C． D．
3.（08梅州）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC．则四边形OACB是（ ）
A．正方形 B.长方形
C．菱形 D．以上答案都不对第3题
A
C
B
O
第4题
第1题
第2题
第1题
4.（08福州）如图，是⊙O的弦，于点，若，
第5题
0
1
2
-1
-2
1
A
B
，则⊙O的半径为 cm．
5. (08荆门)如图，半圆的直径AB＝___ ．
【考点链接】
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又
是 对称图形， 是它的对称中心.
3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .
【典例精析】
C
B
O
E
D
A
例1 （08呼伦贝尔）如图：=，分别是半径和的中点，与 的大小有什么关系？为什么？
例2 （08济南）已知：如图，，在射线AC上顺次截取AD =3cm，DB =10cm，
以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF 的长．
O
A
D
B
C
E
F
P
【中考演练】
1.（08台州）下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2.（08湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，
半径 OA＝10 m，高度CD为_ ____m．
3.（08襄樊）如图，⊙O中，，则的度数为 ．
第3题
B
A
O
C
D
第2题
4.（08广州）如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=．
（1）求证：AC = AE；
（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．
A
B
C
D
E
M
N
﹡5. (07德州) 如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O的上一点，延长至点，使．
（1）求证：；
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
（2）若，求证：．
课时38．与圆有关的位置关系
【课前热身】
1.（08湛江）⊙O的半径为，圆心O到直线的距离为，则直线与⊙O的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
2.（08宁德）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出
的两圆位置关系有（ ）
A．内切、相交 B．外离、相交
C．外切、外离 D．外离、内切
3. (08庆阳)两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
P
B
A
O
4.（08上海）如图，从圆外一点引圆的两条切线
，切点分别为．如果，
，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
5.（08郴州）已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置
关系是 .
【考点链接】
1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①d r，②d r，③d r.
2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ .
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①d r，②d r，③d r.
3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线.
5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.
6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.
7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 .
【典例精析】
例1 （08南平）如图，线段经过圆心，交⊙O于点，点在⊙O上，连接，．是⊙O的切线吗？请说明理由．
例2 （08湘潭）如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的切线，切点为C，连结AC.
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP的大小.
M
P
O
C
B
A
O
A
E
C
D
B
例3 （08恩施）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）求证：为⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为5，，求的长．
【中考演练】
1.（08长沙）如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且OP=5，PA=4，则sin∠APO
P
O
A
·
等于（ ）
A． B．
C． D．
O2
O3
O1
2.（08赤峰） 如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径，⊙O2的半
径，⊙O3的半径，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
3.（08自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sinB＝，则弦AC的长为 ．
4.（08云南）已知，⊙的半径为，⊙的半径为，且⊙与⊙相切，则这两圆的圆心距为___________．
B
D
C
E
A
O
5. （08泰安）如图所示，是直角三角形，，以为直径的⊙O 交于点，点是边的中点，连结．
（1）求证：与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，，求．
﹡6. （08威海）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．
A
B
N
M
（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）
与时间t（秒）之间的函数表达式；
（2）问点A出发后多少秒两圆相切？
课时39．与圆有关的计算
【课前热身】
1. （08安徽）如图，在⊙O中，，， 则劣弧的长
为 cm．
2. （08宜昌）翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是36米2，的
长度为9米，那么半径OA ＝ 米．
O
第5题
第2题
第1题
A
B
O
第3题
3.（07苏州）如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积
为 __________ .(结果保留）
4.（07常州）已知扇形的半径为2cm，面积是，则扇形的弧长是 cm，
扇形的圆心角为 °．
5. （08潍坊）如图，正六边形内接于圆，圆的半径为10，则圆中阴影部分的
面积为 ．
【考点链接】
1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对
的弧长为 ，弧长公式为 .
2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n°的圆心角所在的扇形面积为S= = = .
3. 圆柱的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的高）
4. 圆锥的侧面积公式：S=.（其中为 的半径，为 的长）
【典例精析】
例1 （08金华）如图，CD切⊙O于点D，连结OC，交⊙O于点B，过点B作弦AB⊥OD，
点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD =．(1)求弦AB的长；（2）CD的长；
（3）劣弧AB的长.（结果保留三个有效数字，，≈3.142）
例2 （08南昌）如图，为⊙O的直径，于点，交⊙O于点，
于点．
（1）请写出三条与有关的正确结论；
C
B
A
O
F
D
E
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
例3 (08庆阳)如图，线段与⊙O相切于点，连结、，交⊙O于点D，已知，.
求（1）⊙O的半径； （2）图中阴影部分的面积．
D
【中考演练】
1. （08孝感）中，，，，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
2. （08厦门）如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为米，圆心角均为，则铺上的草地共有 平方米．
A
B
C
3.（08贵阳）如图，已知是⊙O的直径，点在⊙O上，且，．
（1）求的值；
A
B
C
D
O
（2）如果，垂足为，求的长；
（3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．
﹡
﹡4.（07贵阳）如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）；
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．
①
②
③
（3）当⊙O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
第九章 图形与变换
课时40．视图与投影
【课前热身】
1.（08福州）如图所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）
A. B. C. D. A． B． C． D．
2. (08深圳) 如图，圆柱的左视图是（ ）
A. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A.
B.．
C.．
D.．
3.（08贵阳）在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）
讲
文
明
迎
奥
运
4.（08长沙）如图是每个面上都有一个汉字的正方体
的一种展开图，那么在正方体的表面，与“迎”相
对的面上的汉字是（ ）
A.文 B.明 C.奥 D.运
5. （08哈尔滨）右图是某一几何体的三视图，
则这个几何体是（ ）
A．圆柱体 B．圆锥体
C．正方体 D．球体
【考点链接】
1. 从 观察物体时，看到的图叫做主视图 ；从 观 察物体时，看到的图叫做左视图 ；从 观察物体时，看到的图叫做俯视图.
2. 主视图与俯视图的 一致；主视图与左视图的 一致；俯视图与左视图的
一致.
3. 叫盲区.
4. 投影可分为平行投影与中心投影.其中 所形成的投影叫平行投影；
所形成的投影叫中心投影.
5. 利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位置和物体阴影的位置.
【典例精析】
例1 （08襄樊）如图4，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
例2 （08兰州）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点表示），并在图中画出人在此光源下的影子．（用线段表示）．
图2
A
B
太阳光线
木杆
图1
【中考演练】
1. (08庆阳)当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小
．（填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）．
2.（08苏州）如图，水平放置的长方体 的底面是边长
4
2
为2和4的矩形，它的左视图的面积为6，则长方体的
体积等于 ．
3.（08威海）下图的几何体是由三个同样大小的立方体搭
成的，其左视图为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4. （08巴中）在学校开展的“为灾区儿童过六一”的活动中，晶晶把自己最喜爱的铅笔盒送给灾区儿童．这个铅笔盒（右右_______________________________________________________________________________________________________________________________图）的左视图是（ ）
A． B． C． D．
A．
B．
C．
D．
A
B
C
5. （08西宁）将图所示的绕直角边旋转一周，所得几何体的主视图为（ ）
6. （08青海）若干桶方便面摆放在桌子上，如图所示是它的三视图，则这一堆方便面共有（ ）
主视图
左视图
俯视图
A．6桶 B．7桶 C．8桶 D．9桶
7. （08乌兰察布）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则关于它的视图说法正确的是（ ）
A．正视图的面积最大
B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大
D．三个视图的面积一样大
8. （08连云港）若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是（ ）
A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．棱锥
9.（08盐城）下列四个几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．三棱柱
课时41．轴对称与中心对称
【课前热身】
1. （08芜湖）下列几何图形中,一定是轴对称图形的有 ( ).
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. (08庆阳)下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是图中的（ ）
Ａ.．
Ｂ.．
Ｃ.．
Ｄ.．
3.（08南平）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
4.（08白银）如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）
②
③
④
A.①③ B. ①④ C.②③ D.②④
【考点链接】
1. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .
2. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 .
3. 如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
4. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．
5. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．
6. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.
7. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点关于原点的对称点为 .
【典例精析】
例1 （08温州）如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
A
B
C
A
B
C
A
B
C
例2 （07苏州）如图，在直角坐标系xOy中， A(一l，5)，B(一3，0)，C (一4，3)．
(1) 在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；
(2) 如果中任意一点的坐标为，那么它的对应点的坐标是 ．
例3 （08徐州）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．正三角形 B．菱形 C．直角梯形 D．正六边形
【中考演练】
1. (08绍兴）下列各图中，为轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
30°
A
C
B
2. (08自贡）如图是一个中心对称图形，A为对称
中心，若∠C = 90°， ∠B = 30°，BC =1，则
的长为（ ）
A．4 B． C． D．
3. （08包头）如图是奥运会会旗杆标志图
案，它由五个半径相同的圆组成，象
征着五大洲体育健儿团结拼搏，那么
这个图案（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．不是对称图形 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
4. （08怀化）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是 ( )
A. B. C. D.
5. （08广州）若将图2中的每个字母都看成独立的图案，则这七个图案中是中心对称图形的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. （08乌兰察布）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
课时4２．平移与旋转
【课前热身】
1. （08长春）下列四个图案中，可能通过右图平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A.
B.
C.
D.
2. （08广州）将左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）
3. （08无锡）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4. （08广州） 将线段AB平移1cm，得到线段，则对应点A与的距离为 cm．
【考点链接】
1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的 和 所决定．
2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应 ，图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．
3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转， 叫做旋转中心， 叫做旋转角．
4. 图形的旋转由 、 和 所决定．其中①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针. ③旋转 一般小于360º.
5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .
【典例精析】
例1 （08长沙）在下面的格点图中，每个小正方形的边长均为1个单位，请按下列要求画出图形：
（1）画出图①中阴影部分关于O点的中心对称图形；
（2）画出图②中阴影部分向右平移9个单位后的图形；
（3）画出图③中阴影部分关于直线AB的轴对称图形.
（图①） （图②） （图③）
B
A
C
D
E
例2 （08绵阳）如图是由若干个边长为1
的小正方形组成的网格，在图中作出
将五角星向其东北方向平移
个单位的图形．
【中考演练】
1. （08宜昌）如图，将三角尺ABC（其中
∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕B点按顺时
针方向转动一个角度到A1BC1的位置，
使得点A，B，C1在同一条直线上，那么
这个角度等于（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
2. （07遵义）如图所示是重叠的两个直角
三角形．将其中一个直角三角形沿方
向平移得到．如果，，
，则图中阴影部分面积为 ．
3. （08哈尔滨）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
4. （08 金华）在平面直角坐标系中，ΔABC 的三个顶点的位置如图所示， 点A′的坐标是(一2，2) ，现将ABC 平移．使点A 变换为点A′， 点B′、C′分别是B、C 的对应点. (1) 请画出平移后的像 (不写画法) ，并直接写出点、 的坐标： ( )、( ) ．
(2) 若ΔABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P 的对应点的坐标是 ．
（甲）
A
C
E
D
B
B
（乙）
A
E11
C
D11
O
F
﹡5.（08枣庄）把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点，与D1 E1 相交于点F．
（1）求的度数； （2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1 C E1 绕着点顺时针再旋转30°得△D2 C E2 ，这时点B在
△D2 C E2的内部、外部、还是边上？说明理由．
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